CC BY
7новлены достаточные условия корректной разрешимости краевой задачи с нелокальным условием. Получены рекуррентные формулы для обращения матрицы ^ ^ ).
Отметим, что если дополнительно предположить относительно входных данных и найденного решения в широком смысле непрерывной дифференцируемости по х и 1 ,
то функция
l(x, t)
, обладающая непрерывными частными du
ми производными дt и дх , удовлетворяющая системе
уравнений в частных производных (1) при всех ^) е ^ с нелокальным условием (2) является и классическим решением нелокальной краевой задачи (1)-(2).
Список литературы:
1. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. -М.: Наука, 2006. - 287 с.
2. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. -Новосибирск: НГУ, 1983. - 84 с.
3. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. - Киев, 1984. -264с.
4. Асанова А.Т. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем гиперболических уравнений /А.Т.Асанова, Д.С.Джумабаев //Дифференциальные урав-
нения. - 2005. - Т.41, -№3. - С.337-346.
5. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения /Д.С.Джумабаев //Журнал вычислительной математики и математической физики.
- 1989. - Т.29, -№1. - С.50-66.
6. Cesari L. A boundary value problem for quasilinear hyperbolic systems. /L.Cesari //Riv. math.Univ. Parma. -1974. -3. -№2. -Pp.107-131.
7. Pucci P. Problemi ai limiti per sistemi di equazioni iperboliche /P.Pucci //Boll.Unione Mat. Ital. B. -1979. -16. -№5. -Pp.87-99.
8. Bassanini P. Iterative methods for quasilinear hyperbolic systems in the first canonic form /P.Bassanini //Appl. Anal. -1981. -12. -№2. -Pp.105-117.
9. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.
- М.: Наука, 1968. - 592 с.
10. Абдикаликова Г.А. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи. /Г.А.Абдикаликова //Математический журнал. ИМ МОН РК - 2005. - Т. 5. - №3 (17). - С.5-10.
11. Абдикаликова Г.А. О корректной разрешимости одной линейной краевой задачи /Г.А.Абдикаликова //Вестник Оренбургского государственного университета. -2006. -№9 (59). -С.261-264.
12. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Физ-матлит, 1980. -488 с.
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА ПРИ ОГРАНИЧЕНЯХ НА
ПЕРЕМЕННЫЕ
Даниленко Евгений Леонидович
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики, Одесский национальный политехнический университет
SOME CLASSICAL INEQUALITIES WITH CONSTRAINTS ON VARIABLES
Danilenko E.L. doctor of technics, professor, Odessa National Polytechnic Uni-versity
АННОТАЦИЯ
Неравенство Коши и неравенство Иенсена распространяется на случай, когда разности между переменными ограничены. Аналитически решается задача выпуклого сепарабельного программирования и приводятся её интерпретации.
ABSTRACT
Cauchy inequality and Jensen's inequality extends to the case where the difference between the variables are limited. The problem is solved analytically separable convex programming results of its interpretation.
Ключевые слова: неравенство Коши, неравенство Иенсена, ограничения, сепарабельное программирование.
Key words: Cauchy, Jensen inequality, restrictions, separable programming.
Общеизвестны классические неравенства, например, (b + x1, ... , b + xn) eRn. Для любого y = (y1, y2, ... , yn) eRn [1, 2]. Ставится задача распространения этих неравенств неравенство x > y означает, что x - y eR n. Среднее ариф-на случай, когда разности между переменными ограниче- метическое координат вектора x будем обозначать S(x) = ны и фиксированно среднее арифметическое. n-1(x1 + x2 + ... + xn). Если x eR+n , то среднее геометриче-
1. Начнём с классического неравенства Коши, согласно ское координат вектора x будем обозначать G(x) которому среднее геометрическое не превосходит сред- x2 ... xn ) >0.
него арифметического, нашедшее широкое применение в Т е о р е м а 1. Пусть a >0 и £ eR n фиксированны так, различных разделах математики [например, 1 - 4]. Введём что S(ox) <а.Если La (s)= { x: x eRn , 5x > £,S(x) = a}R n , то некоторые ограничения. Пусть x = (x1, x2 , ... , xn) e Rn , 5x 10. x* = arg max(xeLa G(x)=a- S(o£)+ 0£. = (x1, x2 - x1, ... , xn - xn-1) eRn, ox = ( x1, x2 + x1, ... , x1 + 20. x* = arg min(xeLa )G(x)=n(a- S(o£)) en+ 0£, где en=(0,... ... + xn-1 + xn ) eRn. Если b eR1 , то по определению b + x = ,0,1).
Доказательство. Заметим, что для п=1 теорема очевидна. Пусть выражение 10 верно для п=т. Это значит, что если £еК.+м,8(б£)<а, то 0(х)<0(а-8(5£)+5£) для любого хеЬа (е) , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х=а-8(6е)+б£.
Убедимся, что выражение 10 верно для п=т+1. Пусть П=(П1,—,Лт+1)еК+т+1, 8(5г|)<Ь. Если у=(у1,...,ут+1) еЬЬ (п)еЯ+т+1,5у>п ,8(у)=Ь, или у1>п1,у2-у1>п_2,...,ут+г ут>пт+1,у1+...+ут+1>(т+1)Ь . Поэтому ук>у1-г|1+(г|1+...+пк ),к="(1,т+1). Сложив эти неравенства, получим (т+1)Ь=
у1+...+ут+1>(т+1)(у1-п1)+(т+1)Б(бп) или у1<Ь-8(5п)+п1,
что вместе с неравенством у1>г|1 дает
у1е1=[П1,Ь-8(6П)+п1]. (1)
Зафиксируем у1 и положим г = (у2,..., у )еИ.+т,0(у1 )=(у1+г|2,г|3,...,г|т+1)еЯ+т^=(г|1+ г|2,г|1+ Л2+" п3,.,п1+ П2+...+ пт+1)еЯ+т. Так как 5г>0(у1 ), 8(г)=((т+1)+Ь- у1)/т и
8(а 0(у1 ))= т-1 ((у1+ П2)+[( у1+ П2 )+ п3 ]+...+[(у1+ п2) + П3+...+ Пт+1])= у1-П1+ т-1 ((т+1)8(аП)- п1) <(Ь- 8(аП)+ П1 )-П1+ 8(аг|)- т-1((п_- 8(аг|))=Ь- т-1 (г|1- 8(аг|))< Ь- т-1(у1-Ь)= т-1((т+1)Ь- у1 ),
то 2 6 Ьт-1 ((т+1)Ь- у1)) (0(у1 )).
Поскольку по предположению для п = т теорема верна,
то
О(г) < С(т-1) ((т+1)Ь-т-1 у1- 8(а 0(у1 ))+ а 0(у1 )),
(2)
причем равенство будет иметь место лишь тогда, когда г=т-1 (т+1)Ь- т-1 у1- 8(а 0(у1 ))+ а 0(у1 ). (3)
Очевидно, что Ош+1(г) = у1 Ош(г). Поэтому (см. (2)) Ош+1(у) < у1 Ош(т-1 (т+1)Ь- т-1у1- 8(а 0(у1 ))+ а 0(у1 )),
(4)
причем неравенство переходит в равенство лишь тогда, когда имеет место равенство (3).
Обозначим правую часть неравенства (4) через Р(у1). Так как
а 0(у1 )= у1- П1+ v,8(а 0(у1 ))= у1- п1+ т-1 ((т+1)8(аг|)-т-1 п1, то т-1((т+1)Ь- т-1у1 - 8(а 0(у1 ))+ а 0(у1 )=т-1 (n1+mv+(m+1)(Ь- 8(ап))- у1.
Поэтому
Р(у1) = т-т у1 Пк=1т[ п1+ тХ1=1к+1п1 +(т+1)(Ь- 8(аг|))-у1]. Напомним, что у1е1 (см.(1)). Так как Р(у1) > 0 и тт (Р' ( у1))/(Р( у1))= 1/у1 - Хк=1т[л1+ тХ1=1к+1п1 +(т+1) (Ь- 8(аг|))- у1]-1 > (Ь- 8(аг|))+ п1)-1-5к1= 1т[п1+ т^ +(т+1) (Ь- 8(ап))-(Ь- 8(ап))+ п1]-1=(Ь- 8(аЛ))+ п1)-1 т^^Ь-8(ап)+ Х1=1к+1Л1 -1 > 0,то Р' ( у1 ) > 0.
Поэтому многочлен Р( у1) монотонно возрастает на интервале I. Значит
у1 От((( т+1)Ь - у1)/т- 8(а 0(у1 ))+ а 0(у1 )) < Р(Ь- 8(аг|)+ П1 ) или
у1 От((( т+1)Ь - у1)/т- 8(а 0(у1 ))+ а 0(у1 )) < От+1(Ь-8(аП)+ ал), (5)
при этом равенство в (5) будет иметь место тогда и только тогда, когда
у1= Ь- 8(ап)+ п1. (6)
Из неравенств (4) и (5) следует, что для любого у еЬЬ (г|) От+1(у)< От+1(Ь- 8(ап)+ ап),
причем неравенство переходит в равенство, если име-
ют место равенства (3) и (6). Обозначим через вектор y*=(y1*,...,y * ), удовлетворяющий этим соотношениям. Тогда
y1*= b- S(an)+ nl, (6*)
а
z* = (y2*,.,ym+1* )= ((m+1)b- yl* )/m- S(a 0(y1* ))+ a 0(y1* )= b- S(an)+v, что вместе с (6*) дает
y* =b- S(an)+ an. (8)
Объединяя выражения (7) и (8), имеем max(yeLa (e))G(y)=G(b- S(an)+ an). Причем максимум достигается только на векторе y = y*. Значит значение максимума 10 в теореме 1 верно для n = m + 1, откуда по индукции следует справедливость при любых n.
Аналогично доказывается выражение 20 в теореме 1. Из теоремы 1 следуют частные случаи для n = 2, 3. Имеем
V(e1 (2- £1 ) < V(x1 x2 ) < V(a2-(£22)/4 ), x1> 1 >0,x2- x1 > £2 >0, x1+ x2=2a;
2V(£1 (£1+ £2)(3a+£2+ £3))< V(x1 x2 x3 ) < <2V((a-2/3 £2-1/3 £3 )(a+1/3 £2-1/3 £3 )(a+1/3 £2+2/3 £3 )), x1> £1>0,x2- x1 > £2 >0,x3- x2 > £3 >0,x1+ x2+ x3=3a. 2. Рассмотрим неравенство Иенсена [1, 2] n- Zk=1nf(xk)> фп-1 Zk=1nxk), непосредственно связанное с выпуклым программированием [4, 6]. Здесь x : X е R, ф(x) - дифференцируемая и выпуклая вниз функция на промежутке (c - d, c + d). Ввиду симметричной зависимости правой и левой части неравенства Иенсена от x_k,^ ограничивая общно-сти,можно считать x1 < x2 <... < xn . Набор всех таких монотонных последовательностей, каждый член которых принадлежит области определения функции ф^), обозначим через К._ф={ x} , ф^)=( ф(x1),ф(x2), ... , ф^п)). Тогда в указанных обозначениях неравенство Иенсена запишется в виде
S(ф(x)) ^(S(x)).
Условимся, что неравенства между векторами - покоординатные неравенства. Тогда 5(ax) = a(5x)=x,5x>£, x > a£.
А для того, чтобы область La(£)= { xeK^i: 5x > £,S(x) = a} #0 необходимо выполнение условия a > S(a£ ). В этой области исследуем функцию Ф^)= ^^(xk) на минимум и максимум. Легко видеть, что функция Ф^) дифференцируемая выпуклая вниз на промежутке (c - d, c + d). Поскольку целевая функция и ограничения, описывающие допустимую область, записаны сепарабельными функциями [4], задача нахождения экстремума функции Ф^) в областиLa (£) является задачей выпуклого сепарабельного программирования [7], локальный экстремум которой совпадает с глобальным экстремумом. Доказана [6, 7] следующая основная теорема, аналогичная теореме 1.
Т е о р е м а 2. Если Ф^) дифференцируемая и выпуклая вниз функция, то
10. x* = arg min(xeLa (£)^(x)=a- S(a£)+a£ . 20. x* = arg max(xeLa (£) )Ф(x)=n(a- S(a£)) en+ a£ , где en=(0,... ,0,1).
Доказательство. Докажем единственность вектора10. Заметим, что для n = 1 это очевидно. Пусть это верно для
n = m. Это значит, что если S(as) <a, as >0, то для любого вектора xeLa (s) R+m имеет место неравенство Ф(х) > Ф(а- S(as++ as ),
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х = а- S(as)+ as.
Убедимся, что вектор 10 имеет место для n = m + 1. Пусть y = (х, х1 , ... , xm), r| = (s, s1, ... , sm), an > 0, S (an) <b. Рассмотрим функцию Ф(у) = ф(х) + Zk=1mf(xk) и область Lb(n)= {у: уеЯф Rm+1 , 5у >n,S(y)= b}. Прежде всего выясним интервал I = [min х, mаx х] изменения х. Поскольку х > s, min х = s. Для того, чтобы достигался max х, числа х, х1,... , xm должны принимать наименьшие значения х1= х + s1, х2 = х + s1+ s2, ... , xm= х + s1+ ... + sm. Дополнив эту совокупность равенством х = х и складывая все равенства, получаем max х = b- S(an)+s. Тогда xel = [ s, b- S (an)+s ]. Зафиксируем x и рассмотрим область La(x) s(x), где a(x) = m-1((m + 1)b - x ), s(x) = (x + s1, s2, , ... , sm). Проверим что La(x) s(x)# 0. Для этого убедимся в правильности неравенства a(x)> S(as(x)). После подстановки в это неравенство вместо х правого конца интервала I получаем
(m + 1)b > (m + 1)(b - S(an)+s) + ms1+(m-1) s_2+...+sm,(m + 1)b > (m + 1)b-(m + 1)s-(ms1+(m-1) s2+...+sm )+(m + 1)s+ ms1+(m-1) s2+...+sm, 0 > 0.
Согласно предположению индукции при фиксированном х >0 можно утверждать, что для любого вектора х(х) La(x) s(x) R+m имеет место неравенство Ф(х(х)) > <t(a(x)- S(as(x))+ as(x)),
причем равенство будет лишь тогда, когда х(х) = х* ( х) = a(x)- S(as(x))+ as(x). Покажем, что Ф' (x(x:x=(b- S(an)+ s)) <0. Найдём
Ф(х* ( x))=Zk=1mf(m-1(( m + 1)b - m-1 x+ m-1 (m + 1)( s-S(an)+ s1+...+s_k ). Тогда
sf' ( x )- Zk=1mfm-1 ((m + 1)b - m-1 x+ m-1 (m + 1)( s- S(an)+ s1+...+sk )<0,
mx < (m + 1)b - x, x < b- S(an)+ s
(последнее неравенство правильно по предположению). Следовательно, функция достигает минимума на правом конце интервала .
Точка минимума у* R9 R+m+1 может быть записана, как у* = (b- S(an)+ s,x* ( b- S(an)+ s)). Осталось убедиться, что у* = b- S(an)+an. Проверим это равенство хотя бы для второго члена. Учитывая a(x) и as(x) получаем
a(x) - S(as(x))+ x+s1= m-1 (( m + 1)b-b+ S(an)- s+ (m + 1) s-( m + 1)S(an)+ms1=b- S(an)+ s+s1.
Таким образом, выражение 10 правильно для n = m + 1, откуда по методу математической индукции делаем вывод правильности при любых n.
Аналогично этому доказательству докажем выражение 20 теоремы 2. Убеждаемся, что S(x* ) = a.
На интервале х е I исследуем функцию ф(х) + Zk=1m-1f(x+ s1+...+ sk ) + + ф(( m + 1)(b-x- S(an)+ s)+x+ s1+...+ sm ). Производная этой функции
ф'(х) + I^/^Y (x+ s1+...+ sk ) - mф' (( m + 1)(b-x- S(an)+ s)+x+ s1+...+ sm )
в точке левого конца min х = s > 0 интервала I не поло-
жительна, так как х <b- S(an)+ s=maxx,b-x- S(an) >0 . Таким образом, исследуемая функция в точке левого конца min х = s > 0 достигает своего максимума.
Подставим в точку (х, m(a(x) - S(as(x)) em + as(x)) значение x = s и покажем, что координаты этой точки будут равны координатам вектора ( m + 1)(b- S(an))em+1+ an) из предположения индукции
(x, m (a(x) - S(as(x)) em + as(x)) = (s,( m + 1)(b- S(an)) em+(s+ s1,... ,s+s1+... +sm))=(s,s+ s1,... ,s+s1+... +sm1,( m + 1)(b- S(an)) + s+s1+... +sm) = ( m + 1)(b- S(an))em+1+ an). Теорема доказана.
Проинтерпретируем задачу поиска максимума в теореме 2. В экономике под переменными х подразумеваем последовательные капитальные вложения в плановых периодах, s - ограничения капитальных вложений, a - среднее арифметическое капитальных вложений за весь перид времени, ф(х) - функция эффективности капитальных вложений. Тогда задача состоит в поиске распределения капитальных вложений х* при их максимальной эффективности. В биологии рассматривается некоторая популяция и под переменными х подразумеваются последовательные затраты на её содержание. Ставится задача максимального роста популяции, заданной функцией ф(х) роста при ограничениях затрат s и заданной средней затрат a за весь период и нахождение этих оптимальных затрат х*.
Запишем условия Куна - Такера для задачи поиска максимума в теореме 2. Тогда х* La (s) R+n ;
(Эф(х*))/Эх+-Х*)т (dg( х*))/Эх <0,X* R+n+2, gT (х* ) = [(Э( 5х*))/Эх, (3S( х*))/Эх, - (9S( х*))/Эх) ];
(Эф(х* )/Эх - (X*)T 3g х* /Эх)Т х* = 0, (X*)T b=0,bT=[ (5х*- s, a- Sx* , Sx* - a].
Проверим удовлетворяет ли выражение 20 из теоремы 2 этим соотношениям. Первое условие очевидно. Чтобы имело место третье условие положим
{(ф' (xk* )+ Xk*- Xk+1*- ^n+1*- ^n+2*=0,k=(1,n-1) , ф' (xn* )- Xn*- Xn+1*+ Xn+2*=0, откуда получаем
{(X1* = nXn+1*- Xn+2* )- ^ф' (xk* X X2* =(n-1)(Xn+1*- Xn+2* )- £k=1n-V (xk* ),
Хп-1* =2(Хп+1*- Хп+2* )- Ф' (Хп-1* )- Ф' (хп* ),
Хп* =(Хп+1)*- Хп+2* )- ф' (хп* ).)Н
И из этих выражений видим, что значения Хп+1* и Хп+2*, а также вид функции ф(х) определяют Х1*, Х2*, , Хп*.
Второе условие из условий Куна - Такера преобразуем к виду
)- Хк=1пф' (хк* ), )- Хк=1п-1Ф' (хк* ),
|(Х1* < п(Хп+1*- Хп+-
Х2* ^(п-1)(Хп+1*- Хп+2
Хп-1* ^2(Хп+1*- Хп+2* - Ф' (хп-1* )- Ф' (хп* ), Хп* <(Хп+1*- Хп+2* )- Ф' (хп* ).
Из сопоставления второго и третьего условия видим, что множество, определяемое третьим условием, является подмножеством множества, опредеделяемое вторым
условием. Следовательно, при любых числах xk*,k=(1,n) и любой функции ф^) всегда можно выбрать такие Xi*, i = (1,n+1) , чтобы второе и третье условие выполнялись. Подставим соотношение 20 в четвёртое условие, тогда (X*)T [ (n(a- S (a£)) en,0 0 ] = 0, Xn* n(a- S (a£))=0. Если принять Хп*=0,то это не повлияет на выполнение второго и третьего условий.
Аналогично проверяется условие Куна - Такера для выражения 10 теоремы 2.
Запишем для задачи поиска максимума в теореме 2, аппроксимирующую задачу в X- форме [4, 5], оптимальное решение которой получается решением её как задачи линейного программирования (без учёта дополнительных ограничений на выбор базиса)
Xi* = arg max(XeL a (£)R+n )Zk=1nZi=0rXi ф( xki ),i="(0,r) L a (£)= {(Z.=0r(Xi x1i ) > +£1, = '= Zi=0)rXi (x2i-x1i )> £2,
I. „ГХ1 (хп1-х д )> еп,
1=0 4 п-1 '
п-1 1к=1п11=0ГХ1 хк1=а, 11=0ГХ11^1,1=Х1 >0,1="(0,г).
Координаты приближенного решения исходной задачи вычисляются по формуле хк* - 110ГХ1* хк1 ,к=(1,п) .
Проводилось сравнение приближенного решения с помощью решения задачи линейного программирования и аналитического решения (теорема 2) при различных и достаточно больших числах п и Г, которое показало хорошее соответствие результатов. Следует отметить, что затраты машинного времени при приближенных расчётах в 1000 -10000 раз превышали аналитические [9].
Все эти результаты обобщаются на случай рядов и интегралов. Особенно интересен случай оптимального управления.
Список литературы:
1. Харди Г. Неравенства. Пер. с англ. // Г. Харди , Д. Литт-львуд , Г. Полиа — М., - 1948.—456 с. ( Изд.3. - 2008).
2. Беккенбах Э. Неравенства // Э. Беккенбах , Р. Беллман —М., - 1965.—276 с.
3. Даффин Р. Геометрическое программирование // Р. Даффин , Э. Петерсон , К. Зенер — М., 1972.—318с.
4. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование // Дж. Хедли - М.,1967. - 506 с.
5. Даниленко Е. Л. Неравенство Коши при ограничениях на переменные / Е. Л. Даниленко, И. И. Ежов // Известия вузов. Математика - 1982. - № 1. - С. 6 - 9.
6. Даниленко Е.Л. Обобщение неравенства Иенсена / Е. Л. Даниленко, И. И. Ежов. // Исследование операций и АСУ. Вып. 17. К.: Вища школа. - 1981. - С. 111-120.
7. Даниленко Е.Л., Об одной задаче выпуклого сепара-бельного программирования. Вычислительная и прикладная математика. Вып. 48. К.: Вища школа. - 1982. - С. 128 - 133.
8. Даниленко Е.Л. Расширение цепочки неравенств Ма-клорена. // Вычислительная и прикладная математика. Вып. 49. К.: Вища школа. - 1983. - С. 138 - 143.
9. Даниленко Е.Л. Некоторые классические неравенства при ограничениях. Сборник научных публикаций НИЦ «Знание» по материалам VIII международной конференции "Развитие науки в XXI веке"(академический уровень). Харьков: НИЦ. - 2015. С. 5 - 8.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ НУЛЮ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ДНЕВНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ДОХОДНОСТЕЙ АКЦИЙ И ЗАРУБЕЖНОГО
ОТРАСЛЕВОГО ИНДЕКСА
Дунбиев Р.П.
студент, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
TEST THE HYPOTHESIS OF EQUALITY TO ZERO CORRELATION COEFFICIENT DAY LOGARITHMIC STOCK RETURNS AND FOREIGN SECTORAL INDEX
Dunbiev R.P. student, Financial University under the Government of the Russian Federation
АННОТАЦИЯ
Проведена проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции дневных логарифмических доходностей акций и зарубежного отраслевого индекса на модельных и реальных данных. В качестве реальных данных взяты аргентинский фондовый индекс Merval Buenos Aires и котировки акций 13 компаний. Проведен предварительный анализ данных. В качестве критерия проверки гипотезы использован критерий Стьюдента. На основании полученныхp-значений сделаны соответствующие выводы.
ABSTRACT
Test the hypothesis of equality to zero correlation coefficient day logarithmic stock returns and foreign sectoral index on real and model data. The Argentine stock index Merval Buenos Aires and stock prices of 13 companies are taken as real data. The preliminary analysis of data. As a hypothesis test criteria used Student's test. Based on the p-values appropriate conclusions.
Ключевые слова: коэффициент корреляции, логарифмическая доходность, тикер, уровень значимости, p-значение.
Key words: correlation coefficient, logarithmic return, p-value, significance level, ticker.
Введение
Целью данной работы является проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции дневных логарифмических доходностей акций и зарубежного отрасле-
вого индекса. Данная гипотеза показывает, коррелирова-ны ли две логарифмические доходности, т. е. зависимы ли дневные логарифмические доходности акций компаний, входящих в какой-нибудь зарубежный индекс, от этого
