О СУЩЕСТВОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ И НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С ЛЯПУНОВСКОЙ ГРАНИЦЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

УДК 517.9

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ И НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С ЛЯПУНОВСКОЙ ГРАНИЦЕЙ Т. В. Капицына

Аннотация. В данной работе, являющейся продолжением [1], устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка с боковой границей, принадлежащей классу X > 0, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа Ь2. Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Ф. Рисса и ЖЖ. Литтлвуда и Р. Пэли, в которых даются критерии предельных значений в Lp,

р > 1, аналитических в единичном круге функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [2—4]. Условие гладкости границы (дQ £ С2) можно ослабить (см. [5]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах [4,6—8]. При этом, как показано в работе [7], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [9] и Литтлвуда — Пэли [10, 11].

Б01: 10.255877SVFU.2020.67.75.002

Ключевые слова: вырождающиеся параболические уравнения, функциональные пространства, первая смешанная задача, граничные и начальные значения решений, априорные оценки.

Пусть Ц — ограниченная область п-мерного пространства Мп, п > 2; х = (х1,х2,... , хп) — точка пространства Мп, граница которой дЦ — (п — 1)-мерная

© 2020 Капицына Т. В.

поверхность без края класса C1+Л, 0 < А < 1. Обозначим через p(x) решение задачи Дирихле для уравнения

Ар = -1, x е Q, р|дд = 0.

Как известно [12], р(х) принадлежит C1+X(Q) и существует такая постоянная yi > 0, что для всех x е Q выполняются неравенства

Y-1r(x) < p(x) < Y1r(x), где r(x) — расстояние от точки x е Q до границы dQ области Q:

r(x) = min Ix — y|.

V ; yeöQ1

Кроме того, существует такая постоянная C(^), что

\pXiXj | < TT^TTJ7' ViJ = l,2,...,n, VA', 0 < А' < А.

3 (r(x))1 Л

Будем предполагать, что функция р(х) продолжена нечетным образом за границу области д и на все пространство М" так, что

р(х) е с 1(М").

В силу леммы Жиро [13] существуют такие числа го, 72 > 0, что |Ур| > 72 для всех Q \ (д П (г(х) > го)}.

Обозначим через ¿о столь малое число, что поверхности уровня р(х): р(х) = 5, 0 <5 < 5о, х е д, находятся в области д \ (д П (г(х) > го)}. Кроме того, будем предполагать число 5о настолько малым, что подмножество

дз = ВД П (х е д, р(х) > 5)}, 0 < 5 < 5о,

точек области д является областью с границей дд^ (класса С2) и нормаль, проведенная в любой точке хо е дд, пересекает дд^ П (|х — хо| < го} для всех

5 е (0,5о].

Пусть хо — произвольная точка поверхности дд. Проведем через точку хо прямую, совпадающую с нормалью в этой точке к поверхности дд, и обозначим через хо0 точку пересечения этой прямой с поверхностью (ближайшую

к хо).

Введем ортогональную систему координат Оу1; у2,... , уп так, чтобы точка хо0 была началом координат, а внешняя нормаль к границе дд в точке хо имела направление, совпадающее с направлением оси Оуп. Такую систему координат будем называть местной системой координат. Координаты точки х в местной системе координат будем обозначать через (у1; у2,... , уп) = (у', уп). Координаты точки хо — это (0, 0,... , 0, у"). Функцию р(х) в местной системе координат будем обозначать через р(у).

Рассмотрим функцию п +1 переменных Д(5, у', у") = р(у) — 5.

При фиксированном 6 € (0, 6о] поверхность нулевого уровня Д(6, у',уп), находящаяся в Ц, совпадает с поверхностью дЦд. Так как

^.(0 0 у0) = < о

по теореме о неявной функции существуют такие положительные числа г1, 6 < 6о/2, Л, что при 6 € (0, 6о] связный кусок Гд поверхности дЦд, находящейся в пересечении

дЦд = {у : |у'| < Г1, уП — Л < Уп < уп +

описывается уравнением уп = ^(6, у'), где

¥>(6,у') € С1([0,61], |у'| <Г1).

При этом можно считать г1 настолько малым, что гиперплоскость уп = 0 не пересекает границу Гд поверхности дЦд для всех 6 € (0, 6о/2], угол между нормалью к дЦ в точке х0 и нормалью, проведенной в любой точке к поверхности

Го(х0) = дЦ П {у : |у'| < Г1, уП — Л < уп < уП + ¡},

не превышает п/8 и цилиндр О^ = {у : |у'| < г1; 0 < уп < ¥(0,у') + Л} при любом 6 € (0, 61] не содержит точек поверхности дЦд, отличных от точек Гд, описываемой уравнением уп = ^(6, у'), |у'| < г1. Пусть 0 <6 < 61. Положим

Од = {у : |у'| < г, 0 < у„ < ¥(6, у')}.

Построим отображение Ад цилиндра Од на О = {О^ П Ц} следующим образом: точка х € Од с местными координатами (у',уп) переходит в точку Ад(х) € О с местными координатами

¥(6,у')

При этом поверхность Гд переходит в Го(хо). Обратное отображение А-1 задается аналогично. Точка х € О с местными координатами (у',уп) переходит в точку А-1 € О с местными координатами

У1' /п" ) •

Заметим, что в силу свойств функции ^(6, у') для любых 6 € (0, 61] отображения Ад(х) и А-1(х) принадлежат С1. Отображение точек Го(хо) на Гд будем обозначать через хд,Х0 (х), а обратное к нему отображение Гд на Го(хо) — через

х-Ж0 (х).

Возьмем некоторое 6 € (0, 61], и пусть хд — произвольная точка поверхности Гд. Обозначим через предел при е —> 0 отношения площади поверхности

Гд П {|х — хд | < е} к площади куска поверхности дЦ, состоящего из точек

-10(хд), хд € Гд П{|х — хд| < е}.

Из свойств функции у') вытекает, что существует такое 70 > 0, что для всех точек xg G Г5 имеют место неравенства

1 dS 70 "d^<7°

и

1, (*)

dS0

Рассмотрим в цилиндре QT = (Q х (0, T)) линейное уравнение второго порядка

d n n

— - ^(alj(x,t)uXi)Xj+^al(x,t)uXi+a(x,t)u = f(x,t) (1)

i,j=1 i=1

—T

с вещественными коэффициентами aij(x, t) = a^, а^, принадлежащими C1(Q ), a(x,i) G C(QT).

Уравнение (1) будем предполагать параболическим в QT, т. е. для любой точки x G Qg, 5 G (0, ¿0], и для любых t G [0, T] существует такое 7g > 0, 75 ^ 0, 5 ^ +0, что для всех £ = , £n) G Rn

n

Ф(х,^)= Ç aij(x,t)£i£j > 7s|£|2. (2)

i,j=1

Для (xo,t) G dQ х (0,T) квадратичная форма вырождается, т. е.

n

$(x,t) = ^ aij(xo,t)£i£j > 0.

i,j=i

Однако будем предполагать, что существует такая постоянная 70 > 0, что для всех (x0,t) G dQ х [0,T]

n

70 aij(x0,t)vi(x0)vj(x0) < (70)-1, (3)

i,j=i

где v(x0) = (V1, v2,... , vn) — внешняя по отношению Q единичная нормаль к dQ в точке x0.

Будем также предполагать, что правая часть f (x,t) уравнения (1) принадлежит L2(Qt , r2).

Определение 1. Функцию u(x,t) G W21'1°Oc(QT) называют обобщенным из

,2° (QT) ро.„енио„ уравнениа (1) если

'к>с(^Т) 'решением уравнения (1), если для всех финитных в (т функций

е я^)

nn

Eau dn du

а^т;—д--Ь ) аг——г! + ащ

dxi axw ^^ dxi

i , j=1 i=1

dxdt =

Q

J fn dxdt. (4)

Будем говорить, что функция ш(х, £) финитна по х в ((Т, если существует область С, строго лежащая в (, такая, что ш(х,£) равна нулю вне ('Т.

Предположим, что функция м(х,£), определенная в , является обобщенным решением уравнения (1) из ЭД^'О^ф7,)• Тогда в силу ограничений на коэффициенты уравнения (1) для любой функции ш(х,£), принадлежащей ), и финитной по х в , для любого в € (0, ¿о] и для любого Т' € (Т/2, Т) имеет место равенство

и(х'т >(х'т') ¿х Ч и(х'в )ш(х'в) ¿х

+

в я

—+ У^

1

Я

дм дш дхг дх,

т

+ ^^ а^——-ш + аиш ¿хсИ = J J }и><1х<И. (5)

в Я

Так как уравнение (1) параболично в , справедлива следующая

Лемма 1. Пусть и(х,£) — обобщенное решение из ) уравнения

(1), правая часть которого / принадлежит Ь2(^т,г2). Тогда для любого 5 € (0, 5о] и для любого Т' € (Т/2, Т) справедливо равенство

1

J и2(х, Т')(р(х) — 8)йх — — J и2(х, 8)(р(х) — ¿ж

+

5 Яг

1 2

Е

»,0=1

их,-(Р(х) - I

5 дЯг

Е

г,0=1

(р(х) — 5) — / / и2 (йг(р(х) — 5))*

х г, г=1 5 Яг

т' п

/ / Е (а»,Р* )* м2 ¿х^

5 Яг г'°=1

\ 2 7 Л

; 1Ж_, , и йяМ —

|уР|; 2

т т

+ // аи2{р(х) — 5,** = // — 5> («)

5 Яг 5 Яг

Пусть Т' € (Т/2, Т) и в € (0,5о]. Положим

М5 (и) = тах

5<^<5о

т

1-5

(7)

т'

N5(и) = J ! и*;и* (р — 5) + J и2(р — 5) ¿х.

г Яг г'°=1 Яг

Согласно [1] с учетом условия р = 2 справедливы следующие леммы.

(8)

Лемма 2. Пусть м(х, £) — обобщенное из ^21'1°0С(^т) решение уравнения (1), правая часть которого / принадлежит Ь2(^т, г2). Тогда для любого 5 €

2

«

(0, ¿о] и для любого Т' е (Т/2, Т) справедливы оценки

т'

Мг(и) + У У и2(р - 6) ¿х^ г Яг

т'

< С11 II/,г2) +

и

2

^) / I (р - ¿)1-А г Яг

ГА7 ¿х^ + Жг(и)|; (9)

т'

N(и) + J ! и2(р - 6) ¿х^ г

т'

< С2 I |/У|2(дт, Г2)

г Яб

(р - 6)

^А' + Мг (и)

+ |/УЬ2(ЯТ ,Г2)

1/2п

Жг1/2(и)+ (у у и2(р - 6) ¿х^ г Яг

. (10)

Лемма 3. Пусть и(х, ¿) — обобщенное из ^Г21']Ос((т) решение уравнения (1). Тогда для любого е > 0 найдется 62, зависящее от е, такое, что

г Яг

(р(х))

1А

7 < е

1^2 (дт ,Г2) + Жг (и) +

г Яг

(р(х))

1А

7

(11)

Лемма 4. Пусть и(х, £) — обобщенное из ^21ос((т ) решение уравнения (1). Тогда для любого 6 е (0, ¿о] и для любого Т' е (Т/2, Т) справедлива оценка

Мг(и) + J У и2р(х) ¿х^ < Сз(||/||£2(дт^ + Жг(и)).

г Яг

(12)

Лемма 5. Пусть и(х,£) — обобщенное из ^'21']0с((т) решение уравнения (1), правая часть которого / принадлежит Ь2((т, г2). Тогда для любого 6 е (0, 6о] и для любого Т' е (Т/2, Т) справедлива оценка

т'

Жг(и) + у у и2(р - 6) ¿х^ г Яг

< С4 |/Н^ ,Г2) + ||и| ь2(9Ягх(о,т')) + УЧ^ 6)||ь2(я,г) . (13)

2

и

2

2

и

и

2

2

Для любой функции £ W^ '¡0Oc(QT) функция

2 , locV

T'

М»W = // «2 Л* + / „2(MWx)

5 Qä

непрерывна по 5 G (0, ¿о/2]. Будем говорить, что функция t) принадлежит классу H2, если функция M^(u) ограничена (0, 5о/2], т. е. если

sup M5 < то.

5е(0 , 5о/2]

Теорема 1. Для того чтобы обобщенное из W2X 'i°Oc(QT) решение u(x,t) уравнения (1) принадлежало классу H2, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло неравенству

т' n

j u2(x, T')r(x)dx + j j ajr(x) dxdt < то.

Q 0 Q 1 'J-1

Будем говорить, что функция м(х,4) € 1оС(^Т ) принимает граничное значение

м|9Ях(о ,т) = V, V € ¿2^ х (0,Т)), (14)

в смысле ¿2, если для любой точки хо € д^ существует такая окрестность В(х0) € Г(хо), что для любого Т' € [Т/2, Т)

т'

Ит / / |м(х5х (х),4) — v(x,í)|2 = 0. (15)

У 0

5 B(xo)

Будем также говорить, что принадлежащая W2 'Юс) функция t) удовлетворяет начальному условию

u|t=o = u0(x), (16)

где uo(x) G L2(Q,r), в смысле L2 с весом r(x), если

lim / |и(ж,5) — uo(x)|2r(x) dx = 0. (17)

Ä^+0 J

Qs

Определение 2. Принадлежащая W^ l°Oc(QT) функция u(x, t) называется обобщенным из W^ l°Oc(QT) решением первой смешанной задачи (1), (14), (16) с f (x,t) G L2(Qt,r2), если она удовлетворяет интегральному тождеству (4) для всех финитных в QT функций n(x,t) G H2(QT) и удовлетворяет граничному и начальному условиям (14), (16) в смысле равенств (15), (17).

Теорема 2. При любых у е Ь2(дф х (0,Т)), и0(х) е Ь2(ф,г) и любой / е Ь2(фт,г2) первая смешанная задача (1), (14), (16) имеет обобщенное из ^21'10ос((т) решение. Это решение единственно и для него справедлива оценка

гт0А,] [|и|^2(9Яг х(г, т)) + |и(х,6)|^2(Я , г)]

т' П т

+ J ! а^ихиХз-г(х) + J ! и2(х,4)г(х) о я г,^=1 о я

< С5 [|и|^2(дт,Г2) + |М|!мэдх(о,т)) + Ы^д.г)] • (18)

Теорема 3. Если обобщенное из ^Г21']0с((т) решение уравнения (1) принадлежит классу Н2, то оно имеет предел в Ь2 на границе дф х (0, Т) и имеет предел при 4 ^ 0 в Ь2 с весом г(х), т. е. существуют такие функции у(х,4) е Ь2(дф х (0,Т)) и и(х) е Ь2((,г), что выполняются равенства (15), (17).

Доказательство. Пусть и(х, 4) решение уравнения (1) из ^Г21']0с((т), принадлежащее классу Н2. Тогда в силу теоремы 1 функция |Уи|2г(х) принадлежит Ь1((т). Следовательно, на основании [14] существует функция у(х, 4) е Ь2(дф х (0,Т)), являющаяся пределом

т'

2

гИшоу у (и((1 - 6)х,4) - у(х,4))2 ^ = 0. (19)

г дQi

Покажем, что функция у(х, 4) является пределом в среднем в смысле равенства (15). Возьмем произвольную точку хо е дф. Построим в окрестности точки хо местную систему координат (у',уп), определенную в начале данной статьи. Выберем числа го и ^о настолько малыми, чтобы

и1(хо) = {у : |у'| < го, -йо < у„ < у(0,у') + ^о},

3 3 3

^г(жо) = < у ■ \у'\ < -г0, --/г0 < Уп < <р{0,у') + ^о

= |у : |у'| < < Уп < <р(0,у') + т^о | ;

Г1(хо) е дф п и1(хо), Г2(хо) е дф п ^Ы, Гз(хо) е дф п ЦзЫ, Г1г(хо) е дфг П ^(хо), Г2г(хо) е дфг П ^(хо), Гзг(хо) е дфг П Цз(хо).

Выберем из покрытия Цз(хо), хо е дф, конечное подпокрытие области (\(г0 и получим конечное число Ж1 областей В1(х1), В2(х2),... , Дуг (х^) (далее будем обозначать их В1, В2,... , В^ соответственно) таких, что

N1 N1

= ф^о , Гз(хо) = дф, Гзг(хг) е дфг, г = 1,2,...,ЖЬ

г=1 г=1

Отметим, что из справедливости (жо, £) € Г(ж0) х (0, Т) для всех г = 1,... , N и равенства (19) будет следовать, что если

Г1(х) х (0,Т) П Г1(х-) х (0,Т) = 0, то ^¿(ж, £) = ^(ж, £) для всех ж € Г1(ж^) х (0, Т) П Г1(ж^-) х (0, Т).

Таким образом, будет существовать функция ^(ж,£) € Ь2(д^) х (0,Т) (^ = на Г1(ж^) х (0,Т)), являющаяся пределом в среднем и(ж, £) на д^ х (0,Т) в смысле равенства (15).

Построим функцию £(ж) € СТО(К") такую, что

£(ж) = 1, ж € из(жг), £(ж) = 0, ж € М"\и2(жг), и рассмотрим функцию г>(ж, £), равную г>(ж,£) = и(ж,£)£(ж). Так как и(ж,£) — решение из Ж^1 '¡°0С(^Т) уравнения (1), принадлежащее классу Н2, то функция г>(ж, £) является решением из Ж^1 '¡°0С(^Т) с правой частью / , равной

ЕК ^ kE

_i , j=1 i=1

(20)

f = / - 2 Е aij UXj Cx. -

i , j=1

также принадлежит классу H2. (Заметим, что / £ L2(Q,r2) х (0, T)).

Из принадлежности решения и(ж, t) классу H2 вытекает, что £(ж)<^(ж,£) является пределом в среднем по звездности функции v(x, t) на dQ х (0, T), т. е. т'

lim / /(v((1 - 5)x,t) - C(x)^i(x,t))2 dsdt = 0. (21)

г^+0./ J г 9Q

Кроме того, из принадлежности классу H2 функции v(x,t) вытекает, что для любого 5 £ (0, 51] функция

т'

Mi (5) = J J v2(x,t) dsdt г ri(x.)

ограничена и, следовательно, ограничена функция

т'

Mx.(5) = ^ У u2(x5x. (x),t) dSdt,

г ri(xi)

т. е.

supMxi(5) < (22)

Обозначим

Г1, t £ (5,T

C(t) \ 0, t £ (0,5).

Получаем, что функция

т'

M2x.(5) = J J v2(^ (x(t)C(t))) dsdt 0 ri(xi)

ограничена на [0,5] и, следовательно, вытекает ограниченность в L2(r1(xi)) х (0, T) множества |и(жгк, Xi (x),t), 0 <5 < 5о} и тем самым его слабая компактность, т. е. вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 6. Если решение и(ж, 4) £ ^21']о>С(^т) уравнения (1) принадлежит классу Н2, то существуют такие функция <*(ж,£) £ Ь2(Г1(ж^),4) и последовательность 6к, к =1, 2,..., 0 < < ¿о, ¿^ | 0 при & ^ то, что

т'

Ит / / («(ж^^ (ж), 4) — <*(ж, 4))д(ж, 4) = 0

^—^^ ^ ^ '

¿к Г1(ж;)

для любой функции д(ж, 4) £ Ь2(Г1(ж^), 4).

Докажем слабую в Ь2(Г1(ж^),4) х (0, Т) непрерывность по 5 £ [0, ¿о] множества {«(ж^х;(ж), 4), 0 <5 < ¿о}.

Лемма 7. Если и(ж, 4) — решение из Ж21'1°0С(^Т) уравнения (1), то функция т'

С(5) = / / «(ж^-х- (ж),^)д(ж,4) 0 <5 < ¿\

5 Г1 (х -)

где г>(ж,£) = £(ж)и(ж,£), а д(ж,4) —произвольная функция из ^(^(ж^^), непрерывна на [0, ¿о]. При этом

Ит С(5) = (<?,д)ь2(Г1(х1)х(о,Т')). (23)

о—+0

В силу неравенства 0 < 72 < |Ур| и (2) и произвольности функции д(ж,4) £ Ь2(Г1 (жг)х (0, Т')) утверждение леммы 7 будет установлено, если докажем непрерывность на 5 £ [0, ¿о] функции

Т п

•<1(6) = 1 I у(х6к,Х{Ш) ¿) 0<<5<<51. (24)

т'

С (¿) = ] ] ^

о Г1(х;)

Поскольку «(ж,4) £ Ж21'1°0С(^Т), функция С1^) принадлежит С((0^1]). Поэтому достаточно показать, что С1^) £ С^^о^]). При этом в силу ограниченности (¿) непрерывность на [0, ¿о/2] функции С1^) можно устанавливать не для каждой функции д(ж, 4) £ Ь2(Г1(ж^) х (0, Т)), а лишь для любой функции из некоторого всюду плотного в Ь2(Г1(ж^) х (0, Т')) множества. В качестве такого множества возьмем множество М1(Г1(ж^) х (0, Т)) всех заданных на Г1(ж^) х (0, Т) функций д(ж, 4), для которых существует принадлежащее ж2'1(Г1(ж^) х (0,Т')) продолжение в область В* (ж*) х (0, Т), обращающееся в нуль при 4 = 0.

Итак, пусть д(ж, 4) £ М1(^1(ж^) х (0, Т)) и д1(ж, 4) £ ), причем сле-

дующая функция д1(ж, 4) совпадет:

а) с функцией д(ж,4) на Г^ж*): д1|г1(х-)х(о,т) = д;

б) с нулем на {д^\Г1(жг) х (0,Т)}: д1|9д\Г1(х;)х(о,т) =

Так как функция г>(ж,£) является обобщенным из Ж^21'1°0С(В2(ж*) х (0,Т)) решением уравнения (1) с правой частью /, подставляя в интегральное тождество

(4) в качестве функции п(х, 4) функцию, равную д1(р(х) -6) в области фг х (0, Т) и равную 0 в {ф\фг} х (0,Т), получим равенство т'

J у"-«д1(р - 6) ¿х^ + J и(х, Т')д1(х, Т ')(р - 6) ¿х

г я? Яг

+

г Яг

У^ (а^-«х; 51)х3- + ^ а»«х;01 + ад^ (р - 6) ¿х^

Чг,^"=1 г=1 /

т' / п \ т'

+ У£ «х; РхЛ ¿х^ = У У /01 (р - 6) ¿х^.

г Яг М^1 / г Яг

Так как т'

01 а«^ «х; рх3 ¿х^

г Яг

»,¿=1

т'

»,¿=1

(ау «рх3 д1)х; ¿х^ - / / £ (ау-рЖз- д^х;« ¿х^

г Яг

»,¿=1

У У-«д1(р - 6) ¿х^ + У и(х,Т ')д1(х,Т ')(р - 6) ¿х г Яг Яг

+

г я

ау рх; рх

У^ (агу«х; 01)х3- + £ д1 + ад1« (р - 6) ¿х^ .»,¿=1 »=1 /

г 9Яг

+ {сщрх^1)х^г1хги + I I !д\{р - 6) йхсП.

»,¿=1

Заметим, что

т'

»,¿=1

т'

„ „ £

г дЯг »'¿=1

рх^

У У

г гг (х;) »¿=1

рх;

г Яг

г Гг(хО

Е

»,¿=1

рх; рх^

|^р|

х — хгк (х)

¿^г ов

г Гг(х;)

Е

»,¿=1

рх; рх^

«(хгк,х;(х), 4)д(х) ¿в^

т'

+ У У «(хгк'х;(х),4)

г Гг(х;)

д1(хгк,х;(х),-0 Е

рх; рх^

^ |Ур|

»,¿ = 1

х — хг^ (х)

¿в г ¿в

1

рх;рх3

Поэтому для всех ¿ £ [0, ¿о] справедливо равенство т'

С1^) = J ! —— ¿) + | и(ж,Т')д1(ж,Т')(р — ¿) ¿ж

о

т'

+

о

т'

Е (а^'«х-51)х3- + Е д1 + а«д1

¿=1

(р — ¿)

т'

/д1(р(ж) — ¿) ¿ж^ — / / ^ (ау-Рх3 д1)х; V ¿ж^

о

о

1

т'

«(жок(ж), 4)

о Г1(х;)

д1(жок(ж),4)

рх-рх

¿,^ = 1

— д(ж,4) Е

рх; рх3

(25)

Легко доказать непрерывность по ¿ £ [0, ¿о] первого, второго, третьего и четвертого с ¿ £ [0, ¿о] слагаемых правой части равенства (24), а в силу свойств коэффициентов а^, г, = 1, 2,... , п, функции р(ж) и равенства (*) предел пятого слагаемого при ¿ ^ +0 равен нулю. Следовательно, функция С1^), а вместе с ней и функция С^) непрерывны по ¿ £ [0, ¿о].

Замечание. В силу определения функции г>(ж,£) равенство (25) может быть записано в следующем виде: т'

С1^) = J ! — «д1(р — ¿) + | и(ж, Т')д1(ж, Т')(р — ¿) ¿ж

о Qг Qг

т'

+

о

Е (а»^«х-д1)х3- + ^ д1 + а«д1 -¿,¿=1 ¿=1

(р — ¿)

т' т' п

/д1(р — ¿) ¿ж^ ^^У Е (а»^рх3шк

т'

У У (ж),4)

о Г1(х;)

д1

(жок ,х; (ж)) Е

рх-рхз

— д(ж,4)

¿во ¿в

(26)

х

Лемма 8. Пусть ио(ж, — решение из ) уравнения (1). Тогда

функции <(ж, и £(ж)<>1 (ж, совпадают на Г1(ж^), т. е.

<р(ж,£) = £(ж)<>1(ж,£) Уж € Г1(ж^).

Доказательство . Для доказательства этого утверждения достаточно проверить, что для любой финитной в Г1(ж^) функции д(ж,£) € М1(Г1(ж^)) будет

т'

7(5) = / / (ж),*) - «((1 - 5)ж,*)|

5 А(х;)

Е

¿,¿=1

рх^

■д(ж, ^^ ^ 0, 5 ^ +0.

Обозначим через д1(ж,*) € ^г21(^т) продолжение функции д(ж,*), построенное в лемме 7. В силу замечания к лемме 7 имеем

т'

п

рх; рх3

С1^/ / (ж)^)]Г

5 П(х;) т'

¿,¿=1

-д{х, £) ¿всП

5 Яг т'

+

J У —— 5) ¿жй* + | и(ж, Т')д1(ж, Т')(р — 5) ¿ж

Яг

п п

Е (аУ «х;51)х3- + Е 01 + (р — 5) ¿жй* -¿,¿=1 ¿=1

т' п

/д1(р — 5) ¿жй* — / / £ ^Рх;51)х3 «¿жй*

5 Яг т'

5 Яг

5 Яг

¿,¿=1

т'

5 Г1(х;)

01

(ж5к ,х; ^^ Е

^¿^ РХ; РХ^

¿,¿=1

— д(ж,*) Е

Х — хгк (х) рх; рх

¿в

¿,¿=1

(27)

Введем в рассмотрение функцию

1, ж € ),

6 (ж) =

0, х£(3\и1{х).

Так как функция г>(ж, является обобщенным из ^2[ос(^т) решением уравнения (1) с /, определенной по формуле (20), подставляя в соответствующее интегральное тождество в качестве г/(ж,£) функцию, равную ^1(ж)дх(ж)р(у^) в

х

области Qi s = {х £ Qi}p(-^g) > 0 и равную нулю в Qi\Qi g, и учитывая, что = 1, x £ получаем

т' n

Gi,i = J J v((l-S)x,t)J2^^-g(x,t)dsdt

S ri(xi) l'j=1

= (1 - 5)

T

1-n

S Qi

(aij Vxigi)xj + gi + avgi

.i,j=1 i=1

П 1(x, 5) dxdt

т

\1- n

- (1 - 5) у J /g1?71 (x, 5) dxdt - (1 - 5)

S Qi т' n

X У У ia»jPx7 f Y~5/gl) vdxdt

с ~ ¿,7=1 xi

S

T' n

^ ,/;,{x,t) - aij{{i - ö)x,t)g1[x{

'S ri(xi) i'j=1

x v((1 - 5)x,t) dsdt, (28)

где ^(ж, д) = < „ „

l 0, x £ <3i\<5j,s-

Сравнивая между собой равенства (27) и (28), легко получить, что lim [G1(5) - G(5)1i] = 0.

Лемма 8 доказана.

Обозначим через u1(x, t) обобщенное из W^ 'i°Oc(QT) решение уравнения (1), (14), (16). Рассмотрим функцию uo(x,t) = u(x, t) - u1(x,t), тогда функция uo(x,t) является решением однородного уравнения L(u) = 0, удовлетворяющим нулевым граничному и начальному условиям. При этом отметим в силу [1], что

т'

slii+oy У u2((1 - 5)x, t) dsdt = 0; (29)

S 9Q

slim У u0(x, t)p(x)dx = 0; (30)

Го г

T' n

\J J ^ (^aij^^-^ju2 dsdt = ^ J u2(x,T')(p(x) - S)dx

S ÖQä 1 ' j=1 Qä

J и2(ж,5)(р(ж) — 5)йж + J J 53 ^(р(ж) — 5) ¿жй* Яг 5 Яг ¿'¿=1

т' п т' п

'2 ^2(а'г(Р ~ ¿Х(И - ^ У У Е (^зРхдх^2 <1х<И 5 Яг ¿=1 5 Яг ¿'¿=1

т' т'

+ I У аи2(р — 5) ¿жй* — I У /и(р — 5) ¿жй*. (31)

5 Яг 5 Яг

Аналогично из [1] имеем т'

п

1 / V,1 I „,2г„ х \

11

'7=1 Яг

т' п

I + У У УЗ

т'

Яг ' 5 Яг ¿'¿=1

2

53 (д—

5 Яг ¿=1 х'

т' п т'

^ ^ (агзРх^х^2 ¿ХсИ + У У сш2/?^--¿хсИ

2 11 ^ х3 I I V 1_5

т'

5 Яг ¿'¿=1 5 Яг

5 Яг

Перейдя в (31) и (32) к пределу при 5 ^ +0, получим в силу равенств (29) и (30)

Ит / / V ( а,ц ^^^ )и2 ¿всП = 0,

-+оУ ] ¿^Д !vр! у

5 9Яг ¿'¿=1

Ит У и2(ж,5)(р(ж) — 5)йж = 0.

1 , и2(

5и+

Яг

В случае, если Ц не является звездной областью, то, поступая аналогично тому, как это делается в работах [5] и [15,16], разбиваем область Ц на конечное число звездных областей.

Теорема 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петрушко И. М., Капицына Т. В. О первой смешанной задаче в Lp, р > 1, для вырождающихся параболических уравнений // Вестн. Моск. энергет. ин-та. 2011. № 6. С. 143—154.

2. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей jj Мат. сб. 1976. Т. 1C1, № 2. С. 163-188.

3. Михайлов В. П. О существовании предельных значений бигармонической функции на границе области jj Докл. АН. 2CC4. Т. 395, № 4. С. 452-454.

4. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений jj Мат. сб. 1979. Т. 1CS, № 1. С. 3-21.

б. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей jj Мат. сб. 1983. Т. 12C, № 4. С. 569-588.

6. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения jj Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 787-810.

7. Гущин А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка jj Мат. сб. 1998. Т. 189, № 7. С. 53-90.

8. Петрушко И. М. О смешанной задаче E для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка jj Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 57-70.

9. Riesz F. Uber die Randwerte einer analytischen Funktion jj Math. Z. 1923. Bd 18, Heft 1. S. 87-95.

10. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. II jj Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1936. V. 42. P. 52-89.

11. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. III jj Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1937. V. 43. P. 105-126.

12. Miranda K. Equazioni alle derivate parziali di tipo ellitico. Berlin: Springer-Verl., 1970.

13. Giraud G. Generalization des problemes sur les operations du type elliptique jj Bull. Sci. Math. 1932. V. 56. P. 248-272; 281-312; 316-352.

14. Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях j j Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 4. C. 15-33.

15. Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений jj Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. C. 489-521.

16. Петрушко И. М. О существовании граничных значений для решений вырождающихся уравнений эллиптического типа jj Мат. сб. 1999. Т. 190, № 7. C. 41-72.

Поступила в редакцию 5 октября 2019 г. После доработки 31 января 2020 г. Принята к публикации 30 апреля 2020 г.

Капицына Татьяна Владимировна

Национальный исследовательский университет «МЭИ», Красноказарменная ул., 14, Москва 111250 [email protected]

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

UDC 517.9

ON THE EXISTENCE OF BOUNDARY AND INITIAL VALUES FOR SOLUTIONS OF DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS IN THE LYAPUNOV BOUNDARY DOMAINS T. V. Kapitsyna

Abstract: This work, being a continuation of [1], establishes the necessary and sufficient conditions for the solution of the second-order parabolic equations with a lateral boundary from the class C1+A, A > 0, degenerating on the boundary of the domain, to have an average limit on the lateral surface of the cylindrical domain and the limit in the mean on its lower base. Also, we study the question of the unique solvability of the first mixed problem for such equations in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of the L2 type. The closest to the questions under consideration are the theorems of F. Riesz and J. Littlewood and R. Paley, in which criteria are given for the limit values in Lp, p > 1, of the functions analytic in the unit disk. Further development of this topic for uniformly elliptic equations was obtained in the papers by V. P. Mikhailov and A. K. Gushchin [2—4]. The boundary smoothness condition (dQ € C2) can be weakened (see [5]). Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criteria for the existence of a boundary value were established in [4,6—8]. In this case, as shown in [7], all directions of the acceptance of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, while the solution has a property similar to the property of continuity with respect to the set of variables. In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain when the directions are not equal, the situation is more complicated. In this case, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. In the case when the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are different from zero (the Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is correct, and the properties of such degenerate equations are very close to the properties of uniformly elliptic equations; in particular, in this situation analogues of the Riesz [9] and Littlewood—Paley theorems [10, 11] are valid.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.67.75.002 Keywords: parabolic equations, function spaces, first mixed problem, boundary and initial values of solutions, a priori estimates.

REFERENCES

1. Petrushko I. M. and Kapitsyna T. V., "On the first mixed problem Lp, p > 1, for degenerate translation equations," Vestn. MEhl, No. 6, 143-154 (2011).

2. Mikhailov V. P., "On the boundary values of solutions of elliptic equations in domains with a smooth boundary [in Russian]," Mat. Sb., N. Ser., 101, 163-188 (1976).

3. Mikhailov V. P., "On the existence of limit values of a biharmonic function on the boundary of a domain," Dokl. Math., 69, No. 2, 228-230 (2004).

4. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On boundary values of solutions in Lp, p > 1, of elliptic equations," Math. USSR, Sb., 36, No. 1, 1-19 (1980).

© 2020 T. V. Kapitsyna

5. Petrushko I. M., "On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with a Lyapunov boundary," Math. USSR, Sb., 48, No. 2, 565-585 (1984).

6. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On the existence of boundary values of solutions of an elliptic equation," Math. USSR, Sb., 73, No. 1, 171-194 (1992).

7. Gushchin A. K., "Some properties of the solutions of the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation," Sb. Math., 189, No. 7, 1009-1045 (1998).

8. Petrushko I. M., "On the mixed E problem for second-order parabolic equations degenerating at the boundary of the domain [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 26, No. 3, 57-70 (2019).

9. Riesz F., "Uber die Randwerte einer analytischen Funktion," Math. Z., 18, 87-95 (1923).

10. Littlewood J. and Paley R., "Theorems on Fourier series and power series. II," Proc. Lond. Math. Soc., II Ser., 42, 52-89 (1936).

11. Littlewood J. and Paley R., "Theorems on Fourier series and power series. III," Proc. Lond. Math. Soc., II Ser., 43, 105-126 (1937).

12. Miranda K. Equazioni alle derivate parziali di tipo ellitico. Springer-Verl., Berlin (1970).

13. Giraud G. "Generalization des problemes sur les operations du type elliptique // Bull. Sci. Math. 56, 248-272; 281-312; 316-352 (1932).

14. Kapitsyna T. V., "On the existence of boundary and initial values for degenerate parabolic equations in stellar domains [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 25, No. 4, 15-33 (2018).

15. Petrushko I. M., "On boundary and initial conditions in Lp, p > 1, of solutions of parabolic equations," Math. USSR, Sb., 53, No. 2, 489-522 (1986).

16. Petrushko I. M., "Existence of boundary values for solutions of degenerate elliptic equations," Sb. Math., 190, No. 7, 973-1004 (1999).

Submitted October 5. 2019 Revised January 31, 2020 Accepted April 30, 2020

Tatyana V. Kapitsyna

National Research University "Moscow Power Engineering Institute" 14 Krasnokazarmennaya Street, 111250 Moscow, Russia [email protected]