CC BY
26
ISSN 1810-0198 Всп ник I ГУ. т. 19. вып. "2, 201 I
УДК 519.46
НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП ЛИ
© A.M. Попов, А.Ю. Лисица
Ключевые слова: каноническое подпространство; линейное представление; стационарная подгруппа общего положения.
11риш>дятся канонические подпространства для некоторых iюлущккп'ых линейных групп Ли с конечной стационарной подгруппой общею положения.
Будем считать основным полем поле комплексных чисел С. Топологические термины будем считать относящимися к топологии Зарисского. Для действия алгебраической группы G на алгебраическом многообразии А' подгруппа Н С G называется стационарной подгруппой общего положения, если в X существует открытое по Зарисскому множество, стационарные подгруппы точек которого сопряжены II. В этом случае для множества Хп = {.т € Х\Пх=.т} , очевидно, GXй X.
В настоящей работе рассматриваются связные полупростые комплексные линейные группы. In (7СGb{V). 1[одпространство be. V будем называть каноническим подпространством, если GL = V и L — минимальное (но включению) подпространство с таким свойством. Очевидно, если GL = V и dimG | dimL = dimV, то L--каноническое подпространство. В этом случае с номощмо действия группы G па линейном пространстве V «почти любой» элемент из V (а точнее, любой элемент из открытого по 'Зарисскому подмножества в V) можно привести к каноническому виду, т. е. к элементу из /,.
Всюду в дальнейшем Q алгебра .In группы СУ, г ранг алгебры Q, ifi (I старший
в(>с г -14) базисного представления. Д(А) - пепрнводнм(к: представ. iciiue со старшим весом А. В работах | |J. |2| автора найдены все простые и неприводимые полупростые линейные группы G над нолем С. у которых для действии и линейных пространствах V стационарные подгруппы общего положения Н / {с} и конечны. Нес эти группы перечислены в таблицах работ [1| и |2]. Для них GV V, и для некоторых линейных групп из таблицы работы |2J проверено, что подпространство Vй является каноническим подпространством, а сами канонические подпространства V найдены и перечислены в работе |2|. И настоящей работе приводится канонические iю,иipocipaiшва для групп из |2|. не найденные ранее.
1. Рассмотрим действие группы .Sf)(C'1) К: 8Ь(СЛ) & Sb(C'2) в пространстве V S ■?; U ■?: •?; И7, где S С1, II Сл, W. С2. В этом случае Н (Z2)'2 и элементы Н приведены в работе |2]. Пусть {.s'i. «2, »3, s.i} - банк: в пространстве 5, { «i, щ. Мз} - баше в пространстве i7, {«'1, и'2} - базис в пространстве W. Тогда {»i G щ 0ttfc, 1 < < 4, j = 1,2.3. А; = 1.2} -базис в пространстве V и для любого v G V v 0 tij О и%. Легко видеть, что подпространство
Vй задается системой уравнений a:111 a:12i a:2il а221 а':ш а,ш a»-312 х*22 а,ш
;г 122 <т132 x2i2 q dimVu 12. и подпространство Vй не является каноническим, т. к. оно не. минимальное. Но подпрехтранетво L С V,
L < «з с: «) :: u-i I .S2 :: «2 : «'2 ; «i :: »i :: «• 1 I .s 1 :: и2 «'2 • >4: н2 \ I «1 3 «3 «'1 I «18 У «1 0 w-2 + Si у «з О u.'2 > каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что Ь I Q L V. т.е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 21-го порядка. Кроме того, dimG I dimL 21 I 3 21 dirnV, т. е. Ь минимальное. Таким
1810-0198 Исяггник ЧТУ, т. И), выи. 2, 201 I
образом, побои тензор из открытого по Зарисскому множества и V можно принести действием группы (л к каноническому виду
'/(«1 »2 : I «1: и-л . гг| I : «1: и-2 I ::::: и.'2) I А(«;(у иЛ:: «ч | «2:: "2:: «'2)
У »1 (С| I »2 то).
I (редставляя тензоры из V трехмерными матрицами, можно утверждать, ч то любую трехмерную (4,3,2) -матрицу из открытого по Зарисскому подмножества и V можно принести
действием группы С к каноническому виду
0 0 А ООО у? О О
ч о
п 1-> о
о о
А 0 0 0
где ле-
вая матрица верхний слои трехмерной матрицы, а правая матрица ее нпжнии слой.
2. Рассмотрим действие группы 5Х(Се) У ЯО(СА) (Щфг) в ?'</) в пространстве V = 11Ж у где и = £'т(Л-|. Щря)) - пространство представления Щ+ч) группы СИ'= С3, и этом случае II (%2)2 и элементы II приведены и работ е |2|. Пусть {1/4,.... г/г,} базис п пространстве С", {и'ьад. к*} базис » пространстве И". Тогда базисом в пространстве V является (и,; А I < г <^ 5), н базисом в пространстве V. и УИ"' является {(«» Ли,-)У У и'к. 1 <»<,/"< Г>, к 1.2,3}. Легко проверить, что подпространство Vм < («) Ащ) У у нч - (щ А «,-): :• (г;ь (щ А и:1) с нч - (ия А и?,) у и'л-. (щ А щ) у ш 1 - (щ А п-,) (щ А щ) У У 1 — («1 Лщ) Уи.'з. («зА«б) Унч — (гчЛиз) Эиъ, (щЛг/ц) Эии — («1 л »2) Уп'з. (щАиз + из А Л «4) У и*2, («1Л «5) а и>2: («2 А 1ц) Э и?2 >? (ИтУ11 9, и подпространство К-0 не является каноническим, т. к. оно не минимальное. Но подпространство /, С V,
/, < («1 А («я I «4))С:;и'1 -((»2 I «я) А иг,) У «?.ч, («2 А «4 I «1 А «г») Й («4 А «г.) 'X «?1 - («1 А А «2) СО «'з > - каноническое. Для доказательства этого нужно проверить, что Ь I 0Ь = У то ость что ш! равен пулю е(ютвотствующии определитель 30-ш порядка. Кроме того, <1гтС I + (Ит I. 27 + 3 (ИтУ.
3. Рассмотрим действш; группы .9р(Сл)(?$Сл) КС'2) в пространстве V 8?Л> У И', где 5 С1, и С\ XV С'2. В этом случае Н (Х2)2 (ели (2|). Пусть {«,,«2,4,^4} базис в пространстве 5, («|,..., и \} - бжшс в пространстве Г<\ {«.4, ч'2} ~ базис в щюстрапстве \\Т. Тогда {Ц С: щ Эи'к-. 1 < 4,1 ^] ^ 4, к = 1,2}- базис в пространстве V. и подпрострапетво УП < «4 с «4 С н'1 + «4 с и2 У 81 ':) »2 + &1 У «1 У Ь-2, 82 У ¡'4 У «!4 + «3 У «2 52 У У '¡¿2 У + 8з У «4 У «¿'2, «з У Щ У и.'х — «2 У «4 У И'2, «3 У «4 У «?1 — $2 У Из У И"2, $4 У Из У И'! — — У И4 У и<2.84 У «4 Эи.'| — У Ия У и'2 > • <ИшУ11 8, и подпространство Vй не является каноническим, так как оно н(> минпмальнсн:. Но, наи1>имер, подпространство /, С V. к < < л*) «1 у и-1 I .VI у «2 ее "-о. «2 у «1 н^ I у «2 у и;2 I у со «ч - у «1 с: и^, «2 щ сн;
у м.'1 I «з С-; «1 Э н'2; »4 У «4 У н'1 — #1 У из Э Т2 > - каионическос!, Доказат1!.;1ьетво этого факта сно,1,птся к нроиерке того, что /. I <31, V, т. е. к проверке того, что не ранен пулю соотнет-ствуютпий опук'делптель 32-го порядка. Кроме того, Мт(1 I <Нт1, 28 | 1 32 (ИтУ. то есть /, минимальное подпространство.
Пр(!дстав.тяя тензоры из V трехмерными матрицами можно утверждать, что любую трехмерную (1. 1.2)-матрицу из открытого по Зарисскому подмножества в V можно привести
действием группы (» к каноническому виду
V 0 0 0 0 0 -1/ 0
V л 0 0 0 0 0 -/(
0 0 (1 0 л /< 0 0
0 0 0 V 0 Г] 0 0
где
левая матрица верхний слон трехмерной матрицы, а правая матрица ее нижний слой.
1. Рассмотрим действие группы 5/;ш7 У У в пространстве V 5 У (/У
У \¥, где 5 = Л(^гя)) - пространство с шторного п]к:дставлсшш Щрз) группы ЯргпЛ, 4/пиЧ = Н, и = С2, Иг.= С . В этом случае и элементы II приведены в работе [21.
Пусть базис в пространстве 5, {Н1,И2} базис в пространстве V, {и^.н'г}
базис в пространстве И'. ЧЪгда бази<м>м в пространстве V. 5 У I/ У И7 является {.ч,; У И/У
ISSN 1810-0198 Вестник I ГУ. т. 19, вып. "2, 201 1
У 1 < < 8, } 1,2. к 1,2}. 11усть ±с|,±г2,±£з,0 веса (относительно стандартной картановекоп подалгебры) простейшего представления алгебры .
Тогда представление ЯртТ имеет веса (±£1 ±=2 ±вз)/2, и его старший вес А | (£1 I £2 I ?з)/2. Простые корпи алгебры Вц - это «1 =5\ — еа» «2 = са — е-л, «з = Обозначим неса представления 5рт7 через ±Дх, ±Лг, ±Лз, ±Д 1, где Лз Лх — аз (••! + £2 — -гз)/2, Лз Л2 — аг (¿1 — + -гз)/2: Л4 Л3 — «х (—¿х + Г.-2 + ¿з)/2. Пусть базисные векторы н пространстве .9 представления группы ЯртТ это: ,<ц весовые векторы с весами Л»,
г 1.2.3,1, «д я_л.1, Яц Я-д3, «7 .9_д3, в« л'_д1. Легко видеть, что 10-мерное подпространство Vя не является каноническим, т. к. оно ио минимальное. По, например. 5-мерное подпространство Ь с Vй, Ь =< в3 Э Щ Э«.'1 I «« У «2 У «'2, •*>'-, ЭЩ У 1 I «1 У «2 У и-2,«« У щ У у и?1 + йз у »2 У «1У «2 К1 н'х — % У «1 у «'2, в» У У и!1 — «1 у «х О «!2 > каноническое. Доказате.ч1>ст1ю этого факта сводится к проверке того, что V, т.е. к проверке того,
нто не равен нулю соответствующий определитель 32-го порядка. Кроме того, (Ы-тС I МтЬ 27 I 5 32 (НтУ. то есть /, минимальное подпространство.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов A.M. Копечттые стапиопартп.тс подгруппы общего положения простых липейпых групп Ли //' Труды ММО. 1985. Т. 18. С. 7-59.
2. Попов A.M. С'тациоттарттые полгруппт>т общего положения для некоторых действий простых групп Ли //' Труды ММО. 1987. Т. 50. С. 209-248.
Поступила и редакцию 21 ноября 2013 г.
Popov A.M., Lisitsa A.Yu.
SOME CANONICAL SUBSPACES OF SEMISIMPLE LINEAR LIE CROUPS
The canonical subepaccs for some seiriisimple linear l ie groups with finite isotropy subgroup in general position are given.
Key words-, canonical subspacc; linear representation: isotropy subgroup in general position.
Попов Александр Митрофанович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических паук, допоит кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: 3.14patfi'bk.ni
Popov Alexander Mitrofanovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics. Associate Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: 3. l lpaUibk.ru
Лисица Андрей Юрьевич, Российский университет дружбы пародов, г. Москва, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: a-lisica®yanclex.ru
Lisitsa Audrey Yuryevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Senior Lecturer of Nonlinear Analysis and Optimization Department,, e-mail: a-Jisicaiiyandcx.ru
