CC BY
7
УДК 533.951
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНДЕНСАЦИОННОЙ МОДЫ В ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕМ СЛАБОИОНИЗИРОВАННОМ ГАЗЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Д. И. Завершинский1,2, Н.Е. Молевич1,2, С.Ю. Пичугин1, Д. С. Рящиков1,2
Получены линейные уравнения и дисперсионные соотношения, описывающие конденсационную моду в слабоио-низованной плазме с тепловыделением, находящейся во внешнем магнитном поле. Найдены условия возникновения неустойчивости конденсационной моды ионной компоненты.
Ключевые слова: слабоионизованная плазма, тепловая неустойчивость, конденсационная мода.
Тепловые неустойчивости играют важную роль в образовании различных пространственно-временных структур в хромосфере и короне Солнца, межзвёздном газе и планетарных туманностях. В данных средах присутствуют неадиабатические процессы нагрева и охлаждения, связанные с радиационным охлаждением, химическими реакциями, и т.п. Ранее было показано [1], что в таких средах могут реали-зовываться три типа тепловых неустойчивостей: изоэнтропическая, изобарическая и изохорическая. Первая из них ответственна за усиление распространяющихся в среде акустических волн (акустическая мода). Изобарическая неустойчивость отвечает за рост конденсаций в среде (конденсационная мода), а изохорическая - за возникновение конвективных потоков. В некоторых средах, например, солнечной короне, помимо процессов тепловыделения присутствует внешнее магнитное поле, а сама среда является проводящей (плазма). Структура и свойства газодинамических возмущений в плазме описываются системой уравнений магнитной гидродинамики. В подобных средах могут распространяться магнитоакустические (МА) волны. Магнитное поле также будет оказывать влияние на развитие тепловых неустойчивостей в плазме. Для астрофизических приложений представляет интерес исследование МА волн и тепловой неустойчивости в
1 Самарский филиал ФИАН, 443011 Россия, Самара, ул. Ново-Садовая, 221; e-mail: [email protected].
2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34.
частично ионизированной плазме [2-5]. При этом широко используется так называемая двухжидкостная модель, в которой плазма может быть представлена как смесь двух компонент - ионной и нейтральной, причем ионная компонента объединяет электроны и ионы [2]. В настоящей работе двухжидкостная модель используется для вывода линейных уравнений и дисперсионных соотношений, описывающих конденсационную неустойчивость в тепловыделяющей слабоионизованной плазме при произвольном направлении вектора индукции внешнего магнитного поля.
Система магнитогазодинамических уравнений для ионной компоненты в частично ионизированном газе с источником тепловыделения выглядит следующим образом
[2, 5]:
Щ = гс^У х В]; СУВ = 0; Щ-VУ^ = -VРг - Ри^М - К) - ^В х гс1 В;
Ж + ^^ = 0 ^ ( + УгУТг) - ^ (^ + УгУ Рг = -ргШг(Рг,Тг) + У(КУТ) Рг ^^
тг
Эту систему необходимо дополнить газодинамическими уравнениями для нейтральной компоненты:
Ри{^^т^т + УгУУ^ = -УРи - Рп^и,г(Уп - V); + У(РиУп) = 0;
п (дТп , V У7ГГ \ квТп (дРп , V У7 Су^пРп I -г^- + ЙпУ1п\--[-7^ + УпУРп
= -Рп^п(Рп,Тп) + У(КпУТп); Рп = квТпРп. (2)
тп
В (1)-(2) переменные с индексом "г" - это параметры ионной компоненты, а переменные с индексом "п" - параметры нейтральной компоненты; Р,Т, Р - плотность, температура и давление соответственно; У, В - вектора скорости и индукции магнитного поля; к в - постоянная Больцмана; Су г, Су - высокочастотные теплоёмкости при постоянном объёме соответственно ионной и нейтральной компоненты; тг,тп - средние молекулярные массы ионной и нейтральной компоненты, ип,г - частота нейтрально-ионных столкновений, причем ип,г = &п,гРг(&п,г = {аи)/(тг + тп) - константа скорости соударений на единицу массы; а - сечение ионно-нейтральных столкновений; и - относительная
скорость между частицами ионной и нейтральной компоненты) K¿, Kn - коэффициенты теплопроводности; Wi(pi,T), Wn(pn,Tn) - функции, описывающие тепловые потери для ионной и нейтральной компоненты, при этом W(p,T) = L(p,T) — Q(p,T). При записи уравнений (1)-(2) пренебрегалось влиянием диссипативных процессов, обусловленных наличием вязкости и конечной проводимости, а также влиянием теплопередачи между нейтральной и ионной компонентами.
В настоящей работе проводятся исследования для случая слабоионизованной плазмы: pi/pn ~ е ^ 1. При этом будем решать уравнения (1)-(2), используя методы теории возмущений. Предполагаем, что в начальный момент среда не движется. Запишем следующие разложения:
pi = pió + pi, pn = p nó + pn, Vi = Vi, Vn = Vn,
Ti — Tin + Ti, Tn — Tn0 + Tn, P — Pin + Pn — Pn0 + Pn, В — Во + в
(3)
Coo n
in
где Pi,n/Pi0,n0 ~ Ti,n/Ti0,n0 ~ Pi,n/Pi0,n0 ~ |Vinl/o^i^n ~ |B|/|Bо| ~ б < 1,0, высокочастотные скорости звука (см. ниже).
Будем проводить исследования в декартовой системе координат x,y,z. При этом будем считать, что вектор индукции стационарного внешнего магнитного поля находится в плоскости x, z (т.е. В0 — Bx0x0 + Bz0Zz0 — В0 sin ax0 + В0 cos azO, где B0 - абсолютное значение вектора В0,а• - угол наклона между стационарным магнитным полем и осью z,x0,Zz0 - единичные вектора). Мы будем исследовать поведение возмущений, распространяющихся вдоль оси z. Таким образом, зависимостями от x и y можно пренебречь (д/дх — д/ду — 0). Также учтем, что в стационарных условиях для обеих компонент отток энергии уравновешен притоком тепла (т.е. Wi(pi0,Ti0) — 0, Wn(pn0,Tn0) — 0). После подстановки (3) в уравнения (1)-(2) получаем, пренебрегая величинами второго порядка малости:
дВх Вхо
д Вх 2 2 д Вх — o„ cos а-
дг2
-"a
дх2
+ Pn0 0 n
TC д
'icv mi дг
д^р дг2
i _ 2 + 0 дРо.
0ооi а ..2 + pn0on,i qл
дz2
дг
дг
+ CV0i
д 2 pi + о др а,2 + pn0on,i п.
pió \ дг2 дг
(4)
tfv
дг2
i 02 0
д 2 pi + о др! oí дz2 + pnó0n,i дг
KióTi д2 pió дz2
д2 pi кв Tío д2 pi + о др
<1,9 по + pnó 0n,i n,
дг2 m,¡ дz2 дг
В
xó
4п
TíC
iCVooi
д 3Вх дгдz2
+ C
д2Вх KióTi д4Вх
V 0i-
дz2 pi0 дz4 (5)
д
TnCVооп
д2р.
dt2
п _ c2
д2рп
1 dz2
+ CV 0п
д2р.
t2
п c2 — С
д2рп
'0п dz2
Kn0Tn д
рп0 dz2
д2р kBТп0 д2рп
t2
тп
z2
где c2 =
B2 ,
4крг0 '
kB Тго 2
Y"oo , Сос
mi
кв Тп
Yo
B Тп0 2
к в Ti
С
тп
0i
Y0i-
B Ti0 2
С
mi
Оп
kB Тп0 Yon-, Ti
кя Тп
тп
B Т пО
Cv
mnQn0
kB Wotí
Yo =
C,
Pooi
C,
Рооп
-, Y0i
CP
P 0i
V 0i
C¡
y-i y-i 1 y-i
CV oo i CV осп CV 0i
kB (Wotí - Wopi)
Y0n =
тп CP 0п
kB Ti0
miQio'
mi
P 0i
CV
CV 0п kB Woтп
mi
V 0п
mп
n kB (Wot- - Wopg) w Tío fдWЛ рго ( &Wi
Сроп = -, Wotí = 1 ) , Wopi =
mn
WO
Тп
п0
0Тп =
д^п
~дТп.
qío v дтг / о рпо
Qío\ др.
Wo
Qn0 V дТп ) о рп Qn0 \ дрп / о
Здесь величины СРоог = CVooг + kB/mi} СРооп = Cvоп + kB/mn - высокочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном давлении; Cvог,Срог и Cv0п, Ср0п - эффективные низкочастотные теплоёмкости ионной и нейтральной компоненты при постоянном объеме и давлении в тепловыделяющей среде [6-8]. Также введены обозначения для скоростей волн: cог,соп - высокочастотные скорости звука в ионной и нейтральной компоненте, соответственно, ca - скорость альфвеновских волн. Величины тг и тп - характерные времена нагрева ионной и нейтральной компоненты, при расчете которых считается Qío = Qí^oí^oí), Qn0 = Qn^on,^). В (5)-(6) Кпо = Кп(Тп = Тпо), Кго = Кгр(Тго) cos2 а + Кш(Тго) sin2 а, где Kíp, Кш - коэффициенты теплопроводности ионной компоненты в направлениях, параллельном и перпендикулярном вектору магнитного поля, соответственно. Уравнение (6) описывает распространение возмущений в нейтральной компоненте слабоионизованной плазмы. Условия возникновения тепловых неустойчивостей в этой компоненте подробно исследованы [1, 7]. Уравнения (4), (5) описывают возмущения в ионной компоненте среды.
Подстановка в (4)-(5) выражений Bx = Bx exp(-iuit + ikz) и рг = рг exp(-iuit + ikz) позволяет получить следующее дисперсионное соотношение, описывающее как МА моды, так и конденсационную моду ионной компоненты:
дWn
ш k
2 2 Ш Л . .рпо^г
ca cos2 а — — 1 + i-
a k2 ш
1 + i
■ рп0Q п
ш
ш
Са — k2[ 1 + i
п
ш
2
c
0
2
Г1 Г1 I KioTi ¡ 2
, rp CP0i _ гшп Up mi +--k
~2 _ kB Ti0_Pi0 (7)
mi ^ . ^ KioTi j 2
CV 0i _ I^Ti CV mi +--k
Poi
Для исследуемой в настоящей работе конденсационной моды ионной компоненты, для которой справедливо ш = т, где п - временной декремент/инкремент, соотношение (7) преобразуется к виду:
П2 + Пр,п0^п,г =
Cp 0i + UTiCp mi +
KioTik
2
_ квTío ^pm ' ,u,i^pmi 1 pio k2c2a cos2 a + n2 + up,no^n,i ^
mi Koí Tik2 k2c2a + n2 + npno^n,i ' CV oí + nTiCV mi +--
Pio
Далее подробно исследуем случай, когда вектор индукции магнитного поля Bo перпендикулярен оси z (a _ п/2, cos a _ 0). Соотношение (8) при a _ п/2 можно записать в следующем виде:
2 , Vn,i,o . , 2 2^ /Г1 I Г1 I KioTik \ .
n + n--+ k ca) Cvoí + nTiCV mi +--+
X J \ pio J
+—4» (Cpoi + nTiCpmi + ^^ _ 0, (9)
Ym V Pio J
где x _ Pio/pno, vn,i,,o _ Qn,i,pio. Выражение (9) имеет гораздо более простой вид по сравнению с дисперсионным соотношением для конденсационной моды в слабоионизованной плазме, выведенным ранее в [5] для этого частного случая a _ п/2.
Используя (9), выясним, при каких условиях возникает неустойчивость конденсационной моды ионной компоненты. Для этого найдем значение k2 > 0, при котором временной инкремент конденсационной моды равен нулю. Полагая в (9) n _ 0, получаем:
k2(n _ 0) _ _ ( Cpoi + CvoiYm^t) /— í1 + Ym4~
c i io c i
Находим отсюда условие возникновения неустойчивых возмущений ионной компоненты плазмы вдоль направления, перпендикулярного вектору индукции магнитного поля В0:
c2a
cpoí < _cvoíYm —?r~. (Ю)
c2
i
При Су о > 0(д^/дТ > 0) тепловая неустойчивость появляется только при отрицательных значениях СР0; (изобарическая неустойчивость). При этом величина В0 должна быть меньше значения (—4пР;0СР0; / Су0;)1/2, т.е. возрастание индукции внешнего магнитного поля приводит к уменьшению и исчезновению (при В2 ^ —4п70; Р;0) пространственных неустойчивых возмущений ионной компоненты.
Нами были проведены расчеты зависимостей нормализованного временного инкремента конденсационной моды п* = п/(с^пкр) от величины нормализованного волнового числа к * = к/кр при различных значениях и В0, где кр = (7^ — 1)(Су0; — Ср0; )/(квт). С этой целью решалось уравнение (9) при различных к и выбирался действительный корень, равный временному инкременту п неустойчивых возмущений ионной компоненты. Для определенности, расчеты проводились для тех же условий, при которых были проведены вычисления в разделе 3.2 работы [5]: X = 0.01, = 5/3, Ш; = шп/2, кт = Ш;(7^ — 1)Су0г/(квс^гТ = кр/2 (или Ср0г = —Cvоi), Шг(7^ — 1)К;0кр/(кв) = 0.01, = ТП0. На рис. 1^) представлены полученные нами зависимости п* от к* для трех значений нормализованной частоты нейтрально-ионных столкновений /(с^пкр). Полученная нами зависимость п* от к * при /(с^п кр) = 0.03 (кривая 2 на рис. 1(я)) практически не отличается от соответствующей зависимости для ионной компоненты, рассчитанной в [5].
Рис. 1: Зависимость нормализованного инкремента конденсационной моды ионной компоненты от нормализованного волнового числа: (о) для са/с^п = 0.6 при различных значениях частоты нейтрально-ионных столкновений /(стопкр): 0 (кривая 1), 0.03(2) и 0.3(3); (Ь) для /(стопкр) = 0.03 при са/с^п = 0 (кривая 1), Са/с^п = 0.5 (2), са/с^п = 1 (3) и са/с^п = 1.5 (4).
Из рис. 1(а) видно, что увеличение частоты нейтрально-ионных столкновений приводит к уменьшению временного инкремента конденсационной моды ионной компоненты, но не изменяет область неустойчивости. Увеличение магнитного поля на развитие конденсационной моды в ионной компоненте влияет по-другому. На рис. 1(Ь) приведены расчетные зависимости п* от к* при (соопкр) = 0.03 для различных значений величины В0 вектора индукции внешнего магнитного поля. Как видно из рис. 1(Ь), увеличение В0 приводит к уменьшению как величины п, так и интервала значений к, при которых конденсационная мода ионной компоненты неустойчива (п > 0). Для исследуемых условий (Срон = -Суог,^0г = -1), как следует из (10), при Са/Стп < 1.1 всюду п < 0.
Таким образом, в настоящей работе проведено исследование изобарической (конденсационной) неустойчивости в частично ионизированном тепловыделяющем газе, находящемся в магнитном поле. Были получены линейные уравнения, описывающие, в том числе, тепловую неустойчивость в слабоионизованной плазме, и найдено дисперсионное соотношение для конденсационной моды ионной компоненты при произвольном направлении вектора индукции внешнего магнитного поля. С использованием данного соотношения найдены условия возникновения неустойчивости конденсационной моды ионной компоненты.
Работа частично поддержана Минобрнауки РФ в рамках Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013-2020 гг. и Государственного задания вузам и научным организациям в сфере научной деятельности, проект № 3.1158.2017/ПЧ, и грантом РФФИ № 17-42-630224 р-а.
ЛИТЕРАТУРА
[1] G. B. Field, Astrophysical Journal 142, 531 (1965).
[2] T. V. Zagarashvili, M. L. Khodachenko, and H. O. Rucker, Astron. & Astrophys. 529, А82 (2011).
[3] R. Soler, M. Carbonell, and J. L. Ballester, Astrophysical Journal. Supplement series 209, 16 (2013).
[4] R. Soler, A. J. Diaz, J. L. Ballester, and M. Goossens, Astron. & Astrophys. 551, A86 (2013).
[5] T. Fukue and H. Kamaya, Astrophysical Journal 669, 363 (2007).
[6] N. E. Molevich, D. I. Zavershinsky, R. N. Galimov, and V. G. Makaryan, Astrophysics and Space Science 334, 35 (2011).
[7] N. E. Molevich, D. I. Zavershinskiy, and D. S. Ryashchikov, Magnetohydrodynamics 52, 191 (2016).
[8] N. E. Molevich, D. S. Ryashchikov, and D. I. Zavershinskiy, Magnetohydrodynamics 52, 199 (2016).
Поступила в редакцию 26 июля 2017 г.
