НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНО ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2024-30-1-23-30

УДК 517.956 Дата: поступления статьи: 15.01.2024

после рецензирования: 19.02.2024 принятия статьи: 28.02.2024

С.Т. Гусейнов

Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджанская Республика E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0001-7473-2269

М. Дж. Алиев

Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджанская Республика E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0007-9084-6251

НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНО ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрен класс эллиптических уравнений второго порядка дивергентной структуры с неравномерным степенным вырождением. Подход, используемый в настоящей статье, основан на том, что скорости вырождения собственных чисел матрицы \\а^(ж)|| (функции \i(x)) являются не функциями необычной нормы \ж\, а некоторого анизотропного расстояния \x\a-. Предполагается, что задача Дирихле для таких уравнений разрешима в классическом смысле при любой непрерывной граничной функции в любой нормальной области Q.

Для слабых решений получены оценки вблизи граничной точки решений задачи Дирихле, функции Грина для неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка.

Ключевые слова. равномерная эллиптичность; неравномерное вырождение; фундаментальное решение.

Цитирование. Гусейнов С.Т., Алиев М.Дж. Некоторые вспомогательные оценки решений для неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия / Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2024. Т. 30, № 1. С. 23-30. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-23-30.

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

© Гусейнов С.Т., Алиев М.Дж., 2024 Сарван Тахмаз оглы Гусейнов — доктор математических наук, доцент кафедры высшей математики, Бакинский государственный университет, Азербайджанская Республика, г. Баку, ул. З. Халилова, 23. Мушфиг Джалал оглы Алиев — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Бакинский государственный университет, Азербайджанская Республика, г. Баку, ул. З. Халилова, 23.

1. Предварительные сведения

Пусть в п-мерном евклидовом пространстве Еп точек х = (хх,х2,.., хп), п ^ 2 расположена ограниченная область О с границей дО, причем 0 € дО. Рассмотрим в О эллиптическое уравнение

n

д ( ,, du

i,j=l

j

Lu =2. dx- И(ж)dxji = 0 (L1)

в предположении, что коэффициенты а^(х) являются измеримыми функциями в А,аа (х) = а^(х), г,] = = 1, 2, ...,п и, кроме того, для £ € Еп,х € А

п п п

(х)£2 ац(хШз < Ь(х)£2, (1.2)

г=1 = 1 1=1

здесь ¡1 € (0,1] — некоторая константа и

п

^—■V 2

Х^(х) = (\х\а-)а, |х|а- =53 м> 0, г = 1, 2,...,п. (1.3)

г=1

Отметим, что для равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка дивергентной структуры доказательство оценки убывающего решения можно найти в [1; 2]. Настоящая статья тесно связано по тематике с работами [3-12].

Для равномерно эллиптических уравнений соответствующие результаты получены в работе [13]. Что касается неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений 2-го порядка, то отметим в этой связи работу [14].

о 1

Функция и(х) € л(А) называется слабым решением уравнения (1.1), если при всякой ф(х) €

о1,

€ выполнено интегральное тождество

' -А дидф

аадх.дхЛх = 0'

■г, j=1 J

Введем некоторые обозначения:

Sr = {x : \x\ ^ r} ,Cr = Sr П Q,

i

Пусть Г(х) — фундаментальное решение оператора L в Rn с особенностью в точке 0, р(х) = [Г(х)], Tr = {х : р(х) ^ r}. Как показано в [10; 11], существует такая зависящая только от ц и n постоянная а, что в Rn

2а \х\ < р(х) < (2а)-1 \х\, (1.4)

что эквивалентно включению Sr (2а) С Tr С Sr . Положим

1 i + a +

— (2а)— =2Xi. n

Введем еще обозначения: Kri,r2 = Sri\Sr2 , Qri,r2 = Tri \Tr2, а+ = тах {а1,а2,...,ап} ,

M(u) =r-n I

Ka-ir

cap(E) — гармоническая емкость множества E, j(r) = r2-ncap(Cr) — относительная емкость Q в шаре Sr.

2. Основные вспомогательные леммы

В этом пункте через u обозначим функцию из пространства W^Ss) (S = const > 0), удовлетворяющую в О П Ss уравнению Lu = 0 и равную нулю на Cs. Лемма 1. Пусть

1 r n дГ

J(r) = 2-П dT U* £ ^^ndSx, (2-1)

где r < S и {nj}— проекции единичной внешней нормали к dTr на координатные оси. Тогда

fr1"" T Ъчduди=J:(r). <22>

r i,j = 1 i j

Доказательство. Положим t = r2 n. Тогда

n * 2 \ n * \

Lu2 = E д (x) j = 2, £ dX (an (x)u j

n / \ n n

2 £ dX (oij (x) j u + 2Z aj (x) iu du = 2 Z aij (x) Щ- Ц.

i,j = 1 i,j = 1 i,j= 1

С другой стороны,

Пусть

Обозначим

I (Г — t)+L(u2)dx = 2 I (Г — t)+ aij(x) ————dx,

JQ JQ . dxi dxj

—1

i (Г — t)+L(u2)dx = i (Г — t)+L(u2)dx.

J Q JTr

du2

n d n

I = ^ (Г — t)L(u2)dx = ^ (Г — t)£ ddxx~ ( aj j dx.

i_1 . \j_1 j

>Tr

>Tr

Edu2

a.jdx, % = 1, 2,..., n. j—1 xj

Тогда

1 = £L (Г — t) g^^x =]T

= 1 ° Tr

= 1 ° Tr

(Г—t) W + дГ w.

dx. dx.

dx

n f g

J gxi((г —1) wi)dx.

1Tr

Обозначим через w = ((Г — t)wi, (Г — t)w2,..., (Г — t)wn). Тогда ii = T divWdx = J^ (W,h)ds = = 0,W/dTr = 0 (т. к. Г — t = 0 на dTr). Тогда

I=—n f ¿w*=—n f a.j Z д—2 dx=

Widx = a.j

i t dxi i j T dxi dxj

n ,, n

дГ du2

iT dxi dxj

j=1 Tr i=1 i j

Обозначим zj = aij-gx, j = 1, 2,....,n.

Тогда

j=1

j=1

1 = — £ T Zjdjdx = — £ T (dju2 + Zjdj Ux+

+ £ ¡Tr dxu2dx = ji + j2

j=1

Пусть Z= (u2zi,u2Z2, ...,u2zn) . Тогда

ji = — ^^ [ —— (u2Zj,) dx = — [ divzdx = — [ (Z, h) ds = fyjTr dxj V j JTr JdTr K , )

—

j=1

u2 jh

d Г

8Tr

ids = — ^ u2Y, aij dx-hjds = —

j_1J dTr i—1 dxj

d z

2 дГ d

u a— ds

i,j_1

I dTr

dx.

(2.3)

did Г

j2 =

E L dxu"dx = £ lTruddTj \aijex; idx

j =1 Tr

Tr dxj

2

j =1 Tr

d ( dF

I u" y^ —— ( an—— I dx = u2LГdx,

Tr dxj dxi

ij_1 J

где Г(x) — фундаментальное решение, т. е.

(2.4)

Другими словами,

LT(x) = —S(x).

/ ^(x)LГ(x)dx = —^(0),

Tr

j2 = —u2(0) на 0 £ dQ, поэтому j2 =0 и из (2.4) заключаем

n г дГ

1 = u<2ai dx hj ds,

i,j_1

'ST.

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2 f \ du du 1 f 2 ■А дГ

--— t) > агз —— ——dx =--u > агз —— n3ds,

2 - nJTr У ) ^ 3 dxi dxj 2 - nJdTr ^ 3 dxi 3 '

2 t „ ■A du du

f /тл \ du du

2 - n T (Г -aij dx djdx = J(r)

J1r i,j=1 г 3

n

J '(r) = dTÎ dyf (Г - ^ n агз ^^

n - 2 dr .Iо JdTvy j= 3 dxi dx3

г,3=1

2r1-n f v —

' г,3=1

Tr J „• = -, dxi dxj

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. При Х1т < 6 справедливо неравенство

7(т) < СМГ(и). (2.5)

Доказательство. Заметим, что на ХТГ

п дГ п

аа дхх- па = аапп \УГ\ ^ 0,

1,3=1 1 1,3=1

Г Г dr d

Lrdx = -7:~ds (— — производная по конормали). (2.6)

JTr JdTr dv dv

— ds (d )Tr JOTr dv dv

Знаем, что Lr(x) = -S(x).

n

По определению f^ = E aij-§X~ -з ,

i,j=1

/ Lrdx = - S(x)dx = -1.

JTr JTr

1 __d Г

Lrdx = 2, аг,—— nj ds = -1.

JdTr г,з=1 dx

Тогда

т^ 1 f 2 ^ dr

J (r) =--u y аг3—— n3 ds.

( ) - - 2 JdTr M гз dxH 3

Tr г,з=1 Из принципа максимума следует

1 ( 2 ^ дГ ^ 1 2 f П дГ

--и > аг0 —— п0 do <--тах и > аг0 —— п0 ds =

п — 2 JT ^ ij дхг 0 n — 2 8Tr JdT ^ ij дхг 0

J1r i,j=1 1 r Jdlr i,j=1 г

1 2 ^ 1 2 1 2 ^

= -тах и ^ - тах и = - тах и ^

п — 2 Tr п — 2 sr(2Ai)-:i п — 2 dsr(2Ai)~i

1 2 1 2 C ^ . .

^ --тах и = - тах и ^ -Mr(и).

п — 2 dSr(2Ai)-i\j8Sr(2Ai) п — 2 Kr^п — 2

В результате получим

тах и2 < CMr(и). (2.7)

^ ,2Ai )

Неравенство (2.5) доказано.

Лемма 3. При r < R < 6 справедливо неравенство

J(r) < CJ(R)exp ^—Cj^R y(t) . (2.8)

Доказательство. В силу леммы 1, учитывая (1.4)

J'(r) > 2^r1-n ^ J2 Хг(х) (ди) dx > Cr1-n £ ^ ) ]Т Хг(х) (ди) d^. (2.9)

Из леммы 2 и оценки (2.8) имеем

J_n Cicapx(Cr (А?)) Г ^ ^ J(a2r) rn FT rai/2 J

r nr ' Kr (ХгХЗ)

J'(r) > Cr1-" 1 I u¿dx > C K 7(a3r).

¿=i

С другой стороны, Интегрируя от r до R, получаем

J'(r) > CY(аМ

J (a2r)

ь > cfR ™ p

J(r) Jr P

Отсюда, используя оценку 7(р) ^ 1 и монотонность . (г), получаем неравенство (2.7). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть К < 6 и г ^ а2К, где а — постоянная из (1.4). Тогда справедливо неравенство

J J2 ^ dx < CJ(R)rn-2exp(^-C Jr y(t ) T j . (2.10)

Доказательство. В силу леммы 1 и (1.4)

J '(r) > ^-"L, tA,(x)( ^dx.

Интегрируя от ar до r

Г r с r f " \ 2

J'(p)dp > C p1-" УЛг(х) dxdp >

■LT Jar Jsp(a) \dxi J

> Cr2-" j ¿ Xi(x)f dx) 2dx,

JSr \Oxi

'Sr(a2) i=i

получим

J<r> > £ ^ dx

Теперь (2.10) следует из неравенства (2.8).

3. Оценки убывающего решения

Основной целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения. Теорема 1. Пусть функция и(х) € (к)) удовлетворяет уравнению Ьи = 0 в ОПБ$(к) и равна

нулю на С$ (к). Тогда К < а6, г < а5 К и справедлива оценка

тах \и\ < СмУ2 (и)ехр ( -С [ 7(г) — I . (3.1)

(а) \ ' т / Доказательство. Применяя формулу А.С. Кронрода [11; 12], получим

/i ^^ л

dt F (x)dSx

-оо J u=t

^ О ^ —ж ^ п=1

где Д(х) — измеримая по Борелю функция, а функция и(х) удовлетворяет условию Липщица, получаем

Г п дГ дГ Г ж ( п ■§г

А = и2 Г аИ— -— ¿х = А и2 \УГ\ V а.^-—^--^-¿Бх =

■кг (а) 3=1 3 дх. &хз -1—ж Мх)=г 3 \ \У—\

га r г " дГ

(2 — n) т 1-"dr у? aij—— nj dSx,

Ja2r JdTr i j=i dxi

i,j=1

— 2 pa r

/ J (т )т 1-"dT. J a2r

A = ,

r

Применяя лемму 3, приходим к неравенству

A < CJ(R)r2-nexp ^-C Jr y(t) d^J .

В силу леммы 4 та же оценка верна для интеграла

B, i

Qr( О* а2)

2

du du

Т, i -2 \2-«1" V^ fu fu J

Г - {а r .2. ^ дХ дХdx.

i,j=i j

Поэтому, полагая v = u

Г - (а-2r)

2-г.

и

+ N =

>CT

Edv dv

2 aij ox ox '

2 i,j=1 J

^^ du 0Г

w+l. aij dXi dXj < 2

i,j=l J

<

2 du du

aijОХзХ' i,j=i j

du du

, -А ОГ d Г <

^ ij dxi dx, ^ i,j=i J

ОГ ОГ

+ 53 ij dx: dx - + ij dx: fix _•

+ lj fxi fx,,

i,j=i J

ij dxi fx,

i,j=i J

получим

С n Я Я I i'R A

N = V ai, ~o~~°~dx < 2 (A + B) < Cr2-n J(R)exp -C j(t) —

JCTa2 i,j=1 dxi dxj \ Jr t

С другой стороны, так как v = 0 вне Sr (О?), то

N > C

dv

2

T/Xi(x)[ dx > Cr

!kt ( a? ,a) = \dxJ JKt( a? ,a)

v2dx > Cr nMr(u).

В силу принципа максимума и неравенства (2.6) из (3.1) и (3.2) следует

lr< п I —п I

maxu2 < maxu2 < CMr(u) < CJ(R)exp ( —C i y(t) — I .

Sr(a) 8Tr ^ y Jr T J

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Заметим наконец, что в силу леммы 2 справедливо неравенство . (К) ^ СЫи(и), которое вместе с (3.3) и доказывает теорему.

n

u

n

2

n

Литература

[1] Мазья В.Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформного отображения // Доклады Академии наук СССР. 1963. Т. 152, № 6. С. 1297-1300. URL: https://www.mathnet.ru/rus/dan28720.

[2] Мазья В.Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы // Проблемы математического анализа. Ленинград, 1966. С. 45-58.

[3] De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l'analiticita delle estremali degli intergrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino. 1957. Vol. 3, no. 1, pp. 25-43. URL: https://zbmath.org/0084.31901.

[4] Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // American Journal of Mathematics. 1958. Vol. 80, No. 4, Pp. 931-954. DOI: https://doi.org/10.2307/2372841.

[5] Morrey C.B. Second order elliptic equations in several variables and Holder continuity // Mathematische Zeitschrift. 1959. Vol. 72. Pp. 146-164. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01162944.

[6] Уральцев Н.Н. О регулярности решений многомерных эллиптических уравнений и вариационных задач // Доклады Академии наук СССР. 1960. Т. 130, № 6. С. 1206-1209.

[7] Stampacchia G. Problemi al contorno ellittici, con dati discontinui, dotati di soluzioni holderiane // Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1960. Vol. 51. Pp. 1-37. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02410941.

[8] Moser J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1960. Vol. 13, Issue 3, Pp. 457-468. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160130308.

[9] Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1961. Vol. 14. Issue 3. Pp. 577-591. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160140329.

[10] Litman W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe de Scienze. 1963. Serie 3, Vol. 17, no. 1-2, pp. 43-77. DOI: http://www.numdam.org/item/ASNSP_1963_3_17_1-2_43_0.

[11] Royden H. The growth of a fundamental solution of an elliptic divergence structure equation // Studies in Mathematical Analysis and Related Topics. 1962. Pp. 333-340. URL: https://zbmath.org/0152.31101.

[12] Алхутов Ю.А. О регулярности граничных точек относительно задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1981. Т. 30, Вып. 3. С. 333-342. URL: https://www.mathnet.ru/rus/mzm6197.

[13] Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Матем. заметки. 1967. Т. 2, Вып. 2. С. 209-220. URL: https://www.mathnet.ru/rus/mzm5480.

[14] Guseynov S.T. The regularity test of boundary point for non-uniformly degenerating second order elliptic equations // Proceedings of IMM of Azerbaijan AS, 1999. Vol. XI. P. 65-77. URL: https://www.imm.az/journals/RMI_eserleri/cild11_N19_1999/meqaleler/65-77.pdf.

Scientific article

DOI: 10.18287/2541-7525-2024-30-1-23-30 Submited: 15.01.2024

Revised: 19.02.2024 Accepted: 28.02.2024

S.T. Huseynov

Baku State University, Baku, Republic of Azerbaijan E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0001-7473-2269

M.J. Aliyev

Baku State University, Baku, Republic of Azerbaijan E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0007-9084-6251

SOME AUXILIARY ESTIMATES FOR SOLUTIONS TO NON-UNIFORMLY DEGENERATE SECOND-ORDER ELLIPTIC EQUATIONS

ABSTRACT

We consider a class of second order elliptic equations in divergence form with non-uniform exponential degeneracy. The method used is based on the fact that the degeneracy rates of the eigenvalues of the matrix \\a.j(x)|| (function Aj(x)) are not the functions of unusual norm \x\, but of some anisotropic distance \x\a-. We assume that the Dirichlet problem for such equations is solvable in the classical sense for every continuous boundary function in any normal domain Q.

Estimates for the weak solutions of Dirichlet problem near the boundary point are obtained, and Green's functions for second order non-uniformly degenerate elliptic equations are constructed.

Key words: uniform ellipticity; non-uniform degeneration spaces; fundamental solution.

Citation. Huseynov S.T., Aliyev M.J. Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic equations. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya / Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 23-30. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-23-30. (In Russ.)

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

© Huseynov S.T., Aliyev M.J., 2024 Sarvan T. Huseynov — Doctor of Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Higher Mathematics, Baku State University, 23, Khalilov Street, Baku, AZ 1148, Republic of Azerbaijan. Mushfig J. Aliyev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Higher Mathematics, Baku State University, 23, Khalilov Street, Baku, AZ 1148, Republic of Azerbaijan.

References

[1] Mazya V.G. Regularity at the boundary of solutions of elliptic equations and conformai mapping. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1963, vol. 152, number 6, pp. 1297-1300. Available at: https://www.mathnet.ru/rus/dan28720. (In Russ.)

[2] Mazya V.G. On modulus of continuity of the solution to the Dirichlet problem near regular boundary // Problems of Mathematical Analysis. Leningrad, 1966, pp. 45-58. (In Russ.)

[3] De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l'analiticita delle estremali degli intergrali multipli regolari. Mem. Acad. Sci. Torino, 1957. vol. 3, no. 1, pp. 25-43. Available at: https://zbmath.org/0084.31901. (In Italian)

[4] Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. American Journal of Mathematics, 1958, vol. 80, no. 4, pp. 931-954. DOI: https://doi.org/10.2307/2372841.

[5] Morrey C.B. Second order elliptic equations in several variables and Holder continuity. Mathematische Zeitschrift, 1959, vol. 72, pp. 146-164. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01162944.

[6] Uraltseva N.N. On regularity of solutions of multidimensional elliptic equations and variational problems. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1960, vol. 130, no. 6, pp. 1206-1209. (In Russ.)

[7] Stampacchia G. Problemi al contorno ellittici, con dati discontinui, dotati di soluzioni holderiane. Annali di Matematica Pura ed Applicata,, 1960, vol. 51, pp. 1-37. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02410941.

[8] Moser J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, vol. 13, issue 3, pp. 457-468. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160130308.

[9] Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1961, vol. 14, issue 3, pp. 577-591. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160140329.

[10] Litman W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa — Classe de Scienze, 1963, serie 3, vol. 17, no. 1-2, pp. 43-77. DOI: http://www.numdam.org/item/ASNSP_1963_3_17_1-2_43_0.

[11] Royden H. The growth of a fundamental solution of an elliptic divergence structure equation. Studies in Mathematical Analysis and Related Topics, 1962, pp. 333-340. URL: https://zbmath.org/0152.31101.

[12] Alkhutov Yu.A. Regularity of boundary points relative to the Dirichlet problem for second-order elliptic equations. Mathematical Notes, 1981, vol. 30, issue 3, pp. 333-342. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01141620. (In English; original in Russian)

[13] Maz'ya V.G. Behavior, near the boundary, of solutions of the Dirichlet problem for a second order elliptic equations in divergent form. Mathematical Notes, 1967, vol. 2, issue 2, pp. 610-617. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01094255. (In English; original in Russian)

[14] Guseynov S.T. The regularity test of boundary point for non-uniformly degenerating second order elliptic equations. Proceedings of IMM of Azerbaijan AS, 1999, vol. XI, pp. 65-77. Available at: https://www.imm.az/journals/RMI_eserleri/cild11_N19_1999/meqaleler/65-77.pdf.