CC BY
14
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2009. № 3
УДК 517.944
РАЗРЕШИМОСТЬ В Н\ С^ ЗАДАЧИ ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ В МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА
© 2009 г. В.И. Седенко
Ростовский государственный экономический университет, ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, [email protected]
Rostov State Economic University, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, [email protected]
Доказывается существование обобщенных решений класса ff^ ^ краевой задачи для продольных перемегцений срединной поверхности оболочки.
Ключевые слова: краевая задача, разрешимость, слабое решение, оценка решения.
In this paper we proof the existence of the weak solutions in the ff^ of the boundary value problem for the elliptic system of the equations for the literal displacements of the points of the surface.
Keywords: boundary value problem, solvability, weak solution, the estimate of solution. Краевая задача
Пусть £) - произвольная область на плоскости ^ : /ь /2 ~ функции на П . Продольные перемещения и , V срединной поверхности оболочки, проектирующейся на область О , удовлетворяют краевой задаче следующего вида:
интегральному соотношению (4) для любых бесконечно дифференцируемых финитных в О функций £, 77.
Мультипликаторы
-Av-
\-М 1 + //
MlöQ = vlöQ=0 =
(1)
(2) (3)
Для / <е Ь2% / и / - прямое и обратное преобразование Фурье-функции /. Пусть т - ограниченная измеримая функция на Я". Зададим линейное преобразование Тт с областью определения 12({п СИ„({п следующим соотношением:
(
где в = ич +vXi
; постоянное число //е ¡¡.0.5 [,2 . J С ■ гДе т называется муль
Обобщенные решения краевой задачи (1) - (3)
Пусть £, - бесконечно дифференцируемые финитные в О функции. Умножим (1) на (2) на 77
типликатором для L
1 < р < со, если функция
для любой feL2Ç"$Lp
оператор
T
ограничен,
т.е.
скалярно в /-2 О , и сложим результаты. Применив ||7„г/||, Ср не зависит от /
формулу интегрирования по частям к левой части полученного выражения, имеем
Теорема 1. Пусть функция т однородна степени О и бесконечно дифференцируема на сфере. Тогда т -
1-/7
+Vr
мультипликатор для Lp
1 < р < со [3].
1 + М,
>
Цх2
dx =
(4)
= ! fit + ■ П
Обобщенными решениями краевой задачи (1) - (3) на-
Теорема существования и единственности обобщенных решений краевой задачи (1) - (3)
Теорема 2. Пусть в (1), (2) - + .
зовем пару функций а . у & п\ К) , удовлетворяющих
' ГД6 F'J(eLp^ 1 i, 7=1 =
n
n
и
n
о
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2009. № 3
2 . Тогда краевая задача (1) - (3) имеет единственные обобщенные решения и, V, причем выполняется оценка
2
\\hI<i
■>+ V
i,J=1
F1J
(5)
2 2 2 1 + /' --У\ + У2 \UVJ---
1 -ц ) 1-JU
1 + // 2 , 2 2
1-// I 1-А
(6)
где константа С зависит лишь от П и р.
Доказательство. Сначала предположим, что -бесконечно дифференцируемы и финитны в О . Тогда в силу [_ существуют единственные обобщенные
решения и , V. Продолжим их до функций на И
следующим образом: и - " при хе
Я 2 Ш.
о
Далее считаем, что с и // продолжены в Я до произвольных бесконечно дифференцируемых, финитных в
о
Я , обращающихся в 0 в некоторой окрестности дП. Отметим, что множество таких функций всюду плотно в ¿2 - С помощью интегрирования по частям перебросим в (4) все производные с и и на с и // и перейдем к образам Фурье. В силу всюду плотности
Л д /о £ и г/ в ¿2 ^ получаем
Из (6) следует, что производные и и v выражаются через с помощью мультипликаторов в , 1 < p < да, представляющих собой отношения многочленов второй степени от у, у2 со знаменателем, обладающим отрицательным дискриминантом. Что означает, что в силу теоремы 1 в этом случае выполняется оценка (5). Для произвольных Fy (5) доказывается с помощью выбора аппроксимирующих в
LpK}^ последовательностей F'J бесконечно дифференцируемых финитных функций. Единственность обобщенных решений очевидна. Теорема доказана.
Литература
1. Marguerre K. Zur Theorie der gekrümmten Platte grosser Formanderung // Proc. 5th Internat. Congress Appl. Mech. Cambridge, Mass., 1938; N.Y., 1939. Р. 93-101.
2. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ. 1944. Т. 8, Вып. 2. С. 109-140.
3. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., 1973. 344 с.
4. Теорема существования обобщенных решений краевой задачи для продольных перемещений срединной поверхности оболочки модели Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек / В.И. Седенко [и др.] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-теств. науки. 2005. № 3. С. 21-22.
Поступила в редакцию
21 марта 2008 г.
u
