О ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЗВЕЗДНЫХ ОБЛАСТЯХ С ЛЯПУНОВСКОЙ ГРАНИЦЕЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2023. Том 30, № 1

УДК 517.9

О ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ В ЗВЕЗДНЫХ ОБЛАСТЯХ

С ЛЯПУНОВСКОЙ ГРАНИЦЕЙ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

И. М. Петрушко, Т. В. Капицына, М. И. Петрушко

Аннотация. Статья посвящена исследованию поведения решения параболического уравнения второго порядка с вырождением Трикоми на боковой границе цилиндрической области , где Ц — звездная область, граница которой дЦ — (п — 1)-мерная замкнутая поверхность без края класса 0 < Л < 1. Рассматривается

вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для уравнения, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа Ьр, р > 1. Данная тематика восходит к классическим работам Литтлвуда — Пэли и Ф. Рисса, посвященных граничным значениям аналитических функций. Все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, и решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по отношению к набору переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не равны, ситуация усложняется. В этом случае постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения.

Б01: 10.25587/8УРи.2023.56.84.002 Ключевые слова: вырождающиеся параболические уравнения, вырождение типа Трикоми, функциональные пространства, первая смешанная задача, разрешимость, граничные и начальные значения решений, априорные оценки.

Рассмотрим поведение решения параболического уравнения

коэффициенты которого ац, сц € С1(С}Т), г,.] = 1,2,... ,п, а € (<ЭТ), с вырождением типа Трикоми на боковой границе цилиндрической области (т, где ( — звездная область, граница которой д( — (п — 1)-мерная замкнутая поверхность без края класса С1+А, 0 < А < 1. Также изучим вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для уравнения, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа Ьр, р > 1.

Данной тематике положено начало в классических работах Ф. Рисса [1] и Литтлвуда — Пэли [2-4], посвященных граничным значениям аналитических

© 2023 Петрушко И. М., Капицына Т. В., Петрушко М. И.

функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова [5, 6], А. К. Гущина [7, 8]. В более ранних работах И. М. Петрушко [9,10] было доказано, что условие на гладкость границы (дQ € С2) можно ослабить. Для этого в определении принятия граничного значения при отображении границы дQ нужно брать сдвиг не по нормали в каждой точке х € дQ, а взять достаточно мелкое покрытие границы и каждый кусок этого покрытия «параллельно» сдвигать по нормали в одной фиксированной точке этого куска. Для областей с ляпуновской границей было доказано, что приведенные выше утверждения о разрешимости и свойствах решения первой смешанной задачи остаются справедливыми и при таком определении принятия решением граничного и начального значений. При этом разрешимость задачи и соответствующие оценки решения не зависят от выбора покрытия границы.

В работах А. К. Гущина была предложена постановка задачи Дирихле, не требующая для придания смысла входящим в нее объектам условия гладкости границы. Для эллиптического уравнения без младших членов в этих работах были доказаны однозначная разрешимость и справедливость оценки решения рассматриваемой задачи Дирихле при существенно более слабых условиях на гладкость границы области и коэффициентов уравнения. При этом было доказано, что решение задачи Дирихле обладает свойством (п — 1)-мерной непрерывности, обобщающим непрерывность функции по совокупности переменных. Свойство (п — 1)-мерной непрерывности решения показывает, что в определении принятия решением граничного значения можно сравнить не только значения решения на «параллельных» к границе или близких к ним поверхностях, но и на образах дQ при отображениях из довольно широкого класса. В частности, поверхность дQ можно разбить на достаточно мелкие части и каждую из них подвинуть и повернуть (не выходя из Q) так, чтобы точки переместились «не очень далеко», при этом разные точки границы могут перейти в одну точку, но нельзя допустить, чтобы таких точек было «слишком много».

Введенное А. К. Гущиным понятие (п — 1)-мерной непрерывности получило широкое применение в серии работ А. К. Гущина и В. П. Михайлова, посвященных исследованию разрешимости широкого класса нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка без младших членов. При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в [11—15]. При этом, как показано в [11], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В работе В. Ж. Думаняна [16] исследовалась разрешимость задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка (с негладкими коэффициентами) и были установление свойства (п — 1)-мерной непрерывности решения.

Разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравне-

ний, начиная с работ Ф. Трикоми [17] и М. В. Келдыша [18], посвящено большое число работ (см. [19, 20]). Однако практически мало исследовался вопрос о поведении вблизи границы решений эллиптических и параболических уравнений, вырождающихся на границе области. Отметим, например, работы И. М. Пет-рушко [21], Т. В. Капицыной [22,23].

Пусть область Q, граница которой принадлежит классу 0 < А < 1,

является строго звездной относительно некоторой точки. Не умаляя общности, можно считать, что начало координат содержится в Q и область Q строго звездная относительно начала координат. Для краткости такую область будем называть просто звездной. В этом случае границу dQ области Q можно задать уравнением

|ж| = F (ж),

где F(ж) — положительная однородная функция нулевой степени:

dQ = {|ж| = F (ж)}. Область Q при этом задается неравенством

Q = {|ж| < F(ж)}. Обозначим через Q^ подобласть области Q:

Q£ = {|ж| < (1 - 5)F(ж)}

с границами dQ^ = {|ж| = (1—5)F(ж)}, и наряду с расстоянием г(ж) = lim |ж—y|

vedQ

будем рассматривать расстояние

, kl

г 1 = 1 —

^ (х)'

удовлетворяющее для всех х € Q неравенствам

72г(х) < п(х) < 7—хг(х)

с постоянной 72 > 0.

Решение задачи Аи = —1, х € Q, и|хедд = 0 будем обозначать через р(х). Как известно, р(х) € С1+А^) и существует такая постоянная 71 > 0, что для всех х € Q выполняются неравенства:

71Г1 (х) < р(х) < 7-1Г1(х).

Кроме того, существует такая постоянная С(.), зависящая от Л', что

1/^-1 <, Ъ,з = 1,...,п, УА', 0 < А' < А.

3 [г1(х)]1-А

Обозначим через QT цилиндр Q х (0,Т). Рассмотрим в QT уравнение

д П п

Ьи= — ~ =х,Ь), (1)

г=1

с вещественными коэффициентами aj, а^, = 1, 2,... ,n, принадлежащими

С1 (Q57), a G СОФ).

Уравнение (1) будем предполагать параболическим в QT, т. е. для любой точки x G Qf, S G (0,S0], и для любых t G [0,T] существует Y5 > 0, 75 ^ 0 при S ^ 0, такое, что для всех £ = (£1,... , £n) G Rn

n

Ф(х, £, t) = Ç ay-£i£j > 75|£|2. i,j= 1

Для (x0,t) G dQ x (0,T) квадратичная форма вырождается, т. е.

n

Ф(хо, £, t) = aj(xo,t)£i£j > 0.

i,j= 1

Однако будем предполагать, что существует такая постоянная 70 > 0, что для всех (xo,t) G dQ x (0,T)

n

Y0 aij(xo,t)ViVj < (y0)-1 ,

i,j=1

где V(x0 ) — вектор внешней по отношению к Q единичной нормали к поверхности dQ в точке x0.

Будем предполагать, что правая часть уравнения (1) f (x, t) принадлежит

Lp(QT), Р> 1.

Определение 1. Функцию u(x,t) G Wp'^Q7) называют обобщенным решением уравнения (1), если для всех финитных в QT функций n(x, t) G

-unt + ^ aij Ui; Пж3- + a^Ux, n + aun

i,j=1 i=1

dxdt = J f n dxdt. (2)

QT

Будем говорить, что функция ш(х, £) финитна по х в (т, если существует область (', строго лежащая в ( , такая, что ш(х,£) = 0 вне ('Т. Предположим, что функция и(х, £), определенная в (т, является обобщенным решением уравнения (1) из ^'^(д7). Тогда в силу ограничений на коэффициенты уравнения (1) для любой функции ш(х, £) € ^д1'1((т) и финитной по х в (т для любых /3 £ (0, ¿о) и Т" € имеет место равенство

u(x,T ')n(x,T 0 dx Ч u(x'e)n(x'e) dx

t '

+

в Q

-unt + aij Ui, Пж3- + a^Ux. П + aun

i,j=1 i=1

T '

dxdt = // fndxdt.

в Q

Так как уравнение (1) параболическое в QT, справедлива следующая

Лемма 1. Пусть и(х, £) — обобщенное из ) решение уравнения

(1), правая часть которого /(х, £) € ). Тогда для любых 6 € (0, ¿о) и для

любого Т' <Е справедливо равенство

l- J \u(X,T>)\pp(j^J dx-l-J dx

Qi Qi

t ' n

+ (p-l)J J ^ aijuxiuxj\u\p~2p^j^-^ dxdt

S Qi l'j=1

t ' n

/ ^^ cauXi ( ---j dxdt

S Qi i=1

T' n T' n

--J J У1 ^Qjj ^у^3 ) lMlP dsdt ~ ~ J J У^. (aijPxi)x^\u\p dxdt

S dQi i,j=1 S Qi l'j=1

T' n T'

J J \u\pdxdt + J J a\u\dxdt

S Qi i=1 X S Qi

T'

I J/\u\P-1 Signup (^—^j dxdt. (3)

SQ

Введем обозначения:

r T

MS = MS (u) = max

S<M<Sq

J J \u\pdSfidt + J \u{x,p)\pp(^--^j dx

M 9Qf Q4

Ns = J J dxdt+ J \u{xX)\pp(j^j

а^их^х^Щр 2р -dxdt + у \и(х,Т')\рр --) dx.

5 Я' Я'

Прежде всего отметим, что совершенно аналогично тому, как доказывается лемма 2 работы [21], доказывается следующая

Лемма 2. Пусть и(х, ¿) — обобщенное из ) решение уравнения

(1). Тогда для любого е > 0 существует постоянная С(е) такая, что для произвольного 6 € (0,

T' T'

|u

" 1 1 ' " Vl rf

dxdt < С(е) / / --- dxdt

1-Х

s QS >'\l-d> S QS

T'

x

+ e J J аг^их^х^и\р dxdt.

S QS lj=1

p

Из леммы 2 путем несложных рассуждений вытекают следующие леммы.

Лемма 3. Пусть и(х, £) — обобщенное из Жр'1'0>С((Т) решение уравнения (1). Тогда для всех 6 £ (0, 4^], справедлива оценка

т'

м(б) +11 ы>р (^хмкс^шц^^+т]

с постоянной С\, не зависящей ни от 6, ни от Т' £ Т) .

Лемма 4. Пусть и(х, £) — обобщенное из Жр '1'0>С((Т) решение уравнения (1). Тогда для всех 6 £ (0, справедлива оценка

Ns + J J М^i<C2[||/||^(QT)+M(<5)]

5 Qi

с постоянной Съ, не зависящей ни от S, ни от Т' £ [-j, Т) . Для любой функции u(x,t) € Wp(QT) функция

t '

5 9QJ Qi

непрерывна по <5 £ (О, 4^-]. Будем говорить, что функция u(x,t) принадлежит, классу Н*, если функция М(5) ограничена на (0, 4г], т. е. если

sup M(5) < оо.

Теорема 1. Для того чтобы обобщенное из Wp 'iOc(QT) решение уравнения (1) с f (x, t) € Lp(QT), p> 1, принадлежало классу Hp, необходимо и достаточно, чтобы для любого Т', < Т' < Т, выполнялось неравенство

т' n

J |u(x,T')|pp(x) dx + J J ^^ ttjj|u|p-2r(x) dxdt < о. Q 0 Q 1 > j=1

Доказательство. Необходимость. Пусть u(x,t) € Hp. Возьмем произвольное T' £ [-j, Т). На основании леммы 4 имеем

т'

J J a*3uxiuxj\u\p dxdt + J dx

5 Qi 1 'j=1 Qi

< Ca[M(5) + ||f ||p (QT)].

Следовательно, для всех S £ (0, 4^]

т' n

J J ^^ dijuxiuxj\u\p~2p —< const.

1 - 5

5 Qi ij=1

А так как

У^ aijuxiuxj\u\p dxdt

5 Qi ij=1

есть интеграл по (т от функции, равной

п / х

У^ а^и^и^\и\р~2р (

при (х, £) € ( х (5, Т') и нулю при (х, £) € (т' Л {( х (5, Т')}, по теореме Леви

п п

функция X) «ж,|и|р-2р(х) и функция X) «ж,иЖз- |и|р-2г(х) интегриру-

¿'¿=1 ¿'¿=1

емы по (т .

Достаточность. Пусть для произвольного числа Т' £ (^Д) функция

пп

X а^их, |и|р-2г(х), а вместе с ней и функция X

«Ж^ «Ж, |и |р 2р(х) инте-

¿'¿=1 ¿'¿=1 грируемы по (т , т. е.

т'

г п

йу|и|р-2р(х) ¿Е^ < ГО. (4)

о д ¿'¿=1 Как и выше, доказывается, что

J |u(x,T ')|Р Р(Х) dx< о

|и(х,

Я

Покажем, что функция и(х, £) принадлежит Нр. Возьмем произвольное Т' £ (1"Д) и такое Тх, чтобы Т' < Т\ < Т. Несложно доказать, что для всех

Ti

( -—- ) dxdt

Т п Т

< С4 J J |и|р-2р(х) + J У |и|р ^^ .

- 0 о ¥ ад?

Следовательно, в силу того, что и(х, ¿) € Жр'^((т), и неравенства (4) имеем

Т!

J У |и|рр(х) ^х^ < го, (5)

¥ Q

т Q5\Q,°

и функция / \и(х, Ь)\р р{х) Ах для п.в. £ € ограничена, т. е. найдется

Я

такое Т'', Т' < Т'' < Т1, что

/|"(х'Т",р'р(х)^х< ~ (6) Я

Но тогда в силу леммы 2 и неравенств (5) и (6) имеем

т''

J \и(х,6)\рр(^—^ ¿х + ! J \и\рйзЛ<Съ.

Я, 5 дЯ',

Так как Т' < Т'', то

т'

вир

0<5<5о/2

\и(х,6)\Рр(^-^ ¿х +! J \и\рйзМ

< С5,

т. е. и(х, £) € Нр. Теорема доказана.

Будем говорить, что функция и(х, £) € Щр ¡О,^7) принимает граничное

значение

?х(о,т) = V, V € Lp(дQ х (0,Т)), р> 1, (7)

в смысле Ьр, если

т

Ит [ /|[и((1 — 6)х,£) — <^(х,£)]Г ¿х^ = 0. (8)

5^+0./ У

5 дЯ

Будем говорить, что принадлежащая Щр¡О,^7) функция и(х, £) удовлетворяет начальному условию

и|4=0= ио(х), ио(х) € Ьp(Q,r), р> 1, (9)

в смысле Ьр с весом г(х), если

5^т+0 J |[и(х,6) — и0(х)]|рг(х) ¿х^ = 0. (10)

Я'

Определение 2. Принадлежащая Щр '¡'О^^7) функция и(х, £) называется обобщенным из Щр ¡О,^7) решением первой смешанной задачи (1), (7), (5) с /(х,£) € Ьр^т), р > 1, если она удовлетворяет интегральному тождеству (2) для всех финитных в С}Т функций т](х,1) € ^ + ^ = 1, удовлетворяет

граничному и начальному условиям (7), (9) в смысле равенств (8), (10).

Теорема 2. При любых функциях у € Ьр(д( х (0,Т)), р > 1, и0(х) € £р((,г), р > 1, и любой функции /(х,£) € Ьр((т), р > 1, первая смешанная задача (1), (7), (5) имеет обобщенное решение и(х,£) € ЖР1'^^). Это решение

единственно и для него справедлива оценка

т'

,, п

|и

+ max

0<5<5q

J |u(x,T')|"r(x) dx + J J ajj|u|" 2r(x) dxdt + J |u|" dxdt

0 Q l'j=1 T'

//'"|P dsdt + /|"<x-5>|"p'

5 9Qi

1 - 5

< Сб [У/((т') + |М1РМ9дХ(0'Т')) + . (И)

Доказательство. Пусть и(х, £) — обобщенное из Жр1']0)С((т) решение задачи (1), (7), (5). В силу (8) и (10) функция и(х,£) принадлежит классу Др. Следовательно, по теореме 1 для любого Т' <Е (^-Д) функция

п

У ^их, |и|р-2р(х)

i,j=1

интегрируема по и на основании теоремы Лебега при 5 ^ +0

т' п т' п

У / ^¿ИжЛж, |и|р_2/) ) <1х<И У У У aг-,-г^ж¿г^жi|г^|p~2pdжd¿.

- ¿'¿=1 ^ ' г —1

5 Qi

0Q

i,j=1

Так как из принадлежности и(х, £) классу Др вытекает, что

т'

IIdxdt< о

0Q

аналогично

т т

У У Г^) dжdí —У У

5 о я

при 5 ^ +0.

Следовательно, в неравенствах лемм 3 и 4 можно перейти к пределу при 5 ^ +0, в результате получим неравенство

'У a^j|u|" 2p(x) dxdt + J J |u|" dxdt + 511m M(5)

0 Q i'j=1 0 Q

< C7[||f IILP(QT) + y^yLp(9QX(0,T)) + У U0 У Lp (Q,r) ]

из которого следует оценка (11).

Перейдем к доказательству существования решения.

Возьмем произвольные функции V € Lp(дQ х (0,Т)), и0(х) € Ьр^,г) и произвольную функцию /(х,£) € Ьp(QT).

Пусть {V™,} — последовательность функций из С2(дQ х [0,Т]), сходящаяся в Lp(дQ х (0,Т)) к функции V:

№ (0 'т)) ^ 0 (12)

при то —> оо, а {йот} — последовательность функций из С2((5), сходящаяся в Ьр^,г) к функции и0(х):

||и0т — И0||ьр(Я , г) ^ 0 (13)

при то ^ го.

Пусть {/т} — некоторая последовательность функций из С2^т), сходящаяся в Ьр^т) к функции /(х,£) :

УУш — /Уьр(ЯТ) ^ 0

(14)

при то ^ го.

Обозначим через ит(х, решение первой смешанной задачи для уравнения

ди 1 п п

--Аи — V" (а^их^х, +У^aluXi + аи = /т(ж, £)

то ^—' 3 ^—'

г '^'=1 г=1

д*

(15)

с граничной функцией vm (х, и начальной функцией и0т(х). Так как решение из Щр '1(QT) является решением из Щр'1О,(QT), для ит(х, справедлива оценка (11). Стало быть, последовательность {ит} сходится к некоторой функции и(х,*) в некотором банаховом пространстве В с нормой

т'

0Я

т'

у У |и|р ¿хй* + 111с1>5 У У |и|р + 1 |и(х, 6)|рр " " 0 Я',

I 5 дЯ'

1 — 6

¿х

т. е.

|ит — и||в ^ 0 при то ^ го.

(16)

Покажем, что функция и(х, является обобщенным решением из пространства Щр'']0>с№т) задачи (1), (7), (9). Поскольку |Н|^р < ||-у||в для всех V € В, то и € Ьр^т) и ||ит — ) ^ 0 при то ^ го. Учитывая, что функция ит(х,£)

— обобщенное решение из Щр' 0^Т) уравнения (1), при любой финитной в Qт функции 7? € И^2'1(дТ) (Н ± = 1)

дп 1 п п

~ то А?? ~ ^ - + а??

г ' ^ = 1 г=1

ит ^=]}/тп^. Я1

х

р

и

в

Переходя в этом равенстве к пределу при т ^ го (вирр п € и учитывая, что ||/т — /) ^ 0 при т ^ го), получим, что для любой финитной в функции г] е УУ^1^71) + ^ = функция и(х,Ь) удовлетворяет равенству

д п п ~~д1 ~ - + аг]

¿,¿=1 ¿=1

и = J J /п

ЯТ

Но тогда функция и(ж,£) принадлежит ^гр1'0)С(фт) и является решением из

) уравнения (1)-

Покажем справедливость равенства (8). Прежде всего отметим, что т'

^н^У У |ит((1 — 5)ж,£) — рт(ж,£)|р ^ = 0. (17)

г дд

Так как при любом 5 е (0,50]

т'

//|и((1 — ^ — ^

г дд

т' т'

^УУ |и((1 — 5)ж,£) — ит((1 — 5)ж,£)|р ^^ + / У — г 9д г 9д

в силу (12), (16), (17) получаем, что

т'

гИтоу J |и((1 — 5)ж,£) — р(ж,£)|р ^ = 0, г эд

т. е. функция и(ж, £) стремится к граничной функции р(ж, £) в смысле равенства (8).

Аналогично показывается, что функция и(ж, £) стремится к начальной функции и0(ж) в смысле равенства (10). Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть функция и(ж,£) в области является решением из W^foc(QT) уравнения (1) (/ е )) с коэффициентами, удовлетворяющими

дополнительному условию: существует такое число 72 > 0, что для всех (ж, £) е и £ е Дп выполняется неравенство

п

72Г(ж)т < ^ аУ &

» , ¿=1

с показателем 0 < т < 2. Если и(ж,£) принадлежит классу Харди Нр, то существуют такие функции р е х (0, Т)) и и0 е г), что имеют место равенства (8) и (10).

Доказательство. Утверждение теоремы достаточно установить для однородного уравнения

Ьи = 0. (10)

Действительно, если и(х, — решение из Щр'Ю,(QT) уравнения (1), принадлежащее классу Нр, то, обозначив через и1(х, решение задачи (1), (5), (7) с равными нулю граничным и начальным значениями (такое решение существует в силу теоремы 2), получим, что разность и2(х,*) = и(х,*) — и1(х,*) принадлежит классу Нр и является обобщенным из Щр 1°Ос ) решением однородного уравнения (10).

Итак, пусть и(х,*) — обобщенное из Щ ]Ос^т) решение уравнения (10), принадлежащее классу Нр. Пусть р > 2. Тогда из ограниченности функции М(6) следует ограниченность функции

T'

J J \u\pdsdt + J \u(x,S)\pp (j-r^) dx> 5 e (0, 50],

x

< öQi Qi

и тем самым ограниченность функции

т'

J J \u\2dsdt + J \u(x,S)\2p(^-^j dx, 5g(0,5o].

5 9Qi Qi

По доказанному утверждению теоремы 3 работы [22] имеем: существует такая функция <^(x,t) G L2(dQ х (0,T')), что выполняется равенство

т'

У |u((1 - 5)x,i) - <^(x,t)|2 dsdt = 0, (18)

5 9Q

и существует такая функция u0(x) G L2(Q,r), что

lim / |[u(x,5) — u0(x)]|2r(x) dxdt = 0. (19)

Qi

Поскольку из принадлежности функции и(х,*) классу Нр, следует ограниченность множества

т'

М1(6)^ У |и(1 — 6)х,*|р ¿ей* 5 дЯ

с постоянной, не зависящей от 6 € (0, 60], то, введя в рассмотрение функцию

1, * € (6,Т'), 0, * € (0,6), получим, что множество

т'

М1(6)^ У |и(1 — 6)х, ^

0 дЯ

M(i) = {

также ограничено постоянной, не зависящей от 5 е (0, 50]. Таким образом, множество {и((1 — 5)ж,£)(^(£))1/р, 0 <5 < 50} ограничено в х (0,Т)) и тем самым слабо компактно, а из слабой компактности вытекает слабая сходимость в х (0,Т)) и тем самым слабая сходимость в Ь2(д^ х (0,Т)), стало быть, р(ж, £) е х (0,Т)) и функция и(ж,£) слабо стремится в х (0,Т)) к функции р(ж, £).

Так как для любого д е (2,р)

т'

|и((1 — 5)ж, £) — р(ж, £)|9

г эд

р—я

Т> ] Р-2

< <// |и((1 — 5)ж,£) — р(ж, ¿)|2 ^^ г эд

х

г эд

при любом д е (2,р) и тем самым при любом д е (1,р)

Я-2

Т> Р-2

//и<1 -^ - ^ЧГ**

г11п1^ J |и((1 — 5)ж,г) — р(ж, ¿)|9 ^ = 0. г эд

Аналогично доказывается, что для любого д е (1,р)

Ит / |ц(ж, — и0{х)\чр ( „ Х . ) ¿ж = 0. ги+о ] \ 1 — 5 )

д*

Лемма 5. Пусть обобщенное из Шр'1°0С(^т) решение и(ж, £) уравнения (10) принадлежит классу Н* и для любого д е (1,р)

г111+^ J |и((1 — 5)ж,£) — р(ж, ¿)|9 ^ = 0, г эд

Ит / |и(ж, — ио(ж)|9р (-- ] ¿ж = 0,

г1 +0 1 — 5

тогда

д*

г11п1^ J |и((1 — 5)ж,£) — р(ж, ¿)|р ^ = 0, (20)

г эд

Ит [ \и(х,5)-и0(х)\рр[ —% ) ¿ж = 0. (21)

ги+о у у 1 — 5/

д*

Доказательство. Обозначим через и3(х, решение из Щ,1']Ос№т) задачи (10), (5), (7). Для функции и4(х,*) = и(х, — и3(х,*) выполнены все условия леммы 5 с v(x, = 0, и0(х) = 0. Докажем, что

т'

5И1+^ У |и4((1 — 6)х,*)|р ^ = 0, (22)

5 дЯ

ДтоУ ММ)ГР(—^ ¿ж = 0. (23)

х

<5^+0 7 "" г _ §

Я'

Записывая равенство (3) для функции и4(х, и полагая в = 6, получим

Я' Я'

+ (р — 1) У У ^ ауИ4ж.и4;1,з.|и4|г' УГ^з^П ЛхМ

5 Я' г'^'=1

т' п - у у У^аг-ц4а..|-ц4|р~У

5 Я' г=1

п т' п

У У ^ 1м4 |Р ~ р У / (д^Рхг)х^ N4 |р (},Х(],1

PJ J ^ \ у ^ 1-1".

5 дЯ' г'^=1 5 Я' г'^ = 1

т' п т'

и(тз^)) ИГ^жсЙ + У У а|и4|рр = (24)

5 Я' г=1 ^ 5 Я'

Так как Щ1''1Ос№т) С Щг1дОс№т) при 1 < д < р, принадлежащая Щ1дОс№т) функция и4(х,*) является также обобщенным из Щ1]]Ос№т) решением уравнения (10) и, следовательно, в силу леммы 1 можно записать равенство 1 Г, , ,„ / х \ , 1 Г, / х

^ У |и4(ж, т')!9/? ^х

Я' Я'

т' п

+ (?-!) У У ау^-Щ^Ы9-2/?

5 Я' г ' ^ = 1

т' п

— / J 1=2 аги4х |и4|9-1 Р^

а,и4т. 1144г ~р I --- ) в,х<И

Л — 6

5 Ял г=1

т' 5» п т' п

^ У У У ^ Ы'йяЛ- ^ У У У М9 ¿хМ

5 дЯ г ' ^'=1 5 Я' г ' ^=1

т' п т'

- J У 53 (^агр —^^ + У У -¿хМ = 0.

г д* ¿=1 х г д*

Поскольку и4(ж,4) принадлежит классу Н*, то и4(ж,£) е (^т ) и по теореме 1 функция

п

и4хи4ж3 |и4|9-2р(ж)

интегрируема по , |и4(ж, Т')|9р(ж) интегрируема по Поэтому в последнем равенстве можно перейти к пределу при 5 ^ +0:

т'

1п

У |u4(x,T ')|q p(x) dx — ff УЗ aiU4Xj |u4 |q 1 p(x) dxdt Q о Q i=1

t' n

+ (q — 1) f f 53 ajU4x3-1U41q 2p(x) dxdt о Q lj=1

T' n

У У 53 (aj)Xj |u4|q dxdt + У a|u4|qp(x) dxdt "'=1 QT '

T' n

У У 53(ßiP(x)k |u4|q dxdt = 0. (25)

q „ „ _

о Q i'j=1 QT'

T'

1

^ - i=1

о Q i=1

Аналогично, переходя к пределу в равенстве (24) при £ ^ +0, получим 1 1

11 lim -М(6) = - / МжДОР/^жЫж г^+о p p j

Q

t' n

+ (p — 1)// 53 aj U4x3- Mp-2 p(x) dxdt о Q i'j=1

T' n T' n

Я 53 Q'^Axi 1^4dxdt--/ / УЗ (aijPxi)xj \U4\p dxdt

,-=i p 7 J ■ -=1

о Q i=1 о Q i'j = 1

T' n T'

--У У 53(агР(ж))Ж; |ti4|p dxdt + У У а|и4|рр(ж) dxdt. (26)

о Q i=1 о Q

Переходя в равенстве (25) к пределу при q ^ p — 0 (что можно сделать в силу свойств функции U4(x, t) на основании теоремы Лебега), на основании (26) получаем равенство

lim M(£) = 0,

г^+о

из которого немедленно следуют равенства (22) и (2З). Лемма 5 доказана.

Из леммы 5 вытекает утверждение теоремы З при p > 2. Доказательство теоремы З при 1 < p < 2 будет приведено в следующей части статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Riesz F. Über die Randwerteeiner analytischen Funktion // Math. Z. 1923. Bd 18. S. 87-95.

2. Littlewood J. E., Paley R. E. A. C. Theorem on Fourier series and power series // J. Lond. Math. Soc. 1931. V. б. P. 230-233.

3. Littlewood J. E., Paley R. E. A. C. Theorem on Fourier series and power II // Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 2. 193б. V. 42. P. 52-89.

4. Littlewood J. E., Paley R. E. A. C. Theorem on Fourier series and power II // Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 2. 1937. V. 43. P. 105-12б.

5. Михайлов В. П. О граничных свойствах решений эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 197б. Т. 22б. С. 12б4-12бб.

6. Михайлов В. П. О граничном значении решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Мат. сб. 197б. Т. 30, № 2. C. 143-1бб.

7. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1979. Т. 108, № 1. C. 3-21.

S. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, № б. C. 787-810. 9. Петрушко И. M. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. C. 489-521.

10. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Мат. сб. 1983. Т. 120, № 4. C. 5б9-588.

11. Гущин А. К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. c6. 1988. Т. 137, № 1. C. 19-б4.

12. Гущин А. К. О внутренней гладкости решений эллиптического уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 4б, № 4. C. 82б-840.

13. Гущин А. К. Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по ^льдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Теор. мат. физика. 2008. Т. 157, № 3. C. 345-3б3.

14. Гущин A. K. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из Lp // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 1. C. 1-27.

15. Гущин A. K. Критерий существования граничных значений в Lp решений эллиптического уравнения // Комплексный анализ, математическая физика и приложения. Тр. МИАН. 2018. Т. 301. C. 53-73.

16. Думанян В. Ж. Разрешимость задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 2011. Т. 202, № 7. C. 1001-1020.

17. Tricomi F. G. Ancora sull'equazione yuxx + Uyy = 0 // Rend. Acc. Lincei, Ser. VI. 1927. V. б. lS. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на

границе области // Докл. АН СССР. Т. 77, № 2. C. 181-183.

19. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка // Математика. 19б3. Т. 7, № б. C. 99-122.

20. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7-252.

21. Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1994. Т. 125, № 4. C. 489-521.

22. Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 4. C. 15-33.

23. Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях. Ч. II // Мат. заметки СВФУ. 2020. Т. 27, № 2. С. 21-38.

Поступила в редакцию 8 августа 2021 г. После доработки 2 февраля 2023 г. Принята к публикации 28 февраля 2023 г.

Петрушко Игорь Мелетиевич ,

Капицына Татьяна Владимировна, Петрушко Максим Игоревич Национальный исследовательский университет «МЭИ», Красноказарменная, 14, Москва 111250 каргСзупа"Су@тре1 ,ги, ре"СгизЬкот1@тре1. ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2023. Том 30, № 1

UDC 517.9

ON THE FIRST MIXED PROBLEM

FOR DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS

IN STELLAR DOMAINS WITH LYAPUNOV

BOUNDARY IN BANACH SPACES

I. M. Petrushko, T. V. Kapitsyna, and M. I. Petrushko

Abstract: The article is devoted to the study of behavior of the solution to a second-order parabolic equation with Tricomi degeneration on the lateral boundary of a cylindrical domain QT, where Q is a stellar region whose boundary dQ is an (n — 1)-dimensional closed surface without boundary of class C'1+x, 0 < A < 1. We study the question of unique solvability of the first mixed problem for the equation with the boundary and initial functions belonging to spaces of type Lp, p > 1. This topic goes back to the classical works of Littlewood—Paley and F. Riesz devoted to the boundary values of analytic functions. All directions of taking boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, and the solution has a property similar to the continuity with respect to a set of variables. In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain when the directions are not equal, the situation becomes more complicated. In this case, the statement of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.56.84.002

Keywords: degenerate parabolic equations, degeneration of Tricomi type, function spaces, first mixed problem, solvability, boundary and initial values of solutions, a priori estimates.

REFERENCES

1. Riesz F., "Über die Randwerteeiner analytischen Funktion," Math. Z., 18, 87—95 (1923).

2. Littlewood J. E. and Paley R. E. A. C., "Theorem on Fourier series and power series," J. Lond. Math. Soc., 6, 230-233 (1931).

3. Littlewood J. E. and Paley R. E. A. C., "Theorem on Fourier series and power. II," Proc. Lond. Math. Soc., Ser. 2, 42, 52-89 (1936).

4. Littlewood J. E. and Paley R. E. A. C., "Theorem on Fourier series and power. II," Proc. Lond. Math. Soc., Ser. 2, 43, 105-126 (1937).

5. Mikhailov V. P., "On boundary properties of solution of elliptic equations," Sov. Math. Dokl., 17, 274-277 (1976).

6. Mikhailov V. P., "On the boundary value of solutions of elliptic equations in domains with a smooth boundary," Math. ÜSSR, Sb., 30, No. 2, 143-166 (1976).

7. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations," Math. ÜSSR, Sb., 36, No. 1, 1-19 (1980).

8. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On the existence of boundary values of solutions of elliptic equation," Math. ÜSSR, Sb., 73, No. 1, 171-194 (1992).

© 2023 I. M. Petrushko, T. V. Kapitsyna, M. I. Petrushko

9. Petrushko I. M., "On boundary and initial conditions in Lp, p > 1, of solutions of parabolic equations," Math. USSR, Sb., 53, No. 2, 489-522 (1986).

10. Petrushko I. M., "On the boundary value in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with Lyapunov boundary," Math. USSR, Sb., 48, No. 2, 565-585 (1984).

11. Gushchin A. K., "On the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation," Math. USSR, Sb., 65, No. 1, 19-66 (1990).

12. Gushchin A. K., "On the interior smoothness of solutions to second-order elliptic equation," Sib. Math. J., 46, 826-840 (2005).

13. Gushchin A. K., "A strengthening of the interior Holder continuity property for solutions for Dirichlet problem for a second-order elliptic equation," Theor. Math. Phys., 157, No. 3, 1655-1670 (2008).

14. Gushchin A. K., "The Dirichlet problem for a second-order elliptic equation with an Lp boundary function," Sb. Math., 203, No. 1, 1-27 (2012).

15. Gushchin A. K., "A criterion for existence of Lp boundary value of solutions to an elliptic equation," Proc. Steklov Inst. Math., 301, 44-64 (2018).

16. Dumanyan V. Zh., "Solvability of the Dirichlet problem for a general second-order elliptic equation," Sb. Math., 202, No. 7, 1001-1020 (2011).

17. Tricomi F. G., "Ancora sull'equazione yuxx + Uyy = 0," Rend. Acc. Lincei, Ser. VI, 6 (1927).

18. Keldysh M. V., "Same cases of the degeneracy of equations of elliptic type at the boundary of a domain," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 77, No. 2, 181-183 (1951).

19. Fichera G., "On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order," Magyar Tud. Akad., Mat. Fiz. Tud. Oszt. Ko zl., 13, 375-393 (1963).

20. Oleinik O. A. and Radkevich E. V., "Second order equations with nonnegative characteristic form," in: Itogi Nauki, Mat. Analiz, pp. 7-252, VINITI, Moscow (1971).

21. Petrushko I. M., "Boundary and initial conditions in Lp, p > 1, for solutions of parabolic equations," Math USSR, Sb., 125, No. 4, 489-521 (1984).

22. Kapitsyna T. V., "On the existence of boundary and initial values for the degenerating parabolic equations in the stellar domains," Mat. Zamet. SVFU, 25, No. 4, 15-33 (2018).

23. Kapitsyna T. V., "On the existence of boundary and initial values for the degenerating parabolic equations in the stellar domains. Part II," Mat. Zamet. SVFU, 27, No. 2, 21-38 (2020).

Submitted August 8, 2021 Revised February 2, 2023 Accepted February 28, 2023

Igor M. Petrushko,

Tatyana V. Kapitsyna Maksim I. Petrushko National Research University "MPEI", 14 Kracnokazarmennaya, 111250 Moscow, Russia [email protected], [email protected]