О корректной разрешимости одной линейной краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Абдикаликова Г.А.

Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Исследуется линейная краевая задача для системы уравнения гиперболического типа. Методом параметризации получены коэффициентные достаточные условия существования, единственности решения рассматриваемой задачи и предложен алгоритм нахождения решения.

Изучению различных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа посвящено значительное количество работ, где разными методами получены достаточные условия существования единственного решения, отметим лить [1]-[2].

В [3] методом параметризации исследованы вопросы однозначной разрешимости краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [4] методом введения функциональных параметров, являющимся обобщением метода параметризации, установлены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для системы гиперболических уравнений второго порядка.

На Q = {x,t):t < х < t + ю,0 < t < T}, T > 0,

, ю > 0 рассмотрим линейную краевую задачу

1н +!Х = A(xtU + f (хt)s uG Rn, (1)

B(s )u(s,0)+ C (s )(s + T,T )= d (s), s e[0, ю], (2) где A(x, t)- (n x n)- матрица, f (х,t)- n - вектор-функция непрерывны по всем аргументам на q и непрерывно дифференцируемы по х и t; B(s)C(s)- (nx n) - матрицы, ds)- n - вектор-функция непрерывно дифференцируемы на

n

[0,ю], II = max|u,.(x,t),||A(x,t) = max£\aiJ(x,t) .

i=1,n i=1,n J=1 1

Через с(,Rn) обозначим пространство непрерывных по x и t на q функций

u : Q ^ Rn с нормой ||u|| = max maxiU(x,t) .

11 111 xe[0,ra]te[0,T ] 11

Задача. Найти коэффициентные достаточные условия существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Воспользовавшись методом характеристик, с помощью замены: т = t,^ = x -1 в области H = {,т): 0<^<ю,0<т<T}, T > 0,ю> 0 получим семейство обыкновенных дифференциальных уравнений

|т = % тр+^ (4, т). Х€[0, т ], ~ € , (3)

в(5М5,о)+с№(5,т)= а(5) 5е[о,м], (4)

где ~(г^х)=м(х+4,x). Я(5,т)=А^т) 7(5д)=/т+5,т).

Если функция и(х, г), непрерывная и непрерывно дифференцируемая по х и г в С (о, Я"), является решением задачи (1)-(2), то и(5,т)= и(т + 5,т) будет решением (3)-(4), и наоборот, если функция и(5, т) из С (, Я") удовлетворяет уравнению (3) и условию (4), то учитывая х = 5 + т, г = т, функция и(х, г), являющаяся непрерывной и дифференцируемой по х и г, будет решением (1)-(2) на о .

Для решения поставленной задачи применяется метод параметризации (м.п.) [3] к семейству линейных двухточечных краевых задач (3)-(4). Суть м.п. заключается в следующем: 1) берется шаг н > 0 : Ш = Т и интервал [о,Т) разбивается на N частей; 2) вводятся дополнительные параметры - значения искомой функции в начальных точках интервалов длины Н, и задача (3)-(4) сводится к эквивалентной краевой задаче с функциональным параметром; 3) строится алгоритм нахождения решения задачи с параметром, каждый шаг которого состоит их двух этапов:

a) решение линейной системы уравнений относительно параметров, определяемое по шагу н > 0 и исходным данным поставленной задачи;

b) решение задачи Коши на интервалах длины н при соответствующих значениях функционального параметра.

Берем шаг н > 0 и производим разбиение [о,Т)= и[(г-l)н.гН). Сужение функции ~(5,т)на [о,м]х[(г- 1)Н,гН) обозначим через иг(5,т),

г = 1^.

Тогда задача (3)-(4) сводится к эквивалентному семейству краевых задач:

^7- = А(£, тЦ. + 7(£, т) £ е [о, ю],

Эх

те [(г-1)к,гк), г = 1,N, (5)

5(£)~(1(£,0)+ Нш С(£)7йу(£,т)= d(£) £е [0,ю], (6)

N*-0

Нш 7я (£, т) = 7я+1 (£, як), £ е [0, ю], 5 = 1, N -1 (7)

т^-хк-0

где (7) есть условие склеивания решения во внутренних линиях разбиения.

Решением задачи (5)-(7) является система функций ~[£,т]=((£,х),...,7N(£,т)), где каждая функция ~г (£, х) непрерывно дифференцируема по х и ограничена на [(г - 1)к, гк). Отметим, что в начальной точке х = (г - 1)к интервала [(г - 1)к, гк) уравнению (5) удовлетворяет правосторонняя производная функции 7г (£, х). Из непрерывности и ограниченности функции ~г(£,х) на интервале [(г - 1)к,гк), г = 1,N и из [4] следует существование левосторонних пределов: Нш иг(£,х).

Т^гк-0

Значения 7 (£,0) и Нш uN (£,х) удовлетворя-

T^Nй-0

ют (6), а значения Нш 77я(£,х) и 77я+1 (£, як)

______ х^я,к-0

я = 1, N -1 удовлетворяют соотношениям (7).

Если и(£,т) - решение задачи (3)-(4),то система его сужений 77*[£, х] = (7*(£, х),..., 7^(£, т) будет решением задачи (5)-(7).

Действительно, из непрерывной дифференцируемости на [0, ю]х[0,Т ] следует ограниченность функции ~*(£, х) на [0, ю]х[0,Т ]. Тогда функция ц(£,т) непрерывно дифференцируема и ограничена на [0, ю]х [(г - 1)к, гк), г = 1, N.

Пусть 77 [£, х]= (~~1 (£, т)..., 7м (£, х)) - решение задачи (5)-(7). Из элементов системы функций «7 [£, х] построим функцию «7 (£, х) на [0,Т ], определяемую равенствами: 7 (£, х)= 7г (£, х),

те [(г- 1)к,гк), г = 1,N, и(£,Т)= Нш uN(£,х).

Л х^Т-0

Функция 7 (£, х) является непрерывной на [0,Т ] и с учетом (6) удовлетворяет краевому условию (4). Так как функция 77г (£, х) удовлетворяет уравнению (5) при всех те [(г- 1)к,гк), то функция 77 (£, х) удовлетворяет (3) при всех х е [0,Т], кроме точек х = гк , г = 1^.

Непосредственно покажем, что функция 77 (£, х) имеет непрерывную производную и в точках х = як, 5 = 1, N -1, а при х = Т имеет левостороннюю производную. Возьмем любую точку т = як , я = 1,N -1. Рассмотрим

уравнение на интервалах [(5- 1)к,як) и

[як,(5 + 1)к), 5 = 1,N - 2

Т) = А(£,т) + /(£,т) Ухе [(5- 1)к,як), (а)

дт

д7^т) = А(£,х) + 7(£,т) Ухе [як,(я + 1)к). (Ь) Эх

Из (а) имеем, что Нш — (£, т) существу-

7 Х^як-0 ЭХ

ет и Нш ^(£,т)= А(£,як) + 7(£,як).

х^як-0 Эх

Отсюда имеем существование левосторонней производной функции 77(£, т) в точке х = як. Учитывая (Ь) и существование правосторонней производной, получим существование производной функции 77 (£, т) в точке т = як, ее непрерывность, а также выполнимость уравнения в точке х = як, я = 1, N -1. Таким образом, построенная функция 77 (£, х) является непрерывно дифференцируемой на [0,Т], удовлетворяет уравнению (3), условиям (4).

Обозначим через Xг (£) значение функции 7г (£, т) при х = (г - 1)к, г = 1, N.

На каждой области разбиения производим замену 7г (£, т)= 7г (£, т)-Хг (£).

Получили краевую задачу с функциональными параметрами X г (£):

^ = ^4(£, х)7г(£, т)+7(£, т)+ ^u(£, т)х г(£) (8)

7г (£, (г - 1)к)= 0, £е[0, ю], (г = 1, N), (9)

В(£)Х1 (£)+ С(£)ХN(£)+ 11ш С(£>^(£,т)= d(£),

T^Nк-0

£е [0,ю], (10)

Хя(£)+ 11т 7(£,т)-Ха41(£)=0, £е[0,ю], я =1,N-1. (11)

х^як-0

Если функция 77(£, т) - решение задачи (3)-(4), то система пар функций

(Хг (£) = 7г Г, (г - 1)к) 7г (£, т)= 7г (£,т)- 7г ^, (г - 1)к)

будет решением (8)-(11), и наоборот, если ( (£)д;(£, т) является решением (8)-(11), то функция 7 *(£, х), которая получена при склеивании систем функций (х*г (£)+ 7*(£, х)), будет решением задачи (3)-(4).

В отличие от задачи (5)-(7) в задаче (8)-(11) появились начальные условия (9), которые позволяют определить 7г (£, т) из интегральных уравнений:

7г (£, Т)= | А(£, тК (£, т>Л + | 7 (£, х>Л+

(г-1)к (г-1)к

+ I%т)хг(£)т . (12)

(г-1)к

Подставляя 7г (£, т) в правую часть (12) и повторяя данный процесс V раз, переходя к пределу при т ^ гк - 0, используя краевые условия (10) и условия склеивания решения во внутренних линиях разбиения, умножая обе части (10) на к > 0, имеем систему уравнений относительно параметров Х„- (£) (г = 1, N, г = СП):

Qv (£, к)Х(£)=-^ (£, к)-(£, к, 7 ) (13)

где Х(£) = (Х11 (О,... Х1й ^..^ Хг1 (О,.. Хгй

ХN1 (£)..., ХЛй (£)),

&(£, к )=

ha(£) о

I + DVi ( h) -1

о ...о hc(£)H + Dvn(£.h))

о ... о о

I + Dv2 (£. h) - I

о

о

О ... I + DvN-iH. h)

-I

I - единичная матрица размерности n.

rh rh т:

Dvr(£.h)= JA(£.ті)^: + JA(£,ті) JA(£.т2+.. +

(r—1 )h (r-l)h (r-l)h

rh

+ | А(£,Т1).. |А(£,...,

(г-1)к (г-1)к

^,(£, к)=(- +С(£)^ (£, к)к, ^(£, к)...,^-1(£, к)

(, к, 7) = (С (, к, йN )к, аУ1 (, к, 71)...,

-1 (, к, йN-ОУ . (14)

Заметим, что одним из основных условий однозначной разрешимости исследуемой задачи является обратимость матрицы <2„(£, к) при некоторых к > 0:М = Т и V, V = 1,2,..., составленная по исходным данным задачи.

Для определения nN пар (Х(к(), йО)(£,т) имеем замкнутую систему уравнений (12)-(13). Применяя метод последовательных приближений, находим решение краевой задачи (3)-(4). Для нахождения решения краевой задачи с функциональными параметрами (8)-(11) - систему пар (7°)(£,х)), г = -

строим алгоритм.

Шаг 0: Из уравнения 0„(£, к)Х(£) = -^ч,(£, к) определяем начальное приближение по параметру Х(0)(£). На отрезках [(г - 1)к, гк), решая задачу Коши (8)-(9) при Х г (£)= Х(0^(£), находим й)Гo)(£, т).

Шаг 1: Найденные иГо)(£, т) подставляя в правую часть (13), определяем Х(1)£):

х(1)(£)=-[,(£,к)]-1 {, к)+«,(£, к, и(0))}. (15)

При X г (£)=х(1^(£) решая задачу Коши (8)-(9), находим мг()£, т). Тем самым нашли пару ((£) »«(£, т)).Ит. д.

Таким образом, на к -м шаге находим систему пар ()(£),и(к)(£,т),(к = 0,1,2,..., г = 1,N).

Достаточные условия сходимости предложенного алгоритма, а также вопрос о существовании и единственности решения задачи (3)-(4) устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть при некоторых к > 0: Ш = Т, и V,у = 1,2,..., (nNхnN)

- матрица <2,(£, к) обратима при всех £ є [о, ю], и выполняются неравенства:

а) ||Ш£, к )]-1| <у,(к);

“(£)к -

б) qv(;. h)= Tv(h)max{i. h||C(£I

-1 -a(£)h -... -

(a(£)h)v

v!

< О < 1.

где a(£)= niax |a(£, t|, o = const.

Тогда существует единственное решение 7*(£,х)е c(h,Rn) задачи (3)-(4).

Доказательство. При доказательстве теоремы используется схема доказательства теоремы 1 [3, с. 54]. При фиксированных £е [0,ю] для функции Ur(£,х)еС(,Rn)введем норму: ||мг (£,•) = mad |Ur (£, т). В силу обрати-

II и те[о,г | 11

мости матрицы QV(£, h) следует существование Х(о)(£) то есть Х(о)(£)= -[ (£, h)]-1 • Fv (£, h). Учитывая Fv(£, h) и FVr (£, h), оценим

||x(0)(£| = max |x(0)(£| < Yv(h) | Fv(£, h)|<

< Yv (h)max<jh^(£|+h\\c (£|]r HaHj|h| t^^I 7 (£, T|h

v1 (a(£)h|

j=0 f-

max

тє[о.Т

IH;.

тШ<

^ H) I (a(£)h)j ve1 (a(£)h)j

< Yv (h)max^ 1 + h||C(£)] ’

j=о f!

lld {£l. x IH(£,

j=о f!

\

0

0

0

т

v-1

max

Используя (15), условие а), (14), находим

|x(1)(£)-x(0)(£| < Ц (£, h)]-H •

•| |Gv(£, h, и (o)| < Yv(h) | GvH h, U (0)|<

< Yv (h)max(1.h||C^l)1*1^ тєlаx|u(о){£,т|.

Учитывая (1З), (14), оценим | |x(k+l){£)-x(k )(£|: ||x(k+l)(£)-x(k)(£|<|||Qv(£.h)l\\ •

• IG (k. h. I(k )(£, т))- ) H h. I (k-l)(£, т)| <

v(h)ea(£)h

1 - qv(£.h)

c(l. h|C(£|^a(£)h) +1

v!

+ Yvlh)maxll + /Іеі;)::]! Har£hj. z

I j=0 j! j=0 j

<Yv(h)max(1,h||c(£)|)max] Ja(£).. J a(£|

[(r—1 )h (r—1 )h

• J a(£|u(k)(£, TV )— —1)(£, tv )tv ...dT1 |. (16)

(r—1)h J

Вычисляя повторные интегралы, получим:

||xh+')(4>—x<* )(£|< ,v(£. 4||x«(£)— xh—1'(£||.

Для нормы разности решений задачи (8)-(9) при разных Xr (£) имеем оценку:

||7r (k)(£.т)— Ur Н—1)(£. т|<

< [)H—(r—11)h) — 1].|хГ)(£)—X(k—1)(£|. (17)

Используя (16)-(17), а также условие б), можно показать, что последовательность (Н|UH)(£,х)>сходится к ((£К*(£,т) при к ^^.Так как ((£|и*(£,т) является решением (8)-(11), то ~*(£, т) полученная склеиванием систем функций н(£)+ и*(£,т), - решение задачи (3)-(4), и справедлива оценка

max| и *(£. т)< м v(£. h)max(| 4 (£|||/(£. т)|>,

где M v(£, h)= <|yv (h)[e“(£)h —

— 1]max^1 + h|C(£)|Vi;(a(£)h>; , V ^a(£)h)J 1 + ea(£)h \h •

(д(£)к) ^к

Дадим определение корректной разрешимости задачи (3)-(4).

Определение. Задача (3)-(4) называется корректно разрешимой, если для любых У(£,т)е С(н,Яп) и d(£)е С([0,ю]Яп) она имеет единственное решение 7*(£, т) е С (и, Яп) и для него имеет место оценка

тж |7 *(£,- К (£)ша^1 \и (£|, ^ /(£,^, (18)

где К (£) - непрерывная на [0, ю] функция, не зависящая от У (£, т) d (£).

Из (18) вытекает, что при выполнении условий теоремы 1 задача (3)-(4) корректно разрешима с функцией К (£) = М „(£, к).

В оценке (18) возьмем максимум по £, тогда получим константу корректной разрешимости К, которая определяется по исходным данным задачи (3)-(4) и не зависит от У(£, т) d(£), и справедлива оценка

max

те[0,Г

- Кшах IИж]-7(£

V те[0,Т ] ,

где К = YV(к)mаx { + к|С(£|еа(£)к,еа(£)к } .

Единственность решения задачи (3)-(4) доказывается методом от противного.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение 7 *(х, г).

Из теоремы 1 вытекает, что задача (3)-(4) однозначно разрешима.

Так как задача (3)-(4) эквивалентна задаче (1)-(2), то получим, что задача (1)-(2) имеет единственное решение й*(x, г).

=о j! j=0 j!

l

+

т

Список использованной литературы:

1. Пташник Б.И. п-линейная задача для гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами // Вестник Львовского политехнического института. 1967. №16. С. 80-87.

2. Кигурадзе Т.И., Кусано Т. О корректности начально-краевых задач для линейных гиперболических уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 2003, том 39. №4. С. 516-526.

3. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, №1. С. 50-66.

4. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Критерий корректной разрешимости краевой задачи для системы гиперболических

уравнений // Известия МОН, НАН РК Сер. физ.-матем. 2002. №3. С. 20-26.