О главных направлениях гиперквадрики в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

О ГЛАВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ ГИПЕРКВАДРИКИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.Е. Фомин

Аннотация

В конечномерном случае у гиперповерхности (п +1) -мерного евклидова пространства в каждой точке существуют п главных направлений - собственных векторов тензора Вейнгартена в данной точке гиперповерхности. У гиперповерхностей бесконечномерного гильбертова пространства оператор Вейнгартена может вообще не иметь собственных векторов. В данной работе доказывается, что у гиперквадрик гильбертова пространства, задаваемых положительно определенной квадратичной формой с некоторыми дополнительными ограничениями, главные направления существуют, приводится явное выражение точки гиперквадрики, для которой данное направление.

Пусть (Н, (■, •)) - вещественное гильбертово пространство, Е : Н ^ К - функция класса Сг, (г > 3), Е = {х £ Н | Е(х) = 0} - подмножество в Н, причем Ух £ Е, ДЕХ = 0 £ £(Н; К) = Н*, то есть Ух £ Е - регулярная точка (или по-другому: 0 £ К - регулярное значение отображения Е). Тогда Е - подмногообразие (регулярная гиперповерхность) в Н (см. [1]). Всякая карта с = (х-1 (и),х-1, Е) на Е определяет локальную параметризацию ж = х(и), и £ и гиперповерхности, где и - открытое множество в некотором модельном гильбертовом пространстве Е.

Е

картой) - это билинейная форма (тензор валентности (0,2))

ди(«,ад) = (Бхи («),Ох„ (ад)). (1)

Здесь и всюду ниже Д/ - производная Фреше в точке и отображения / банаховых пространств [1].

Е

Уи £ и имеем Е(х(и)) = 0. Продифференцировав это тождество, получим: Уи £ и, У« £ Е

ДЕх(и)(Ехи («))=0. (2)

Здесь Дхи(«) - вектор, касательный к Е в точке х(и). Для любого х £ Н обозначим £ Н - вектор, соответствующий функционалу , т. е. У^ £ Н (^) = ). Такой вектор по теореме Рисса [2] существует и единственен.

Для х £ Е = 0. Пусть пХ — орт вектора N3,1. е. = ||ЖХ|| ■ пХ. Тогда тождество (2) примет вид: Уи £ и, У« £ Е

(пх(и) ,Дхи («)) = 0, (3)

т. е. пХ(и) - орт нормали поверхности Е в точке х(и). Продифференцировав тождество (3) еще раз, получим: Уи £ и, У«,ад £ Е

(Дпж(и)(Дхи(ад)), Ехи («)) + (пх(и), Д2хи(ад;«)) = 0. (4)

II квадратичная форма гиперповерхности (в данной параметризации) - это билинейная форма (тензор валентности (0,2)):

Ни(у,') = (их{и), В2хи(у; ')) = -(Вих(и) (Вхи(')), Вхи(у)). (5)

Оператор Вейнгартена (тензор валентности (1,1)) в данной параметризации -это решение уравнения

Яи (у,Аи (')) = Ни (у,') (6)

или, как следует из (1), (5):

Вхи(Аи (')) = -Впх(и)(Вхи (')). (7)

Если учесть, что тензор типа (1,1) на Е в точке х - это линейный непрерывный оператор Ах : ТхЕ ^ ТхЕ, а его локальное представление в данной параметризации - это Аи = (Вхио Ах(и) о Вхи, то из (7) следует, что Ух £ £, УZ £ ТХЕ

Ах(и)(г) = -Впх(и) (8)

Вообще говоря, формула (8) определяет поле операторов Ах £ С(Н, Н), Ух £ Н, та всем пространстве Н, а ж только в точках х £ Е, поскольку пх - орт контравариантного градиента функции Г : Н ^ К определен для Ух £ Н. Но для х £ £ АХ(ТХЕ) С ТХЕ, что следует из цепочки тождеств:

Ух £ Н (пх,пх) = 1=^Ух^ £ Н (Впх^),пх) = 0

Впх{г) ±пх^ АХ{Н) = —Впх{Н) с ТХЕ.

Тензор (8) и является по определению оператором Вейнгартена гиперповерхности £. Напомним [3], что собственные векторы оператора Ах называются главными направлениями поверхности в точке х, а кривая класса С1 на Е называется линией кривизны, если ее касательные векторы в каждой ее точке имеют главное направление.

Замечание 1. Мы говорим, что линейный непрерывный оператор 5, действу-

Н

векторов, если комплексификация этого оператора, действующая на комплексном расширении гильбертова пространства, не имеет собственных векторов. Если 5 -самосопряженный оператор, то его собственные значения, если они существуют, вещественны.

Е

(х,Б(х))-1 = 0, (9)

где 5 £ С(Н; Н) - самосопряженный линейный непрерывный оператор. Тогда

Г(х) = (х,Б(х)) - 1, ВГх(Я) = 2(Я,Б(х))

Б (х)

N = 2Б(х), пх

Б (х)

Отсюда

Г) (7\ с, ^ №)>£(*))

^Вп*{2) = РШ -• цадцз •

= м^р ' ' <5(ж)'ад> '№)||2] • (10)

Если ж £ £, а Z £ Тх£, то Z ± ^ = 25(ж) и

(5(ж)^) = 0. (11)

Поскольку Ах самосопряжен относительно метрического тензора дх поверхности £, то собственные значения и собственные векторы оператора Ах, если они существуют, вещественны [4].

В качестве гильбертова пространства Н рассмотрим пространство Н = I2 х I2, где I2 — вещественное гильбертово пространство последовательностей, суммируе-

Н

х = (ж1 )+=—(Ж. Скадярное произведение в Н определяется так:

(ж, у) ж1 у1. (12)

В пространстве Н рассмотрим гиперквадрику £ с уравнением

(ж, 5(ж)) = 2(ж, Т(ж)) = 1, (13)

где

5 = Т + Т-1, (14)

Т : ж = (ж1 )+=-то £ Н - у = Т(ж) = (у1 = ж1-1 )+=-то £ Н (15)

есть оператор сдвига, который является линеиным непрерывным ортогональным оператором.

Предложение 1. Операторы Т и 5 не имеют собственных векторов.

Т

ж=0

и Т(ж) = А ■ ж, то ||ж|| = ||Т(ж) || = |А| ■ ||ж|| и |А| = 1. Тогда

(Т(ж))1 = Аж1 ^ ж1-1 = Аж1 ^ Уг £ Ж |ж1-11 = |ж*

что противоречит тому, что |жг |2 < те. У оператора Т нет конечномерных ин-

Т

на такое подпространство (точнее, его комплексификацию) имело бы собственные (комплексные) векторы.

Пусть теперь ж - собственный вектор оператора 5, соответствующий собственному значению А. В силу самосопряженности 5 ж и А вещественны. Тогда

Т(ж)+ Т—1 (ж) = А ■ ж.

Но это равенство означает, что векторы {Т(ж),Т-1(ж),ж} линейно зависимы, а конечномерное подпространство, натянутое на них, инвариантно относительно действия оператора Т, что невозможно. □

Предложение 2. Множество значений 1т5 = 5(Н) оператора 5 плотно Н

Доказательство. Так как оператор 5 самосопряжен, то УЛ £ Н равенство (у,5(Л)) = 0 влечет (5(у),Л) = 0 и 5(у) = 0. Но по предложению 1 оператор

5* инъективен, поэтому у = 0, то есть Б(Н)1- = {0}. Тогда и 8(Н) = {0}, и, следовательно, 3(Н) = Н. □

Если теперь оператор Вейнгартена (10) гиперквадрики Е (13) в точке х £ Е имеет собственный вектор £ ТХ Е, то

Ло^о= ||СД||3 • [ОД • (5(ж),5(^0)> -5(^0) • ЦОД||2] ■ (16)

||Б(х)||3

Найти из равенства (16) для каждой точки х £ Е главное направление ^о или, наоборот, доказать отсутствие главных направлений, представляется сложной за-

хЕ

собственный вектор Z £ТХ Е оператора Вейнгартена Ах , а наоборот, для заданного вектора У £ Н искать такую точку х поверхности Е, для которой этот вектор У (или некоторый вектор, зависящий от У) является собственным вектором оператора Вейнгартена Ах.

Е

странства (Н, (.,.)), заданная неявным уравнением

(Б (х),х) =1, (17)

где Б - самосопряженный (Б* = Б) линейный непрерывный оператор в Н, не имеющий собственных векторов (дискретный спектр оператора пуст). Тогда если вектор У £ ТхЕ является собственным вектором оператора Вейнгартена поверхности Е в точке х, то У = Б(^), где вектор Z £ Н удовлетворяет неравенству

(Б2^),Б[(Б2^),Б^))(Б(Z),Z) - ||Б(Z)||4] > 0, (18)

причем х и Z связаны между собой равенством

х = ± [№)||2 ■ Б(2) - (Б2(Z),Б(Z)) ■ Z] ■ (19)

[(Б2 ((Б2^),Б^))(^Б^)) - ||Б^)||4)] 1/2. ( )

Верно и обратное: для любого вектора Z £ Н, удовлетворяющего неравенству (18), существует точка х £ Е, связанная с Z равенством (19), такая, что вектор Бявляется собственным вектором оператора Вейнгартена по-

Е х Б

(УХ = 0 (Б(X),Х) > 0), то (18) выполняется для любого вектора Z = 0.

Доказательство. Оператор Вейнгартена гиперквадрики Е в точке х £ Е имеет вид (10): УУ £ ТхЕ С Н

= Щх)Р ' ' <5(Ж)'5(У)> " 5(У) ' И5^ Ц2] ' ^

при этом согласно (11)

(у, ад)) = о. (21)

Предположим, что в точке х е Е у оператора Ах существует главное направление, то есть существует вектор У £ ТхЕ, У ф^ 0: АХ(У) = Хх ■ У. При этом собственное значение Хх = 0, так как в противном случае из (20) в силу инъективности Б

х ■ (Б (х), Б (У)) - У ■ ||Б(х)||2 =0,

откуда

<адлу)>

цад)112 х " х-

Подставив это выражение в (21), получим 0 = = V, то есть У = 0 -

противоречие.

Из (20) видно, что 1тАх = Ттб*, то есть собственный вектор У € Ттб* и поэтому имеет вид У = ), Z € Н. № (20) следует, что векторы {5(ж),5(У),У} образуют линейно зависимую систему, то есть 5) = ) + в 5(ж), откуда

а = (У,5(У))/||У||2 и

(22)

Так как оператор 5 инъективен, то (22) влечет

/Зх = 5(^)--1|5(^)||2----^ '

Подставив (22) и (23) в уравнение поверхности (17), получим

/з2 = • - иади4] • (24)

Таким образом,

■ [(52(^,5(^)) - |№)||4] > 0 (25)

— необходимое условие того, что вектор У = ) является главным направлением поверхности £ в точке ж, которая, как следует из (23), (25), выражается через этот вектор Z:

ж = ± [||5(Z)||2 ■ £(.£) - (52(^, 5(Z)) ■ Z] ■ (2б)

[(52^),5(Z))• ((52(Z),S(Z))(Z,S(Z)) - ||5^)||4)] 1/2 ( )

0

Условия (25) и достаточно для того, чтобы произвольный вектор У = 5^) = 0 был собственным вектором поверхности £, по крайней мере, в двух ее точках вида (26). Действительно, как легко проверить, при любом векторе Z = 0 точка (26) лежит на поверхности £ (17), а вектор У = ) € Тж£, так как ) ± 5(ж). Кроме того, вектор У = 5- собственный вектор оператора Вейнгартена (20) в точке (26), то есть

5(ж) -(5(ж),5(У)) - 5(У) ■ ||5(ж)||2 || У

или

ж -(5(ж),52^)) - 5(Z) -||5(ж)||2 || Z. (27)

Докажем (27). Обозначив для краткости

[(52^)) ■ ((52(Z)) - ||5^)||4)]-1/2 = В, (28)

получим для выражений, входящих в левую часть равенства (27):

(5(ж),52= (ж,53= ±В ■ [||5^)||2 ■ ||52^)||2 -(52^),5(Z))2] ,

||5(ж)||2 = В2 ■ [||5^)||2 ■ - ■ 5^)]2 =

= В2 ■ [||5^)||2 ■ ||52^)||2 - (52] ■ ||5^)||2.

Тогда левая часть (27) примет вид

-В2 ■ [||Я(2)||2 -||£2(2)||2 -(£2(2),5*(2))2] -(£2(2),5*(2))- 2 || 2.

Пусть теперь оператор 5 положителен, то есть Уж = 0 (5(ж),ж) > 0. Тогда существует самосопряженный линейный непрерывный оператор Р : Р2 = 5 [4], который также не имеет собственных векторов и поэтому инъективен. Проверим условие (25) для оператора У 2 = 0 также и 5(2) = 0, поэтому

(52(2),5(2)) > 0. (29)

Кроме того,

(5*2(2),5*(2))(2,5*(2)) - ||5(2)||4 =

= ||Р3(2)||2 ■ ||Р(2)||2 - (Р2(2),Р2(2))2 = (30)

= 11Р3(2)||2 ■ ||Р(2)||2 - (Р3(2),Р(2))2 > 0.

Неравенство в (30) строгое, так как его обращение в равенство возможно лишь при Р3(2) || Р(2), то есть 5(Р(2)) || Р(2), что невозможно ввиду отсутствия у оператора 5 собственных векторов; (29) и (30) влекут (25), что и завершает доказательство теоремы. □

Замечание 2. Остаются открытыми вопросы: какое подмножество точек поверхности описывает уравнение (19) при выполнении условия (18)? Будет ли это множество на Е открытым или замкнутым, может ли оно совпадать со всей поверхностью или быть пустым?

В качестве примеров гиперквадрики (17) с положительным самосопряженным оператором не имеющим собственных векторов, рассмотрим следующие (правда, эти примеры не дают ответы на вопросы, поставленные выше в замечании).

1. Н = Ь2([0,1]) - гильбертово пространство суммируемых с квадратом по Лебегу вещественных функций, заданных на отрезке [0,1] С К, Уж € Н

5(ж)= / ■ ж, (31)

где / € Н и / положительна, то есть /(4) > 0 на [0,1] почти всюду, и Ус > 0 € [0,1] | /(4) = с} = 0 (^ - лебегова мера на [0,1]).

2. Н = I2 х I2 , где I2 — гильбертово пространство вещественных последовательностей, суммируемых с квадратом: Уж = (ж1 )»е2, у = (у1 )»е2 (ж, у) = ^¿е2 жгу1, Т : ж = (ж1) ^ у = Т(ж) = (у1 = ж1-1), Т - ортогональный оператор (Т* = Т-1,

||Т || = 1),

к

Б=-(Т + Т-1)+\&н, \к\ < 1. (32)

Тогда У2 = 0 (5(2),2) = к(Т(2), 2) + (2,2) > ||21|2 — |к| ■ |(Т(2),г)| > ||21|2 -|к| ■ ||Т(2)|| ■ ||21| = ||21|2(1 - |к|) > 0 (второе неравенство в этой цепочке строгое, так как если бы было |(Т(2),2)| = ||Т(2)||-||2||,то Т(2) || 2, но оператор сдвига Т

Оператор 5 не имеет собственных векторов, так как таким свойством обладает оператор Т + Т-1 (см. выше предложение 1). НТ

О л оо

¿=0 ¿=0

Оператор 5 положителен, так как Уж = 0

оо ^ ОО

(5(ж),ж) =2||ж||2+2]Г-СГ(ж),ж) > 2||ж||2 - 2]Г-||ж||2 = 0 ¿=1 ¿=1

(неравенство в этой цепочке строгое, так как оператор сдвига тг, г = 1, оо, не имеет собственных векторов).

Покажем теперь, что оператор 5 не имеет собственных векторов. Так как 5 самосопряжен, то его собственные значения вещественны. Если Z - собственный 5

ОО О

¿=0 ¿=0

и, как следствие.

ОО

1

ОО

1 „¿+1 , X ^ 1 т1—1

Е + Е = 2 А . тг. (35)

¿=0 ¿=0

Вычитая (35) из (34), получим

О

Е^П^) = -\т{г)). (36)

2

¿=0

Так как

¿=0 ¿=0

(здесь е = idя), то (34) и (36) можно записать так:

(е-^т)-1 (г) + 2Т(2Т - е)(г) = х- г, (38)

2т(2т - е)-\г) = |(Л -1 ){е- \т){г). (39)

Подставив (39) в (38), получим

(.е - \т)-\г) + |(Л -1 ){Е- \т){г) = х-г,

а отсюда, как следствие,

|(А - 1 ){е- 1-т)2 - x(е - 1-т) + д) (г) = 0. (40)

Обозначим

Е-\т = Я. (41)

Так как оператор Т ж имеет собственных векторов, то и ^ их не имеет. Тогда (40) примет вид

^(А-1)д2 + {г) = о. (42)

Но равенство (42) означает, что векторы ^^)} линейно зависимы, и подпространство (двумерное при А = 1 или одномерное при А = 1), натянутое на них (точнее, комплексификация этого пространства), инвариантно относительно действия оператора ^^^^^^^^мжно, так как Q не имеет собственных векторов.

Summary

V.E. Fomin. Oil principal directions of hyperquadric in Hilbert space.

A hypersurface in an (n + 1)-dimensiond Euclidean space has n principal directions at each point: the eigenvectors of the Weingarten operator. And for a hypersurface in the infinite-dimensional Hilbert space, the Weingarten operator possibly has no eigenvectors. In the present paper we show that a hyperquadric in the Hilbert space determined by a positive definite quadratic form has principal directions under some additional assumptions. For a given direction we write an explicit expression for the point of the hyperquadric where this direction is principal. Also we give examples of these hyperquadrics.

Литература

1. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов. - М.: Наука, 1975.

2. Дьёдонне Ж. Основы современного анализа. - М.: Мир, 1964.

3. Норден А.П. Теория поверхностей. - М.: ГИТТЛ, 1956.

4. Лет С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. - М.: Мир, 1967.

Поступила в редакцию 23.12.04

Фомин Виктор Егорович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Казанского государственного университета. E-mail: [email protected]