Начально-краевая задача для уравнений Кармана колебаний пологих оболочек со смешанным закреплением края Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Е. Б. Макарова

Начально-краевая задача для уравнений Кармана колебаний пологих оболочек со смешанным

закреплением края

В настоящей статье излагается начально-краевая задача одной из моделей механики сплошных сред - модели Кармана колебаний пологих оболочек, край которых закреплен частично жестко, частично шарнирно, введено в рассмотрение функциональное пространство H2 (Q, /Л'-, Г1, Г2 ), сформулированы и доказаны теоремы о дифференциальных свойствах приближений Бубнова - Галеркина.

Ключевые слова: уравнения Кармана, колебания пологой оболочки, краевые условия, начальные условия, приближения Бубнова - Галеркина.

Е. B. Маkarova

Entry-Boundary Problem for Karman's Equations of Fluctuations of Flat Covers with the Mixed

Fastening of Edge

In the present article is represented an entry-boundary problem of one of models of mechanics of continuous environments -models of Karman of fluctuations of the flat covers which edge is fixed partially rigidly, partially jointed, the functional space is

entered into consideration H 2 (Q, /Л, Г , Г2 ), are formulated and proved theorems of differential properties of approximation of Bubnov - Galerkin.

Keywords: Karman's equations, fluctuation of a flat cover, regional conditions, entry conditions, approximation of Bubnov -Galerkin.

§ 1. Постановка задачи

Пусть Q - ограниченная область на плоскости с границей Г £ C , причем Г — Г U Г2, где Г и Г2 являются объединениями связных компонент Г . Все неограниченные компоненты Г , если они есть, содержатся в Г . Нелинейные колебания упругой пологой оболочки, проектирующейся

на область Q, при движении в сверхзвуковом потоке газа описываются следующей системой уравнений:

utt - yAutt + sAA:ut + A2u - [u + f, v + в\ + ры — Z , (1)

A2 v + [u + 2 f, u ] — 0 (2)

с краевыми условиями жесткого закрепления части края Г1

1 du dv

u | Г— — ir — 0, v | Г— — | Г— 0 (3)

Г dn Г Г dn Г

и шарнирным закреплением части края оболочки Г

u\r2 —

с начальными условиями

2

^d2 u du^

• /X— v dn 2 dn j

k—v 1г3—fk—0 (4)

© Макарова Е. Б., 2011

Начально-краевая задача для уравнений Кармана колебаний пологих оболочек со смешанным закреплением края

u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = u1 (x). (5)

Здесь: у, S, p, ¡U - заданные постоянные, f, 0, Z, uo, Щ - заданные функции, n - направление внешней нормали, X - кривизна контура Г2 . Скобка [<^,п] представляет собой выражение вида

, n] ^x1x1^x2x2 + ^x2xflxx ^^x^2 . (6)

Величина u(x, t) - поперечный перегиб оболочки, v(x, t) - функция напряжения, слагаемое

уДи{1 моделирует инерцию поворота точки, £"Д2 отвечает за описание внутреннего трения

t-ff iVAV/^VJAAAJ,/^ V/ А XAAAVJ_/J_l,.i:AA\„» UVUV^/V 1 U IV AAVAA; L/i_1 f

материала оболочки.

§ 2. Определение пространства H2 (ü, Г, Г2 )

>2

Пусть О - область на плоскости К с границей Ге С3 , обладающей ограниченными четвертыми производными. Обозначим через А(О, ¡и; Г!, Г2 ) множество всех функций W е N3 (О), обладающих ограниченными производными четвертого порядка, равных нулю в некоторой окрестности Г1 и финитных в случае неограниченности О и удовлетворяющих условию (4). На функциях

и V е и; Г1, Г2 ) введем билинейную форму (u, ^)А(п,и;Г1,г2) = (д\ ^(О) + ^ Х)ь2{О).

Пополнение А(О, ¡и; Г1, Г2 ) по норме

W llf2(ü,/;ГЛ) W W)L1 (ü)+(w, W)b1(ü) (5)

назовем пространством H^ (ü,/ Г1, Г2 ) [1].

§ 3. Задача на собственные значения

Рассмотрим задачу на собственные значения для бигармонического оператора

Д2£ = ?£, (6)

rd\ d\ —т - UX — Г У dn dn у

\ = — = 0 \ =

^ dn ' ^

= 0. (7)

Ä2

Теорема 1. Пусть граница ограниченной области О Г е N и имеет ограниченные производные четвертого порядка. Тогда задача (6), (7) имеет обобщенный дискретный спектр

? — ? — ? — ... — ?т — ... из счетного числа стремящихся к бесконечности положительных собственных значений, каждому из которых соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций £ . Собственные функции £, I = 1,2,... образуют полную ортонор-

мированную систему в (о) и полную ортогональную систему в Н2 (О, Г1, Г2 ).

Доказательство непосредственно получаем из общей теоремы о спектре положительно определенного симметричного оператора [1]. Теорема 2. В условиях теоремы 1

£ еН2(О,Г1,Г2)ПН4(О), I=1,2,...

Доказательство. Пусть £ - собственные функции краевой задачи (6), (7), тогда £ е Н2 (О, Г1, Г2 ). Положив в (6), (7) / = ?£, рассмотрим следующую краевую задачу

f,L =

dS,

dn

= 0 =

A2S, = f ,

f d % dS 1 MX'

dn2

dn

= 0.

(8) (9)

А

Так как £ Е Н2 (о, /; Ц, Г2 ), то £ Е ¿2 (о). Тогда и правые части в (8) / Е ^ (о), а значит, согласно [3], обобщенные решения краевой задачи (8), (9) £ Е Н^ (о). Теорема доказана.

§ 4. Определение приближений Бубнова - Галеркина

т

Приближения ит функции и будем искать в виде ит (х, t)= ^ О™ ()£/ (х), где функции

j=1

времени О™ (() определяются как решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

( дит

(ит - уАити + £ЛЧт + А2ит - [ит + /, V™ + 0] + р°— - 2, £ ^ о = 0,

I = 1,

m

mm

причем V находится по u как решение краевой задачи

А 2 m г m . о -С m

v = -[u + 2f, u J, v

dvm

г=ци r2

dn

= 0

Г=ци Г2

с начальными данными

a,

m (0 )=( uo,s- \2 (q), am (0 )=( )

L2 (Q).

(10)

(11)

(12)

Теорема 3. Пусть /, 0 Е N( [0, tf ], Н22 (о) ), 2 Е N( [0, tf ], ¿р (о) для некоторого

р > 1. Тогда найдется ^ > 0 такое, что на отрезке [0, ^ ] существуют решения

о™ (( )е N2 ([0, ) системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10), (11) с начальными данными (12), а приближения Бубнова - Галеркина имеют следующие дифференциальные

свойства:

um е *t2<

N2([0,g,Щ(Q,MГ1,Г2))пN2([0,g,H24(q) )

vm е N

[0, t0 J, H2 (Q)|.

v

f o л

Если f еN([0,tf J,H22(q) ), то vf еN [0,t0J,H22(Q)

2 I""/ /' 1" ^

V У

Доказательство непосредственно следует из теоремы Коши - Пикара с учетом оценок, следующих из энергетического соотношения.

Выражаю огромную благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. И. Седенко

г

Начально-краевая задача для уравнений Кармана колебаний пологих оболочек со смешанным закреплением края

Библиографический список

1. Михлин, С. Г. Линейные уравнения в частных производных [Текст] / С. Г. Михлин. - М. : Высшая школа, 1977. - 431с.

2. Седенко В. И., Клитина, Н. А. Разрешимость в Н4(О) краевой задачи для бигармонического оператора

с краевыми условиями смешанного края закрепления оболочки [Текст] / В. И. Седенко, Н. А. Клитина // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - №3. - 2008. - С. 22-25.

3. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Ф. Хартман . - М. : Мир, 1970. - 720 с.