Некоторые канонические подпространства полупростых комплексных линейных групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.46

НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП ЛИ

© А. М. Попов, А.Ю. Лисица

Ключевые слова: каноническое подпространство: лилейное представление; стапиопар-пая подгруппа общего положения.

Приводятся канонические подпространства дчя ттекоторт,тх комплексных полупростых линейных групп . 1н с конечном стационарном подгруппой общего положения.

Основным полом будем считать ноле комплексных чисел С . Топологические термины будем считать относящимися к топологии Зарисского. Для действия алгебраической группы С на алгебраическом многообразии X подгруппа //СG называется стационарном подгруппой общею положении, если и X существует открытое но Зарисскому множество, стационар!n.ie подгруппы точек которого сопряжены Н . В этом случае дня множества Xй {х€Х\Нх .г} , очевидно, (IX н X ,

Для связной по.тунростои комплексной линейной группы Ли С CGL(V) подпространство L С V будем называть каноническим подпрострапством. если G L V и L минимальное (но включению) подпространство с таким свойством. Очевидно, если G I, V и climG + dím/v dirnV7 , то I. каноническое подпространство.

И:-} соображений размерности ясно, что существует немного представлений, для которых имеются обозримые интересные канонические подпространства. Так. размерность простой классической линейной группы Ли, состоящей из матриц порядка и, имеет порядок и2, а размерность пространства неприводимого представления в тензорах валентности fe имеет порядок я*. При fe >2 размерность канонического подпространства для больших п имеет порядок (те* — п2) ~ пк, и эти случаи не представляют интереса. Следовательно, интересные канонические подпространства могут существовать либо для представлении с маленьким п, либо для представлений с маленьким к. Некоторые обозримые канонические подпространства найдены в работах |11 |5|. В настоящей работе приводятся канонические подпространства для

групп из таблиц работы |2|, не найденные pairee.

Всюду в дальнейшем Q алгебра .1 и группы G, г ранг алгебры Q , & ( 1 <»<г) старший вес /-го базисного представления. Н(\) неприводимое представление со старшим весом Л.

1. Рассмотрим действие группы G=G-¿': SO(Cв пространств! V=U'¿W, где U U(G‘2i H(yí)) прост'рапство представления /í(^i) особой группы G¿ : W СЛ. В этом случае II (Z2)2 и элементы II приведены в работе |2|. Пусть {ui,..., ¡(7} базис в пространстве U. {им, «?2, «-'з} базис в пространстве W . 'Тогда {«* К 1 < t < 7, j 1.2,3} базис в пространстве V и для любого v € V v Y^x*3Vi7;Wj . Пусть ±в| , ±¿2: ±вз . 0 веса (относительно стандартной картаповекой подалгебры) простейшего представления Щ+ \) атгебры G¿ и si старший вес, простые корпи алгебры это пл —-*i, «2 .*1— ¿3; и пусть базисные

векторы в пространстве V это i<i иг, . 112 и~?я, и.\ щ, «g uS2, щ мея, uj к_г, . Можно проверить, что Vй <«) ñ«¡i I U7 Swi I па ÑW| I tí 1

+«2 О «з 0і — гіг, 0 іц 0 w¿> . dimV^ б, и подпространство Vй не является каноническим, так как оно не минимальное. Но, например. 1-мерное подпространство L С Vі1, L <«i I «т Q«.'i I un 0 v'-л, iij 0 «'і І «і Л «.*»,«4 'S«?2> каноническое. Доказа-

тельство этого факта сводится к іцювсркс тоіч), что L I QL = V ■ то есть к проверке тот. что не ранеїі нулю соответствующий определитель 21-го порядка. Кроме того, dimCí + dimA 17 + + 4 21 climV , то есть L минимальное иоднространстію. Гак им образом, .чюбой тензор из

открытого по Зарисскому множества в V можно привести действием группы G к каноническому виду «(«і Діі'і I «7'Swa) I I н«0и-з) І 7'(«7 І «і І й(«4 йиг2).

2. Рассмотрим действие груииы G = SL(CA) OSL(CA) 0SL(CA) в пространстве V = S%¡

0 V <£ W , где 5 (/ VI' . И этом случае II (Z3)2 (см. [11, [2|). «Четко убедиться, что

/° 0 Л . .

II =<gí,y-2> , где c/i =«ла;i, g2 = bc,bOb, и= 1 0 0 1 ; b = diag(l, г. г2), ? = І .

\0 1 о/ ^

Пус ть {§1, 52, $з} базис в пространстве 5, {«і, «2, из} базис в пространстве V ,

{и!1, н;2, н!з} базис в пространстве W . Тогда {s.¿ 0 iij j-, к 1,2,3} базис в простран-

стве V ■ ..'ІЄГКО проверить. ЧТО подпространство Vй <Я| 0М| C\W'l,.S2 0«а 0Н-1, А‘з 0 II2 0 0 ü/'i,.si 0ї/з0и’2,Лз0ні 0№2..S2 0H2 0tt’2,.si ís: «2 К «;а, «2 0«i ñttin.SaЙ%Й«-’а> , dimKw 9, u подпространство VH ие является каноническим, так как оно пе мипима.тышс. По, иапример; подпространство LcV, I. <S| : и-\ :: u'\ I «2 : »о :: ir¿ І »» СО «з & и*»» s» Є «а 55 гг і I *і : чл 0 u*2 + &2 0 гг і 0 tí-’з, «2 0 «з 0 «'і +вз 0 «i s®2 + si 0 tí2 0 и'з> каноническое. Доказательство этого фак та своди тся к проверке ТОГО, ч то /v + QL V , то ес ті» к проверке того, ч то не равен нуттю соответствующий определитель 27-го порядка. Кроме того, dirn(7 I dirri/, 21 І 3 27

= diinV, то есть L - минимальное подпространство.

Предос тавляя 'тензоры из V трехмерными матрицами можно утверждать, ч то любую трехмерную (3,3.3) -матрицу из откры того по Зарисскому подмножества в V можно привести

( /а 0 ()\ /О О -Д /0 в 0\ "І

действием группы G к каноническому виду < I О О ¡і I , I 0 сї О I , I 7 О О I > , где

I \0 7 0/ \р 0 0/ \0 0 а) )

первая матрица верхний слой трехмерной матрицы, вторая матрица ее средний слой, а третья матрица - ее нижний с той.

3. Рассмотрим дейс твие группы G $р(Сь) 0 SL(C¿)(ll(:-Pi) 0 /í-(v?i)) в пространстве V U (i W , где U (/(6з, /Í(v5a)) подпространство в пространстве тривекторов Л-Н(Сс). dinif/

11, И' С2. dirriV' 28. В этом случае Н (22)4 (см. [1], [2J). Можно считать, что

II =<Я\- y-¿. у л, у л > , где д-\ = diag(-l, —1.1,1, —1, —1) 5í Е. =diag(l, — 1,—1,-1, -1.1) 0 Е, ул = diag(¿, і, і, —і, —і. —г) С diag(*, —t) . у.\ = Dt¡(i) 5í £>2(*): Е - единичная матрица второго порядка. /Лз('І) и Di {'і ) мат рицы соответственно шестого и вт орого порядка, у кот орых па побочной диагонали стоя т числа і. а остальные элемен ты равны пулю.

Пусть {'«і...., ме} - базис в пространств!! Си , {«’i. w-¿} - базис в пространстве W. Можно провітрить, что подпространство V =<щ Л щ Л щ Э «’і I Щ Л щ, Л щ -3 w-¿. «і Л щ Л u-, о w\ I + ti 2 Л И З Л ¡ÍÜ 0 К’2, «2 Л И.1 Л «о 0 И’| + Их Л Из Л «5 0 П'2, »3 Л «5 Л «о 0 «'| + «X A ¡Í2 Л ÍÍ1 0 U:¿> >. и значит, dirnl'11 4. dimG + dimV,w 24 + 4 28 dimV'0 Кроме того, Vі1+QL V.

Доказат('льство этого факта сводит<‘я к проверке того, что, ж1 равен нулю соответствующий определитель 28-го порядка. Следовательно, подпространство Vй каноническое.

4. Рассмотрим действие группы G SL(C°) 0 6'А(С5)(/?.(^2) 0 ^(^х)) в пространстве V

S 0 W , где S S(Ai: I{(íp2)) пространство бивекторов A (U), U » W «sCa, dim5 10,

dirnV' 50. В этом случае Н (^г.)2 (см. [I]. |2|). Легко убедиться, что Н <уі, у >>, где

у-\ = а 0 а С а, = Ь :>; Ь сI b, а = diag( I. с. ;"4. е4). г. '--.' . Ь =

11 усть {«.),..., hs} базис в пространство V , {«.’іw-,}

(0 0 0 0 Л

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

Vo 0 0 1 о)

6a мис в прост

W .

Можно проверить, что подпространство V

гТТ _

< ll;i Л Щ 0 H?1 I Щ Л «5 0 W'¿ — «1 Л «5 0 W;i I

+«1 Л 11-2 0 «‘1 + «2 Л и з У П'5 , —»2 Л «б 0 И>1 + 111 Л И;} 0 «’2 + »2 Л «1 0 К' з + «з Л «5 0 К’і — «і Л Щ 0 0 «?5> . и значит. сІітУ^ 2 . сІітСт’ + сІіт\/^ 48 + 2 50 сіітІЛ Кроме того, V11 + 9Ь V.

Доказательство этого факта сводится к проверке того, что но равен пулю соответствующий определитель 50-го порядка. Следовательно, подпространство Vй каноническое.

Заметим, что для действия группы С в ассоциированном проективном пространстве Р(У) стационарная подгруппа общего положения II' = (Ж-,)2 • Ъ-± (см. [1], [2]), и =«:> , где с = Дб(1) 0 Дг,(1); а /Л>0) матрица пятого порядка, у которой па побочной диагонали стоя т единицы, а остальные элементы ранпы пулю.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов Л. М. Копечптлс ста ппопарпые подгруппы об\ пого положопия простых лпттейттых групп Ли // Трульт

VI МО. 1985. Т. 18. 7-59.

2. Пош/ч Л.М. Стационарные подгруппы общего положения для некоторых действий простых групп Ли // Труды VIМО. 1987. ГГ. 00. С. 209-218.

.4. Элаишили A.I'. Каноническим вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых

лш1ей1шх груии Ли Фупкц. анализ. 1972. Выи. I, .Y*6, С. 51-62.

I. Эдашаили А. Г. Отапиоттарттьто подалгебры точек общего положения для пепрпподпмых липойпьтх групп

Ли// Фуикц. анализ. 1972. Выи. 2. .Ж>. С. 65-78.

Постунила и редакцию 21 ноября 2013 г.

Popov A.M., Lisitsa A.Yu.

SOME CANONICAL SUBSPACES OF SEMISIMPLE COMPLEX LINEAR LEE GROUPS The canonical subspaces for some complex serriisimple linear Lie groups with finite isotropy subgroup in general position are given.

Key words: canonical subspace; linear representation; the isotropy subgroup in general position.

Попоп Александр Митрофаттопттч, Российский упиперситет дружбы народов, Москва, Российская Федерация, кандидат фнзико-математических паук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: 3.1-1pat@bk.ru

Popov Alexander Mitrofanovich. Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow. Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: 3.MpatSbk.ru

Лисица Андреи Юрьевич. Российским университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: a-lisicaiiyandox.ru Lisitsa Audrey Yuryevich, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation. Senior Lecturer of Nonlinear Analysis and Optimization Department., e-mail: a-hsicajtyandex.ru