CC BY
56
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.946
Е.А. Акжигитов
канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Высшая математика», Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина, г. Астана
Ж.М. Кадирбаева
канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель, кафедра «Высшая математика», Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина, г. Астана
О РАЗРЕШИМОСТИ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. В статье рассмотрена линейная двухточечная краевая задача для систем нагруженных дифференциальными уравнениями. Поставленная задача исследована с неравномерным разбиением интервала с помощью метода параметризации, и установлено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости задачи при помощи фундаментальной матрицы.
Ключевые слова: нагруженные дифференциальные уравнения, параметрический метод, однозначная разрешимость.
E.A. Akzhigitov, Seifullin Kazakh Agro Technical University, Astana Z.M. Kadirbayeva, Seifullin Kazakh Agro Technical University, Astana
ON A SOLVABILITY OF TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS
Abstract. A linear two-point boundary value problem for system of loaded differential equations is considered. The considered problem with the non-uniform partition of interval by using the parameterization method was investigated and a necessary and sufficient condition for the unique solvability of the problem with the fundamental matrix is established.
Keywords: loaded differential equations, parametrization method, unique solvability.
В данной статье на [0,7 ] для системы нагруженных дифференциальных уравнений: rly m+1
dX = A (t) x + £ A, (t) x 0) + f (t), x e Rn, (1)
rt ,=1
рассматриваем линейную двухточечную краевую задачу с условием
Bx (0) + Cx (T) = d, d e Rn, (2)
где (n x n) - матрицы Aj (t), j = 0,...,m +1 и n - вектор f(x,t) непрерывны на [0,7],
n
0 = 00 < 01 < ... < 0m_1 < dm < в m+1 = T , ||x|| = mix|x, | , ||A (t )|| = miX £\aj (t )| .
Нагруженные дифференциальные уравнения и краевые задачи для таких уравнений рассмотрены во многих работах. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при математическом моделировании процессов механики, биологии и химии. Например: задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, экспоненциальный рост численности, задачи оптимального управления агроэкосистемы и т.д.
Значительный вклад в развитие теории нагруженных уравнений внесли работы А.М. На-хушева [1], где даны определения нагруженных дифференциальных, нагруженных интегро-
дифференциальных, нагруженных функциональных уравнений. В работе В.М. Абдуллаева, К.Р. Айда-заде [2] предложен численный метод решения системы обыкновенных нагруженных дифференциальных уравнений с начальными и неразделенными многоточечными условиями. В работе Д.С. Джумабаева [3] предложен метод параметризации исследования и решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий получить условия разрешимости в терминах исходных данных задачи и построить алгоритмы нахождения ее решения. В работе [4] с этого метода с разными шагами интервала предложен алгоритм нахождения решения задачи (1), (2).
Целью данной статьи является нахождение необходимых и достаточных условий однозначной разрешимости задачи (1), (2) при разных шагах разбиения.
Через C([0,T],R") обозначим пространство непрерывных функций х :[0,T] ^ R" с нормой ||х|| = maxi|x(t)||.
II 11° iE[0T]И 4 '\\
Функция x*(t)е C([0,T],Rn) называется решением задачи (1), (2) если она удовлетворяет систему нагруженных дифференциальных уравнений (1) и краевое условие (2).
В настоящей работе задача (1), (2) исследуется методом параметризации. Пусть || Д°(0||< a0(t), где a0(t) непрерывен на [0, 7]. Возьмем число a > 0 и через k,._1 обозначим
в,
число разбиения промежутка [в_1,в], при котором имеет место неравенство J a0(r)dr < a.
в_1.»,_1_1
Введем следующие обозначения:
. __pm+1
p0=0, p/+1 = Yks, l = 0,m и произведем разбиение [0,7) = у [tr-1,tr), где t0 = в0 = 0,
s=0 r=1
ti = воу t2 = в0,2, ■■; tp1 = в„ tp1+i = в1,1, ■■; tp2 = в2, ■■■, tpm+1 = 7
Через С ([0,7 ,Я"Рт+1) обозначим пространство систем функций хИ = (х-|(0,x2(t),...,хр , где хг : [tr_1,trЯ непрерывны и имеют конечные левосторонние
пределы lim xr(t) для всех r = 1,pm+1 , с нормой || x[-] ||1= max sup || xr(t) || ■
t^r -0 r=1,Pm+iiE[ir_1,tr )
Сужение x(t) на r -ый интервал [tr_vtr) обозначим через xr(t), т^ xr(t) = x(t) для
t e [tr_1, tr), r = 1, Pm
Вводим параметры Xr = xr(tr-1), r = 1,pm+1, и делаем замену
ur (t) = xr (t) - Xr, r = 1, pm+1 ■ Тогда получим параметрическую краевую задачу
du т+1
-Р- = A,(t)[Ur(t) + X] + S Amp-1+1 + f(t), t e [tr-1,tr), (3)
dt i=1
ur (tr-1) = 0, r = 1, pm+1 , (4)
BX1 + CXn + C lim un (t) = d, (5)
1 pm+1 t ^7-0 pm+1
ka + linn0us(t) = As+1, s =1 pm+1 -1. (6)
t ^ts-0
Задачи (1), (2) и (3) - (6) эквивалентны. Если пара (Л,и[Л), где Л = (Л1,Л2,.,ЛР ),
1 2 pm+1
u[t] = (u1(t),u2(t),.,up (t)) - решение задачи (3) - (6), тогда x(t), определямое соотношениями
1 2 pm+1
x(t) = X + Ur(t), t e [tr-1,tr), r = 1,pm+1 , x(7) = Xpm1 + limUpm1(t), будет решением задачи (1), (2)
Наоборот, если х(Щ) решение задачи (1), (2), тогда пар (2ДЛ), где X = (х(0),х(Щ1),.,х(ЩР ,)),
1 Рт+1 1
йЩ = (х(Щ) - ..(0),х(Щ) - х(£),...,х(Щ) - х(ЩР .)) будет решением задачи (3) - (6).
1 Рт+1 1
При фиксированных значениях параметров X е Я"Рт+1, система функций и й[Щ], определяется из задачи (3), (4), которая является специальной задачи Коши для систем нагруженных дифференциальных уравнений. Задача (3), (4) эквивалентна системе интегральных уравнений:
Щ т+1
-1 ,
йг (Щ) = X(Щ) | Х-1 (г) Ао (г^г + Х(Щ) I Х-1 (г)£ А,. (г)Хрм +А ■ >,-1 >,-1 '=1
+Х(Щ) I Х-1 (г)/(г)dг, Щ е [Щ,-1,ЩГ), г = 17Рт+1,
(7)
Решая (12), мы находим представление й(Щ) в терминах X е RnРm+1, г = 1,рт+1 , и /(Щ). Подставляя их в (5) и (6) получим систему уравнений для нахождения неизвестных параметров:
ВХ1 + СХ(Т) I Х-1 (г) Ао (г)Хр^г +
ЩРт+1-1
Т т+1 Т
+СХ(Т) I Х-1 (г)Х А (г^А + СХ(Т) I Х-1 (г)/(г)сг = d,
ЩРт+1-1 ЩРт+1-1
Щз *з т+1
X + Х (Щ,) I Х-1 (г) Ао (г)Xldг + Х (Щ,) I Х-1 (г)Х А (г^+А +
г8-1 /=1
+Х (Щ, ) I Х 1 (г) / (г) dг = X,+1, 5 = 1, Рт+1 -1.
г8-1
Запишем эту систему уравнений с учетом вектора:
QX = ^,
где:
Q=
В+СХ(Т) I Х(г)А,(г)ск 0 ... СХ(Т) I Х1(г)А,(г)ск ... С+СХ(Т) I Х1(г)А,(г)ск
ЩРт+1-1 рт+1-1 ЩРт+1-1
»1 »1 Щ
I +Х(Щ1)!Х1(г)4)(т)ск+X(t1)|X\т)A-(т)ск -I ... Х^Х1 (т)А,(^Л ... 0
Рт-1-1
^ I АА(г)сг
V ЩРт+1-2
Q : ^пРт+1 ^ ^пРт+1
РтИ-1
0 . Ы I ^МА(т)ст
-/
X =
Х(Т) I Х (г) /(г) сг - с
Г X ^ Л1 Г X ^ 1 ЩРт+1-1 Щ1
X2 е Rnpm+l,X = X е Rnpm+l, F = Х (^ )|x >0 1 (г) / (г) сг е RnРm+1
X, V Рт+1 У X,, V Рт+1 У 1Рт+1-1 Х (ЩРт+1-1 ) I 1. Х 1 (г) / (г) сг
Определение 1. Задача (1), (2) является однозначно разрешимой, если для любого (/(Щ ),с) имеет единственное решение.
>г
Рт+1
Рт+1-2
Теорема 1. Задача (1), (2) является однозначно разрешима тогда и только тогда, когда матрица О обратима.
В общем случае, если матрица А состоит из переменных коэффициентов, тогда нахождение фундаментальной матрицы является трудной ситуацией. Но фундаментальная матрица может быть найдена приближенно используя численные методы. В следующем примере, при нахождении фундаментальной матрицы используется метод Рунге-Кутта.
Рассмотрим краевую задачу для нагруженных дифференциальных уравнений на отрезке [0,1]:
* = ( 02 Ох + ( "2 0 IX(0.5) + а I12 о! 10.25 0.25/ 1 ^ ;
Г 17 ^ —/-1 8
/3 - /4 + — 16
, / е [0,1], х е R2,
10!х(0)+Г0 01 х(1)=[01
(8)
(9)
Точное решение: х1(/) = /2 - /, х2(/) = 0.
Численное решение этой задачи с помощью метода, который был представлен в этой статье (табл. 1).
Таблица 1 - Численное решение задачи
] ti ) < ) ~2(1Ч- ) Х2 )
0 0 0 0 0 0
1 0.05 -0.04750000031 -0.0475 -0.00000010292 0
2 0.1 -0.09000000118 -0.09 -0.0000001076 0
3 0.15 -0.12750000249 -0.1275 -0.00000011237 0
4 0.2 -0.16000000414 -0.16 -0.00000011723 0
5 0.25 -0.18750000605 -0.1875 -0.00000012218 0
6 0.3 -0.2100000081 -0.21 -0.00000012722 0
7 0.35 -0.2275000102 -0.2275 -0.00000013236 0
8 0.4 -0.24000001226 -0.24 -0.0000001376 0
9 0.45 -0.24750001416 -0.2475 -0.00000014295 0
7 ~1(2Ч-) < (0 ) ~2(2)('; ) Х2 )
10 0.5 -0.25000001583 -0.25 -0.00000014844 0
11 0.55 -0.24750001717 -0.2475 -0.0000001541 0
12 0.6 -0.24000001808 -0.24 -0.00000015999 0
13 0.65 -0.22750001848 -0.2275 -0.00000016616 0
14 0.7 -0.21000001827 -0.21 -0.00000017272 0
15 0.75 -0.18750001739 -0.1875 -0.00000017978 0
16 0.8 -0.16000001574 -0.16 -0.00000018751 0
17 0.85 -0.12750001325 -0.1275 -0.00000019611 0
18 0.9 -0.09000000984 -0.09 -0.00000020583 0
19 0.95 -0.04750000545 -0.0475 -0.00000021696 0
20 1 0 0 -0.00000022988 0
Здесь х* (/) =
X (/)
V х2 а)
- значения точных решений задачи (8), (9), х(1)(/) =
г х(1)(/)" V х21)(/)!
/ е [0,0.5), X(2)(/) =
Г х(2)(/)) V Х22)(/),
, / е [0.5,1].
Из таблицы следующие неравенства очевидны: sup |x*(t)-x(1)(t)| < 0.0000001, max|x*(t) -x(2)(t)| < 0.0000002.
ie[0,0.5) te[0-5,1] 1
Таким образом, представленный метод дает приближенное решение с точностью s = 0.0000002 для рассматриваемой задачи. Расчеты получены с помощью пакета математических программ MathCad 13.
Список литературы:
1. Нахушев А.М. Уравнения мат. биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
2. Абдуллаев В.М. О численном решении нагруженных дифференциальных уравнений / В.М. Абдуллаев, К.Р. Айда-заде // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 9. - С. 1585-1595.
3. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1989. - Т. 29, № 1. - С. 50-66.
4. Бакирова Э.А. О признаке однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений // Известия HAH РК. Сер.физ.-мат. -2005. -№ 1. - С. 95-102.
