CC BY
78
О.С. Тамер, А.В. Козлов
НЕЧЕТНО-МНОЖЕСТВЕННАЯ МОДЕЛЬ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
O.S. Tamer, A. V. Kozlov
ODD MULTIPLE MODEL OF INVESTMENT PROJECT
Ключевые слова: инвестиции, риски, инвестиционный процесс, нечётно-
множественная модель, ставка дисконтирования, ликвидационная стоимость, субъективные вероятности, инвестор, терм-множество, уровни принадлежности.
Keywords: investment risks, investment process, odd multiple model, discount rate, liquidation value, subjective probabilities, investor, set, levels of affiliation.
Аннотация
Авторы статьи рассматривают нечётно-множественный подход в управлении инвестиционным проектом.
Abstract
The authors consider the indistinctly multiple approach in management of the investment
project.
Формула чистой ценности инвестиции ( NPV _ ]sjet Present Value)
Рассмотрим частный случай оценки NPV^ щ)И следующих условиях:
- все инвестиционные поступления приходятся на начало инвестиционного процесса;
- оценка ликвидационной стоимости проекта производится post factum, по истечении срока жизни проекта
N
v Щ С
npv = -1+ >-------------1—ь--------------- m
Zj (1 + ry (1 + r)"+1 i= 1
Где
^ - стартовый объем инвестиций.
*' - число плановых интервалов (периодов) инвестиционного процесса,
соответствующих сроку проекта.
AVi _ оборотное сальдо поступлений и платежей в ^-ом периоде,
^ - ставка дисконтирования, выбранная для проекта с учётом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте капитала (например, ожидаемая ставка по долгосрочным кредитам).
С
- - ликвидационная стоимость чистых активов, сложившихся в ходе инвестиционного процесса (в том числе остаточная стоимость основных средств на балансе предприятия).
Инвестиционный проект признаётся эффективным, когда NPV больше определенного
Г Г = О
проектного уровня Lr (в самом распространённом случае u ^).
Замечается:
_ NPV оценивается по формуле (1) в постоянных (реальных) ценах;
- ставка дисконтирования планируется такой, что период начислений процентов на привлекаемый капитал совпадает с соответствующим периодом инвестиционного прогресса;
_(№ +1)
интервал не относится к сроку жизни проекта, а выделен в модели, для фиксации момента завершения денежных взаиморасчётов всех сторон в инвестиционном процессе по кредитам, депозитам, дивидендам и т.д.
Параметры в формуле (1) обладают “размытостью” т.е. их точное планируемое значение неизвестно, тогда в качестве исходных данных уместно использовать треугольные нечётные числа с функцией следующего вида (рис. 1). Эти числа моделируют высказывание
следующего вида: “параметр ^ приблизительно равен а и однозначно находится в диапазоне
\-^ТП1ПГ ^177яд:]
Полученное описание позволяет разработчику инвестиционного проекта взять в
качестве исходной информации интервал параметра п> атах\ и наиболее ожидаемое
значение а и тогда соответствующее треугольное ЧИСЛО ^ (атшти ашах:) построено.
атгп> О-тах - значимые точки треугольного нечетного числа А Выделение трёх значимых точек исходных данных распространено в инвестиционном анализе. Этим точкам сопоставляются субъективные вероятности реализации соответствующих сценариев (“пессимистического”, “нормального”, “оптимистического”) исходных данных. В инвестиционном анализе понятие случайности замещается понятиями ожидаемости возможности.
Рисунок 1 - Треугольное число
Теперь мы можем задаться следующим набором нечетных чисел для анализа эффективности проекта:
/ 0т1т]>]тах) _ инвестор не может точно оценивать, каким объёмом
инвестиционных ресурсов он будет располагать на момент принятия решения.
г = (т г т 1
_ ч - инвестор не может точно оценить стоимость капитала,
используемого в проекте (например, соотношение собственных и заёмных средств, а также процент по долгосрочным кредитам).
дV- = (V АУ- V 1
1 тип и тах; _ инвестор прогнозирует диапазон изменения денежных
результатов реализации проекта с учетом возможных колебаний цен на реализуемую продукцию, стоимости потребляемых ресурсов, условий налогообложения, влияния других факторов.
с = (с с с 1
— ■ - инвестор нечетко представляет себе потенциальные условия
будущей продажи действующего бизнеса или его ликвидации.
— (^т1п> ^тах )
*тт> ^ > тах) - инвестор нечетко представляет себе критерий, по которому проект может быть признан эффективным, или не до конца отдаёт себе отчет в том, что можно будет понимать под “эффективностью” на момент завершения инвестиционного процесса.
Замечания:
- если какой либо из параметров ^ известен вполне точно или однозначно задан, то
А ~ А
нечетное число — вырождается в действительное число с выполнением условия:
Г Г
- в отношении вида —. Инвестор, выбирая ожидаемую оценку “, руководствуется не
только тактическими, но и стратегическими соображениями. Так, он может позволить проекту быть даже несколько убыточным, если этот проект диверсифицирует деятельность инвестор и повышает надежность его бизнеса.
Как пример: инвестор реализует демпинговый проект, компенсацией за временную убыточность станет захват рынка и сверхприбыль, но инвестор желает отсечь сверхнормативные убытки на той стадии, когда рынок уже будет переделен в его пользу.
Или наоборот: инвестор идёт на повышенный риск во имя прироста
средневзвешенной доходности своего бизнеса.
Таким образом, задача инвестиционного выбора в приведённой выше постановке есть процесс принятия решения в расплывчатых условиях, когда решение достигается слиянием целей и ограничений.
Чтобы преобразовать формулу (1) к виду, пригодному для использования нечетких исходных данных, воспользуемся сегментным способом.
Зададимся фиксированным уровнем принадлежности и определим
соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетным числам
А и В\ [а1 а2]; [Ь1гЬ2] соответственно.
По каждому нечетному числу в структуре исходных данных получаем интервалы
[/1,41 [С„С21 и
достоверности путем подстановки соответствующих границ интервалов
N
[яидо] = (-)[/,./*] МсНатЬ-сГГ^
: = 1 " "
тогда для заданного уровня
а
(+)
-'2 + 5Т=17
: +
[1+7ъ)‘ (1+?оЛ’+-''
к
: +
*г.]
(2)
Задавшись приемлемым уровнем дискретизации по ^ на интервале принадлежности
[0,1], МЫ можем реконструировать результирующее нечеткое ЧИСЛО №РУ путем
аппроксимации его функции принадлежности ломаной кривой по интервальным
точкам.
Для того, чтобы собрать все необходимые исходные данные для оценки риска, нам потребуется два значения обратной функции (®1) . Первое значение есть ^ (по
определению верхней границы зоны риска а1), второе значение обозначим . Аналогичным образом обозначим и ^РУгтах _ два значения обратной функции №)■
Также введём обозначение - наиболее ожидаемое значение. Тогда выражение для
У&М
степени инвестиционного риска имеет вид:
где . .....
(—с - НРУтіп----
В — іМРи — ЛҐРР ■ ^-ічг',тах>
ЪС^МРУ^
( 0,С<НР¥тіп
Є-ЯРУпін. гІІру < с < д
тш
1,6 = ОТІ^і?
Яі
,№РГт <С< NРУтах Ъ,С>КРУтах
Исследуем выражения для трех частных случаев:
ИРУті„ (ГТГЛ^ТТ^ГТ1_ ип иттот/*тттт ГЧТТ/'Ч/*^ Т? = Гї Йі = Гї (~г5 = Н РУт ДТГ ^
1. При О = *тіп (предельно низкий риск) Я = 0, ®1 = 0, О’ =
предельный переход дает У&М = 0.
2. При О = О5 = ^РУат (средний риск)
ЫРУ .4 - ТГОЛ,Г /Г\[РУ
¥тт), предельный переход дает У&М = (А111 *тах
ИРУ
«1 = ! к = (МРУтах . МРУ
ау)/( N РУтах
ИРУда)/(
ИРУ,
так
NPV ■ \
- 141 4 пип).
и предельный
3. При О = 141 *та* (предельно высокий риск) Я =0, °1 = 0, О’ =0 переход дает V&M =1
Таким образом, степень риска V&M принимает значения от 0 до 1. Каждый инвестор, исходя из своих инвестиционных предпочтений, может классифицировать значения V&M, выделив для себя отрезок не приемлемых значений риска. Возможна также более подробная градация степеней риска. Например, если ввести лингвистическую переменную «Степень риска» со своим терм-множеством значений {Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}, то каждый инвестор может произвести самостоятельное описание соответствующих нечетких подмножеств, задав
пять функций принадлежности № (У&М).
Пример оценки риска инвестиций Исходные данные проекта:
^ — 2,/ — (1,1,1} хочно известный размер инвестиций — — (0.1,0.2,0.3) дУ1 = ау2 = АУ = (0,1,2) С = (0,0,0) _
остаточная стоимость проекта нулевая,
критерием эффективности является неотрицательное значение
NPV
Результаты расчетов по формуле 2 для уровней принадлежности ^ = [ОД] 0,25 сведены в таблицу 1
Таблица 1 - Результаты расчетов эффективности проекта
с шагом
а Интервалы достоверности по уровню принадлежности а для :
Я ДV NVP
1 [0.2,0.2] [1,1] [0.527,0.527]
0.75 [0.175,0.255] [0.75,1.25] [0.112,1.068]
0.5 [0.15,0.25] [0.5,1.5] [-0.280,1.438]
0.25 [0.125,0.2751 [0.25,1.751 Г-0.650,1.9441
0 Г0.1Д3] [0,2] Г-1,2.4701
Примеры расчета данных таблицы 1: г = [0.1,0.3]
АУ = [0,2]
[яру1,яру2] = [-12+2,т=1
Т +
ЛГРИ = -1 +
НРУ, = -1 +
о
■ +
(1+гг)‘ а+’-з)"41
О О
- +
: +
+ ■
(1+г±у а+г^1* (3.5)
о о
: +
[(1 + 0.3)1 (1 + 0.3)2 (1+0.3)1 (1+0.3)2 (1 + 0.3)3]
= -1
2 2
■ + т.---------О
К1 + о.!^1 (1 + 0.1)2
1.1 (1.1)2
0твет.г= [011,0.3] АУ = [0,2] ЛГРР = [-1; 2.470]
НРЪ =-1+
АтРУ2 = -1 +
0.25
- +
0.25
(1 + 0.275)1 (1 + 0.27Б) 2
+ 0
1.75
- +
1.75
■ + 0
= 0.650
= 1.944
1(1+ 01125)* (1 + 0.125) 2
0твет. г = [0.125,0.275] АУ = [0.25,1.75]. ЛГРР = [0.650; 1.944]
&ТРУ = -1 +
ЛГРР, = -1 +
0.5
+ -
0.5
[(1 + 0.25)1 (1 + 0.25)2
■+ О
1.5
- +
1.5
■ + 0
= -0.200
= 1.43Э
К1 + 0.15)1 (1 + 0.15)2
0твет.-г= [0.15, 0.25]; АУ= [0Д1.5];ЛГР7= [-0.200; 1.438]
ЫРЪ =-1+
ИРУ2 = -1 +
0.75
- +
0.75
(1 + 0.225)1 (1 + 0.225)2
1.25
- +
1.25
(1 +0.175)1 (1 + 0.175) 2
+ 0
+ 0
= 0.112
= 1.060
Ответ: г = [0.175,0.225]- АУ = [0.75,1.25]. ЛГРР = [0.112; 1.060] г = [0,2,0,2] ’ ’
= [1А]
К1 + 0.2)1 (1 + 0.2)
0твет. г = [0.2Д2]. АУ = [1,1]. NPV = [0.527; 1.527]
а1 — ДмргСФ
0+1
0.655
0.527 + 1 Найдём ^' = ^«ру Ч«1) = 1-197
М7-ли7 _ °'655- 2.47 - х = 0.625 X 1.943
Запишем выражение для степени инвестиционного риска:
0 - (-1) 1
(5)
где
Д =
С-МР¥т1п
ХРУтах - КРКпп 2.47 - (-1) 3.47
= 0.288
Таким образом, если принято положительное решение об инвестировании капитала
то
' ~ — 0.1— ■' (степень инвестиционного риска)
Рассмотрим 2 этап примера.
Пусть принято решение о начале инвестиционного процесса, и по результатам первого периода зафиксировано оборотное сальдо ^^1 — ^ при фактически измеренной ставке дисконтирования ^1 — Тогда перерасчёт интервальной оценки по формуле:
НРУ = -1г + -, „
Дает: (1+т-)1
-1 + — = -1 + 0.033 = -0.167 12
г п г ЬУгг .
[ЛГР11,ЛГРУ2] = [-0.167 + Т—-0.167 +——^]
(1 + г2)2'
(1+Г1У
Результаты расчетов эффективности проекта сведены в таблицу 2.
Таблица 2 - Результаты расчета эффективности проекта
а Интервалы достоверности по уровню принадлежности а для:
г АУ ;УРУ
1 [0.2,0.2] [1Д] [0.527,0.527]
0.75 [0.175,0.2225] [0.75,1.25] [0.333,0.738]
0.5 [0.15,0.25] [0.5,1.5] [0.153,0.967]
0.25 [0.125,0.275] [0.25,1.75] [-0.012,1.227]
0 [0.1,0.3] [0,2] [-01167,1489]
1) г Е [0.1,0.31 а = 0; АУЕ [0,2]
0
2\ТРУ± = -0.167 +
(1 + 0.3)2
= -0.167
2) г е [0.125,0.275], а = 0.25; АУ Е [0.25,1.75]
3) г е [0.15,0.25], а = 0.5; АУ £ [0.5,1.5]
ЛГР1£ = -0.167 +
4) г Е [0.175,0.225], а = 0.75; АУ Е [0.75,1.25]
= -0.167 +
0.75
(1 + 0.225) 2
= -0.167 +
0.25
(1.5062) 2
= -0.167+ 0.4998 = 0.333
5) г Е [0.2,0.2], а = 1; АУ Е [1,1]
1_________________________1 = -0.167 + _________________ = -0.167 + тт^ = -0.167 + 0.694 = 0.527
NPУ2 = -0.167 +
(1 + 0.2)2 1. (1 + 0.2)2
= 0.527
0+ 0.167
а. 167
Откуда аі 0.Б27 + 0.167 0.694
Найдём ~ Рыру Н^і) — 1
1.489 -х = 0.241 X 0.962
= 0.24065 = 0.241
х = 1.489 - 0.23184 = 1.25716 Найдём степени инвестиционного риска
Е =
С - МРУ»
0 - (-0.167) 0.167
ЛҐРІ7
1 *тах
■ІЇРУтіп 1.489 -(-0.167) 1.656
= 0.10084 = 0.101
У&М
= Д X (і 4- X 1п(1 - «і)^
(3.10)
Таким образом, сравнив 1 и 2 этапы, видим, что за счет снижения уровня
неопределенности ~ 0.655, й2 — 0.241 СХепень риска понизилась с 0.127 до 0.013. Таким образом, у инвестора появляется эффективный инструмент контроля эффективности инвестиционного процесса. Из расчетов видно, что чем значительнее неопределённость в исходных данных, тем выше риск, поэтому в ряде случаев инвестор просто обязан отказаться от принятия решения и предпринять дополнительные меры по борьбе с неопределенностью.
Для случая полной определенности
аг — 0.
Инвестор может интерпретировать значения
ал
лингвистически, как и в случае лингвистической оценки степени риска, и таким образом обозначить для себя границу за которой неопределенность перестаёт быть приемлемой.
