CC BY
44
список источников и ЛИТЕРАТУРЫ
1. Столяр А. А. Как математика ум в порядок приводит. - М., 1991. - 207 с.
2. Лернер И. Я. Процесс обучения и его закономерности. - М., Знание, 1980. - 96 с.
3. Талызина Н. Ф. Теоретические основы контроля в учебном процессе. - М., 1983. - 96 с.
4. Болтянский В. Г., Грудное Я. И. Как учить поиску решения задач // Математика в школе. -1988. -№ 1. - С. 8-10.
5. Кудрявцев Л. Д. Избранные труды. - Т. 3. Мысли о современной математике и ее преподавании. -М., Физматлит, 2008. - 434 с.
6. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание // Пер. с англ. - М., Наука, 1976. - 448 с.
7. Кучугурова Н. Д. Контроль учебно-познавательной деятельности обучающихся (технология формирования умения). - 2-е изд. - М.: АБЛ Принт, 2006. - 128 с.
8. Монахов В. М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы // Математика в школе. - 1984. - № 6.
9. Ананьев Б. Г. Психология педагогической оцен-
ки // Избранные психологические труды: В 2 т. - т. II / Под ред. А. А. Бодалева и др. - М.: Педагогика, 1980.- С. 128-266.
10. Атаманчук П. С. Дидактические основы разработки и использования эталонов контроля учебной деятельности учащихся: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Киев, 1982. - 17 с.
11. Львовский В. А. Психологические требования к контролю и оценке знаний школьников // Проблемы психодиагностики, обучения и развития школьников: Сб. науч. трудов / Под. ред. А. М. Матюшкина. - М., 1985. - С. 12-21.
12. Андреев В. И., Мельхорн Г. Интенсификация творческой деятельности студентов. - Казань, 1990. - 198 с.
13. Жарова Л. В. Развитие активности и самостоятельности учащихся 5-6 классов в процессе проверки знаний и умений: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1995. - 24 с.
14. Полонский В. М. Оценка знаний школьников. -М., 1981. - 96 с.
15. Багдуева З. Н. Сборник контрольно-измерительных материалов промежуточного контроля знаний учащихся 10-11 классов. - Махачкала, 2009. - 116 с.
генетический подход к изложению аксиом школьного курса геометрии
GENETIC APPROACH TO AXIOM PRESENTATION IN THE COURSE OF GEOMETRY IN SECONDARY SCHOOL
С. А. Власова
Статья посвящена проблемам реализации генетического подхода к изложению аксиом школьного курса геометрии (планиметрии), предполагающего, в частности, выделение этапа мотивации при изучении аксиом, а также этапа, показывающего связь между содержанием аксиомы и свойствами того неопределяемого понятия, которое косвенно раскрывается при помощи данной аксиомы.
Ключевые слова: генетический подход, школьный курс, аксиома.
S. A. Vlasova
The article examines the problems of implementing the genetic approach to axiom presentation in the course of plane geometry in secondary school, which presupposes in particular the existence of motivational stage in studying axioms, as well as the stage that shows the connection between the contents of the axiom and the characteristics of the not defined notion indirectly revealed with the help of this axiom.
Keywords: genetic approach, secondary school course, axiom.
Вопрос о необходимости аксиоматического изложения школьного курса геометрии остается в методике преподавания математики одним из самых спорных и до сих пор не исследованных до конца вопросов. Раздел, посвященный изучению аксиом, является трудным разделом школьной геометрии, но несмотря на это вынужденно изучается самым первым.
Как показали современные исследования, иной подходящей предметной области для возникновения дедуктивного способа рассуждения, кроме геометрии, не существует [1]. Происходит это в силу того, что, хотя свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности и очевидности могут быть открыты и разъяснены независимо от какой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истин-
Анализ ранее изученного материала
ности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты.
Исходя из вышесказанного, мы считаем, что вводить аксиомы нужно именно в курсе геометрии средней школы, однако необходимость учета возрастных особенностей детей обусловливает пропедевтический характер этого введения.
В настоящее время возникло глубокое противоречие между необходимостью изучения системы аксиом геометрии (в соответствии с большинством школьных учебников) и отсутствием детально разработанных методик по их изложению, а также большим разбросом взглядов современных методистов на преподавание начал геометрии и вследствие этого недостаточной разработанностью данного раздела.
Г. Фройденталь, говоря об аксиоматике вообще, акцентирует внимание на том, что аксиоматика имеет ценность практическую и ценность педагогическую, ведь в процессе ее преподавания школьнику можно показать четкость и стройность изложения и последовательную дедуктивность, и в школе следует рассматривать «то, что так высоко ценит настоящий математик, <...> - процесс аксиоматизации» [2, с. 62]. Говоря об опытах введения геометрической аксиоматики в школе, голландский математик отмечает, что «цель геометрической аксиоматики -освобождение от онтологических связей - заведомо не достигается в этих опытах, ибо система аксиом вводится в готовом виде».
В данной статье рассматривается возможность построения обучения таким образом, чтобы реализовать развивающий потенциал введения аксиоматики при изучении геометрии в школе.
Для решения указанной проблемы используется одна из разновидностей деятельностного подхода - генетический подход к обучению, согласно которому математика рассматривается не как завершенная наука, а как вид деятельности.
Под генетическим подходом к обучению мы будем понимать способ обучения, позволяющий проводить школьников через математическую деятельность, воссоздающую в специально организованных облегчающих условиях процессы возникновения и развития новых знаний.
Концепция генетического подхода к изучению геометрии ставит целью сделать самих детей участниками создания новой для них науки - геометрии, показать им геометрию в процессе ее возникновения. Значит, задачей учителя становится создание учебной ситуации, в результате которой ученик поймет необходимость введения каждой аксиомы и примет участие в ее создании.
В соответствии с концепцией генетического подхода к обучению были выделены следующие этапы пропедевтического изучения аксиом: анализ ранее изученного материала, мотивация аксиомы, введение формулировки аксиомы и усвоение ее учащимися, прослеживание связи
Мотивация введения аксиомы
Введение формулировки аксиомы
Применение аксиомы для решения задач
Прослеживание связи изучаемой аксиомы с вводимым понятием
Рис. 1. Схема пропедевтического изучения аксиомы
изучаемой аксиомы с вводимым неопределяемым понятием, применение аксиомы для решения задач и доказательства теорем (рис. 1).
Специфика генетического подхода обусловливает наличие этапа анализа ранее изученного материала.
Если при традиционном обучении схема построения процесса пропедевтического изучения аксиомы имеет линейную структуру, то при генетическом подходе эта схема замкнута. Развитие содержания происходит естественным образом не как изучение нового, а как развитие уже имеющихся знаний, начиная с этапа анализа изученного материала. Изучение одного понятия или математического факта влечет за собой изучение другого. Циклический характер развития содержания изучаемого материала при генетическом подходе обусловливает включение механизма самодвижения, саморазвития.
Пример 1. Перед введением аксиомы взаимного расположения точек на прямой мы анализируем изученный материал и видим, что, говоря об отношениях между точками и прямыми, мы можем использовать слова: принадлежит, не принадлежит, проходит.
А как описать взаимное расположение трех точек на прямой (рис. 2)? Как, например, расположены точки А, В и С относительно друг друга? В каком порядке выстроились эти точки на прямой? Тут словами «принадлежит» и «проходит» не обойдешься.
Надо сказать, что точка В лежит между точками А и С (или, другими словами, точки В и С лежат по одну сторону от точки А). Значит, говоря об отношениях между точками и прямыми, наряду со словами «принадлежит» и «проходит», мы обязательно будем использовать и понятие «лежит между».
Этап мотивации аксиомы может быть реализован через демонстрацию учащимся неполноты системы известных им аксиом или показ необходимости расширения уже созданной модели геометрии. При генетическом подходе геометрия не демонстрируется учащимся как уже готовое и устоявшееся знание, а возникает постепенно в совместной деятельности ученика и учителя по кон-
Рис. 2. Введение понятия «лежать между»
Рис. 3. Мотивация аксиомы расположения точек относительно прямой на плоскости
струированию нового знания. Очень важно довести до понимания школьников основной принцип, на котором и будет строиться геометрия: в законодательстве, в жизни можно все, что не запрещено, а в геометрии иначе - можно лишь то, что разрешено, описано в законе.
Пример 2. Чтобы построить такую систему, надо с чего-то начать. Что может быть проще точки и прямой? Если мы поставим две точки, что можно сделать? - «Провести через них прямую», - ответят ученики. Но ведь мы договорились делать лишь то, что разрешено, значит, возникает необходимость ввести закон: «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Пример 3. Появление аксиомы разбиения плоскости на две полуплоскости может быть мотивировано тем, что предыдущие аксиомы не описывают в полной мере свойства прямой, так как, опираясь на эти аксиомы, невозможно отличить прямую от отрезка. Фактически мы имеем возможность показать, что система аксиом, известная на данный момент ученикам, неполна [3].
Согласно теории ван Хиле, каждому уровню мышления в геометрии отвечает свой язык, причем язык преподавания не должен быть сложнее языка, соответствующего уровню мышления ребенка. Учитывая сложность для учащихся седьмого класса рассуждений, соответствующих четвертому уровню (формальная дедукция) мышления, для изложения материала были составлены сказочные сюжеты, позволяющие создать для иллюстрации сложных абстрактных понятий яркие запоминающиеся образы.
Использование сказок обеспечивает атмосферу комфорта и оптимального эмоционального напряжения, необходимую для творческой, но вместе с тем трудной работы детей по созданию новой теории. Язык сказки помогает и учителю, давая необходимый словесный аппарат для описания сложных математических понятий на доступном для детей уровне и расставляя эмоциональные акценты в наиболее важных местах вводимого материала. Учитывая эффективность подобной формы подачи, мы сочли необходимым привести в данной работе пример используемой сказки в качестве иллюстрации предлагаемой методики.
Однажды к царю геометрического государства ворвался взволнованный маленький отрезок с криком: «Я разгадал великую тайну! Я знаю, что такое прямая, я знаю! Прямая - это отрезок!»
- Какой ты маленький и глупый, - возразил царь. Он хотел было заняться своими делами, но отрезок настаивал:
- Никто никогда не знал, что такое прямая в геометрии, но нам известны 3 закона, в которых говорится о прямой:
1) Через две различные точки можно провести одну и только одну прямую.
2) Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
3) Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Значит, если для какой-то фигуры верны эти три закона, то это и есть прямая.
- Верно, - согласился царь, - но эти три закона и верны только для прямой.
- Давайте вместо слова «прямая» вставим слово «отрезок»:
1) Через две различные точки можно провести один и только один отрезок с концами в этих точках.
2) Каков бы ни был отрезок, существуют точки, принадлежащие отрезку и не принадлежащие ему.
3) Из трех точек на отрезке одна и только одна лежит между двумя другими.
- Все три аксиомы выполняются и для отрезка, - удивился царь. - Значит, прямая - это отрезок?
- Ура! Я прямая, - закричал отрезок.
- Как же так, в геометрическом государстве нет закона, с помощью которого можно отрезок от прямой отличить, моя система законов неполна! - разгневался царь-государь, схватил перо и стал думать, как же сформулировать следующий закон.
Царь сделал два чертежа (рис. 3):
Чем же отличаются эти фигуры?
Пример 4. Введение аксиом порядка можно мотивировать тем, что отрезки в геометрии пока не имеют длины, а углы - градусной меры, и если ее не ввести, то полученную модель геометрии нельзя будет использовать для вычисления площадей и объемов фигур.
На третьем этапе - введения формулировки аксиомы учитель создает специальную учебную ситуацию, направленную на то, чтобы дети приняли максимальное участие в формулировании аксиомы. В ходе такой работы, проводимой в форме диалога, учащиеся должны понять, что формулировка аксиомы не случайна, в ней важно каждое слово.
Пример 5. При введении аксиомы откладывания отрезков «На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и при этом только один» задаем детям вопрос, а почему бы не разрешить откладывать два таких отрезка?
Допустим, на полупрямой а от начальной точки А можно было бы отложить два отрезка АВ и АС длиной 4 см, то есть АВ = АС = 4 см. Но среди трех различных точек А, В и С одна и только одна должна лежать между двумя другими. Пусть точка В лежит между точками А и С. По аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, то есть 4 + ВС = 4. Таким образом ВС = 0, что противоречит тому, что каждый отрезок имеет определенную длину, которая больше нуля. Но разве в геометрии могут быть два закона, проти-
воречащих друг другу? Ведь тогда, если исполняется первый закон, нарушается второй, а если исполняется второй закон, нарушается первый.
Эти рассуждения помогают школьникам уяснить, для чего в формулировке аксиомы нужны слова «.и при этом только один», и понять: система аксиом обязательно должна быть непротиворечивой, то есть любые две аксиомы не должны противоречить друг другу.
При традиционном обучении школьники, приступая к изучению геометрии, с законами построения которой они сталкиваются впервые, начинают ошибочно воспринимать аксиомы как очевидные факты, а это приводит к тому, что аксиомы воспринимаются детьми как не стоящие внимания, и уж тем более запоминания, знания. Не понимая роли аксиомы, дети не прослеживают ее связи с неопределяемыми понятиями. Необходимость акцентирования внимания учащихся на том, что аксиомы нужны в геометрии, в частности, для описания свойств неопределяемых понятий, что они косвенно «определяют» эти понятия, так как раскрывают присущие только им свойства, приводит к выделению еще одного этапа, а именно - прослеживания связи изучаемой аксиомы с вводимым понятием. Данный этап может быть реализован путем демонстрации учащимся ярких образов, показывающих, что описанное в аксиоме или некоторой системе аксиом свойство верно только для рассматриваемых понятий и не выполняется для других объектов и на других поверхностях.
Пример 6. После введения формулировки аксиом принадлежности точек и прямых на плоскости рассмотрим поверхность Земли (см. рис. 4). Возьмем две точки -Северный и Южный полюса. Любой меридиан Земли будет являться «прямой», проходящей через две выбранные точки. Итак, на поверхности Земли наши законы не выполняются.
Пример 7. После введения формулировки аксиомы расположения точек на прямой можно обратить внимание детей на то, что для трех точек на окружности, а не на прямой этот закон не выполняется.
Пример 8. После введения аксиомы измерения отрезков надо обратить внимание школьников на следующий факт: если объект разбить на части, и затем эти части
Рис. 4. Третий этап работы с аксиомой принадлежности точек и прямых на плоскости
заново сложить, то не обязательно получится первоначальный объект. Разобьем слово «камыш» на части - буквы: к, а, м, ы, ш, затем сложим из этих букв слово - "мышка". Но «камыш» и «мышка» - разные слова.
Если провести диагональ квадрата и разрезать его на два прямоугольных треугольника, то из полученных частей можно будет сложить не только квадрат, но и треугольник или параллелограмм.
Таким образом, генетический подход предполагает доведение до понимания учащихся связи между содержанием аксиомы и свойствами того неопределяемого понятия, которое косвенно определяется при помощи данной аксиомы.
Пятый этап - применение аксиом для решения задач и доказательства теорем - требует тщательного отбора задачного материала, одной из главных целей которого является выработка у школьников понимания того, что при решении задачи они должны опираться на аксиомы. Для обеспечения понимания неизбежности аксиом необходим также структурный анализ доказательства теоремы, например, в виде родословного дерева.
Пониманию сущности аксиоматической системы соответствует четвертый, достаточно высокий уровень геометрического мышления по шкале ван Хиле, и генетический подход закладывает основу глубокого понимания аксиоматического метода, давая уникальную возможность даже ученику 7-го класса, только приступающему к изучению геометрии, участвовать в процессе аксиоматизации.
Полезно предложить учащимся придумать свои объекты, отношения между которыми подчиняются другим законам, или самим придумать поверхности, где не выполняется та или иная аксиома. Для обеспечения понимания неизбежности аксиом необходим также структурный анализ доказательства теоремы - например, в виде родословного дерева. В старших классах полезно ознакомить учащихся с историей возникновения геометрии Лобачевского, с моделью Кели - Клейна геометрии Лобачевского. Наш опыт показывает, что школьники, обучение которых строилось при помощи генетического подхода, проявляли огромный интерес к данному материалу.
список источников и ЛИТЕРАТУРЫ
1. Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук: Учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под общ. ред. В. В. Миронова. - М.: Гардарики, 2006. - 639 с.
2. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: в 2 ч. - Ч. 1. - М.: Просвещение, 1982. - 208 с.
3. Семенов Е. Е. Изучаем геометрию. - М.: Просвещение, 1987. - 256 с.
4. Гусева С. А. (Власова С. А.) Сказки про аксиомы геометрии // Математика. - М.: ИД «Первое сентября», 2006. - № 20. - С. 5-11.
