О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

MATEMATYKA- FIZYKA |ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

о разрешимости нелокальной краевой задачи для системы

уравнений в частных производных

Абдикаликова Г.А.

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики Актюбинский региональный государственный университет

имени К.Жубанова Альжанова Ф.Б. магистрант

Актюбинский региональный государственный университет

имени К.Жубанова

ON SOLVABILITY OF NON-LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE SYSTEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

Abdikalikova G.A. Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department Fundamental and Applied Mathematics Aktobe Regional State University named after K.Zhubanov

Alzhanova F.B. Postgraduate student Aktobe Regional State University named after K.Zhubanov

АННОТАЦИЯ

Исследуется краевая задача с нелокальным условием для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для решения рассматриваемой задачи используется метод параметризации. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи. Получены коэффициентные достаточные условия корректной разрешимости рассматриваемой задачи. Установлены рекуррентные формулы для обращения матрицы.

ABSTRACT

There is investigated boundary value problem with non-local condition for the system of partial differential equation. For solution considered problem using method parameterization. Find sufficient condition unique solvability of the problem. Obtain the sufficient coefficients conditions of well-posed solvability considered the problem. For reversibility of the matrix established of recurrence formulas.

Ключевые слова: краевая задача, разрешимость, корректность, Курант, нелокальное условие. Key words: boundary value problem, solvability, well-posed, Courant, non-local condition.

Постановка проблемы. На п ■ о ^ Rn

ных x по t и функции и • " Jl с нормой

О = {(x, t) ■ й < x <й + x,0 < t < T}, T > 0, x> 0 и и ч|, / ч|

lUII = тяу|1и(х t) И = max Mix, t) = max max > a,. (x, t)

рассматривается краевая задача с нелокальным условием ||«||0 = maxm^н ii (xt)ед|| v > /|| (xt)eo ^ j v ' '\

„ (x,t)еО ' j=

для системы уравнений с одинаковой главной частью по

Куранту И = max| d(x J

--+ ^ Лk-= A(x, t)w + f (x, t) Нахождение эффективных признаков разрешимости

dt k=i dxk (1) нелокальных краевых задач для некоторых классов диф-

ференциальных уравнений с частными производными B\XjU\X,0) xe[ox] + C (x)u(x,T j| xe[T,T+x] = d (x) (2) актуальны как для расширения класса корректно разрешимых нелокальных краевых задач, так и для применения

п е кп Лk = diag\a,,a,,...,a, I (nxn)

Здесь "Ьл ; k о l k э k? hi - V" 'V математических методов.

(n x n) A(x t) Анализ исследований и публикаций. В теории краевых - матрицы; симметрическая V ' - матрица V ' _и задач для уравнений в частных производных значитель-

n - вектор-функция f (x,t) непрерывны по x и t на О ный интерес представляют задачи с нелокальными усло-/ \ л( \ г*( виями, содержащие как характеристические, так и неха-

; \П x П) - матрицы , и n - вектор-функция рактеристические точки рассматриваемой области. Среди

d(x) [0 (] работ, посвященных краевым задачам с нелокальными

непрерывны на . ограничениями для широкого класса дифференциальных

п п(гл т>п\ уравнений и систем уравнений в частных производных,

Введем пространство CIО,К I непрерыв- }r rl/i ^ /

4 ' отметим работы [1]-[3], где можно найти подробный об-

зор и библиографию по этим задачам.

Краевые задачи для систем гиперболических уравнений со смешанной производной исследованы и решены методом введения функциональных параметров [4], являющегося модификацией метода параметризации [5], разработанного для решения краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.

Разрешимость задач с многоточечными краевыми условиями для квазилинейных систем гиперболических уравнений первого порядка исследована многими авторами, отметим [6-8].

Важное место в математической биологии, математической физике занимают симметрические гиперболические системы в частных производных первого порядка по Куранту.

Постановка задачи. Цель настоящей работы - установить коэффициентные достаточные условия корректной разрешимости в широком смысле нелокальной краевой задачи (1)-(2).

Изложение основного материала. Непрерывная на а

функция и(х, ^) называется решением нелокальной краевой задачи для системы с одинаковой главной частью по Куранту (1) при условии (2) в широком смысле по

Фридрихсу [9], если функция и(х, I) непрерывно дифференцируема по переменной 1 вдоль характеристики и удовлетворяет семейству систем обыкновенных дифференциальных уравнений и нелокальному условию (2).

Нелокальную краевую задачу (1)-(2) для системы дифференциальных уравнений с одинаковой главной частью, следуя [10] сводим к линейной задаче семейства обыкновенных дифференциальных уравнений на

Н = {(£,т): 0 <£<0,0 <т< Т} Т > 0,0> 0.

= Ж^р+7 ы ,гбю_т ], ~ е ^ (3)

в(£)~(£,0) + с(£)7(£, т ) = , £е[00

(4) ~

г(£, т) = и(£ + ат, т) А(£, т) = А(£ + ат, т)

где

- n - век-

f (£, т) = f (£ + ат, т) , а = {ах,а2,...,ап)

и n - вектор-функция

(п х п) А(£,т)

тор; 4 ' - матрица ^' '

7 а.т)

непрерывны по

Е

на

н

трицы

в(£) C(£)

рывны на

Пусть £

TTT-.TY ~

[о,©]

и n- вектор-функция

; (п х п)

ма-

непре-

C (и, Rn)

пространство непрерыв-т функций u ■ И ^ R

с нормой

\\u\\ = max max \u

11 110 Ее[0,®]те[0,Г ]"

(Ет)

Непрерывная функция и (£, т) называется решением краевой задачи (3)-(4), если функция и (£, т) е с (н, яп)

имеет непрерывную производную по переменной т и удовлетворяет семейству обыкновенных дифференциальных

уравнений (3), краевому условию (4) при всех (£, т) е Н .

Краевая задача (1)-(2) и задача (3)-(4) эквивалентны в

следующем смысле: Если функция и (х, ^), непрерывная

по х и 1 в с (а, яп) , является решением краевой задачи

(1)-(2), то и(£ + ат,т) = и (£, т) будет решением задачи

(3)-(4), и наоборот, если функция и(£,т) из с (н, яп) удовлетворяет семейству обыкновенных дифференциальных уравнений (3) и условию (4), то с учетом замены

£ = X -й ,т = I функция и(х - й , I) = и (х, I) - решение нелокальной задачи (1)-(2) на а .

В задаче (3)-(4) при фиксированных £ е [0,0] требуется найти решение из с (н, яп) семейства двухточечных краевых задач систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

К семейству линейных двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (3)-(4) применяется метод параметризации [5].

Суть метода параметризации заключается в следующем:

1) берется шаг Л > 0 : ^Ь=Т и область Н по временной переменной т разбивается на N частей;

2) вводятся дополнительные параметры - значения искомой функции на линиях т = (г - ф, г = 1, N

валов длины Ь и задача (3)-(4) путем замены сводится к эквивалентной краевой задаче с функциональным параметром;

3) строится алгоритм нахождения решения краевой задачи с параметром, каждый шаг которого состоит их двух пунктов:

a) решается линейная система функциональных уравнений относительно введенных параметров, которое определяется по шагу Л > 0 и исходным данным поставленной задачи;

b) относительно неизвестных функций решается задача Коши для семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений на интервалах длины Ь при соответствующих значениях функциональных параметров.

Применив к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений метод параметризации: берем шаг Л > 0

__N

и производим разбиение Н =[0,0] и и [(г — \)И, И ) . Далее используя граничное условие, Условие склеивания решения во внутренних линиях разбиения, произведя на каждой области разбиения замену йг (£,т)= иг (£,т)-Лг (£), где через иг (£,т) , г = 1, N обозначено сужение функции и (£, т)

на Mx[(r - A ) , Л й значение функции _ -Ц+j

~ / \ / ч --где

иг (%,т) т = (r - l)h,r = 1,N

r у 7 при v ' ' ' , получим эквива-

vhy(s)h max(i' he (stV-+1

лентную задачу с неизвестными функциональными пара-

Здесь При доказательстве теоремы используется схема дока-

Л?) = Я С?)...Л(?), . . д,(й-Л (?),.. Л С?)}' зательства теоРем [5>с54]> НИ-

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тог-

/V (<?, И) С., И. и ) да нелокальная краевая задача для системы уравнений с у у ' у у ' определяются через исходные г /г

, одинаковой главной частью по Куранту (1)-(2) имеет един-матрицы и вектор-функции: ^ /Л 1 ч

/„(?И) = (-И~(?) + ИС(?)рт(?.И)./г1 (?.И)...../гЯ-1 (?.И)} ственное решение М (Х'Х)е^^АЯ ).

и. м) = (ис(,сх и. м„). ^ и. и>.... ^-1 и. -1))' Из теоремы 1 вытекает' что краевая задача (3)-(4) од-

' нозначно разрешима. Так как задача (3)-(4) эквивалентна

= ] Щт + ] АТТ) Т )с!тгТх +... + задаче (1)-(2) то получим> что нелокальная краеваязадача

(г-1)и (г-1)и (г-1)и пл(0л и *(х. X )е й(п. Я")

(1)-(2) имеет единственное решение V ' / V ' ) Определение. Краевая задача (3)-(4) называется коррек-

л Ту-2 Ту-1 ~ /__\

+ Г ).. Г АТт ,) Г Г?Ту)с1тус1ту , ...Т - * / (? т)е С (Н Я" )

(Г-1)А (/■-!> (/■-!> У У 1 тно разрешимой, если для любых Vе «-у^,^ ; ,

ф, ©1 Яп)

она имеет единственное решение

(?,А.иг)= /л^г,)... | Л?,г„-1) (?ту)ётуёту_1...ёт1 и(Р Т е С(Н.Я" )

(г-1)И (г—1)И (г-1)И 4 7

Г = ^ * *(Т)таХЫ~М1 .№1) (6)

Обратимость матрицы при некоторых где Ю - непрерывная на [0.а] функция не завися-

и > о ■ м = т V V = 1 2

п ^ и. ш 1 и ' ' равномерном разби- /(? ) ^(?)

ении интервала является одним из условий однознач- щая °т ^ ^ ' и

ной разрешимости исследуемой задачи (3)-(4). Матрица Функция MV(?И) в (5) ограничена на [0 .а] при

(?у(?>h) составляется из сумм повторных интегралов по фиксированных И> 0 V = 1.2..... и не зависит от функ-

переменной т длины Ь от коэффициентной матрицы си- ~ ~

стемы (3) и матриц граничного условия (4). ций /(?, т) и ё(?). Тогда при выполнений условий а) и

Отметим, что из непрерывности исходных данных сле- Ь) теоремы 1 краевая задача (3)-(4) корректно разрешима.

0 и) Определение. Краевая задача (1)-(2) называется кор-

дует, что матрица ' является непрерывной по ректно разрешимой в широком смысле по Фридрихсу,

? е [о.а] у,у = 1.2.... / ч / ч

для любого если для любых /(X.X), а\Х) она имеет единственное

Достаточные условия однозначной разрешимости зада- ,_ ,

чи (3)-(4) устанавливает следующая теорема. решение и(х е . Я")

Теорема 1. Пусть при некоторых h > 0 • ^ T и

и для него справедлива оценка

V,V = ..., {М x N ) - матрица Q h) обратима \Ц\0 < K max(f||0, \Щ 1) ,

при всех ^ е \0, (] и выполняются неравенства: где K = const не зависит от f (x,t), d(x).

||[Q (^ < у (h)- Теорема 3. Задача (3)-(4) корректно разрешима тогда

a) " " и только тогда, когда при некоторых h > 0, таких, что

<а< 1,

N = T, и v,v = 1,2,..., матрица Qv(%, h) обр

обратима

q» (£. h) = у, (h)max{, hf(S -1 -a(S)h - ...-^Ш

cc(t^) = maxllr)|I, О = const. для всех % g [о, О)] и выполняются неравенства а) и b)

где ТФ,Т ^ теоремы 1.

Тогда существует единственное решение Доказательство. При выполнении условии теоремы

iE т)е n(h Rn) корректная разрешимость задачи (3)-(4) следует из тео-

уэ' ' V ' ' задачи (3)-(4) и справедлива оценка ремы 1

maX|~*(Ет)|<M iEh)maxfmaXI.7(Et!,1 r//A

те[о,г^^ Ii \те[о,гJl 4 'II II 'Ii; (5) Пусть задача (3)-(4) корректно разрешима и KE)

+ ea(l)h ih■

+

- непрерывная на

[0,©]

функция, удовлетворяющая неравенству (6). Переходя в матрице (£'

Q.(£, и ) = Нт Qv(£, и)

к пределу, находим

Возь-

мем число a > 0, ограниченное сверху

К > 0

берем число

(аИ0) 1 [еаи° -1 - аИ0 ] < —

, удовлетворяющее неравенству

6 . Устанавливаем обрати-

Q,(£, и) и е(0, И0 ]

мость матрицы 7 для всех 4 0 и оцен-

2К

К (£) = [+Кг-1 (£, и)][1+К-2 (£, и)\[1+V (£, и)К (£)-

-[i + (£, и)]-...-[i + ьу2 (£, а)_|ъ2 -...-[i + ьг— (£, и)ьг-1 - к

г = 2,3,..., N.

Или

К (£) = П [I + (£,и)\ К (£)-- п [I + ■ (£,и)К -... - Г-![I + (£, и)\Кг-1 - к

5=г-1 5=г-1 5=г-1 .

О К (£)

Отсюда находим " 4 '

К (£)= П [I + К, (£, и)\к(£)- I! [I + V (£, иК -... - П [I + Ь^ (£,

Уы-\ UN

ку

QE h )]-1

<

h

, где

K 0 =m© K £

К (£)

В(£)+С(Е)П[l+Lv,s(Ек)] К(£)= Ъ + кС(Е)±П]f+(£h%

Подставляв "N ^в (8), получим

По

теореме о малых возмущениях ограниченных обратимых Введя обозначение

M = в(е) + с(е)П [i + Lvs (е h)]

, име-

операторов [12,с.142] получим

|а(Е, к)]-

<

3K

9v(l h):

3k„

x(i, hC(£l)[

a 1 (ah)J

J=0 J!

< 1 < 1 Д J

2 v g N

[I + (£, и)]-К (£)-Лу+1 (£) = ъ}+1,

[I + ЬУМ-1 (£и)]. К,-1 (£)- К (£) = ъм.

н 7 к 7 т 7

Ьгг £ и)= ¡А(£,т + ¡А(£,т) ]а[£,Т2 ^т2 ¿т1 +. +

Здесь {r-1'>h {r-1'>h {r-1'>ь

+ | :~(£,т)... ]А(£ТуТ¿т г = 1

(г-1)и (г-1)и Г —

Затем, осуществляя прогонку вниз, получим:

¿2 (£)=[ + ЬУЛ (£, и)] - (£)-ъ2,

Кз {£)=[! + Ьх,2 (£, й)] - {[I + V (£, и)]К1 (£) - Ъ2}- Ъъ,

N i

Тем

М К (Е) = Ъх + hC(£)2 П [l + LVs (Е, h%

i=2 s=N

(N х N ) -

самым выполнены условия а), Ь) теоремы 1. Что и требовалось доказать.

Так как задачи (1)-(2) и (3)-(4) эквивалентны, то из теоремы 1 и теоремы 3 следует корректная разрешимость задачи (1)-(2).

Заметим, что в случае большой размерности матрицы

Qv(£, и)

^ / возникают вычислительные трудности при обращении матрицы. Следуя [5] получены рекуррентные

формулы для обращения матрицы Qv(£, и) , позволяю-

^ (£ и)]-1 щие находить ' поблочно.

Рассмотрим уравнение

Qv(£,и)-Л(£) = ъ, ъ е (7)

и поблочно запишем в следующем виде

иВ(£К (£) + ис(ф + Ьш (£, и)]. ЛN (£) = ъ, (8) [I + ьл (£, и)]. К £)-К (£) = ъ2, [I+ЬУ2 (£, и )]-К {£)-к (£) = ъз,

трицы трицы

Можно установить, что обратимость

Qv(£, и)

ма-

эквивалентна обратимости

(пхп)

-м

M = В(£) + C(££]J [l + Lvs (£, h)]

s=N

При этом справедливы рекуррентные формулы, по-

&(£, и)]-1

блочно определяемые элементы матрицы 4 '1 :

¿г,г, I = 1,..., N:

1 ^ к ¿1 =7М ' ¿к = м-'с(£)П[/ + (£,и)] и , ^

1 < к < N ,

¿Г = \? + КгГ-1 (£, Л)]- d г_1,г- I г = 2,3,...,N ,

+ 4,'г-1 (£, и)]-

, если

r-1i, если i * r

Далее непосредственным вычислением можно найти

^ (£ и)]-1

оценку нормы ^ и проверить выполнимость неравенства

fa£h -1 -a(£)h -... -

(a(£)h)V

<а< 1

Выводы и перспективы. При исследовании и решении нелокальной краевой задачи для системы уравнений в частных производных по Куранту применен метод параметризации, позволяющий наряду с однозначной разрешимостью устанавливать и корректную разрешимость задачи. Установлены коэффициентные условия корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для системы уравнений. В терминах матрицы, составляемой по правой части системы уравнения и граничному условию уста-

и вы-

h

=2 s=N

s=N

ем

h

h

новлены достаточные условия корректной разрешимости краевой задачи с нелокальным условием. Получены рекуррентные формулы для обращения матрицы Qv и).

Отметим, что если дополнительно предположить относительно входных данных и найденного решения в широком смысле непрерывной дифференцируемости по х и 1 ,

то функция

l(x, t)

, обладающая непрерывными частными du

ми производными и дх , удовлетворяющая системе

уравнений в частных производных (1) при всех ^) G ^ с нелокальным условием (2) является и классическим решением нелокальной краевой задачи (1)-(2).

Список литературы:

1. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. -М.: Наука, 2006. - 287 с.

2. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. -Новосибирск: НГУ, 1983. - 84 с.

3. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. - Киев, 1984. -264с.

4. Асанова А.Т. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем гиперболических уравнений /А.Т.Асанова, Д.С.Джумабаев //Дифференциальные урав-

нения. - 2005. - Т.41, -№3. - С.337-346.

5. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения /Д.С.Джумабаев //Журнал вычислительной математики и математической физики.

- 1989. - Т.29, -№1. - С.50-66.

6. Cesari L. A boundary value problem for quasilinear hyperbolic systems. /L.Cesari //Riv. math.Univ. Parma. -1974. -3. -№2. -Pp.107-131.

7. Pucci P. Problemi ai limiti per sistemi di equazioni iperboliche /P.Pucci //Boll.Unione Mat. Ital. B. -1979. -16. -№5. -Pp.87-99.

8. Bassanini P. Iterative methods for quasilinear hyperbolic systems in the first canonic form /P.Bassanini //Appl. Anal. -1981. -12. -№2. -Pp.105-117.

9. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.

- М.: Наука, 1968. - 592 с.

10. Абдикаликова Г.А. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи. /Г.А.Абдикаликова //Математический журнал. ИМ МОН РК - 2005. - Т. 5. - №3 (17). - С.5-10.

11. Абдикаликова Г.А. О корректной разрешимости одной линейной краевой задачи /Г.А.Абдикаликова //Вестник Оренбургского государственного университета. -2006. -№9 (59). -С.261-264.

12. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Физ-матлит, 1980. -488 с.

некоторые классические неравенства при ограниченях на

переменные

Даниленко Евгений Леонидович

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики, Одесский национальный политехнический университет

SOME CLASSICAL INEQUALITIES WITH CONSTRAINTS ON VARIABLES

Danilenko E.L. doctor of technics, professor, Odessa National Polytechnic Uni-versity

АННОТАЦИЯ

Неравенство Коши и неравенство Иенсена распространяется на случай, когда разности между переменными ограничены. Аналитически решается задача выпуклого сепарабельного программирования и приводятся её интерпретации.

ABSTRACT

Cauchy inequality and Jensen's inequality extends to the case where the difference between the variables are limited. The problem is solved analytically separable convex programming results of its interpretation.

Ключевые слова: неравенство Коши, неравенство Иенсена, ограничения, сепарабельное программирование.

Key words: Cauchy, Jensen inequality, restrictions, separable programming.

Общеизвестны классические неравенства, например, (b + x1, ... , b + xn) eRn. Для любого y = (y1, y2, ... , yn) eRn [1, 2]. Ставится задача распространения этих неравенств неравенство x > y означает, что x - y eR n. Среднее ариф-на случай, когда разности между переменными ограниче- метическое координат вектора x будем обозначать S(x) = ны и фиксированно среднее арифметическое. n-1(x1 + x2 + ... + xn). Если x eR+n , то среднее геометриче-

1. Начнём с классического неравенства Коши, согласно ское координат вектора x будем обозначать G(x) которому среднее геометрическое не превосходит сред- x2 ... xn ) >0.

него арифметического, нашедшее широкое применение в Т е о р е м а 1. Пусть a >0 и £ eR n фиксированны так, различных разделах математики [например, 1 - 4]. Введём что S(ox) <а.Если La (s)= { x: x eRn , 5x > £,S(x) = a}R n , то некоторые ограничения. Пусть x = (x1, x2 , ... , xn) e Rn , 5x 10. x* = arg max(xeLa G(x)=a- S(o£)+ 0£. = (x1, x2 - x1, ... , xn - xn-1) eRn, ox = ( x1, x2 + x1, ... , x1 + 20. x* = arg min(xeLa )G(x)=n(a- S(o£)) en+ 0£, где en=(0,... ... + xn-1 + xn ) eRn. Если b eR1 , то по определению b + x = ,0,1).