CC BY
14
УДК 517.944
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ НОРМ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
© 2009 г. В.И. Седенко
Ростовский государственный экономический университет, Rostov State Economic University,
ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002,
main@rsue.ru main@rsue.ru
Излагается результат об эквивалентности нормы в H\ (□) и нормы, порожденной корнем 4-й степени из бигармонического оператора.
Ключевые слова: бигармонический оператор, собственное значение, дробная степень, оценка норм операторов.
In this paper we proof the equivalent the norm in to H \ (□) to the norm, generate of the 0,25 degree of biharmonic operator.
Keywords: biharmonic operator, spectral value, fractional degree, estimate of the norm of the operator.
Интерполяционная теорема
Здесь мы приводим необходимые вспомогательные сведения из [1, с. 21-23].
Пусть X и Y - два сепарабельных гильбертовых пространства, причем X с Y, X плотно в Y и непрерывно в него вложено. Пространство X может быть определено как область определения некоторого неограниченного самосопряженного положительного оператора Л , действующего в Y (Л определяется не единственным образом), при этом норма в Х эквивалентна норме графика (и|| ^ + ||Ли|| ^ )Г , и е £>(л)= X [1].
Промежуточное пространство [х, Y]в - это область определения оператора л1_в, 0^ в ^ 1, причем норма в [х, Y в определяется как норма графика Л1_в
Щ +\\л1~ви\\2 У , и е[х, Y Je.
Теорема. Пусть (х1,Y1), (х2,Y2) - две пары гильбертовых пространств описанного выше типа; ж - непрерывный линейный оператор одновременно из Xj в X2 и из Y1 в Y2. Тогда ж - также непрерывный линейный оператор из [х1, Y1 ]е в [х2, Y2 ]е при всех ве(0,1) [1, с. 41].
Задача на собственные значения для бигармонического оператора с краевыми условиями жесткого защемления края оболочки
Пусть граница ограниченной области О ге С3 имеет ограниченные производные 4-го порядка; ^,
I е 2+ - система собственных функций однородной краевой задачи для оператора Д2; , I е 2+ - соответствующая система собственных значений:
Д2^ =^1, 6 1г=^ 1Г= 0 .
дп
Здесь п - направление вектора внешней нормали. Известно, что Х1, I е 2+ - последовательность монотонно возрастающих до бесконечности положительных чисел; £ е Н 22 (О) П Н 24 (О), I е 2 , составляют ортонормированный базис в Ь2 (о) и ортогональный
базис в Н 2 (о) .
Для каждой функции к е Н2 (о) имеет место
ад
единственное разложение в ряд к = 2 а]% ] ■ Введем
1 I
обозначения: MQ k =\h: h =2ajfcj
j=i
j=i
, m 1 = u m 1
Q = U M Qfr ; k=1
система
hi lr =
собственных
значении:
A hl = ßhi,
Собственные функции n удовлетворяют интегральному тождеству
J Wx1x1 + hlx2x2 wx2x2 - m Vlx1x1 wx2x2 - m hlx2x2 wx- +
+ 2(m + lfrix^wx1x2 )dx =M \hiw, l e Z4
x1x1 (1)
для любой функции m е H2 (О, /) [3, 4].
Для к е H2 (о, /) имеет место единственное
раз-
ложение в ряд h = 2ahj • Используем далее сле-
j=i
дующие обозначения:
м 2
= |h: h =2ajhj |
МО = и мО л , Б ? : М О ^ L2 (о), к = 2 / ащ] к=1 ]=1
2 е Я, ДБ-0,5 = V: МО ^ Ь2(о), Рк2 : Ь2 (о) ^ Мол .
Рк - ортогональная в ¿2 (о) проекция, МО плотно в Ь2 (о) .
Продолжение операторов и и V
Предложение 1. Оператор и продолжается до изометрического оператора из Ь2 (о) в Ь2 (о) .
Доказательство. Для всех I, ] е 2+ имеем
^J'L (Q)
Б? : МО ^ ¿2(О), Б?к = 2*2а& , 2 е Я,
]=1
ДБГ0'5 = и: МО ^ ¿2 (О), Р^ : ¿2 (о) ^ М О к .
Здесь Рк* - ортогональная в ¿2 (о) проекция. Скалярное произведение на М Ои МО индуцируется скалярным произведением в Ь2 (о) . Очевидно, что МО плотно в ¿2 (о) .
Задача на собственные значения для бигармонического оператора с краевыми условиями шарнирного защемления края оболочки
Пусть граница ограниченной области о г е С3 имеет ограниченные производные 4-го порядка; щ,
I е 2+ - система собственных функций краевой задачи для оператора Д2; /, I е 2+ - соответствующая
fc. A2fc l (q)=^-fc .fc l ^S
j 'l2 (q)
(2)
где Sj - символ Кронекера в силу ортонормирован-ности fc , i e Z + , в L2 (q) . Для h e L2 (q) положим
Uh = lim UPlh.
В силу (2) имеем II UP^h - UP^h I
= P1 h - P1^
r -1 и"
l2 (q)
IIl2 (q)
откуда следует фундаментальность
d hi dhi —Г - mx~r
v dnz an J
последовательности иР^к , что и доказывает существование ик для каждого к е Х2 (о) . Опять-таки из (2)
получаем иР^к = Р^к . ., что дает нам изо-II "¿2 (О) Н N¿2 (О)
метричность ик. Предложение доказано.
Предложение 2. Оператор V продолжается до ограниченного оператора из Ь2 (о) в Ь2 (о) .
Доказательство. Для § е МО в силу (1) имеем
N¡¡2 (О) =|К0,5§^(о) ^ С+ §х22Х2 - 2т§ХЛ §2x2 +
ь= о, где m e(0;0,5), х - + 2(m + ^)dx ^ ^NIl2(q) , где g = g • Далее
кривизна контура г ; , I е 2+ образуют последовательность монотонно возрастающих до бесконечности положительных чисел; щ еН2(о,/)ПН2(0), I е 2+ составляют ортонормированный базис в Ь2 (о) и ортогональный базис в Н22(О,/) [2].
действуем как при доказательстве предложения 1. Предложение доказано.
Операторы и * и V * Предложение 3. Для к1 е Н2(о), к2 еН2(о,/)
U " h1 = ^_0'5 Ah1
(3)
да
V *И = Г2"0'5 АА2 . (4)
Доказательство. Докажем (4), (3) доказывается
аналогично. Сначала отметим, что Н2 (о) с Н2 (о, м). Тогда для g е М□
С другой стороны, интегрируя по частям с учетом краевых условий, получаем
(Vg. h2 ^ (Q)=(A^Ö0'5 g, h2 )z2 (Q) = = (sQ0,5g, ДЙ2)i2(Q) = (g, SQ0,5 АЙ2). (6)
Таким образом, для любого g е MQ из (5) и (6) получаем (g,V* h2 )l2(q) = g SQ0,5 ДЙ2 )i2(Q), откуда
следует (4). Предложение доказано.
^ о Л о
H 2 (q) с H 22 (Q) .
Предложение 4. U'
Поскольку PlmsQ0,5h , P„1S!Q0'5h е H2(q)
самым получаем, r
что S—0,5 h е H2 (q) . Теперь
до-
кажем, что U
о Л
2
H2 (q) с H2 (q) . Действительно,
следующие оценки:
-4—0,25
К-25 t Chili, и.
Vh
* qiSj0'25 hl
(7)
(8)
* C{l 14<0Н fr» 4 И)
»rr* . e0,25r T*
UgK (ü)+l |S>" Ugli2(ü)
где константа C зависит лишь от Q . В силу строгой
положительности
Ъ' 16 Z + l|glL2 (о)* ЧК25 g|
Iii (о)'
Окончательно получаем
»r.0,2^,* II „г /~1 ||о0,25 ||
Sо" U gIL2(о)*C4S1 gIL2(о).
Теперь для g = S-0,25 h, h е MQ имеем
К0,25 gAS—0,25 gl
L2 (о)
* C
Iii (q) .
(9)
Далее, интегрируя по частям с учетом однородных краевых условий, получаем
||VS—0,25h
Il2 (q)
= (vS—0,25h,VS—0,25h)
L2 (n)
= —(s-,25 h, AS—0,25 h)i (q) = —(h, S—0,25 AS—0^
*
,L2(Q) ||Si-o,25 AS-0,25 hl
<
L (о) *
* C
Доказательство. Покажем сначала, что если
И е ¿2 (о), то Бп°'5И е Н2 (О). Как при доказательстве (2), имеем
¡АР1 Б-0-5И - АР:Г-0'5й|| = \АР1Н - АР1к\ .
II ™ о п о (о) II т п \\ь1 (о)
IIl2 (й)г1 as1 1l2 (о)* c4"h"l2 (о) =
тем
в силу (9). Тем самым (7) доказано. В свою очередь из (7) получаем (8). Предложение полностью доказано.
Предложение 7. Для всех И е М0 имеют место следующие оценки: |УГ 2"°'25 И| С\\И\\12 (о),
где константа С зависит
пусть g е Н2 (о). Тогда И = Аg е Ь2 (о) и
U*g = Г-0'5Аg е Н2(о). Предложение доказано.
Предложение 5. V* (н 2 (о, м)) с Н 2 (о, м).
Доказательство полностью аналогично доказательству предложения 4.
Основные результаты Предложение 6. Для всех И е Мо имеют место
"¿2 (о)- СГ1 ИНь2 (о)' где константа С зависит лишь от области ^ и т.
Доказательство. В силу общей интерполяционной
теоремы при X =Х 2= Н22 (о), У =У = Ь2 (о), в = 0,75 с учетом предложений 1 и 3 имеем для g е Мп
(о)- С|Г20,25 ИЦ (о) ,
лишь от о и т .
Доказательство полностью аналогично доказательству предложения 6.
Литература
1. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971. 371 с..
2. Седенко В.И., Клитина Н.А. Задача на собственные значения для бигармонического оператора с краевыми условиями смешанного закрепления края оболочки // Мат. методы в современных и классических моделях экономики и естествознания : материалы регион. науч.-практ. конф. Ростов н/Д, 2007. С. 20-23.
3. Седенко В.И., Батыгова С.А., Сердюкова Е.В. Теоремы существования и единственности обобщенных решений моделей Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений с шарнирным закреплением края. 1. Теорема существования // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № 1. С. 28-30.
4. Седенко В.И., Мартынов В.А. Разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для уравнений Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений и шарнирным защемлением края // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 200-206.
Поступила в редакцию
6 ноября 2008 г.
2
2
