CC BY
23условием. Следовательно, при любых числах xk*,k=(1,n) и любой функции ф(х) всегда можно выбрать такие Xi*, i = (1,n+1) , чтобы второе и третье условие выполнялись. Подставим соотношение 20 в четвёртое условие, тогда (X*)T [ (n(a- S (ае)) en,0 0 ] = 0, Xn* n(a- S (ае))=0. Если принять Хп*=0,то это не повлияет на выполнение второго и третьего условий.
Аналогично проверяется условие Куна - Такера для выражения 10 теоремы 2.
Запишем для задачи поиска максимума в теореме 2, аппроксимирующую задачу в X- форме [4, 5], оптимальное решение которой получается решением её как задачи линейного программирования (без учёта дополнительных ограничений на выбор базиса)
Xi* = arg max(XeL a (e)R+n )Zk=1nZi=0rXi ф( xki ),i="(0,r) L a (е)= {(Zi=0r(Xi x1i ) > +е1, = '= Zi=0)rXi (x2i-x1i )> е2,
I. „ГХ1 (хп1-х Д )> £П,
1=0 4 п-1 '
П-1 1к=1П11=0ГХ1 хк1=а, 210ГХх== 1,=Х1 >0Д=~(0,г).
Координаты приближенного решения исходной задачи вычисляются по формуле хк* - 110ГХ1* хк1 ,к=(1,п) .
Проводилось сравнение приближенного решения с помощью решения задачи линейного программирования и аналитического решения (теорема 2) при различных и достаточно больших числах п и г, которое показало хорошее соответствие результатов. Следует отметить, что затраты машинного времени при приближенных расчётах в 1000 -10000 раз превышали аналитические [9].
Все эти результаты обобщаются на случай рядов и интегралов. Особенно интересен случай оптимального управления.
Список литературы:
1. Харди Г. Неравенства. Пер. с англ. // Г. Харди , Д. Литт-львуд , Г. Полиа — М., - 1948.—456 с. ( Изд.3. - 2008).
2. Беккенбах Э. Неравенства // Э. Беккенбах , Р. Беллман —М., - 1965.—276 с.
3. Даффин Р. Геометрическое программирование // Р. Даффин , Э. Петерсон , К. Зенер — М., 1972.—318с.
4. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование // Дж. Хедли - М.,1967. - 506 с.
5. Даниленко Е. Л. Неравенство Коши при ограничениях на переменные / Е. Л. Даниленко, И. И. Ежов // Известия вузов. Математика - 1982. - № 1. - С. 6 - 9.
6. Даниленко Е.Л. Обобщение неравенства Иенсена / Е. Л. Даниленко, И. И. Ежов. // Исследование операций и АСУ. Вып. 17. К.: Вища школа. - 1981. - С. 111-120.
7. Даниленко Е.Л., Об одной задаче выпуклого сепара-бельного программирования. Вычислительная и прикладная математика. Вып. 48. К.: Вища школа. - 1982. - С. 128 - 133.
8. Даниленко Е.Л. Расширение цепочки неравенств Ма-клорена. // Вычислительная и прикладная математика. Вып. 49. К.: Вища школа. - 1983. - С. 138 - 143.
9. Даниленко Е.Л. Некоторые классические неравенства при ограничениях. Сборник научных публикаций НИЦ «Знание» по материалам VIII международной конференции "Развитие науки в XXI веке"(академический уровень). Харьков: НИЦ. - 2015. С. 5 - 8.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ НУЛЮ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ДНЕВНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ДОХОДНОСТЕЙ АКЦИЙ И ЗАРУБЕЖНОГО
ОТРАСЛЕВОГО ИНДЕКСА
Дунбиев Р.П.
студент, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
TEST THE HYPOTHESIS OF EQUALITY TO ZERO CORRELATION COEFFICIENT DAY LOGARITHMIC STOCK RETURNS AND FOREIGN SECTORAL INDEX
Dunbiev R.P. student, Financial University under the Government of the Russian Federation
АННОТАЦИЯ
Проведена проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции дневных логарифмических доходностей акций и зарубежного отраслевого индекса на модельных и реальных данных. В качестве реальных данных взяты аргентинский фондовый индекс Merval Buenos Aires и котировки акций 13 компаний. Проведен предварительный анализ данных. В качестве критерия проверки гипотезы использован критерий Стьюдента. На основании полученныхp-значений сделаны соответствующие выводы.
ABSTRACT
Test the hypothesis of equality to zero correlation coefficient day logarithmic stock returns and foreign sectoral index on real and model data. The Argentine stock index Merval Buenos Aires and stock prices of 13 companies are taken as real data. The preliminary analysis of data. As a hypothesis test criteria used Student's test. Based on the p-values appropriate conclusions.
Ключевые слова: коэффициент корреляции, логарифмическая доходность, тикер, уровень значимости, p-значение.
Key words: correlation coefficient, logarithmic return, p-value, significance level, ticker.
Введение
Целью данной работы является проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции дневных логарифмических доходностей акций и зарубежного отрасле-
вого индекса. Данная гипотеза показывает, коррелирова-ны ли две логарифмические доходности, т. е. зависимы ли дневные логарифмические доходности акций компаний, входящих в какой-нибудь зарубежный индекс, от этого
индекса. Пусть X - значения дневных логарифмических доходностей акций, а Y - значения дневных логарифмических доходностей зарубежного отраслевого индекса. Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значим, а X и Y коррелированы. Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y - некоррелированы. Критерий проверки предложенной гипотезы - критерий Стьюдента. Для осуществления поставленной цели в теоретической части работы будут рассмотрены сведения о критерии Стьюдента и вспомогательном критерии Колмогорова. В практической части работы будут проведены анализ и обработка исследуемых данных, благодаря которым будут построены графики и таблицы. Помимо нулевой гипотезы будут рассмотрены следующие альтернативные гипотезы: коэффициент корреляции дневных логарифмических доходностей акций и зарубежного отраслевого индекса равен 0,2 и 0,3. Все необходимые программы для создания таблиц и графиков написаны в матричном калькуляторе, разработанным профессором, к.ф.-м.н. А.В. Браиловым.
Список ком
В качестве исследуемых данных используются аргентинский фондовый индекс MERVAL Buenos Aires и котировки акций 13 компаний с 2008 по 2013 годы, входящих в него. В данный индекс включены акции следующих компаний: Aluar Aluminio Argentino S.A.I.C. (ALUA.BA), Petr (APBR.BA), Banco Macro S.A. (BMA.BA), Sociedad Comercial del Plata S.A. (COME.BA), EMP.DIST.Y COM.NORTE (EDN. BA), Ternium Siderar (ERAR.BA), BBVA Banco Franc (FRAN. BA), Grupo Financiero Galicia S.A. (GGAL.BA), Pampa Energia SA (PAMP.BA), Petrobras Argentina SA (PESA.BA), Telecom Argentina S.A. (TECO2.BA), Tenaris SA (TS.BA), YPF S.A. (YPFD.BA).
Основная часть
Предварительный анализ данных
Продемонстрируем список из 13 компаний, входящих в индекс MERVAL Buenos Aires, сам индекс и соответствующие тикеры, котировки которых будут в дальнейшем исследоваться. В качестве данных будет использоваться цены закрытия с учетом дивидендов и сплитов. Единица измерения цен - аргентинское песо.
Табл. 1.
ний и тикеров
Компании Тикеры
MERVAL Buenos Aires AMERV
Aluar Aluminio Argentino S.A.I.C. ALUA.BA
Petr APBR.BA
Banco Macro S.A. BMA.BA
Sociedad Comercial del Plata S.A. COME.BA
EMP.DIST.Y COM.NORTE EDN.BA
Ternium Siderar ERAR.BA
BBVA Banco Franc FRAN.BA
Grupo Financiero Galicia S.A. GGAL.BA
Pampa Energia SA PAMP.BA
Petrobras Argentina SA PESA.BA
Telecom Argentina S.A. TECO2.BA
Tenaris SA TS.BA
YPF S.A. YPFD.BA
Данные о компаниях и котировки акций были взяты с сайта http://finance.yahoo.com. Необходимо проверить все ли данные можно использовать для исследований. Составим таблицу числа торговых дней по годам и акциям. Чтобы использовать данные для исследований, необходимо
Число то
для каждой компании в каждом году более 240 торговых дней. Из таблицы ниже видно, что в 2011 году в каждой компании было меньше 240 торговых дней. Следовательно, на данном этапе исключаем 2011 год из рассмотрения.
Табл. 2.
говых дней
Тикеры 2008 2009 2010 2011 2012 2013
AMERV 248 244 246 245 241 242
ALUA.BA 262 261 261 226 259 257
APBR.BA 261 261 258 227 259 257
BMA.BA 262 261 258 227 259 257
COME.BA 262 261 261 237 259 257
EDN.BA 262 261 258 227 259 257
ERAR.BA 262 261 261 222 259 257
FRAN.BA 262 261 261 227 259 257
GGAL.BA 262 261 258 227 259 257
PAMP.BA 262 261 258 226 259 257
PESA.BA 262 261 258 226 259 257
TECO2.BA 262 261 261 226 259 257
TS.BA 247 252 255 227 259 257
YPFD.BA 262 261 261 225 259 257
Рассмотрим таблицы максимальных вверх и вниз днев- BA в 2009 году и ERAR.BA в 2010 году. Скачки составляют ных относительных скачков цен по годам и акциям. Заме- более 70%. У остальных компаний скачки составляют метим, что наибольшие скачки вверх у двух компаний: BMA. нее 30%.
Табл. 3.
Максимальные относительные скачки вверх
Тикеры 2008 2009 2010 2012 2013 Макс.
AMERV 0,11 0,0625 0,0716 0,0604 0,0601 0,11
ALUA.BA 0,1342 0,081 0,0839 0,1255 0,0996 0,1342
APBR.BA 0,2691 0,1036 0,0635 0,07 0,1304 0,2691
BMA.BA 0,1486 0,7182 0,1051 0,0992 0,1083 0,7182
COME.BA 0,12 0,1667 0,2368 0,1579 0,1406 0,2368
EDN.BA 0,1444 0,0986 0,1 0,2237 0,1944 0,2237
ERAR.BA 0,3125 0,1538 0,736 0,0966 0,0897 0,736
FRAN.BA 0,2484 0,0902 0,1149 0,1042 0,0987 0,2484
GGAL.BA 0,1917 0,1325 0,1415 0,1181 0,1068 0,1917
PAMP.BA 0,2647 0,0962 0,0714 0,0781 0,1293 0,2647
PESA.BA 0,2389 0,088 0,0696 0,1068 0,0964 0,2389
TECO2.BA 0,1365 0,0835 0,0969 0,0556 0,0923 0,1365
TS.BA 0,1665 0,0998 0,0811 0,0807 0,0856 0,1665
YPFD.BA 0,0994 0,1333 0,1111 0,168 0,1227 0,168
В таблице максимальных дневных относительных скач- 40%. У остальных компаний скачки незначительны (менее ков цен вниз у компании ВМА.ВА также наблюдается 30%). наибольший скачок вниз в 2009 году. Он составляет более
Табл. 4.
Максимальные относительные скачки вниз
Тикеры 2008 2009 2010 2012 2013 Макс.
AMERV -0,1215 -0,0741 -0,0542 -0,0359 -0,0655 -0,1215
ALUA.BA -0,1396 -0,1354 -0,0552 -0,0627 -0,0815 -0,1396
APBR.BA -0,2308 -0,0865 -0,075 -0,0828 -0,1342 -0,2308
BMA.BA -0,1532 -0,4173 -0,1222 -0,0889 -0,0842 -0,4173
COME.BA -0,1333 -0,1957 -0,125 -0,1 -0,1096 -0,1957
EDN.BA -0,2727 -0,0706 -0,0642 -0,1183 -0,1667 -0,2727
ERAR.BA -0,15 -0,0952 -0,0846 -0,0543 -0,0836 -0,15
FRAN.BA -0,2085 -0,1144 -0,0956 -0,0588 -0,1043 -0,2085
GGAL.BA -0,1468 -0,0793 -0,0837 -0,0593 -0,0933 -0,1468
PAMP.BA -0,25 -0,0508 -0,0478 -0,0806 -0,1389 -0,25
PESA.BA -0,1941 -0,1538 -0,0802 -0,0767 -0,0784 -0,1941
TECO2.BA -0,2523 -0,1011 -0,0738 -0,0688 -0,1085 -0,2523
TS.BA -0,1999 -0,1142 -0,0927 -0,0458 -0,0587 -0,1999
YPFD.BA -0,0544 -0,2171 -0,0968 -0,2866 -0,1072 -0,2866
График цен для акций компании EK.AR.BA с максимальным однодневным повышением цены выглядит следующим образом.
200 ¿00 600 800 1 000 1 200
Рис. 1. График цен компании ЕКАК.ВА
График цен для акций компании ВМА.ВА с максимальным однодневным снижением (а также повышением) цены представлен ниже.
200 400 600 800 1000 1200
Рис. 2. График цен компании BMA.BA
Убираем из рассмотрения компании с тикерами BMA. BA и ERAR.BA и данные, выходящие за пределы окончательного диапазона лет. Также исключаем все нерабочие дни.
Критерий Стьюдента
Пусть имеется двумерная генеральная совокупность (X,Y)~N(^,a2). Из этой совокупности извлечена выборка объёма n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции р #0. Так как выборка отобрана случайно, то ещё нельзя считать, что коэффициент корреляции генеральной совокупности р #0. Возникает необходимость при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу
(Н0: рг=0) о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при альтернативных гипотезах Н1: рг=0,2; Н2: рг=0,3. Если Н0 отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции отличен от нуля, а случайные величины X и У коррелированы.
В качестве критерия нулевой гипотезы принимается следующая случайная величина:
Т=рв ^((п-2)/(1-рв2 )) , где п - объем выборки [1, с.47-48]. Статистика Т распределена по закону Стьюдента с к=п-2 степенями свободы при п>50 [2, с.313]. Критерий является двусторонним, поэтому для практического применения удобнее использовать его абсолютное значение |Т|. Пусть
Тнабл - вычисленное по данным наблюдений значение статистики Т.
Чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу (Ы0. рг=0) о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при альтернативных гипотезах, необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия Тнабл=рв ^((п-2)/(1-рв2 )) и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к=п-2 найти критическую точку ^ (к) при критической области |Т|> ^ (к) [3, с.94].
ЕсЛИ |Тна6л | ^ \
|< ^ (к) , то нулевая гипотеза принимается на уровне значимости а.
Если |Тнабл |> ^ (к), то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости а [2, с.312].
Критерий Колмогорова
Вспомогательным критерием по проверке равномерности распределения Р-значения основного критерия является критерий Колмогорова. Определяется максимальное значение модуля разности между эмпирической функцией распределения Б п (х) и соответствующей гипотетической функцией распределения Б(х) т.е. d=(sup)x |Б п (х)-Б(х)| [3, с.109]. Статистику d называют статистикой Колмогорова. Если Ы0 верна, то Б п (х) и Б(х) должны проявлять определенное сходство, и различие между ними должно убывать с увеличением п. Действительно, вследствие теоремы Бер-нулли Б п (х)^Б(х) при п^^ [4, с.301].
Далее определяется величина и=^п d (поскольку сама величина d->0 при Н0, приходится умножать ее на неогра-
ниченно растущую величину, чтобы распределение стабилизировалось) [4, с.302]. По статистическим таблицам (либо функцией руКо1ш(и) в среде МаЮа1с) находится Р-значение критерия Колмогорова, то есть вероятность того, что максимальное расхождение между Б п (х) и Б(х) будет не меньше, чем фактически наблюдаемое.
Алгоритм проверки по критерию Колмогорова:
1. Строятся эмпирическая функция распределения Бп (х) и гипотетическая функция распределения Б(х).
2. Определяется мера расхождения между эмпирическим и гипотетическим распределением по формуле d=supx |Бп(х)-Б(х)|и вычисляется величина и=^п d.
3. Если вычисленное значение и окажется больше критического иа, определенного на уровне значимости а, то нулевая гипотеза Ы0 отвергается. Если же и окажется меньше иа, то считают, что гипотеза Ы0 принимается на уровне а.
Проверка гипотез для модельных данных
Вычисляем методом Монте-Карло 999 квантилей распределения статистики критерия Стьюдента при верной нулевой гипотезе (статистика вычисляется 10000 раз). Строим гистограмму Р-значений (1000 Р-значений) и производим проверку равномерности распределения Р-значений на отрезке [0,1] по критерию Колмогорова. Из гистограммы видно, что Р-значения почти равномерно распределены на отрезке [0,1]. Значит, гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции дневных логарифмических доходностей акций и зарубежного отраслевого индекса на модельных данных принимается.
100
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.G 0.7
0.8 0.8
Рис. 3. Гистограмма Р-значений для модельных данных
Выбор альтернативной гипотезы и оценка мощности нулевой гипотезы. Следующая таблица выполнена с по-
критерия
В качестве двух альтернативных гипотез выберем гипотезы о том, что в первом случае коэффициент корреляции Ы1: рг=0,2, во втором - Ы2: рг=0,3. Заметим, что альтернативные гипотезы не слишком сильно отличаются от
мощью программы, которая методом Монте-Карло 10000 раз проверяет нулевую гипотезу (с уровнем значимости 0.05) при верных альтернативных гипотезах при объемах выборки, равных году (п=252), полугодию (п=126) и кварталу (п=63).
Мощность критерия Стьюдента
Табл. 6.
Корреляция Альфа Год Полугодие Квартал
0,2 0,05 0,888 0,618 0,365
0,3 0,05 0,998 0,937 0,685
Как показывают результаты, мощность критерия пада- ента корреляции дневных логарифмических доходностей ет при уменьшении объема выборки. Также заметим, что акций и зарубежного отраслевого индекса на реальных чем больше отклонение от нулевой гипотезы, тем больше данных используем программу, которая в период с 2008 по мощность критерия Стьюдента. 2013 годы строит Р-значения по всем годам для всех ком-
Проверка гипотез для реальных данных паний.
Для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффици-
Табл. 7.
Р-значения для реальных данных за год
Компания 2008 2009 2010 2012 2013
ALUA.BA 0 0 0 0 0
APBR.BA 0 0 0 0 0
COME.BA 0 0 0 0 0
EDN.BA 0 0 0 0 0
FRAN.BA 0 0 0 0 0
GGAL.BA 0 0 0 0 0
PAMP.BA 0 0 0 0 0
PESA.BA 0,006 0 0 0 0
TECO2.BA 0 0 0 0 0
TS.BA 0 0 0 0 0
YPFD.BA 0 0,004 0,004 0 0
Построим гистограмму Р-значений из предыдущей таблицы.
50'
40
3&
20'
10'
0 01 0.2 0.3 04 0.5 0.6 07 ЛЗ 0.3
Рис. 4. Гистограмма Р-значений для реальных данных за год
Вычисляем долю проверок, в которых нулевая гипотеза ты представлены в следующей таблице. принималась при 5% и 1% уровнях значимости. Результа-
Доля проверок для реальных данных за год
Табл.
1% уровень значимости 5% уровень значимости
0 0
Как видно из данной таблицы, нулевая гипотеза систе- того же самого диапазона лет). матически отвергается даже при 1% уровне значимости. Построим таблицу P-значений, в которой исследуется Заменим анализ полного календарного года исследова- второе полугодие для каждого года. нием данных за второе полугодие (для каждого года из
Табл. 9.
P-значения для реальных данных за полугодие
Компания 2008 2009 2010 2012 2013
ALUA.BA 0 0 0 0 0
APBR.BA 0 0 0 0 0
COME.BA 0 0,286 0 0 0
EDN.BA 0 0 0 0 0
FRAN.BA 0 0 0 0 0
GGAL.BA 0 0 0 0 0
PAMP.BA 0 0 0 0 0
PESA.BA 0,014 0,002 0 0 0
TECO2.BA 0 0 0 0 0
TS.BA 0 0 0 0 0
YPFD.BA 0,02 0,545 0,012 0 0
Построим гистограмму Р-значений из предыдущей таблицы.
4Ш
го-10'
о 0.1 о.2 аэ (м и'5 и'ь а> не и'з
Рис. 5. Гистограмма Р-значений для реальных данных за полугодие
Аналогично, как и за год строится таблица долей про- 1% уровнях значимости. Только вместо года используется верок, в которых нулевая гипотеза принималась при 5% и второе полугодие.
Табл. 10.
Доля проверок для реальных данных за полугодие
1% уровень значимости 5% уровень значимости
0,091 0,036
В результате видно, что и в этом случае гипотеза часто вертый квартал. отвергается даже при 1% уровне значимости. Заменим Изобразим таблицу Р-значений, в которой исследуется анализ второго полугодия исследованием данных за чет- четвертый квартал для каждого года.
Табл. 11.
P-значения для реальных данных за квартал
Компания 2008 2009 2010 2012 2013
ALUA.BA 0 0 0 0 0
APBR.BA 0 0 0 0 0,008
COME.BA 0 0,967 0 0 0
EDN.BA 0 0 0 0,008 0
FRAN.BA 0 0 0 0 0
Построим гистограмму Р-значений из предыдущей таблицы.
40 I
1
20 I
1____
О 0.1 0.2 0.3 04 05 0.6 0.7 0.3 0.3
Рис. 6. Гистограмма Р-значений для реальных данных за квартал
Аналогично, как и за год строится таблица долей прове- уровнях значимости. Вместо года используется четвертый рок, в которых нулевая гипотеза принималась при 5% и 1% квартал.
Табл. 12.
Доля проверок для реальных данных за квартал
GGAL.BA 0 0 0 0 0
PAMP.BA 0 0 0 0 0
PESA.BA 0,016 0,042 0 0 0
TECO2.BA 0 0 0 0 0
TS.BA 0 0 0 0,002 0
YPFD.BA 0,074 0,252 0,11 0 0
1% уровень значимости 5% уровень значимости
0,109 0,073
Заключение
В данной работе в качестве исходных данных использовались модельные (для проверки правильности работы программ) и реальные данные (цены акций 13 компаний, входящих в индекс MERVAL Buenos Aires, и цены самого индекса в период с 2008 по 2013 годы).
Для модельных данных нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции подтвердилась, что является следствием правильной работы программ, так как модельные данные являются независимыми случайными величинами. Также была вычислена мощность критерия Стьюдента при нулевой гипотезе H0: рг=0 и альтернативных гипотезах H1: рг=0,2; H2: рг=0,3. Результатом стало то, что при достаточно больших объемах выборки данный критерий является эффективным (имеет высокую мощность).
Для реальных данных было установлено, что нулевая гипотеза отвергается. Были проведены исследования не
только за календарный год, но и за полугодие и квартал. Этот результат не стал неожиданным, так как сравнивались акции из индекса с самим индексом.
Список литературы:
1. Плохинский Н.А. Биометрия. Изд. 2-е/Под ред. Чте-цова В.П. - М.: Изд-во МГУ 1970 - 367 с.
2. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001 - 752 с.
3. Браилов A.B. Лекции по математической статистике. M.: Финакадемия, 2007 - 172 с.
4. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. Изд. 3-е, перераб. и доп./Под ред. Фигурнова В. Э. - М.: ИНФРА-М, 2002 — 528 с.
5. Бикел П., Доксам К. Математическая статистика. М.: Финансы и статистика, 1983 - 254 с.
6. http://finance.yahoo.com/
