CC BY
62
4. Катаев А. В. Актуальные функциональные задачи маркетинговой товарной политики [Электронный ресурс]: монография. Харьк. гуманит. ун-т ''Нар. укр. акад.''. Электрон. текстовые данные. Харьков: Диалог. 2016.
5. Лукачанова Е.А. АВС-и XYZ-анализ при формировании резервов снижения затрат несостоятельной организации // Экономические науки. 2012. № 7.
6. Распопов В.Е., Клунникова М.М. Методическое пособие для практических и лабораторных работ по курсу «Численные методы». Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. 184 с.
7. Тарасов В.Л. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2003. 64 с.
Медведев Ярослав Васильевич, аспирант, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL METHODS IN THE STOCK MANAGEMENT FOR WORKING CAPITAL EFFECTIVE USAGE
Y.V. Medvedev
The structure and interrelation of production stocks is considered. An approach to the analysis of the cost of stocks is substantiated. An algorithm for applying mathematical methods to optimize the composition of stocks is proposed.
Key words: working capital, stock optimization, mathematical methods in the economy, current assets.
Medvedev Yaroslav Vasilievich, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 330.45
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ПРИ ОЦЕНКЕ РИСКА НЕЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ
Ха Тхи Минь Хуэ
Исследован один из методов формализации неопределенности и риска. Проанализирована возможность применения теории нечетких множеств при оценке риска неэффективности инвестиций.
Ключевые слова: нечеткие множества, функция принадлежности, чистая приведенная стоимость, риск неэффективности инвестиций.
В первой части данной работы мы определим основные понятия нечетких множеств, на которых будет основан весь дальнейший анализ.
Пусть X = - совокупность объектов (точек), обозначаемых через х. Тогда нечеткое множество А, определенное на X, есть совокупность пар:
А (х)={х, ¡ла (х) },
где //, (X) - функция принадлежности, представляет собой степень принадлежности х к А. Область значений подобной функции задаётся, как интервал действительных чисел [0,1].
Самым важным в теории нечетких множеств является вопрос о построении функции принадлежности. В качестве первого типа функций принадлежности рассмотрим функцию:
/л{х,а,Ь,с,) =
0,х < а х-а
а<х<Ь:
Ь-а
Ь-х ,
-,0 <х<с;
Ъ-с
0,х > с;
где a, b, с - некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: а< b< с. Такой тип функции принадлежности называется треугольным нечетким числом.
Для заданного уровня принадлежности а, необходимо ввести понятие интервала достоверности |\,А2 , где //<4, //<42 3= а.
А теперь используем нечеткий множеств для анализа инвестиционных проектов.
Рассмотрим известную формулу чистой современной ценности инвестиций (NPV - Net Present Value):
n av с
NPV = ~7o + + Л (2)
здесь NPV - максимальный дисконтированный доход; N - число интервалов инвестирования; /0 - стартовый объем инвестиций в нулевой период;
AVj - сальдо поступлений и расходов в i -периоде;
Г - ставка дисконтирования, выбранная для i -периода;
C - ликвидационная стоимость чистых активов, полученных в процессе инвестирования.
В этом случае, все инвестиционные поступления приходятся на начало инвестиционного процесса и оценка ликвидационной стоимости проекта производится по истечении срока жизни проекта.
Очевидно, что проект будем эффективным когда NPV не меньше определенной величины проектного уровня G. В самом распространенном случае G = 0, так как проект обычно считается эффективным, если дискон-
тированная стоимость поступлений не меньше дисконтированной стоимости расходов.
В данном работе полагаем, что все переменные в равенстве (2) являются нечеткими множествами вида (1). В качестве множества, например,
величину I мы берем нечеткое множество «ожидаемый стартовый объем
—
= 1 для / - наиболее ожидаемого значения стартового объема инвестиций, а ¿и1 <|Т1||1 > //, <тахЭ= 0 Для /тт и /тах - соответственно минимально и максимально возможного стартового объема инвестиций. Тогда нечеткое множество / можно обозначать через значимые точки числа: I = Сшп'АЛпах,- Если /П1Ш = / = /П1ах, то нечеткое число / вырождается в действительное число I.
Аналогично, мы будем использовать следующие нечеткие числа: /о. - <тт ДДшах г± = ( тах , т1п,АУ„АУ, тах С = (^ДС^ ,
о = ^тт,о,отах - и снова запишем равенство (2):
^ АУ С
Исходя из свойства, что сумма треугольных чисел есть треугольное число, можно утверждать, что ШУ можно свести к треугольному числу ЫРУ = ^1РУ1, ШУ, ЫРУ2 \
Возьмем произвольный уровень принадлежности а и определим соответствующие интервалы достоверности \п>у1,шу2_ и [;,, (}2 _, изобразим на рис. 1.
Потому что при а = ах выполняется равенство ШУХ = С2, следовательно, при а = ах проект окажется успешным, поэтому степень риска неэффективности инвестиций равна нулю. При этом значение а = ах называют верхней граыш^ей зоны риска. Мы будем дальше работать с этими значениями 0 < а < ах.
Ц 1
у\
/1
/1 й !/ Л 0 Л 1 \ 1 Л ! \ ь
ЮГ* КРУ. С
Рис. 1. Функции принадлежности МРУ и О
На рис. 2 изображены уровни ШУ1, ЫРУ2, , а2 - при заданном уровне а и прямая линия МРУ = О. Закрашенная область - это зона риска,
где ИРУ < С.
С
С1 ________ УУру = в
г
М>У у
Рис. 2. Зона неэффективных инвестиций
Для того чтобы применить геометрическое определение вероятности, найдем площадь этой области, обазначаем . На рис. 2 приведен случай (7, < ШУХ < ШУ2 < (!2, площадь заштрихованной фигуры равна площади трапеции с основаниями </2 - нру2 ] и <;2 - ыру1 ] и высотой <урк2 - м>у1 \ Для других случаев строятся другие графики и соответственно подсчиты-ваются площади получающихся фигур.
8. =
О,
в2 -КРХ
в2
2
С, -ЫРУ, + -ЫРУ,
2
-ЫРУ + -ЫРУ,
2
С;-С, ЫРУ-ЫРУ, -
С;-С, ЫРУ-ЫРУ, ,
• ЫРУ-ЫРУ,
2
КРУ,-^ "
2 '
С, < ЫРУ, <С, < NРV,:
КРХ <С, <С, < NРV,:
С, < ЫРУ, < ЫРУ <
КРХ <С, <ЫРУ <С;:
(4)
ОТУ2 <Ог
Может возникнуть вопрос, где переменная здесь а. Действительно, хотя в записи функции (4) переменная а и не присутствует, но расположения интервалов \[ру1,шу2_ и зависит именно от переменной а. Мы можем определить степень риска неэффективности проекта как геометри-
2
ческую вероятность попадания точки в зону риска неэффективных
инвестиций:
(5)
Теперь определим степень риска неэффективности инвестиций как функцию, являющуюся площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции срЪ;.
1 ах 1 ах
V 8сМ = ^ф а (1а = ^ф а йа + ^ф а <1а = ^ф а йа. (6)
О О (*! о
Рассмотрим также важный частный случай, при котором вычисления значительно упрощаются (рис. 3).
Рис. 3. Частный случай при о2 (7,
Если значение о вполне четко определено СтЬ = С = (7П1ах = С, зона неэффективности инвестиций будет выделенная линия. Пересечение интервала \1ру1,шу2_ и вырожденного в точку интервала [;, (i происходит на линии, длина которой равна <урк2 - нру1 формула становится понятной следующий результат:
а =
О-КРУ,
КРУ2-КРУ!
О<мру.
ОТУ! < О < ОТУ2
ОТУ2 < о.
(7)
Легко получим соотношение и для М/} \/\, ЫРУ2: мр1\=а^р¥-мр¥тт\мр¥тп; нру2 = м>утт -а(/ру_-шу
Определим степень риска для частного случая (7):
«1
у&.м* =
Вычислим интеграл (8):
га.
(8)
о
*
1
a\ G~NI% da = L G-j^PV-NPV^NPV^ ^ = S NPV2 ~NPV, 0J -а^РУтях -NPV J7 WrV-NPVmi^Nri\.....>
NPV-NPV^ G-NPV , ,
ax--In 1 - a}
min
NPV -NPV- NPV -NPV
max min max min
Теперь вычислим значение ax и соответствующие им значения V 8сМ*:
• Если g < npvmm, тогда
V&M* = 0. (9)
^ __G - NPV
• Если npv - <G< npv , то ал=--, следовательно,
NPV-NPVmm
G- NPV G- NPV V & M = G min---G -ln
f
NPV - NPVm„ NPV - NPV'
NPV -G
NPV -NPVm
(10)
min min
NPV„„ -G
Если NPV <G< NPVmaK, то ol=-max , следовательно,
NPVm^-NPV
f
т/рд.« NPV - NPV NPV - G G-NPV .
V & M =-min--max--ln
NPV - NPV NPV - NPV NPV - NPV
' max min max nir m ' max ' ' min V
G-NPV
NPV -NPV
(11)
Если №Гтах < с, тогда V&М* = 1.
Описание метода анализа эффективности инвестиций в нечеткой постановке с оценкой степени риска ошибки инвестиционного решения завершено. Чтобы лучше понять сущность и область применения нечетко-множественного метода оценки риска неэффективности инвестиций, рассмотрим конкретный инвестиционный проект и рассчитаем по нему степень риска.
Рассмотрим инвестиционный проект со следующими показателями:
- Срок жизни проекта составляет трех лет;
- Размер стартовых инвестиций составляет 1=1 млн рублей;
- Ставка дисконтирования может колебаться в пределах от 10 % до 20 % годовых;
- Чистый денежный поток планируется в диапазоне от 0 до 2 млн рублей;
- Остаточная стоимость проекта равна нулю.
Запишем формальные исходные данные для расчета степени риска неэффективности данного инвестиционного проекта:
N = 3,1= 1,1,1 ,г± = 0.1,0.15,0.2 ,АРГ= 0,1,2 ,С = 0,0,0 ,0 = 0,0,0 .
При этом получим
(1 + 0,2) (1 + 0,2) (1 + 0,2)
2 2 2 ^Р V — 1 +-г +-г +-- = 3,97;
(1 + 0Д)1 (1 + 0Д)2 (1 + 0Д)3
1 1 1
NPV = -1 +-г +-7 +-Г = 1,28.
(1 + ОД)1 (1 + ОД)2 (1 + ОД)3
Треугольное число для рассматриваемого проекта
NPV = -1,1.28,3.97 .
Так как NPVmin < G = 0 < NPV , то по формуле (10):
с^ =0,4386, V &М* = 0,088.
Из результата можно сказать, что риск данного инвестиционного проекта низкая.
Учитывая и используя интервальные оценки и методы, данный метод позволяет учитывать возможность различных сочетаний факторов неопределенности, что в методе отражается различными значениями а . Взяв нормой риска сумму всех рисков при каждом значении а, мы получаем более точное значение общего риска неэффективности проекта.
Список литературы
1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. 352 с.
2. Богатин Ю.В., Швандер В.А. Инвестиционный анализ: учебное пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
3. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. Рига: Зинатне, 1990. 184 с.
4. Tah H. M., Carr V., J. A proposal for construction project risk assessment using fuzzy logic //Construction Management & Economics. 2000. Vol. 18. №4. Р. 491-500.
5. Zimmerman H.-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1996. 315p.
Ха Тхи Минь Хуэ, магистр прикладной математики, преподаватель, huehm@neu. edu. vn , Вьетнам, Ханой, Государственный экономический университет
APPLICATION OF FUZZY SET THEORY FOR RISK ASSESSMENT
Ha Thi Minh Hue
This paper reports the methodology to solve risk analysis problems. The model presented in this paper was developed using fuzzy set.
Key words: Fuzzy set, membership function, Net Present Value, investment risk.
Ha Thi Minh Hue, Master of Applied Mathematics, lecturer, [email protected], Viet Nam, Hanoi, National Economics University
