Некоторые свойства операторов эллиптического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75 ББК 22.151

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

А.И. Бодренко

В работе изучаются свойства операторов эллиптического типа на гиперповерхностях в евклидовом пространстве.

Ключевые слова: деформация поверхности, средняя кривизна.

Введение

Пусть Еп+1 — (п + 1)-мерное (п > 1) евклидово пространство. Для заданного числа п рассмотрим евклидовы пространства Еп+1 и Еп. Введем в Еп+1 декартову прямоугольную систему координат (у1,..., уп+1), в Еп — декартову прямоугольную систему координат (я1,..., хп). Обозначим через Кг открытый шар радиуса г > 0 в Еп.

Пусть Ф — односвязная ориентируемая гиперповерхность с краем <9Ф в Еп+1. Пусть

1) И : Ф —> Кг — гомеоморфизм Ф на Кг;

2) обратное отображение к~1(х) = (р(х),..., Гг+1{х)), где х = (я1, € Кг, удовлетворяет условию: € С3'3(КГ), в Е (0,1), а = 1, /?.+ 1.

Тогда Ф можно задать системой уравнений

//" /"и1......'-"к (х\...,хп)екг, п Г77~Т. (1)

где ¡а е с3<8(кг).

Пусть Ф не имеет действительных асимптотических направлений, то есть все главные кривизны Ф имеют в каждой точке одинаковый знак. Не ограничивая общности, ориентируем Ф единичным вектором нормали так, чтобы средняя кривизна гиперповерхности Ф была положительной в каждой точке. Пусть все главные кривизны гиперповерхности Ф строго положительны на Ф. Пусть (па) — координаты единичного вектора нормали гиперповерхности Ф в точке (уа) 6 Ф,Я = пН\/2, где Н\ — средняя кривизна 0 гиперповерхности Ф в точке (уа). Векторы {у"}"=1 образуют базис касательного про-о странства к Ф в точке (уа), где символ «, ?'» означает ковариантную производную в метрике гиперповерхности Ф. Пусть д^ = — метрический тензор гиперповерхности < Ф, где 8а/з — символ Кронекера. Пусть дм — тензор, обратный к д^, д = с1е! — | тензор второй квадратичной формы гиперповерхности Ф. Так как все главные кривизны а, гиперповерхности Ф положительны, то вторая квадратичная форма гиперпо-^ верхности положительно определена, и следовательно, с^Ц&уЦ > 0. Обозначим через © Ъ— тензор, обратный к тензору Ь*1^Ьгк = 83к, , где 83к, — символ Кронекера.

Рассмотрим дифференциальный оператор Ь, записываемый в координатной форме на Ф в виде:

Ь = --7^дк(^Ъ*гкдг) + 1. (2)

Сформулируем задачу А: Требуется найти на Ф решение / класса С2'Л'(Ф) уравнения

= + !■>

при условии:

дf

= ь*гкдгц) .•..>■//..'•/,),>.. = Ф,

где р, — действительное число; пк = со8(/г,;гА') — координаты вектора внешней нормали к поверхности дКг в соответствующей точке; соз(п,Хк) — направляющие косинусы вектора внешней конормали: соз(п,Хк) = дгк'п1 к поверхности дКг в соответствующей точке; 7 € С°"*(Ф), Ф ^ С1,Л(<9Ф). Не ограничивая общности, можем считать, что функция ф удовлетворяет условиям: ф Е С1,Л,(Ф) и ф Е С1,в(5Ф).

1. Исследование разрешимости краевой задачи (А)

Теорема 1. Существует не более чем счетное множество действительных чисел р3 (5 = 1,2,...): 1 = ¿¿1 < р2 < ..., не имеющее конечных предельных точек и такое, что задача (А) для р ф ра(в = 1, 2,...) имеет единственное решение / класса С2'Л,(Ф)-

Доказательство теоремы 1. Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть функция / является решением класса С2'Л'(Ф) задачи А. Тогда имеет место неравенство

|/|(Ф)2,в < М(|7|(ф)о,в + М(ЗФ)м), где постоянная М зависит от 8,п,р, поверхности Ф.

Доказательство леммы 1. Из [2] известно неравенство:

111Кр2,з < М8(\ч\кро,з + шах |/| + \ф\экри)-

А р

Используя [1], получим доказательство леммы 1. Рассмотрим на Ф пространство Ь-2, считая / € Ь-2, если

/ 2Н(х)/(х)/(х)с1(т < оо, .'ф

где Н(х) > М > 0, х Е Ф. Пространство Ь-2 является банаховым пространством с нормой:

\\л\ь2 = ([ 2ЯИ/0т)Лх)^)1'2. Превратим его в гильбертово, определив на нем скалярное произведение по формуле:

JФ

Рассмотрим пространство Ь*2 — подпространство пространства ¿2, плотным множеством в котором является множество бесконечно дифференцируемых функций С°°, удовлетворяющих условию: = 0.

Будем рассматривать на Ф оператор Ь, определенный формулой (2). Отнесем к области определения Мь оператора Ь все функции / € С2(Ф) такие, что Ь/ Е Ь2 и М. = о

Покажем, что оператор Ь на М^ является эрмитовым. Для этого следует убедиться, что Мь плотно в 1*2 и (£/, о) = (/, и дЕ Мь.

Так как множество бесконечно дифференцируемых функций С°°, удовлетворяющих условию: §м\дф = 0, содержится в Мь, то по определению пространства Ь*2 следует, что Мь плотно в Ь*2.

Подсчитаем разность

Получим:

Зи

(до Н-1дк{^дЬ*к1д1{} о Л"1)) - / о Ъ-1дк(^Ъшд1((1оЪ-1)))(1х1..Лхп

.Лг(1Т)

= ~ [ (дк(у/дЬшШ о о Ь~1) - / о Ь~1уД1Ъшд1{доЬ-1))(1х1..Ахп+

■ 'ци)

+ [ (у/дЬ*к1(Ш о к-'Мдок-1)) - дг^оЬ-^дкИ О /, 'ж/,-1...,/,-".

■ЗЦи)

Заметим, что имеет место равенство:

[ (у/дЬ*к1Ш о Ъ-1)дМоЪ~1) - дМо Ъ-1)дки о /, 1 =

■ЗЦи)

JФ

где ^г и (lj — одновалентные, отличные от нуля тензоры на Ф, Ф*(£,С) = ^^О- Так как гиперповерхность Ф имеет положительные главные кривизны и Ф является компактом, то форма Ф* является симметрической, положительно определенной билинейной формой:

Ф*(£,С) = > о при £ ф о.

Введем в рассмотрение на Ф внешнюю (п — 1) форму ш, положив

ш = 1^с1х1 Л ...Л й-х? Л... Л с1х

где ¿ = у/дЬ*№П<1 "/(%))• Мы имеем

= дз^Лх1 Л ... Л с1хп

3

;п

и потому

/ с1ш = / V djuhlx1 Л ... Л dxn = = [ Шу/дЬшШ)Ф ~ fVgb*kldi(q))dx1 л... л cfe" =

[ Шу/9Ь*к1Ш ° h~l)qoh~l - / о h~ly/Ilb*kldl{qoh-l)))dxl...dxn

'h(U)

/ rr.u*kl(a ( t „ I, —1\^ „ U-1 t „ ),-1я (т; „ i,-l

(ö/(/ О Л"1)^ О Л"1 - / О h-Ldi{qoh~L))cos{n,xk)dS = 0.

Jdh(U)

Следовательно, получим

(Lf,q)L2 - (f,Lq)L2 =

= [ (Ф*(<9/,<9д)-Ф*(%<9/))Жт- [ du) = — f duj = 0.

,/ф ,/ф ,/ф

Таким образом, оператор L на Ml является эрмитовым.

Покажем, что оператор L является положительным. Для этого подсчитаем (L/, V/ е Мь. Имеем

(LfJ)L2= [ 2HLffda =

J ф

= [ @*(df,df) + 2Hff)dv- [ du)i,

J ф

где

dua = d3(^b*l3djf)dxl Л ... Л dx'\

Так как /дф ил = 0, то (Lf, /)£з > 0.

Это означает, что оператор L является положительным на области определения Ml. Известно, что эрмитов положительный оператор имеет не более чем счетное множество неотрицательных собственных чисел, не имеющее предельных точек на конечном расстоянии. Каждое собственное число оператора L действительно и имеет конечную кратность. Покажем, что это множество бесконечно, и наименьшее собственное число есть 1.

Исследуем разрешимость задачи А.

Рассмотрим на Ф пространство функций W.j, элементы которого вместе со своими производными первого порядка принадлежат классу Ь-2. Класс W.j является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(/, Q)wi = дq) + 2Hfq)da.

Определение 1. Для любой функции и £ W.^Kr) ее представителем называется функ-

ü(x) = lim nies-1 (КР(Х) П Kr) / u(y)dy,Vx £ К,.

JKp(x)nKT

Известны следующие свойства представителей:

1) й(х) определен для почти всех х € Кг\

2) й(х) — и(х) равен нулю почти всюду в Кг\

3) производная функции существует почти всюду и совпадает почти всюду с обобщенной производной так, что = € Ь2(КГ);

4) в строго липшицевых областях представитель й(х) функции и £ Ш.^Кг) однозначно доопределяется по непрерывности для почти всех точек границы области: й(х) € Ь-2(дКг) и имеет место оценка:

\\й\\дкг,ь2 < М9\\и\\КгЖ1.

Определение 2. Функция / называется обобщенным решением задачи (А), если для любой д € выполнено равенство

[ Ф*(<9/, дд) + 2Н¡(¡¿и = р [ (2Я/д + + [ -ф^йЗ. (3)

,/ф ,/Ф идФ

Покажем, что данное нами определение обобщенного решения действительно является расширением классического понятия решения задачи А. Для этого рассмотрим выражение

= ¡ф 2Н(-2щдк(у/дЬ'*дШ + / - р/ - -у)ф =

= [ -^дкШ*гкдг(/))Ф + (1 -ММь2-Ы)ь2 =

■ 'ф у 9

/ -дкШ*гкдг{1 о Ъ~1)д О Ъ-1)(1х1..Ахп + (1 - р)(/, д)Ь2 - (7, д)Ь2 I ф

Г *гк о / г „ 7 -1\- „ 7-1\ , /т.и*гка ( £ „ „ г, —1\\

= / (-дк(у/9Ь*1кдМ о Ъ~ )до Ъ~ ) + у/дЪ*гкдМ о Н~1)дк(д о Н~1))(1х1...(1хп + Уф

+ (1 - М,я)ь2 - Ь,д)ь2 =

= / Ф*{д/,дд)(1а- / Ш оЬГ1)$о1г1соз{п,хк)(18 +

,/Ф ]дь{и)

+ (1 - М,я)ь2 -

Действительно, если бы все входящие в уравнение (3) функции были достаточно гладкими, то мы пришли бы к тождеству

I 2Н(Ь/д - р/д - 7^<т + ~ =

Уравнение (3) можно переписать в виде

(Л Я)\¥} = МЛ Я)ь2 + (т> Я)ь2 + / -Ф^Б.

JдФ

Заметим, что уравнение

(/, я)И'21 = МЛ Я)ь2 + (т,

соответствует задаче Ь/ = + 7 на Ф, = 0.

Исследуем сначала ее разрешимость.

Определение 3. Функция / € Ш2, / ф 0 называется обобщенной собственной функцией оператора Ь, если существует число р такое, что функция f при всех д € \¥2 удовлетворяет равенству = Число р, называется собственным значением, соответствующим обобщенной собственной функции /. Будем считать, что ||/||ь2 = 1-

Покажем, что существует линейный ограниченный оператор А из Ь2 в ]¥2 с областью определения Ь2, для которого Уд Е \¥2 имеет место равенство: (/, = (^Л При этом оператор А имеет обратный А_1, и оператор А, если его рассматривать из ]¥2 в ]¥2, является самосопряженным положительным и вполне непрерывным. Для доказательства этого утверждения рассмотрим линейный функционал из ]¥2, задаваемый формулой: 1(д) = (/, ' гДе / ~~ фиксированная функция из Ь2, Уд Е \¥2. Так как

Ь 2 и/,1,

то этот функционал ограничен. Поэтому, по теореме Рисса, существует единственная функция и Е \¥2 такая, что 1(д) = {и,д) И/-1, Уд Е \¥2, при этом ||£/||И/-1 = ||/|| < — 1/11^2- Это означает, что на Ь2 задан линейный оператор Af = II, для которого имеет место равенство: (/, д)ь2 = (А/, д)И/1. Так как

\Ш\\щ = \\и\\щ < м\\п\Ь2,

то оператор А из Ь2 в ]¥2 ограничен. Пусть при некотором / € Ь2 имеем Af = 0. Тогда и = 0 и (/, д)ь2 = 0, Уд Е \¥2. Отсюда следует, что / = 0, то есть уравнение А/ = 0 имеет только нулевое решение, и потому существует оператор А_1. Так как

= (/, = (д, /)ь2 = {Ад,!)щ = (¡,Ад)щ,

то оператор А является самосопряженным. Кроме того, оператор А положительный, так как (А/, = (/, /)ь2 > 0, где равенство нулю возможно только при / = 0.

Покажем, что оператор А из ]¥2 в ]¥2 является вполне непрерывным. Для этого возьмем произвольное ограниченное множество функций в ]¥2. Это множество компактно в Ь2, то есть из любого его бесконечного подмножества в Ь2 можно выбрать фундаментальную последовательность ¿'¿,8 = 1,2,.... Так как оператор А из Ь2 в ]¥2 ограничен, то он непрерывен, и потому функции = 1,2,... образуют фундамен-

тальную последовательность в ]¥2. Это означает, что оператор А вполне непрерывен из в \¥-1

Перепишем уравнение = в виДе: (Л?)^1 = М^Л^ОиФ что экви-

валентно операторному уравнению в пространстве ]¥2: р,А$ = /, / € Ш2. Таким образом, число р, является собственным значением оператора Ь, и / — соответствующей ему обобщенной собственной функцией тогда и только тогда, когда 1 / р, есть характеристическое число оператора А из ]¥2 в ]¥2 и / — соответствующий ему собственный элемент. Так как оператор А является самосопряженным положительным вполне непрерывным, то

существует не более чем счетное множество характеристических чисел уравнения (f,q)wi = МЛ ¿2 в пространстве W.j. Это множество не имеет конечных предельных точек, все собственные значения вещественны, каждому собственному значению соответствует конечное число взаимно ортогональных в W\ собственных функций; собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны в

wl

Пусть ps(s = 1,2,...) — последовательность, содержащая все характеристические числа оператора L и fs(s = 1, 2,...) — система взаимно ортогональных в W\ собственных функций таких, что ЦЛНьг = 1 и

/',Л/', Л - * I • 2-... (4)

Умножим (4) скалярно в W\ на fs, получим:

(Л, fs)w} = Vs(Afs, fs)w} = Vs(fs, fs)b2-

Это соотношение можно переписать в виде:

[ (Ф*(<9Л, 9fs) + 2///,/, - 2ti8HfJ8)da = 0.

J ф

Из полученного равенства следует, что ц8 > l,s = 1,2,.... Если = 1, то /1 = const = 1/(/ф2Hcla) на Ф. Это означает, что = 1 является первым характеристическим числом кратности один. Из соотношения (4) вытекает, что система функций является ортонормированной в W\ системой, и потому она является ортонормированным базисом в W.j.

Так как пространство функций W\ бесконечномерно, то множество fs,s = 1,2,... является бесконечным. Поэтому ¡is —> 00 при s —> 00.

Согласно теоремам Фредгольма, уравнение ¡iAf = / + А7 однозначно разрешимо V7 G Ь-2, если /л ф fis(s = 1, 2,...).

Рассмотрим уравнение

(Л q)w} = МЛ q)l2 + (т> Q)l2 + / -4>qdS. (5)

Jd<s>

Рассмотрим интеграл

I(q) = / —il'qdS JдФ

при фиксированной функции ф. Покажем, что I(q) определяет линейный функционал в пространстве W.J.

Так как функция ф Е Ь2(дФ), то выполнена оценка:

|ВД| = | [ №S\<M№)\\q\\wi.

В силу теоремы Рисса о линейных функционалах, функционал I(q) может быть представлен, и притом единственным образом, в виде: I(q) = (Вф^)1¥1, где Вф — элемент из W2, ф — функция класса W2.

Это равенство определяет оператор В на любом элементе из W\. Он является ограниченным, так как

\\Щ'\\щ = (Вф,Вф)щ = 1(Вф) < М\\ф\\щ\\вф\\щ.

Откуда

\\Вф\\1¥1 < м\\ф\\1¥г.

Тогда уравнение (5) примет вид: / = pAf + А7 + Вф в W.J. Оно однозначно разрешимо, если р ф s = 1,2,..., V7 G Ь2, Уф £ W.J. Это означает, что задача (А) для р ф s = 1,2,... имеет единственное решение класса W.J. Так как

Я,b*ij е С0,Л,(Ф), 7 G ф £ Chs(dФ), то решение /, согласно теореме о ре-

гулярности решений эллиптических уравнений, является функцией класса С2'Л(Ф)([2]). Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бодренко, А. И. Аналог неравенства Шаудера для замкнутых поверхностей в евклидовых пространствах / А. И. Бодренко // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. - Вып. 11. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2007-2008. - С. 6-12.

2. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973. — 578 с.

SOME PROPERTIES OF ELLIPTIC OPERATORS

A.I. Bodrenko

The properties of the elliptic operators on hypersurfaces in Euclidean spaces are studied in this article.

Key words: deformation of surface, mean curvature.