КРИВЫЕ В ГЕОМЕТРИИ ОСОБОГО РАСШИРЕНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

УДК 514.1

КРИВЫЕ В ГЕОМЕТРИИ ОСОБОГО РАСШИРЕНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В. А. Кыров

Аннотация. В современной математике особую важность имеет применение геометрий с максимальной группой движений. Существует множество классификаций таких геометрий, одна из которых содержит геометрию особого расширения евклидова пространства. Эта геометрия относится к семейству геометрий с вырожденной римановой метрикой, но при этом допускает группу движений максимальной размерности. В данной работе исследуются метрические свойства геометрии особого расширения евклидова пространства. Вводится понятие длины кривой в такой геометрии. Находится кривая минимальной длины. Доказывается, что минимальную длину имеет отрезок в горизонтальной гиперплоскости. Вычисляются символы Кристоффеля геометрии особого расширения евклидова пространства.

Б01: 10.25587/SVFU.2022.76.10.001 Ключевые слова: геометрия особого расширения евклидова пространства, вырожденная риманова метрика, длина кривой.

1. Введение. В работах [1-4] решается задача классификации (п + 1)-мерных геометрий локальной максимальной подвижности. Геометрия локальной максимальной подвижности задается на (п + 1)-мерном многообразии М функцией пары точек

/ (А,В) = / (х\,...,хпА+1,х1в,... ,хВ+1),

где (жА,... , ХА+1) и (жВ,... , ХВ+1) — локальные координаты точек А и В из М, при этом допускает группу движений размерности (п + 1)(п + 2)/2. В результате классификации, кроме хорошо известных геометрий, таких как евклидова, псевдоевклидова, сферическая, симплектическая, Лобачевского и т. д., получаются и ранее не изучавшиеся геометрии, среди которых геометрия особого расширения евклидова п-мерного пространства, причем п > 2. Эта геометрия в локальных координатах на некотором (п + 1)-мерном многообразии задается функцией пары точек:

/(А, В) = [(жА - жВ)2 + ■ ■ ■ + (жА - жВ)2] е2хА+1+2хВ+1. (1)

Функция пары точек может принимать положительные значения, отрицательные и нуль, область ее определения Sf открыта и плотна в М2. Задание геометрии функцией пары точек означает сопоставление двум произвольным точкам А, В € М, причем (А, В) € Sf, единственного числа /(А, В). Если функция пары точек принимает неотрицательные значения, то можно говорить

© 2022 Кыров В. А.

о расстоянии между точками, которое определяется через квадратный корень: с1(А, В) = /(А, В), причем метрические аксиомы не всегда выполняются. Например, евклидову геометрию сразу определяют через расстояние

¿(л в) = VК - 4)2 + ■ ■ ■ + (^Г1 - ^Т,

а псевдоевклидову удобно определить через функцию пары точек

d2(A, в) = (xA - xB)2------

чем и пользуются в теории относительности. В данной работе от функции пары точек (1) ниже перейдем к функции расстояния, которую будем называть метрической функцией, тем самым подчеркивая, что не все метрические аксиомы выполняются.

В работе [4] найдены базисные операторы алгебры Ли группы движений этой геометрии (таких операторов (п + 1)(п + 2)/2). В последнее время решается задача нахождения явных выражений для групп движений таких геометрий. Данная задача решена для размерностей 3 и 4, т. е. при п = 2 и 3. При п = 2 группа движений является результатом действия группы Ли 5Х2(С) и локально задается выражениями [5]:

w

aw + b cw + d'

x = x + ln (cw + d)(cw + d),

где ad — bc = 1, a, d, b, c = const G C, w = x1 + ¿x2 G C, ¿2 группа движений локально задается выражениями [6]

— 1, а при n = 3

-28

с2'

„3/

-P

+

+

„4/

x4 +

ln v + 5,

где

32

(x1 )2 + (x2 )2 + (x3)

(a2 + b2 + c2)u + 2ax1 + 2bx2 + 2cx3 + 1,

all a12 P = ( a2i a22

, a3l a32

= const G SO(3), a, b, c, a, в, Y, 5 = const.

Для п > 4 эта задача еще не решена.

Пусть А и В бесконечно близкие точки с координатами (ж1,

„n+l

)и

(x1 + dx1,... ,xn+l + dxn+l) соответственно. Тогда функция пары точек (1)

примет следующий вид:

ds2

[(dx1)2 + ... + (dxn)2]e

n\^ „4x"+1

Данная метрика является вырожденной римановой [7].

Основная цель данной работы состоит в изучении экстремальных свойств кривых геометрии особого расширения евклидова пространства, т. е. в нахождении кривой, проходящей через две точки, длина которой минимальна.

1

x

x

e

2

u

x

v

3

x

u

v

2. Метрические свойства геометрии особого расширения евклидова пространства. Рассмотрим пространство Д"+1 с функцией пары точек (1), по которой можно определить метрическую функцию:

¿(А, В) = а/(жА - жВ)2 + ••• + (жА - жВ) 2ехА+1+хв+1. (2)

Рассмотрим вертикальную прямую в Д"+1, задаваемую уравнениями

ж1 = с1,

(3)

1 п где с1,... , с' — постоянные.

Теорема 1. ¿(А, В) = 0 тогда и только тогда, когда точки А и В лежат на прямой (3).

Доказательство. Если для произвольных точек А и В имеем ¿(А, В) = 0, то из (2) следует, что (жА - жВ) + ••• + (жА - жВ) = 0, или жА = жВ, ...,жА = жВ. Фиксируя одну из точек, например В, для координат точки А получаем жА = с1,... , жА = с'. Аналогично и для координат точки В имеем жВ = с ,. .. , жв — с . Таким образом, точки А и В лежат на вертикальной прямой.

Обратно, если точки А и В лежат на вертикальной прямой, то (жА - жВ)2 +

+ (жА - жВ)2 = 0, поэтому ¿(А, В) = 0. □

Из (2), очевидно, следует, что ¿(А, В) > 0, а также что ¿(А, В) = ¿(В, А). Введем обозначение

е(А, В) = у (жА - жВ)2 + ■ ■ ■ + (жА - жВ)2. (4)

Теорема 2. Для произвольных трех точек А, В, С € Д"+1 существуют такие положительные числа р1,р2 > 0, что справедливо неравенство

¿(А, В) < М(А,С)+ М(С,В), (5)

причем р1 = ехв хс , р2 = ехА хс .

Доказательство. Рассмотрим три произвольные точки:

^ (жа ,... , жа , жа ), В (жв ,... , жв , жв ), С (же,... , ж с, ж с ). Из свойств евклидовой метрики вытекает неравенство треугольника

е(А,В) < е(А,с) + е(С,В).

Из (2) и (4) следует, что

е(А, В) = ¿(А, В)е-хА+1-хв+1, е(А, С) = ¿(А, С)е-хВ+1-сг+1,

е(С,В) = ¿(с,В)е-хС+1-хВ+1. Подставляем найденное в написанное выше неравенство треугольника: ¿(А,В)е-хА+1-х"в+1 < ¿(А, С)е-хА+1-хг+1 + ¿(с,В)е-хС+1 -В+1. Умножая полученное неравенство на ехА +хв и полагая р1 = ехв хс , р2 =

П + 1_ п + 1

ехА хс , имеем неравенство (5). □

ж' = с'

Из доказанного выше вытекает, что для метрической функции (2) выполняются не все аксиомы метрического пространства. На гиперплоскости

х

П+1 = сп+1 = еошй (6)

метрическая функция (2) принимает вид

¿(А, В) = ^(хА - х])2 + ■ ■ ■ + (х£ - х])2е2с"+1, поэтому на ней реализуется евклидова геометрия.

3. Геометрия особого расширения евклидова пространства как геометрия с вырожденной римановой метрикой. Рассмотрим вещественное векторное пространство У"+1 и произвольный вектор а = (а1,... , ап, ап+1) в нем. Зададим симметричную билинейную форму в У"+1;

^ (а) = (а1)2 + ... + (ап)2. (7)

Эта форма, очевидно, вырожденная в Vп+1 и является инвариантом группы Ор = Н X N (полупрямая сумма подгрупп), где н = (О0п) ;), N =

ЕАп _ нормальная подгруппа, О(п) — ортогональная группа, Еп — единичная матрица, с = 0 € Д, А = (а1,... ,ап). Ядро формы одномерно. Максимальная компактная подгруппа в Ор — это О(п) х О(1). Вектор а будем называть неизотропным, если ^(а) = 0.

Рассмотрим дифференцируемое многообразие М размерности п +1. По работе [7] определяется вырожденная риманова метрика на многообразии М заданием тензорного поля .Р типа (0, 2), которое на каждом ТХ(М) является билинейной симметричной формой в подходящем базисе совпадающей с формой (7). В координатной окрестности и произвольной точки х € М имеем выражение для такой метрики

¿в2 = дц (х) ¿хг , г,^ =1,...,п + 1, (8)

где gij (х) — вырожденный метрический тензор. В данной работе изучается случай, когда в особой системе координат в и метрику (8) можно привести к следующему виду;

¿в2 = е4х"+1 , г,] = 1,... ,п, (9)

( 1, если г =

где ^ = 1 п . , .

0, если г =

4. Кривая геометрии особого расширения евклидова пространства. В этом пункте полагаем М = Дп+1. Гладкая кривая г = г(Ь), задаваемая уравнениями

х1 = х1^),... ,хп = хп(Ь), хп+1 = хп+1(4),

где Ь € [0,1], называется неизотропной, если в каждой ее точке касательный вектор г = (х1,... , хп, х^1) неизотропен.

Рассмотрим гладкую кривую г(£) с началом в точке р и с концом в точке д, причем началу соответствует параметр 0, а концу — параметр 1. Ее длиной называется следующий интеграл:

5 = в(г(4)) = J Л (10)

о

или с учетом (9)

1

о

Обозначим через множество всех гладких кривых в Дп+1 с началом в точке р и с концом в точке д, а через — множество всех неизотропных кривых в Дп+1 с началом в р и с концом в д. Выражение (10) рассматривается в как функционал длины. Как и в римановом случае, доказывается, что этот функционал не зависит от параметризации кривой.

Рассмотрим символы Кристоффеля в геометрии особого расширения евклидова пространства:

г. = ддц _ ддк£ _ ддл ^^

дхк дх1 дхэ

Символы Гук будут равны

Гм^(п+1) = е4х , Гм(„+1)^ = е4х , Г(„+1)м^ = е4х ,

Гук = 0 (в остальных случаях), V = 1,... , п.

Теорема 3. Функционал длины в классе неизотропных кривых г(£) из экстремалей не имеет.

Доказательство. Вычислим вариацию функционала длины (10) на множестве :

1 1 а

_ Г 5{д1^х1хг) _ Г -06хкхгх:> + д^6хкх1 +д1кх15хк

} 2-^/дцх1х.з } 2-^/дцх1х.з

}^5хк^+дкз5хкУ+д^5хк^ У 2 -^/дцх1х.з

Далее последние слагаемые интегрируем по частям и, учитывая, что концы кривых закреплены, получим

/д91] _ дgkj ■ ^ ■ _ ддц, -г • 7 , г, -г

Эх*; Эх1 х х Эжд х х ^ ^ ^

2 ^ дцхгх.з

Воспользуемся соотношением сЬ = д^хгхЗ ей, в результате имеем

1

1 Г ( ¿Х' ¿2хг \ к

1 [ ¿Х' ¿2хг 4

2

о

где символы ГЦк определяются по формуле (12). Подставляя явные выражения для символов Кристоффеля, получаем выражение для вариации

1

5; - 1 ('(2 ахП+1\ Зх1 (Ьп<Ьп+1'.

2У \ V ¿в2 ¿в ¿в ) \ ¿в2 ¿в ¿в

о

+ 4 (("4-V + • • • + (*а.

ч\ «в / \ «в

Если ¿в = 0, то, поскольку х1,... ,хп,хп+1 — независимые координаты, получаем

¿2х1 ¿х1 ¿хп+1 ¿2хп ¿хп ¿хп+1 (¿х1 \2 (¿хп\2

■ —4—---—= 0,... , —^--4—---— = 0, — Н-----Н = 0,

¿в2 ¿в ¿в ' ' ¿в2 ¿в ¿в \ ¿в у \ ¿в

следовательно,

=о

и поэтому функционал длины в классе неизотропных кривых экстремалей не имеет. □

На гладкой кривой г(Ь) определим функционал

1

Е(г) = У дц (х)хiхц ¿Ь. (13)

о

Теорема 4. Гладкая кривая г(Ь) из является решением системы уравнений 1

_ ¿х ¿х^ Л d х , ч

+2^ = °< (14)

где ГЦ к определяются по формуле (12), тогда и только тогда, когда она является экстремалью функционала (13).

Заметим, что дифференциальное уравнение (14) разрешить относительно вторых производных нельзя, поскольку метрический тензор вырожденный. Доказательство. Вычислим вариацию функционала (13) на множестве

Орд ;

1 1

= / ей = / + V + <й.

оо

Далее последние слагаемые интегрируем по частям и, учитывая, что концы кривых закреплены, получим

5Е=2]

Пусть на варьируемой гладкой кривой функционал (13) принимает экстремальное значение, т. е. = 0, тогда получим дифференциальное уравнение (14), задающее эту экстремаль.

Рассуждая обратно, получаем, что на кривой (14) функционал (13) принимает экстремальное значение. □

Используя явные выражения для символов Кристоффеля, нетрудно решить уравнения (14). В явном виде система (14) принимает вид

й2ж1 ¿ж1 ¿ж"+1 ¿2ж" ¿ж" ¿ж"+1 (¿ж1 \2 (¿ж"\2

— 4—---— = 0,... , -—т.--4—---—= 0, —— Н-----Ь —— = 0,

dt2 dt dt ' ' dt2 dt dt \ dt / \ dt следовательно,

dt dt

для всех точек кривой. Решая последнее, получаем вертикальную прямую (3).

Обозначим через О^ множество гладких кривых, соединяющих точки p и q, которые ограничены снизу гиперплоскостью жп+1 = = const, т. е. для

произвольной кривой r(t) G О^, причем t G [0,1], r(0) = p, r(1) = q, для любого t, xn+1(t) > ж£+1.

Теорема 5. Для любой кривой r(t) G О^ справедливо неравенство

1

s(r(t)) > J \J(ж1)2 + . .. + (in)2e2l"+1 dt.

о

Доказательство. Воспользуемся формулой (11), неравенством xn+1(t) > ж^+1 и свойством монотонного возрастания экспоненты. Так как интеграл (11) вычисляется от неотрицательной величины, то справедливо утверждение теоремы. □

Рассмотрим проекцию п : Rn+1 ^ Rn. Пусть па — проекция пространства Rn+1 на гиперплоскость жп+1 = жП+1. Проекция na(r(t)) кривой r(t) G О^ задается уравнениями

Заметим, что кривая na(r(t)) соединяет точки па(р) и na(q).

Теорема 6. Для произвольной гладкой кривой r(t) G О^ справедливо неравенство s(r(t)) > s(na(r(t))).

Доказательство. Эта теорема вытекает из теоремы 5. □ Обозначим через т(р) множество точек р из Rn+1 таких, что > ж™+1

И 7Га(р) = 7Га(р). Очевидно, р G т(р)- Пусть

Пт(р)т(д) - U

рЕт(р) ,qer(q)

Обозначим через 1(па(р),па(д)) отрезок в гиперплоскости ж"+1 = ж"+1, соединяющий точки па(р) и па(д).

Теорема 7. Отрезок 1(па(р),па(д)) в гиперплоскости ж"+1 = ХП+1 имеет наименьшую длину среди всех гладких кривых из множества ^а(Р)т(д).

Доказательство. Рассмотрим гладкую кривую г(£) € (д). Соглас-

но теореме 6 в(г(£)) > в(па(г(4))), поэтому доказательство теоремы сводится к исследованию кривых минимальной длины с началом в точке па(р) и с концом в точке па(д) на гиперплоскости хп+1 = ХП+1, в которой, как сказано выше, реализуется геометрия Евклида. Как известно из евклидовой геометрии, отрезок 1(па(р), па(д)) имеет минимальную длину среди всех гладких кривых, соединяющих точки па(р) и па(д). □

5. Заключение. В данной работе изучены экстремальные свойства кривых геометрии особого расширения евклидова пространства. Исследования по этой геометрии можно продолжить в направлении изучения связностей, кривизны и т. д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кыров В. А., Михайличенко Г. Г. Аналитический метод вложения симплектической геометрии // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 657-672. Б01: https://doi.org/10.17377/ semi.2017.14.057.

2. Кыров В. А. Аналитический метод вложения многомерных псевдоевклидовых геометрий // Сиб. электрон, мат. изв. 2018. Т. 15. С. 741-758. Б01: https://doi.Org/10.17377/semi.l 2018.15.060.

3. Кыров В. А. Аналитическое вложение некоторых двумерных геометрий максимальной подвижности // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 916-937. Б01: https://doi.org/10. 33048^еть2019.16.061.

4. Кыров В. А. Функциональные уравнения в псевдоевклидовой геометрии // Сиб. журн. индустр. математики. 2010. Т. 13, № 4. С. 38-51.

5. Кыров В. А., Богданова Р. А. Группы движений некоторых трехмерных геометрий максимальной подвижности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 2. С. 412-421. Б01: https:// doi.org/10.17377/smzh.2018.59.215.

6. Богданова Р. А., Кыров В. А. Группа движений особого четырехмерного расширения трехмерной евклидовой геометрии // Дни геометрии в Новосибирске-2019: тез. между-нар. конф. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2019. С. 35-36.

7. Белько И. В. О вырожденных римановых метриках // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 5. С. 767-774.

Поступила в редакцию 13 мая 2021 г. После доработки 10 декабря 2021 г. Принята к публикации 28 февраля 2022 г.

Кыров Владимир Александрович Горно-Алтайский государственный университет, кафедра математики, физики и информатики, ул. Ленкина, 1, Горно-Алтайск 649000 кугоуУА@уа^ех. ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

UDC 514.1

CURVES IN THE GEOMETRY OF A SPECIAL EXTENSION OF EUCLIDEAN SPACE V. A. Kyrov

Abstract: In modern mathematics, the use of geometries with a maximum group of motions is of particular importance. There are many classifications of such geometries, one of which contains the geometry of a special extension of Euclidean space. This geometry belongs to the family of geometries with a degenerate Riemannian metric, but at the same time admits a group of motions of maximum dimension. This paper investigates the metric properties of the geometry of a special extension of Euclidean space. The concept of the length of a curve in such a geometry is introduced. The curve of the minimum length is found. It is proved that a segment in a horizontal hyperplane has the minimum length. The Christoffel symbols of the geometry of a special extension of Euclidean space are calculated.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.76.10.001

Keywords: geometry of a special extension of Euclidean space, degenerate Riemannian metric, curve length.

REFERENCES

1. Kyrov V. A. and Mikhailichenko G. G., "Analytical embedding method for symplectic geometry [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 14, 657-672 (2017).

DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.057

2. Kyrov V. A., "An analytical method for embedding multidimensional pseudo-Euclidean geometries [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 15, 741-758 (2018).

DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.060

3. Kyrov V. A., "Analytical embedding of some two-dimensional geometries of maximum mobility [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 16, 916-937 (2019).

DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.061

4. Kyrov V. A., "Functional equations in pseudo-Euclidean geometry [in Russian]," Sib. Zhurn. Ind. Mat, 13, No 4, 38-51 (2010).

5. Kyrov V. A. and Bogdanova R. A., "The groups of motions of some three-dimensional maximal mobility geometries [in Russian]," Sib. Math. J., 59, No. 2, 323-331 (2018).

DOI: https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.215

6. Bogdanova R. A. and Kyrov V. A., "Group of motions of a special four-dimensional extension of three-dimensional Euclidean geometry [in Russian]," in: Days of Geometry in Novosibirsk - 2019, Abstracts Int. Conf., pp. 35-36, Inst. Math., Novosibirsk (2019).

7. Belko I. V., "On degenerate Riemannian metrics [in Russian]," Math. Notes, 18, No. 5, 767-

© 2022 V. A. Kyrov

774 (1975).

Submitted May 13, 2021 Revised December 10, 2021 Accepted February 28, 2022

Vladimir A. Kyrov Gorno-Altaisk State University, 1 Lenkin Street, Gorno-Altaisk 649000, Russia [email protected]