CC BY
7Ч,авоб: нуктах,ои Мх в а Nг (инчунин М 2 в а N2 ) мувофикан дар хатх,ои суфтаи р ( х) ва р ( х) мехобанд ва нисбат ба хдмдигар дар масофаи наздиктарин чойгиранд.
Масофаи мазкур ба d = ^ 1,062 5 баробар мебошад.
Хулоса, Тавре дар боло кайд карда будем, рангами будан функсияи
дутагйирёбанда d ( х i;x2) ба кимати калонтарин (максимуми мутлак) сох,иб шуда наметавонад ва доимо дорои кимати хурдтарин (минимуми мутлак) мебошад. Аз тарафи дигар ин функсия метавонад дорои экстремумх,ои локалй низ бошад. Аз ин ру, хднгоми истифода бурдани алгоритми дар боло мух,окимашуда масъалаи ёфтани хдмаи решах,ои хдкикии муодилаи (4) ба миён меояд. Ин гуфтах,оро хднгоми х,алли масъалаи дар боло овардашуда кисман мушох,ида намудем.
АДАБИЁТ
1. Идиев F.A., Саидов И.М. Татбики методаои вариатсионй барои хиисоб намудани масофаи байни хащои суфта/ Идиев F.A, Саидов И.М. // Паёми Донишгохи миллии Точикистон. Бахши илмдои табий. 2019. №1. С. 84-89. ISSN 2413-452X.
2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / Филиппов А.Ф. // М. :Наука, 1965.-320 с.
3. Цлаф Л.Я Вариационное исчисление и интегральные уравнения/ Л.Я. Цлаф. // M. :Наука, 1970. -280 с.
4. Гельфанд И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин.//М. :Наука, 1969.
5. Лаврентев М.А. Курс вариационного исчисления / М.А. Лавренев, Л.А. Люстерник. // M. :Гостехиздат, 1950.
6. Краснов М.Л. Вариационное исчисление / М.Л. Краснов, Г.И. Макаренко, А.И. Киселев // M. :Наука, 1973.
7. Рауфов И.Ш. Масофаи байни хащои суфта дар хамворй / И.Ш. Рауфов, F.A. Идиев. Душанбе, 2004.
8. Рауфов И.Ш. Муодиладои дифференсиалй ва хисобкунидои вариатсионй / И.Ш. Рауфов, F.A. Идиев. // Душанбе, 2004.
9. http://www.corporateresources.narod.rii
10. http://www.nbt.ti/ruybanking system/spisok audit.php
11. http://www.pavlino-rus.narod.ru
12. http://www.samoobrazovanie.narod.ru
13. http://www.zaochkurs.narod.ru
НЕКОТОРЫЕ ИНТЕРПРИТАЦИИ СИСТЕМЫ АКСИОМ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
СОБИРОВА ГУЛНОРА,
Таджикский государственный педагогический университет С.Айни E-mail: [email protected]
В работе рассматривается декартова реализация системы аксиом Евклида исследование аксиом евклидовой геометрии с аксиоматическим построением евклидовой геометрии
Цель статьи: В статье показано выполнимость аксиом евклидовой геометрии. в первым группе три аксиомы связи пят аксиомы порядка, семь аксиом движения, выполнение аксиомы непрерывности.
Доказать выполнимость аксиом евклидовой геометрии Три аксиомы связи , пят аксиомы порядка, семь аксиом движения, выполнение аксиомы непрерывности.
По результатам исследования показано выполнимость аксиом евклидовой геометрии в первым группе три аксиомы связи пят аксиомы порядка, семь аксиом движения, выполнение аксиомы непрерывности.
Автором формулируется перечень рекомендаций, направленных на устранение имеющихся трудностей.
Ключевые слова: евклидовая геометрия, аксиома, плоскость, прямая.
SOMT INTERPRETATION OF SYSTEM OF AXIOMS OF EUCLIDEAN GEOMTTPY
SOBIROVA GULNORA
Tajik State Pedagogical University S.Aini E-mail: [email protected]
The paper considers the Cartesian implementation of the system of Euclidean axioms, the study of the axioms of Euclidean geometry with the axiomatic construction of Euclidean geometry
Purpose of the article: The article shows the feasibility of the axioms of Euclidean geometry. in the first group there are three axioms of connection, five axioms of order, seven axioms of motion, the fulfillment of the axiom of continuity.
According to the results of the study, the feasibility of the axioms of Euclidean geometry is shown in the first group: three axioms of connection, five axioms of order, seven axioms of motion, the fulfillment of the axiom of continuity.
Keywords: Euclidean geometry, axiom, plane,straight line
Введение. В связи с аксиоматическим построением евклидовой геометрии естественно возникают следующие три требования к систему аксиом.
1. Не противоречива ли принятая нами система аксиом, т. е. не могут ли из нее быть выведены путем логически рассуждений два взаимно исключающих следствия?
2. Полна ли система аксиом, т. е. нельзя ли ее пополнить новыми аксиомами которые не противоречили бы уже принятым и не вытекали бы из них?
3. Независимы ли принятые аксиомы т. е. не следуют ли некоторые аксиомы из других? Решение этих вопросов, которое будет дано в настоящей статье, тесно связно с построением конкретных реализаций системы аксиом.
Реализация состоит в указанны вещей трех родов произвольной природы, условно именуемых <<точками>>, <<прямыми>>, << плоскостями)), и трех отношений между ними, условно выражаемых словами «принадлежат», «предшествовать», «движение», для которых в силу их конкретного содержания выполняются аксиомы
Дело в том, что в отличие от изложение <<Начал>>, где, как знаем содержатся описание основных объектов - точек, прямых и плоскостей, в нашем изложение ничего не сказана о них, кроме того, выражено аксиомами. Поэтому все наши выводы относятся к вещам произвольной природы, лишь бы для них и отношений между ними, которые также могут быть далеки от наглядных представлений, выполнялись аксиомы.
Расмотрим систему аксиом евклидовой геометрии которая называется - декартовой. Для простоты изложения будем строить реализацию плоской системы аксиом. Однако, как нетрудно убедится, такое же построение возможно и для пространственной системы.
Точкой будем называть любую пару вещественных чисел х и у, взятых в определенном порядке (х ; у) а э ти чи сл а - координатами точки. Прямой будем называть совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению а х + Ьу +с=0.
Это уравнение будем называть уравнением прямой, прямые х= 0 и у=0 - осями координат, а точку (0, 0)- началом систем координат. Будем говорить, что точка принадлежит прямой, если она является одной из ее точек. Таким образом, точка принадлежит прямой, если ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.
Отношение порядка для точек на прямой, заданной уравнением а х + Ьу +с=0,
мы определяем следующим образом. Если Ьф0,то A(xi; yi) Z Л2(х2; y2) в одном направлении определяется условием x1Z х2, а в противоположном - условием x2Z х1 . Если Ь=0, то Л1 Z Л2 в одном направлении определяется условием y1Z у2.
Движение будет заключаться в сопоставлении каждой точке (х' , у) согласно следующим
формулам:
, = (*)
у = х sin д + еу eos д + b
где $ , а, Ъ — любые числа, а е = + 1 . Движение для прямой определяется через движение принадлежащих ей точек. В силу линейности и однозначной разрешимости формул (*) оно действительно указанным образом каждой прямой сопоставляет прямую.
При таком конкретном понимании точек и прямых и отношений между ними каждая из аксиом евклидовой геометрии представляет собой некоторое утверждение, относящееся к вещественным числам. Сейчас покажем, что каждое из этих утверждений действительно имеет в силу соответствующих теорем арифметики.
Аксиомы евклидовой геометрии в декартовой реализации
Аксиома Ii. Каковы бы ни были точки (хi; yi) и (х2; у2), существует прямая, через них проходящая.
Действительно, прямая
(х — Xi) ( У2 - yi) — ( у — yi )( Xi — Х2)=0
Проходит через каждую из точек (х i; yi) и (х2; у2).
Аксиома I2. Каковы бы ни были две точки (х i; yi) и (х2; у2), существует не более одной прямой, которая проходила бы через эти точки.
Допустим обратное. Пусть через точки ( i; i ) и ( 2; 2), проходят две прямые :
а х + Ъу +с=0 ai х + Ъ1 у +с1=0,
Так как система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет более одного решения, то уравнения зависимы, т.е. отличаются только множителем. А это значит -прямые совпадают.
Аксиома I3. На каждой прямой
а х + Ъу +с=0
лежат, по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Действительно, точка
(-ГГ7 — ЯЪ-^т + Яа)
Уа2+Ь2 а2+Ъ2 J
При любом Я принадлежит прямой. А три точки (0;0), (0;1),(1;0) не лежат ни на какой прямой.
Аксиомами Ii , 12 и 13 исчерпываются все плоские аксиомы связи. Перейдем к аксиомам порядка.
Аксиома порядка тривиальным образом выполняются в силу соответствующих
свойств неравенств для вещественных чисел.
Аксиома . В одном из двух направлений на прямой
а х + Ъу +с=0
для каждой точки. Л(х, у) найдутся точки и Л2 такие, что
Z АА Л2 .
Действительно, если точка Л(х, у) лежит на прямой
а х + Ъу +с=0,
то на ней лежат также точки
( + ; а) , ( ; а) .
Легко видеть, что в любом из двух направлений одна из них предшествует Д а другая следует за ней .
Аксиома . Прямая
g: а х + Ъу +с=0
разбивает плоскость на две полуплоскости так, что если Д (х1; у1) и Д(х2; у2) -две точки одной полуплоскости, то отрезок Д , Д не пересекается с прямой g, если же Д и Д принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок Д Д пересекается с прямой g.
Подвергнем плоскость разбиению на две области: а х + Ьу +сА0 и а х + Ьу +с>0 .
Покажем, что это разбиение обладает указанными в аксиоме свойствами. Действительно, пусть а х+ //у + у = О
- прямая, соединяющая точки ^ и Л2 . И пусть для определенности // * 0. Тогда для всех точек отрезка
Л1 , х1 < х < х2 или
х2 < х < х1 .
Подставим координаты х и у = — — ( а х + у) точки отрезка Л1 , Л2 в а х + Ьу +с=0.
Тогда получим линейную функцию от х Дх) . Если точки Л1 и Л2 принадлежат одной области, то /(х1) и /(х2) одного знака, следовательно, Дх) сохраняет знак во всем интервале (х1; х2). А это значит, что отрезок Л1 Л2 не пересекает прямую а х + Ьу +с=0.
Если же точки Л1 и Л2 принадлежат разным областям, то Ях1) и /(х2) разных знаков и следовательно, Дх) обращается в нуль в интервале (х1; х2). Это значит, что отрезок Л1 Л2 пересекает прямую
а х + Ьу +с=0.
Аналогично рассматривается случай // = 0 (в этом случае а * 0). Аксиома I I I !. Каждое движение сохраняет отношение принадлежности. Аксиома I I I 2 . Каждое движение сохраняет отношение порядка. Пусть движение переводит прямую а х+ //у + у = О (*) в прямую а х + Ьу +с=0.
И пусть, для определенности, // * 0 и Ь * 0. Выразим координату х точка прямой а х + Ьу +с=0
через координату соответствующей точки прямой а х+ //у + у = О .
Для этого в первую формулу (*) подставим
у = — х+ у) ; х (х)
Есть линейная, а следовательно, монотонная функция она не сводится к постоянной, так как из уравнения а х + Ь у + с = 0
следовало бы, что и у — постоянная. Отсюда следует выполнимость аксиомы I I I 2 . Другие случаи
/= 0 , Ь *0; /= 0, Ь = О ; / *0, Ь = О, рассматриваются аналогично.
Аксиома . Движения образуют группу. Действительно, тождественное преобразование.
содержится среди преобразований х = xcosd — £ysin$ + а,у = xsin$ + eycosd + b (*) при $=0, а = О, Ь = О, г = 1 .
Преобразование обратное (*) задается формулами
х = х с о s $ + у s i п $ + а= х с о s ( г$ ) — гу s i n ( г$ ) + а,
у = —ex sin д + ey cosd + b = x sin(— ад) + sy cos(— afi) + b
и следовательно, является движением. Последовательное выполнение двух преобразований вида (*) также есть преобразование вида (*).
Аксиома I I I 7 . Пусть а и а2- две прямые, Д и Д - точки на этих прямых. Тогда существует, и притом единственное, движение, которое переводит точку, Д в Д заданную полупрямую прямой а1 в заданную полупрямую прямой а2 заданную полуплоскость, определяемую прямой а1; в заданную полуплоскость, определяемую прямой а2.
Аксиома I I I з позволяет в доказательстве существования ограничиться случаем, когда Д -начало координат, а2—ось х — ов, полупрямая на ней — х>0 и полуплоскость - у>0. Не ограничивая общности, можно считать, что прямая 1 задается уравнением
х sin $ + у cos $ + р = 0. К такому виду уравнение легко приводится. Рассмотрим движение
+ х = с о s т9 — у si п $ + q, + у = х s i n $ + у с о s $ + р. Очевидно, оно прямую а1 переводит в ось х — ов (у = 0 ) .
Выбором q можно добиться тог, что точка Д будет проходить в начало координат. А выбором знаков при и можно удовлетворить остальным условиям.
В силу аксиомы I I I з единственность достаточно показать в случае, когда обе точки Д совпадают с началом координат, полупрямые «í- с положительной полуосью х, а полуплоскости - с полуплоскостью
Обратимся к формулам (*) . Так как (0,0) переходит в (0,0), от а = Ъ = 0.
Так как при
Так как при то
Следовательно, движение: х = х, у = у . Единственность выходить.
Аксиома I I I 4 . Если при движении полупрямая Л, как целое, и ее
начальная точка А отсюда неподвижными, то все точки полупрямой отсюда неподвижными.
После аксиом достаточно рассмотреть случай, когда точка А совпадает с
началом координат, а полупрямая с положительной полуосью обратимся к формулам (*). Так как при у = 0 должно быть у = 0, то $ = 0 . Далее, так как при
, то
Таким образом, формулы (*) имеют вид
х = х, у = £у . И аксиома выполняется.
Аксиома I I I 5 . Для каждой пары точек (х 1; у1), ( х2; у2) существует движение, переставляющее их местами.
Если точки лежат на оси то требуемое движение
х = — х + х1+ х2, у = у Общий случай сводится к этому частному с помощью аксиом I I I з и I I I 7. Аксиома I I I6 . Для каждой пары лучей, исходящих из одной точки, существует движение, их переставляющее.
В частном случае, когда лучи задаются уравнениями х с о s $ + у s i n $ = 0, х с о s $ — у s i n $ = 0 , требуемое движение либо ,
либо ,
Общие случай сводится к частному путем перехода сначала к лучам
у = 0, х cos 2 д — у sin 2д = 0 некоторым движением (аксиома ), а затем движением
х = х cos д — у sin д, у = х sin д + у cos $ к лучам х с о s $ + у s i n $ = 0, х с о s $ — у s i n $ = 0.
Аксиома непрерывности выполняется в силу аксиомы Дедекинда (Аксиома Кантора-Дедекинда говорит о том, что вещественные числа порядком сходны линейному термину в геометрии. Другими словами, аксиома гласит, что существует однозначное соответствие между действительными числами и точками на прямой.) для вещественных чисел.
Аксиома 5. Через данную точку (хо ; у0) вне данной прямой а х + Ьу + с = 0
можно провести к ней не более одной параллельной. Допустим, существуют две такие прямые
а1 х + Ь1 у + с1=0 и а2 х + Ь2 у + с2 = 0.
Обе системы
а1 х + Ьху + с1 = 0 | а2 х + Ъ2 у + с2 = 0} а х + Ь у + с = 0 } а 2 х + Ь 2 у + с 2 = 0 } несовместимы. Поэтому
а1 Ьх _ 0, а2 Ь2
а Ъ а Ъ
Отсюда а1 Ьг =0
а2 ь2
И так как система а1 х + Ь1 у + с1=0 а2 х + Ь2 у + с2 = 0.
Имеет решение (х = х0 , у = у0 ) , то ее уравнения зависимы, а следовательно, прямые совпадают. Выполнимость всех аксиом доказана.
Заключение, мы расмотрели об декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии по трем вопросам:
1. Не могут ли из нее быть выведены путем логических рассуждений два взаимно исключающих следствия?
2. Нельзя ли ее пополнить новыми аксиомами, которые не противоречили бы уже принятым и не вытекали бы из них?
3. Не следуют ли некоторые аксиомы из других?
Приведено решение этих вопросов, т.е. точка и число координатами точки, прямой совокупность, всех точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению
ах + Ьу + с = 0
х = 0 и у = 0 - осями координат, точка (0; 0)- началом координат. Выполнимость аксиом:
Аксиома I 2 . Каковы бы не были точки (х^) и (х2;), существует прямая, через них проходящая и существует не более одной прямой, которая проходила бы через эти точки. Аксиома . На каждой прямой
ах + Ьу + с = 0 лежат, по крайней мере две точки. Существует три точки, не лежащие на одной прямой. Выполнимость всех аксиом доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1 Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия части 1,2, / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев //Москва, 1975.
2 Василевский А.Б. Обучение решению задач по математике. / А.Б.Василевский Учебное пособие. // Меси.- Высшая школе, 1988.
3 Гуссак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике. Минск, / А.А. Гуссак, Г.М. //Наука и техника 1991.
4 ГлаголевН.А, //Проективная геометрия. Москва, 1962.
5 Гуревич Г.Б. Гусак // Проективная геометрия. / Г.Б. Гуревич, Гусак // Москва, 1974.
6 Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. / Н.Ф. Четверухин// Москва.,1961.
7 Данков П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах ч I М. / П.Е.Данков, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова ОНИКС Мир и Образование 2006.
8 Ефимов В.И.// Высшая геометрия. / В.И. Ефимов //Москва, 1984.
