CC BY
9
УДК 519.46
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1321-1324
КАНОНИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА НЕКОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПОЛУПРОСТЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП ЛИ
© А. М. Попов
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: 3.14pat@bk.ru
Приводятся канонические подпространства для некоторых комплексных полупростых линейных групп Ли с конечной стационарной подгруппой общего положения. Ключевые слова: каноническое подпространство; линейное представление; стационарная подгруппа общего положения
Настоящая работа является непосредственным продолжением работ [1], [2] автора и работ [3], [4], [5], [6]. Обозначения в настоящей работе следуют обозначениям из работ [1], [2].
Основным полем считаем поле комплексных чисел C . Топологические термины будем считать относящимися к топологии Зарисского. Для действия алгебраической группы G на алгебраическом многообразии X подгруппа H С G называется стационарной подгруппой общего положения, если в X существует открытое по Зарисскому множество, стационарные подгруппы точек которого сопряжены H. В этом случае для множества XH = {x € X\Hx = x}, очевидно, GXH = X .
Для связной полупростой комплексной линейной группы Ли G С GL(V) подпространство L С V будем называть каноническим подпространством, если G ■ L = V и L - минимальное (по включению) подпространство с таким свойством. Очевидно, если G ■ L = V и dim G + dim L = dim V , то L - каноническое подпространство.
Как написано в [2], из соображений размерности следует, что представлений с обозримыми каноническими подпространствами немного. Почти все обозримые канонические подпространства найдены в работах [1] - [6]. В настоящей работе приводятся канонические подпространства для групп из таблиц работы [4], не найденные ранее.
Всюду в дальнейшем G - алгебра Ли группы G , r - ранг алгебры G , ф^ (1 ^ i ^ r ) -старший вес i -го базисного представления, Я(Л) - неприводимое представление со старшим весом Л.
1. Рассмотрим действие группы G = Sp(C6) ® SL(C3) ® SL(C2) в пространстве V=S где S = C6, U = C3, W = C2. В этом случае H = (Z2)2 (см. [3], [4]). Перебором типов полупростых элементов легко убедиться, что H =< g,g' > , где
g = diag(i, i, i, -i, -i, -i) ® diag(-1,1, -1) ® diag(i, -i), g' = ai ® a2 ® a3,
(0 -Л í° 0 Л (0 1\
ai = г n - блочная матрица с блоками размера (3,3), I= 0 1 0 , a2 = -I, a3 = .
V 0 J \1 0 0) V-1
Пусть {si, s2, s3, s4, s5, s6} - стандартный базис в пространстве S с матрицей Грама 0 0 J, {ui,u2,u3} - базис в пространстве U, {wi,w2} - базис в пространстве W. Тогда
{si 0 Uj 0 wk; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6; j = 1, 2, 3; к = 1, 2} - базис в пространстве V . Легко проверить, что подпространство Vh имеет размерность 9, т. е. VH не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например, подпространство L С V, L =<s1 0 ui 0 wi + s6 0 u3 0 w2, S5 0 U2 0 Wi - S2 0 U2 0 W2, S3 0 U3 0 W\ + S4 0 U\ 0 W2, S6 0 U2 0 W\ + S2 0 U3 0 W\ + S5 0 U\ 0 W2 -— Si 0 u2 0 w2> - каноническое, dim L = 4. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V, т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 36-го порядка. Кроме того, dim G + dim L = 32 + 4 = 36 = dim V, т. е. L - минимальное подпространство.
Представляя тензоры из V трехмерными матрицами, можно утверждать, что любую трехмерную (6, 3, 2) -матрицу из открытого по Зарисскому подмножества в V можно привести действием группы G к каноническому виду
'а 0000 0\/0 0 0 y 5 0\ ]
0 0 0 0 в 5 1 , 1—5 —в 0 0 0 0 ) , где первая матрица - верхний слой трех-
ч0 5 y 0 0 0/ V 0 0 000 а)
мерной матрицы, а вторая матрица - ее нижний слой.
2. Рассмотрим действие группы G = G2 0 Sp(C4)(R(^i) 0 id) в пространстве V = U 0 W, где U = U(G2,R((fi)) - пространство представления R(^i) особой группы G2, W = C4. В этом случае H = {e} (см. [4]), dimV = 28, dimG = 24. Пусть S - подгруппа (ненулевых) скалярных матриц в G. Тогда для естественного действия G/S в ассоциированном проективном пространстве P(V) стационарная подгруппа общего положения H'/S = Z2 (см. [4]), и G ■ P(V)h' = P(V).
Если {u1, ... ,u7} - базис в пространстве U, {wi,w2,w3,w4} - базис в пространстве W, то {щ 0 Wj, 1 ^ i ^ 7, j = 1, 2, 3, 4} - базис в пространстве V и для любого veV v=^ xljщ 0 Wj. Пусть ±£1, ±Е2, ±£3, 0 - веса (относительно стандартной картановской подалгебры) простейшего представления R(^i) алгебры G2 и £i - старший вес, простые корни алгебры G2 -это ai = —£2,а2 = £2 — £3- Можно считать, что базисные векторы в пространстве U- это ui = uSl ,u2 = u-S3,u3 = u-S2 ,u4 = u0,u5 = uS2, u6 = uS3,u7 = u-Sl . Перебором типов полупростых элементов легко убедиться, что H'/S =<ё,д> , где д = 10 diag(i,i, —i, —i), t - полупростой элемент из G2 второго порядка такой, что ai(t) = —1, a2(t) = 1.
Пусть Vh - линейное подпространство в V, ассоциированное с проективным подпространством P(V)h'. Тогда G ■ Vh' =V. Можно проверить, что dim Vh'= 14, т.е. подпространство Vh' не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например, 4 -мерное подпространство L С Vh, L=<ui 0 wi + u6 0 w4, u4 0 wi + u2 0 w4, u4 0 w2 + u5 0 w3, u7 0 w2 + u3 0 w3> -каноническое. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V, т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 28 -го порядка. Кроме того, dim G + dim L = 24+ 4 = 28 = dim V, т.е. L - минимальное подпространство. Таким образом, любой тензор из открытого по Зарисскому множества в V можно привести действием группы G к каноническому виду
a(Ui 0 Wi + U6 0 W4) + в(U4 0 Wi + U2 0 W4) + y(u4 0 W2 + U5 0 W3) + 5(u7 0 W2 + U3 0 W3).
Представляя тензоры из V матрицами, можно утверждать, что любую (7, 4) -матрицу из открытого по Зарисскому подмножества в V можно привести действием группы G к
fa 0 0 в 0 0 0\ 0 0 0 y 0 0 5 0 0 5 0 y 0 0 \0 в 0 0 0 a 0J
3. Рассмотрим действие группы G = Sp(C4) 0 SL(C2)(R(^i 0 R(3^i)) в пространстве V= S0U, где S = C4, U = U(Ai, R(3^i)) - пространство представления R(3^i) группы SL(C2).
каноническому виду
В этом случае H = (Z2)2 (см. [3], [4]). Перебором типов полупростых элементов легко убе-
0
I2 0
0 -I2 I2 0
диться, что H =< g,g' > , где g = diag(i, i, -i, -i) & diag(i, -i) , g' = a1 & a2 , a1 = блочная матрица с блоками размера (2,2), I2 = 0^ , a2 = ^ о^ .
Пусть {s^...s4}- стандартный базис в пространстве S с матрицей Грама
{u1,.. .u4} - стандартный базис в пространстве U. Тогда {s^ & Uj ,i = 1,... 4, j = 1,... 4} - базис в пространстве V. Легко проверить, что подпространство VH имеет размерность 4, т. е. VH не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например, подпространство L С V, L =< s1 & u1 + s4 & u4, s3 & u2 + s2 & u3, s4 & u2 + s1 & u3 > - каноническое, dim L = 4 . Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V , т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 16 -го порядка. Кроме того, dim G + dim L = = 13 + 3 = 16 = dim V , т. е. L - минимальное подпространство.
4. Рассмотрим действие группы G = SL(C2) & SL(C2)(R(3^1) & R(<fi)) в пространстве V = S & U, где S = S(^1,R(3^1)), U = C2. В этом случае H = {Ъ2)2 (см. [3], [4]). Перебором типов полупростых элементов легко убедиться, что H =<g,g' > , где g = diag(i, -i) & diag(i, -i),
/0 -1 g = a1 & a2 , a1 = a2 = I 1 0
Пусть {s1,... s4} - стандартный базис в пространстве S , {u1,u2} - стандартный базис в пространстве U. Тогда {s^ & uj ,i = 1,... 4,j = 1, 2} - базис в пространстве V. Легко проверить, что подпространство VH имеет размерность 2, VH=<s1 & u1 + s4 & u2, s3 & u1 + s2 & u2>, т. е. L = VH является каноническим подпространством, так как оно минимальное. Доказательство этого факта сводится к проверке того, что L + GL = V , т. е. к проверке того, что не равен нулю соответствующий определитель 8 -го порядка. Кроме того, dim G + dim L = 6 + 2 = 8 = dim V .
Далее в таблице приводится список представлений с обозримыми каноническими подпространствами L (с указанием размерности L ), для которых эти канонические подпространства ещё не найдены.
№ Группа Представление dim L
1 Spin11 & SL(C2) R(¥>5) & R(<P1) 6
2 Spin 10 & SL(C4) R(p4) & R(<P1) 4
3 Spin9 & SL(C2) R(V4) & R(<P1) 6
4 SL(C5) & SL(C4) R(V2) & R(<P1) 1
5 Spin7 & Sp(C6) R(<P3) & R(<P1) 6
6 Spin7 & Sp(C8) R(<ps) & R(<P1) 7
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов А.М., Лисица А.Ю. Некоторые канонические подпространства полупростых линейных групп Ли // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 2. С. 412-414.
2. Попов А.М., Лисица А.Ю. Некоторые канонические подпространства полупростых комплексных линейных групп Ли // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 2. С. 415-417.
3. Попов А.М. Конечные стационарные подгруппы общего положения простых линейных групп Ли // Труды ММО. 1985. Т. 48. С. 7-59.
4 . Попов А.М. Конечные стационарные подгруппы общего положения неприводимых полупростых линейных групп Ли // Труды ММО. 1987. Т. 50. С. 209-248.
5. Элашвили А.Г. Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых
линейных групп Ли // Функциональный анализ. 1972. Вып. 1. № 6. С. 51-62.
6 . Элашвили А.Г. Стационарные подалгебры точек общего положения для неприводимых линейных групп
Ли // Функциональный анализ. 1972. Вып. 2. № 6. С. 65-78.
Поступила в редакцию 24 августа 2017 г.
Попов Александр Митрофанович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: 3.14pat@bk.ru
UDC 519.46
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1321-1324
CANONICAL SUBSPACES OF SOME REPRESENTATIONS OF SEMISIMPLE LINEAR LIE GROUPS
© A. M. Popov
RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: 3.14pat@bk.ru
The canonical subspaces for some representations of semisimple linear Lie groups with finite isotropy subgroup in general position are resulted.
Keywords: canonical subspace; linear representation; the isotropy subgroup in general position
REFERENCES
1. Popov A.M. Finite isotropy subgroups in general position of simple linear Lie groups // AMS, Trans. Moscow Math. Soc. 1986. P. 3-63.
2. Popov A.M. Finite isotropy subgroups in general position of irreducible semisimple linear Lie groups // AMS, Trans. Moscow Math. Soc. 1988. P. 205-249.
3. Popov A.M., Lisitsa A.Yu. Some canonical subspaces of semisimple linear Lie groups // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2014. V. 19. Iss. 2. P. 412-414.
4. Popov A.M., Lisitsa A.Yu. Some canonical subspaces of semisimple complex linear Lee groups // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2014. V. 19. Iss. 2. P. 415-417.
5. Elashvili A.G. Canonical form and stationary subalgebras of points of general position for simple linear Lie groups // Functional Analysis and Its Applications. 1972. V. 6. Iss. 1. P. 44-53.
6. Elashvili A.G. Stationary subalgebras of points of the common state for irreducible linear Lie groups // Functional Analysis and Its Applications. 1972. V. 6. Iss. 2. С. 139-148.
Received 24 August 2017
Popov Alexander Mitrofanovich, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: 3.14pat@bk.ru
Для цитирования: Попов А.М. Канонические подпространства некоторых представлений полупростых линейных групп Ли // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1321-1324. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1321-1324.
For citation: Popov A.M. Kanonicheskie podprostranstva nekotoryh predstavleniy poluprostyh lineynyh grupp Li [Canonical subspaces of some representations of semisimple linear Lie groups]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1321-1324. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1321-1324 (In Russian, Abstr. in Engl.).
