CC BY
57
УДК 378
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БАЗИСНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ АКСИОМАТИКИ ЕВКЛИДА В КОНТЕКСТЕ СОВРЕМЕННОГО
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
Авданин Владимир Владимирович,
аспирант Северо-Западного Института управления Российской Академии народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации,
г. Санкт-Петербург, е-mail : avdanin@mail. ru
INTERPRETATION OF THE BASIC DEFINITIONS OF EUCLID AX-IOMATICS IN THE FRAMEWORK OF MODERN NATURAL SCIENCE
Vladimir Avdanin
postgraduate of the North-West Institute of Management of the Russian Federation Presidential Academy of National Economy and Public Administration
Saint-Petersburg, Russia
АННОТАЦИЯ
В данной статье автор рассматривает роль основных определений системы аксиом геометрии Евклида, анализирует историю их развития и значение в современном естествознании, указывает на принципиальную возможность построения альтернативной аксиоматики евклидовой геометрии в рамках современной научной картины мира.
ABSTRACT
In the article the author examines the role of the basic definitions of the system of axioms of Euclidean geometry, analyzes the history of its development and significance in modern science, points to the fundamental possibility of constructing an alternative axiomatic of Euclidean geometry in the framework of the modern scientific picture of the world.
Ключевые слова: геометрия Евклида, система аксиом геометрии, история науки, научная картина мира, математика, физика, теория относительности
Key words: Euclidean geometry, system of axioms of geometry, history of science, scientific world, mathematics, physics, the theory of relativity.
Геометрия как наука возникла из практики, тем не менее, «Начала» Евклида не содержат практических приложений геометрии. В этом проявилась приверженность Евклида философии Платона. Это направление принципиально отделяло философски ориентированную теоретическую математику (геометрию и арифметику) от прикладной математики, предназначенной для «удовлетворения нужд ремесленников». «Начала» Евклида - это произведение, посвященное абстрактному анализу элементарных понятий и отношений, объединенных в стройную систему.
Многочисленные комментаторы Евклида «Начала» со времени создания произведения примерно в 300 г. до н. э. стремились усовершенствовать форму изложения и обоснованность основных положений, не предлагая при этом существенных изменений. Зачастую эти попытки были связаны с увеличением числа аксиом и постулатов, однако концепция Евклида практически не подвергалась коренной переработке более двух тысячелетий. В течение этого времени историки науки и математики всего мира привыкли считать «Начала» Евклида элементарным основанием научного мировоззрения.
До настоящего времени аксиомы евклидовой геометрии лежат в основе целостной концепции природы и являются исходным пунктом при анализе взаимосвязи эмпирических и теоретических научных данных. Под основаниями геометрии принято понимать систему аксиом геометрии Евклида вместе с относящимися к аксиоматике принципам непротиворечивости, полноты и независимости аксиом. В этой связи особый интерес представляет первая книга «Начал», в которой приведены определения базовых понятий - точки, линии и поверхности. Отметим, что Евклидовы определения - это определения-описания, которые являются типичными античными определениями.
Так, например, определение 1 следующее: «точка есть то, что не имеет частей» [1, с. 11]. Как мы видим, в этом определении дается описательная характеристика точки - ее неделимость. В средние века подчеркивалось, что точка не делима, не имеет протяжения, не сравнима, не измерима, не занимает
пространства и при этом давались определения описательного характера. Например, Б. Кавальери, указывал именно свойство неделимости точки [2, с. 207].
Определения линии у Евклида (определения 2 и 4) также имеют описательный характер: «линия есть длина без ширины»; «прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней». Еще один пример известного из школьных учебников определения прямой линии, приводимый Лейбницем и Лобачевским: «прямая есть геометрическое место точек (множество точек), равноотстоящих от двух заданных точек». Здесь для определения линии используется понятие расстояния (т.е. отрезка на линии) и подразумевается наличие плоскости или пространства (еще не получивших определения), в котором размещены две исходные точки, что является нарушением формальной логики. Определение прямой линии у Архимеда, которое использовал А. Эйнштейн
[3, с. 237], имеет тот же логический недостаток: «прямая - это кратчайшая из линий, имеющих те же концы».
Любопытны определения Герона, использующего понятие измерения, выходящее за рамки самих определений: линия есть то, что имеет измерение в одном направлении, поверхность - в двух, тело есть то, что имеет три измерения. Г. Грассман, автор теории многомерных пространств, определил прямую как линию, во всех точках которой «направление одно и то же».
Надо отдать должное Евклиду. Не имея представления о многомерных пространствах и о будущих достижениях топологии в XX веке, он нигде в «Началах» не допустил указаний о первичности понятий расстояния или направления по отношению к понятию прямой линии.
Определения поверхности и плоскости Евклида (определения 5 и 7) также являются описательными: «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину», а «плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней».
Известные разнообразные «кинематические» определения плоскости не соответствуют принципу внутренней логической непротиворечивости. Например, определение плоскости как поверхности, образуемой движением прямой линии, проходящей через точку и пересекающей заданную прямую, было предложено последователями Евклида и использовалось математиками в начале XIX века. По поводу данного определения К. Гаусс заметил, что оно содержит в себе постулат о том, что плоскость получается проецированием прямой из точки, ей не принадлежащей.
Необходимо отметить, что существует общее правило в математике: пространство заданной размерности нельзя однозначно определить через пространство меньшей размерности. В соответствии с привычным восприятием трехмерных тел их можно описать как совокупность точек, плоскостей и линий, но дать строгое определение этих тел таким способом невозможно.
Итак, основные определения Евклида совсем не являются определениями в логическом смысле, а лишь наглядными описаниями геометрических образов.
В 1899 году Д. Гильбертом была опубликована более полная, чем система аксиом Евклида, аксиоматика «Основания геометрии». В XIX веке математике уже было известно, что строгих и логически взаимосвязанных определений базовых понятий в геометрии не существует, поэтому формальная логика Гильберта потребовала исключения части определений из системы аксиом.
В современной аксиоматике геометрии существуют неопределимые понятия: три «вещи» (точка, прямая линия и плоскость) и три «соотношения» («принадлежит», «между» и «конгруэнтен»). Гильберт указывает: «Мы мыслим три системы вещей: точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях. Точки назовем элементами линейной геометрии, точки и прямые - элементами плоской геометрии, а точки, прямые и плоскости - элементами пространства... »
[4, с. 56]. Для этих вещей и отношений не дается никаких прямых определений, и только система аксиом косвенным образом характеризует их.
В рамках используемой в «Основаниях геометрии» формальной логики при аксиоматическом построении геометрии логически доказанная теорема остается верной независимо от смыслового наполнения используемых понятий (трех изначальных «вещей» и трех «соотношений») при условии, что остаются верными аксиомы, на которые опирается доказательство. Относительно неопределимых «вещей» и «соотношений» в аксиоматике Гилберта нам известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.
К возможности нового осмысления аксиоматики геометрии математическая наука пришла в XIX веке, после возникновения нового направления математики - топологии, у истоков которой в XVIII веке стоял Л.Эйлер, однако вмешательства топологии в аксиоматику геометрии практически не произошло. По этой причине до настоящего времени принято рассматривать геометрическое пространство в соответствии с подходом, принятым в средние века.
Математик П.К. Рашевский отмечал: «Геометрия как математика интересуется лишь логическими зависимостями между своими положениями, более точно, - занимается логическим выводом из некоторого числа положений (аксиом) всех остальных. Об истинности предложений геометрии как математики можно говорить поэтому лишь условно, а именно в том смысле, что данное предложение действительно выводится из аксиом» [5, с. 12]. Далее он указывает, что связь между механикой и геометрией возникла только в эпоху Возрождения. Отчетливое разграничение геометрии как физики и геометрии как математики представляет собой крупное принципиальное достижение науки конца XIX века. Слитное существование обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу, тормозило развитие и той и другой. Разграничение пришло как итог длительного и сложного развития научной мысли, в котором видное место занимают «Основания геометрии» Гилберта» [5, с. 13].
Точку зрения физиков выразил А. Эйнштейн: «Мы должны лишить геометрию ее формально-логического характера, сопоставив пустой схеме понятий аксиоматической геометрии реальные объекты нашего опыта» [6, с. 85]. Дей-
ствительно, существует широкий простор для использования геометрии в целях моделирования физических процессов, недоступных для непосредственного наблюдения.
А. Эйнштейн говорил о донаучном понятии пространства, которое выражается в том, что можно убрать вещи, но пространство, занимаемое вещами, останется. Таким образом, по его мнению, представление о пространстве является априорным. «Под влиянием этого взгляда на пространство фундаментальные понятия геометрии - точка, прямая, плоскость - считались даже самоочевидными. Слепая вера в очевидность и непосредственный реальный смысл понятий и теорем геометрии была подорвана только созданием неевклидовой геометрии» [3, с. 236]. Действительно, слепая вера в очевидность аксиоматики геометрии тысячелетиями культивировала упрощенное восприятие окружающего пространства, не допускающего альтернативного осмысления общепризнанных постулатов, согласно которым абсолютное пространство как бесконечно целое, составлено из частей, т.е. пространств меньшей размерности (точек, прямых, плоскостей). Г. Лейбниц считал, что попытки представить себе абсолютное пространство, которое было бы бесконечным целым и составленным из частей, являются заблуждением [7, с. 158].
В рамках современной научной картины мира существует мировоззренческий стереотип, в соответствии с которым трехмерное пространство является более сложным объектом, чем объекты меньшей размерности (плоскость, линия, точка). Существование шести неопределимых понятий в современной системе аксиом геометрии связано с тем, что они ошибочно рассматриваются как фундаментальные, что, в свою очередь, обусловлено исторически сложившейся практикой использования математического аппарата естественными науками.
На основании метода пересечения геометрических объектов и с учетом теоремы Грассмана [8, с. 248] представляется возможным предложить следующие определения, которые могут составить основу альтернативной аксиомати-
ки геометрии, в составе которой может быть достигнуто минимальное число неопределимых понятий (одно или два):
1. Точка есть результат пересечения двух линий (ноль-мерное пространство);
2. Линия есть результат пересечения двух плоскостей (одномерное пространство);
3. Плоскость есть результат пересечения двух трехмерных пространств (двумерное пространство);
4. Трехмерное пространство есть результат пересечения двух четырехмерных пространств.
Основной результат от использования такого методологического подхода для геометрии заключается в существенном сокращении неопределимых понятий, хотя согласно теореме Гёделя, непротиворечивая аксиоматика в принципе должна содержать хотя бы одну невыводимую формулу или неопределимое понятие. Результат использования предлагаемого подхода для классической физики (механики) также очевиден. На основании альтернативной аксиоматики можно построить иерархию физических законов, при этом не умаляя основных положений современной научной картины мира, в том числе положения, в соответствии с которым в наблюдаемом трехмерном физическом пространстве не существуют вещественные объекты, имеющие форму точки, линии или плоскости.
Говоря о современном представлении многомерного геометрического пространства, необходимо отметить, что первоначальные представления о многомерном евклидовом пространстве связаны с именем древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В начале XIX века Ж. Д'Аламбер предложил присоединить время в качестве 4-й координаты к трехмерному пространству. В конце XIX века Г. Грассман разработал теорию ^мерной геометрии в обобщенном виде. Были преодолены сомнения, связанные с попытками Д'Аламбера смешать эти обобщения с физическим пространством, и в резуль-
тате ^мерное пространство полностью укрепилось в математике как плодотворное формально-математическое понятие.
А. Эйнштейн, разрабатывая общую теорию относительности, пришел к выводу, что геометрия Вселенной, в которой мы живем, является неевклидовой. В общей теории относительности установлено, что гравитация обусловлена не силовым взаимодействием тел, имеющих массу, а деформацией самого четырёхмерного пространства-времени, в котором они находятся. Принято считать, что понимание природы гравитации, предложенное А. Эйнштейном, является одним из самых значительных достижений современного естествознания.
Напомним, что основными понятиями физики, используемыми в рамках современной научной картины мира, являются: четыре вида фундаментальных взаимодействий, материя, различные виды энергий и соответствующие им силы.
Сила - это векторная величина, в геометрии ей соответствует одномерное пространство, линия. Энергия - это скалярная физическая величина, равная произведению двух векторов, которая характеризует состояние материи. Ей можно поставить в соответствие двумерное пространство, плоскость. Материя - это все то, что имеет массу, энергию, протяжённость, локализацию в трехмерном пространстве. Фундаментальные взаимодействия - качественно различающиеся типы взаимодействия элементарных частиц и составленных из них тел. (гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое). Каждому из них можно поставить в соответствие четырехмерное пространство.
Теория многомерных пространств разрабатывалась путём обобщения по аналогии с геометрией трёхмерного пространства. Всего в привычном для нас трёхмерном пространстве есть три координатные двумерные плоскости. Аналогично, в четырехмерном пространстве существуют четыре координатные трёхмерные «плоскости», т.е. четыре трехмерных пространства. Попарно пересекаясь, они образуют шесть двумерных плоскостей. Это следует из теоремы
Грассмана, в соответствии с которой пересечением двух трехмерных пространств является двумерное пространство.
Итак, каждому из указанных четырех трехмерных пространств условно можно поставить в соответствие один из четырех видов фундаментальных взаимодействий, вместе образующих четырехмерный пространственно-временной континуум, в который «вложена» материя. Каждой из шести двумерных плоскостей можно поставить в соответствие один из существующих видов энергии. Подобно тому, как пересечение двух плоскостей является линией, сочетание двух видов энергии, или взаимное действие двух источников энергии одного вида, определяет действующую силу. Так, например, направление переноса энергии электромагнитного поля определяется вектором Пойтинга, который равен векторному произведению напряжённости электрического и магнитного полей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, а значения потенциальной энергии каждого из двух взаимодействующих электрических зарядов определяют силу их электростатического взаимодействия.
Не случайно единица энергии равна единице силы, умноженной на единицу длины. Подобно плоскости и линии, энергия и сила отличаются на одно геометрическое измерение.
Любое фундаментальное взаимодействие является причиной существования определенного вида энергии. Наличие энергии приводит к возникновению силы. Важно отметить, что обратное - неверно. Такова выраженная направленность причинно-следственных связей между явлениями в общей картине познаваемого мира. С точки зрения математики, топология давно определила возможность однозначного отображения трехмерного пространства на двумерное (в общем случае, пространства большей размерности - на пространство меньшей размерности) и неоднозначность обратного отображения. С точки зрения физики, физические процессы, моделируемые в пространстве большей размерности, характеризуются большим числом степеней свободы, следовательно, им соответствует большее значение пространственной (структурной) энтропии, а
рост энтропии, как правило, приводит к снижению сложности в системе. Данный факт соответствует предположению о том, что трехмерное пространство -более элементарный геометрический объект, чем, например, линия или плоскость.
В 1768 году И. Кант высказал интересную мысль, которая в наше время приобретает неожиданную глубину, если рассматривать ее с позиций современных представлений о четырехмерном пространственно-временном континууме: «Не определения пространства суть следствия положений частей материи относительно друг друга, а, наоборот, эти положения суть следствия определений пространства...» [9, с. 378]. Таким образом, абсолютное пространство первично по отношению к пространству меньшей размерности, оно элементарнее пространства меньшей размерности. Таким образом, вершина куба - геометрически более сложный объект, чем ребро, грань или трехмерный объем, заключенный в самом кубе.
Таковы предпосылки общего характера, обуславливающие возможность введения предлагаемой альтернативной аксиоматики геометрии.
Список литературы:
1. Евклид. Начала. Книги 1-У1. Перевод с греческого Д. Мордухай-Болтовского. — М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
2. Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. Перевод С. Лурье. — М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940.
3. Эйнштейн А. Пространство и время. Собрание научных трудов в четырех томах. Т.2. — М.: Наука, 1966.
4. Гилберт Д. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией И.С. Градштейна. — М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
5. Рашевский П.К. Основания геометрии Гилберта и их место в историческом развитии вопроса. — М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
6. Эйнштейн А. Геометрия и опыт. Собрание научных трудов в четырех томах. Т.2. — М.: Наука, 1966.
7. Лейбниц Г.В. Сочинения в 4-х томах. Том 2. — М.: Наука, 1984.
8. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. Перевод с французского Г.В. Дорофеева под ред. И. Яглома. — М.: Наука, 1972.
9. Кант И. Сочинения в шести томах. Том 2. О первом основании различия сторон в пространстве. — М.: Мысль, 1964.
References:
1. Evklid. Nachala. Knigi I-VI. Perevod s grecheskogo D. Morduhay-Boltovskogo. M., L.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko-teoreticheskoy literaturyi, 1950.
2. Kavaleri B. Geometriya, izlozhennaya novyim sposobom pri pomoschi nedelimyih nepreryivnogo. Perevod S. Lure. M., L.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko-teoreticheskoy literaturyi, 1940.
3. Eynshteyn A. Prostranstvo i vremya. Sobranie nauchnyih trudov v chetyireh tomah. T.2. — M.: Nauka, 1966.
4. Gilbert D. Osnovaniya geometrii. Perevod s nemetskogo pod redaktsiey I.S. Gradshteyna. — M., L.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko-teoreticheskoy literaturyi, 1948.
5. Rashevskiy P.K. Osnovaniya geometrii Gilberta i ih mesto v is-toricheskom razvitii voprosa. — M., L.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko-teoreticheskoy literaturyi, 1948.
6. Eynshteyn A. Geometriya i opyit. Sobranie nauchnyih trudov v chetyireh tomah. T.2. — M.: Nauka, 1966.
7. Leybnits G.V. Sochineniya v 4-h tomah. Tom 2. — M.: Nauka, 1984. Dedonne Zh. Lineynaya algebra i elementarnaya geometriya. Perevod s frantsu-zskogo G.V. Dorofeeva pod red. I. Yagloma. — M.: Nauka, 1972.
8. Kant I. Sochineniya v shesti tomah. Tom 2. O pervom osnovanii razlichiya storon v prostranstve. — M.: Myisl, 1964.
