НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ УЧЕТ РАЗБРОСА ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО ПОЛОГО ШАРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

----------------------- Page 1-----------------------

ISSN 0136-4545 Журнал теоретической и прикладной механики. №3 (84) / 2023.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 51-74:510.22:519.6: 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2023-3-102-114

EDN:VJEVZB

1 2 3 4

c , С.Б. Номбре , Д.Д. Полянский , С.В. Сторожев

2023. А.С. Гольцев

НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ УЧЕТ РАЗБРОСА ПАРАМЕТРОВ

В МОДЕЛИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

НА ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО ПОЛОГО ШАРА

Дана разработка методики нечетко-множественного учета разбросов в значениях исходных

физико-механических и геометрических параметров для модели полярно-симметричного де-

формирования изотропного упругого полого шара при комплексных силовых и температурных

воздействиях на его внутреннюю и внешнюю граничные поверхности. Описываемая методи-

ка базируется на использовании расчетных соотношений детерминистического варианта рас-

сматриваемой модели с дальнейшим поэтапным фрагментированным применением операций

нечетко-множественных вычислений и альфа–уровневой модификации эвристического прин-

ципа обобщения в процессе перехода к неконтрастным аргументам в указанных расчетных

1Гольцев Аркадий Сергеевич – доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной меха-

ники и компьютерных технологий ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail:

a.s.goltsev@mail.ru.

Goltsev Arkady Sergeevich – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head

of Department, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information

Technologies, Chair of Applied Mechanics and Computer Technologies.

2 Номбре Светлана Борисовна – канд. физ.-мат. наук, доцент каф. специализирован-

ных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail:

s.b.nombre@donnasa.ru.

Nombre Svetlana Borisovna – Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate

Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of

Civil Engineering, Сhair of Specialized Information Technologies and Systems.

3 Полянский Дмитрий Дмитриевич – аспирант каф. специализированных инфор-

мационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail:

d.d.polyanskiy@donnasa.ru.

Polyansky Dmitry Dmitrievich – Postgraduate, Donbas National Academy of Civil Engineering

and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Сhair of Specialized Information

Technologies and Systems.

4 Сторожев Сергей Валериевич – доктор техн. наук, проф. каф. специализированных

информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail:

s.v.storozhev@donnasa.ru.

Storozhev Sergey Valerievich – Doctor of Technical Sciences, Professor, Donbas National

Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Сhair

of Specialized Information Technologies and Systems.

102

----------------------- Page 2-----------------------

Нечетко-множественный учет разброса параметров в модели термомеханических воздействий

формулах. Представлены отдельные результаты численной реализации предложенной мето-

дики.

Ключевые слова: изотропный полый шар, полярно-симметричное деформирование, внут-

реннее и внешнее давление, тепловые поверхностные воздействия, разбросы исходных пара-

метров, нечетко-множественный учет неконтрастности, эвристический принцип обобще-

ния.

Введение и постановка задачи. Актуальность проблемы теоретического

исследования моделей термосилового упругого и упругопластического дефор-

мирования конструкционных элементов в виде толстостенной сферической обо-

лочки (полого шара) отмечалась в целом ряде современных научных публика-

ций [1–6] в связи с разнообразными применениями таких объектов в качестве

составляющих технологического оборудования энергетических, металлургиче-

ских, химических и пищевых производств, в качестве конструкционных эле-

ментов аэрокосмической техники, приборов и строительных сооружений. По-

вышенные требования к оценкам прочности и надежности при проектировании

и эксплуатации таких конструкций диктуют особую необходимость учета в тео-

ретических исследованиях процессов их термомеханического деформирования

неточностей задания величин исходных расчетных параметров, в том числе раз-

бросов экспериментальных данных о физико-механических свойствах использу-

емых материалов, предусматриваемых при изготовлении технологических до-

пусков, вариативных субъективных экспертных оценок для отдельных базовых

характеристик конструкций. Решение варианта задачи учета неконтрастности

исходных данных при расчете параметров термомеханического деформирова-

ния конструкций сферической формы дано в работе [7] на основе применения

методов вероятностно-стохастического анализа, предполагающих наличие ста-

тистически корректной информации о подлежащих учету разбросах. Снижа-

ющий уровень требований к характеру исходной неопределенной информации

нечетко-множественный подход [8, 9] при исследовании задач термомеханиче-

ского деформирования с разбросами исходных параметров представлен в рабо-

тах [10, 11], а для модели термоупругого состояния полого шара, обусловленного

внутренним нагревом без учета внешних термических воздействий и действия

механических усилий на его граничных поверхностях, такой подход предложен

и реализован в [12]. В этой связи, целью исследований, представляемых в дан-

ной статье, является распространение нечетко-множественной методики учета

параметрической неопределенности экзогенных характеристик модели полярно-

симметричного деформирования изотропного упругого полого шара на общий

случай комбинированных равномерно распределенных силовых и температур-

ных воздействий на его внутреннюю и внешнюю граничные поверхности.

Схема реализуемого исследования заключается в поэтапном фрагментиро-

ванном применении операций нечетко-множественных вычислений и альфа-уров-

невой модификации эвристического принципа обобщения при переходе к некон-

трастным аргументам в расчетных соотношениях для характеристик детерми-

нистического варианта рассматриваемой модели. Система этих соотношений

103

----------------------- Page 3-----------------------

А.С. Гольцев, С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев

применительно к конструкции рассматриваемого типа, отнесенной к сфериче-

ским координатам Oρθϕ с размещаемым в геометрическом центре шара по-

люсом O, с уравнениями ρ = a и ρ = b для внутренней и внешней граничных

поверхностей, на которых задаются граничные условия

(T ) = T , (T ) = T , (1)

ρ=a a ρ=b b

(σ ) = −P , (σ ) = −P , (2)

ρρ ρ=a a ρρ ρ=a a

соответственно имеет вид

T (ρ) = T − ΔT · ab((b − a))−1 (ρ−1 − a−1), (3)

a

σρ = A + Bρ−3 + λρ−1, (4)

σ = A − (B/2)ρ−3 + (λ/2)ρ−1 , (5)

θ

3 3 2 2 3 3 −1

A = (a P − b P − λ(b − a ))(b − a ) , (6)

a b

3 3 2 2 3 3 −1

B = (a b (P − P ) − λa b (b − a))(b − a ) , (7)

b a

λ = abΔTEα (1 − ν)−1 (b − a)−1, (8)

s

ΔT = T − T . (9)

b a

В выражениях (1)–(9) T и P – параметры температуры и давления на внутрен-

a a

ней поверхности полого шара; T и P – параметры температуры и давления на

b b

его внешней поверхности; E, ν, αs – соответственно модуль Юнга, коэффициент

Пуассона и коэффициент теплового расширения материала рассматриваемого

сферического тела.

1. Нечетко-множественный расчетный алгоритм. При получении соот-

ношений нечетко-множественной модификации расчетного алгоритма анализа

модели комбинированных термомеханических деформирующих воздействий на

граничные поверхности упругого полого шара, для исходных, промежуточных

и выходных эндогенных параметров в выражениях (3)–(9) вводятся нечетко-

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

множественные расширения a,˜ b, P , P , λ, E, α˜ , ν,˜ T , T , A, B, T, σ˜ , σ˜ ,

a b s a b ρ θ

представляемые разложениями по множествам α – уровней

1 ˜ 1

a˜ = [a ,a ], b = [b ,b ],

α α α α

α∈[0,1] α∈[0,1]

˜ 1 ˜ 1

Pa = [P ,Paα], P = [P ,P ],

aα b bα bα

α∈[0,1] α∈[0,1]

(10)

˜ 1 [E ,E ], α˜ = 1 [α ,α ], ν˜ = 1 [ν ,ν ],

E = α α s sα sα α α

α∈[0,1] α∈[0,1] α∈[0,1]

˜ 1 ˜ 1 ˜ 1

T = [T ,T ], T = [T ,T ], λ = [λ ,λ ],

a aα aα b bα bα α α

α∈[0,1] α∈[0,1] α∈[0,1]

104

----------------------- Page 4-----------------------

Нечетко-множественный учет разброса параметров в модели термомеханических воздействий

˜ 1 ˜ 1 ˜ 1

A = [A ,A ], B = [B ,B ], T (ρ) = [T (ρ),T (ρ)],

α α α α α α

α∈[0,1] α∈[0,1] α∈[0,1]

σ˜ρ(ρ) = 1 [σ (ρ),σρα(ρ)], σ˜ (ρ) = 1 [σ (ρ),σ (ρ)].

ρα θ θα θα

α∈[0,1] α∈[0,1]

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

При описании нечетко-множественных обобщений a˜, b, P , P , E, α˜ , ν˜, T , T для

a b s a b

неконтрастных экзогенных параметров рассматриваемой модели нормальными

треугольными нечеткими числами

˜

a˜ = (a , a , a ), b = (b , b , b ),

1 2 3 1 2 3

˜ ˜

P = (P , P , P ), P = (P , P , P ),

a a1 a2 a3 b b1 b2 b3

˜ (11)

E = (E , E , E ), α˜ = (α , α , α ), ν˜ = (ν , ν , ν ),

1 2 3 s s1 s2 s3 1 2 3

˜ ˜

T = (T , T , T ), T = (T , Y , T ),

a a1 a2 a3 b b1 b2 b3

границы интервалов α – уровня имеют вид

a = (1 − α)a + αa , a = αa + (1 − α)a ;

α 1 2 α 2 3

b = (1 − α)b + αb , b = αb + (1 − α)b ;

α 1 2 α 2 3

P = (1 − α)P + αP , P = αP + (1 − α)P ;

aα a1 a2 aα a2 a3

P = (1 − α)P + αP , P = αP + (1 − α)P ;

ab b1 b2 bα b2 b3

E = (1 − α)E + αE , E = αE + (1 − α)E ; (12)

α 1 2 α 2 3

α = (1 − α)α + αα , α = αα + (1 − α)α ;

sα s1 s2 sα s2 s3

ν = (1 − α)ν + αν , ν = αν + (1 − α)ν ;

α 1 2 α 2 3

T = (1 − α)T + αT , T = αT + (1 − α)T ;

aα a1 a2 aα a2 a3

T = (1 − α)T + αT , T = αT + (1 − α)T .

ab b1 b2 bα b2 b3

В случае использования для описания неопределенных исходных параметров

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

обобщений a˜, b, P , P , E, α˜ , ν˜, T , T в форме нормальных трапецеидальных

a b s a b

нечетких интервалов

˜

a˜ = (a , a , a , a ), b = (b , b , b , b ),

1 2 3 4 1 2 3 4

˜ ˜

P = (P , P , P , P ), P = (P , P , P , P ),

a a1 a2 a3 a4 b b1 b2 b3 b4

˜ (13)

E = (E , E , E , E ), α˜ = (α , α , α , α ), ν˜ = (ν , ν , ν , ν ),

1 2 3 4 s s1 s2 s3 s4 1 2 3 4

˜ ˜

T = (T , T , T , T ), T = (T , Y , T , T ),

a a1 a2 a3 a4 b b1 b2 b3 b4

границы интервалов в соответствующих разложениях (10) имеют представления

a = (1 − α)a + αa , a = αa + (1 − α)a ;

α 1 2 α 3 4

b = (1 − α)b + αb , b = αb + (1 − α)b ;

α 1 2 α 3 4

(14)

P = (1 − α)P + αP , P = αP + (1 − α)P ;

aα a1 a2 aα a3 a4

P = (1 − α)P + αP , P = αP + (1 − α)P ;

ab b1 b2 bα b3 b4

105

----------------------- Page 5-----------------------

А.С. Гольцев, С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев

E = (1 − α)E + αE , E = αE + (1 − α)E ;

α 1 2 α 3 4

α = (1 − α)α + αα , α = αα + (1 − α)α ;

sα s1 s2 sα s3 s4

ν = (1 − α)ν + αν , ν = αν + (1 − α)ν ;

α 1 2 α 3 4

T = (1 − α)T + αT , T = αT + (1 − α)T ;

aα a1 a2 aα a3 a4

T = (1 − α)T + αT , T = αT + (1 − α)T .

ab b1 b2 bα b3 b4

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

В случае описания параметрических обобщений a˜, b, P , P , E, α˜ , ν˜, T , T

a b s a b

нормальными нечеткими несимметричными квазигауссовыми числами границы

интервалов в разложениях (10) имеют выражения

a = m − σ (ln α−2)1/2 , a = m + σ (ln α−2 )1/2 ;

α ∗a ∗la α ∗a ∗ra

b = m − σ (ln α−2)1/2 , b = m + σ (ln α−2 )1/2 ;

α ∗b ∗lb α ∗b ∗rb

Paα = m∗Pa − σ∗lPa (ln α−2)1/2 , Paα = m∗Pa + σ∗rPa (ln α−2)1/2 ;

Pbα = m∗Pb − σ∗lPb (ln α−2)1/2 , Pbα = m∗Pb + σ∗rPb (ln α−2)1/2 ;

E = m − σ (ln α−2)1/2 , E = m + σ (ln α−2 )1/2 ; (15)

α ∗E ∗lE α ∗E ∗rE

αsα = m∗αs − σ∗lαs (ln α−2)1/2 , αsα = m∗αs + σ∗rαs (ln α−2 )1/2 ;

ν = m − σ (ln α−2)1/2 , ν = m + σ (ln α−2 )1/2 ;

α ∗ν ∗lν α ∗ν ∗rν

Taα = m∗Ta − σ∗lTa (ln α−2)1/2 , Taα = m∗Ta + σ∗rTa (ln α−2 )1/2 ;

Tbα = m∗Tb − σ∗lTb (ln α−2)1/2 , Tbα = m∗Tb + σ∗rTb (ln α−2 )1/2 .

При каждом из указанных вариантов введения нечетко-множественных пред-

ставлений для неконтрастных экзогенных параметров модели реализуется при-

менение комплекса методик фаззификации [8] имеющихся массивов неопреде-

ленных экспериментальных и экспертных данных.

Разрабатываемый алгоритм нечетко-множественного анализа влияния пара-

метрической неопределенности в модели комбинированных термомеханических

воздействий на поверхности упругого полого изотропного шара предполагает

поэтапное фрагментированное использование арифметики нечетких величин и

α-уровневой модифицированной формы эвристического принципа обобщения.

Для эффективного применения модифицированного принципа обобщения пред-

варительно осуществляются дополнительные исследования свойств знакоопре-

деленности частных производных от расчетных функциональных характери-

стик детерминистической версии модели по некоторым из их аргументов в со-

ответствующей области совокупного изменения переменных, в итоге которых

получены оценки

∂T/∂Ta ≤ 0, ∂T/∂T ≥ 0,

b

(16)

sign (∂T/∂a) = sign (T − T ), sign (∂T/∂b) = sign (T − T );

a b b a

∂λ/∂Ta ≤ 0, ∂λ/∂T ≥ 0, ∂λ/∂a ≥ 0, ∂λ/∂b ≤ 0,

b

(17)

∂λ/∂ν ≥ 0, ∂λ/∂αs ≥ 0, ∂λ/∂E ≥ 0;

106

----------------------- Page 6-----------------------

Нечетко-множественный учет разброса параметров в модели термомеханических воздействий

∂A/∂P ≥ 0, ∂A/∂P ≤ 0, ∂A/∂λ ≤ 0; (18)

a b

∂B/∂P ≤ 0, ∂B/∂P ≥ 0, ∂B/∂λ ≤ 0; (19)

a b

∂σ /∂A ≥ 0, ∂σ /∂B ≥ 0, ∂σ /∂λ ≥ 0; (20)

ρ ρ ρ

∂σ /∂A ≥ 0, ∂σ /∂B ≤ 0, ∂σ /∂λ ≥ 0. (21)

θ θ θ

С учетом оценок (16)–(21) и на основе дополнительных альтернативных усло-

˜

вий для границ носителей нечетко-множественных экзогенных параметров Ta

˜

и T (Ta0 < T либо T < T ) записывается следующая последовательность

b b0 b0 a0

расчетных соотношений формируемого нечетко-множественного алгоритма:

λ = a b (T − T )E α (1 − ν )−1 (b − a )−1,

α α α bα aα α s α α α

−1 −1 (22)

λ = a b (T − T )E α (1 − ν ) (b − a ) ;

α α α bα aα α s α α α

3 3 2 2 3 3 −1

A = inf (a P − b P − λ (b − a ))(b − a ) ,

α aα bα α

a∈[a , a ]

α α

b∈[b , b ]

α α

(23)

3 3 2 2 3 3 −1

A = sup (a P − b P − λ (b − a ))(b − a ) ;

α aα bα α

a∈[a , a ]

α α

b∈[b , b ]

α α

3 3 2 2 3 3 −1

B = inf (a b (P − P ) − λ a b (b − a))(b − a ) ,

α b a α

a∈[a , a ]

α

α

b∈[b , b ]

α α

(24)

3 3 2 2 3 3 −1

B = sup (a b (P − P ) − λ a b (b − a))(b − a ) ;

α b a α

a∈[a , a ]

α α

b∈[b , b ]

α α

σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1, σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1 ; (25)

ρα α α α ρα α α α

σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 ,

θα α α α

−3 −1 (26)

σ (ρ) = A − (B /2)ρ + (λ /2)ρ .

θα α α α

В случае Ta0 < Tb0

T (ρ) = T + (T − T )a b ((b − a ))−1 (ρ−1 − a−1),

α aα aα bα α α α α α

−1 −1 −1 (27)

T (ρ) = T + (T − T )a b ((b − a )) (ρ − a );

α aα aα bα α α α α α

а при Tb0 < Ta0

T (ρ) = T + (T − T )a b ((b − a ))−1 (ρ−1 − a−1),

α aα aα bα α α α α α

−1 −1 −1 (28)

T (ρ) = T + (T − T )a b ((b − a )) (ρ − a ).

α aα aα bα α α α α α

107

----------------------- Page 7-----------------------

А.С. Гольцев, С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев

При использовании в реализуемом исследовании представлений неконтраст-

ных экзогенных параметров в виде нормальных треугольных нечетких чисел

(11) либо в виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов (13), часть

расчетных соотношений в рамках представляемой методики может быть записа-

на в явной форме с применением аппарата арифметики соответствующих нечет-

ких величин. Так, в частности, для случая (11)

˜

λ = (λ , λ , λ ),

1 2 3

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 ,

1 1 1 b1 a3 1 s1 1 3 1

(29)

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 ,

2 2 2 b2 a2 2 s2 2 2 2

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 ;

3 3 3 b3 a1 3 s3 3 1 3

˜

T (ρ) = (T (ρ), T (ρ), T (ρ)),

1 2 3

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a ),

1 a1 a1 b3 1 1 1 3 1

(30)

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a ),

2 a2 a2 b2 2 2 2 2 2

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a );

3 a3 a3 b1 3 3 3 1 3

˜

A = (A , A , A ), A = A , A = A , A = A ; (31)

1 2 3 1 0 2 1 3 0

˜

B = (B , B , B ), B = B , B = B , B = B ; (32)

1 2 3 1 0 2 1 3 0

σ˜ (ρ) = (σ (ρ), σ (ρ), σ (ρ)),

ρ ρ1 ρ2 ρ3

σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1 , σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1, (33)

ρ1 1 1 1 ρ2 2 2 2

σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1;

ρ3 3 3 3

σ˜ (ρ) = (σ (ρ), σ (ρ), σ (ρ)),

θ θ1 θ2 θ3

σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 ,

θ1 1 3 1

(34)

σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 ,

θ2 2 2 2

σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 .

θ3 3 1 3

Для варианта описания экзогенных параметров (13)

˜

λ = (λ , λ , λ , λ ),

1 2 3 4

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 ,

1 1 1 b1 a4 1 s1 1 4 1

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 , (35)

2 2 2 b2 a3 2 s2 2 3 2

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 ,

3 3 3 b3 a2 3 s3 3 2 3

λ = a b (T − T )E α ((1 − ν )(b − a ))−1 ;

4 4 4 b4 a1 4 s4 4 1 4

108

----------------------- Page 8-----------------------

Нечетко-множественный учет разброса параметров в модели термомеханических воздействий

˜

T (ρ) = (T (ρ), T (ρ), T (ρ), T (ρ)),

1 2 3 4

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a ),

1 a1 a1 b4 1 1 1 4 1

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a ), (36)

2 a2 a2 b3 2 2 2 3 2

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a ),

3 a3 a3 b2 3 3 3 2 3

T (ρ) = T + (T − T )a b (ρ−1 − a−1)/(b − a );

4 a4 a4 b1 4 4 4 1 4

˜

A = (A , A , A , A ), A = A , A = A , A = A , A = A ; (37)

1 2 3 4 1 0 2 1 3 1 4 0

˜

B = (B , B , B , B ), B = B , B = B , B = B , B = B ; (38)

1 2 3 4 1 0 2 1 3 1 4 0

σ˜ (ρ) = (σ (ρ), σ (ρ), σ (ρ), σ (ρ)),

ρ ρ1 ρ2 ρ3 ρ4

σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1 , σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1, (39)

ρ1 1 1 1 ρ2 2 2 2

σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1 , σ (ρ) = A + B ρ−3 + λ ρ−1;

ρ3 3 3 3 ρ4 4 4 4

σ˜ (ρ) = (σ (ρ), σ (ρ), σ (ρ)),

θ θ1 θ2 θ3

σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 , σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 , (40)

θ1 1 4 1 θ2 2 3 2

σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 , σ (ρ) = A − (B /2)ρ−3 + (λ /2)ρ−1 .

θ3 3 2 3 θ4 4 1 4

Расчетные соотношения (22)–(40) дают описание предлагаемого алгоритма

учета разбросов для величин исходных параметров в модели комбинированных

термомеханических воздействий на поверхности упругого изотропного полого

шара.

2. Результаты вычислительных экспериментов. Расчетный анализ рас-

сматриваемой модели с применением разработанной нечетко-множественной ме-

тодики проводился для толстостенной сферической оболочки из стали без учета

возможных разбросов в ее геометрических размерах, рассматривавшихся как

контрастные величины a = 2.0 L , b = 2.2 L , L = 1м. Оболочка нагревается

∗ ∗ ∗

извне, а на ее внутренней поверхности поддерживается нулевая температура. К

внутренней и внешней граничным поверхностям приложено давление.

Для имеющих разбросы значений неконтрастных физико-механических па-

˜

раметров E, α˜s, ν˜ выбирались описания нормальными трапецеидальными нечет-

кими интервалами вида

˜

E = (19.9E , 20.0E , 20.1E , 20.15E ),

∗ ∗ ∗ ∗

ν˜ = (0.295, 0.3, 0.302, 0.305 ), α˜ = (13.9A , 14A , 14.05A , 14.1A ), (41)

s ∗ ∗ ∗ ∗

E = 10 4 МПа, A = 10−6град−1.

∗ ∗

Неконтрастные характеристики внешних силовых и температурных воздействий

˜ ˜ ˜ ˜

P , P , T , T задавались в виде

a b a b

109

----------------------- Page 9-----------------------

А.С. Гольцев, С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев

˜

P = (10.485 P , 10.495 P , 10.505 P , 10.510 P ),

a ∗ ∗ ∗ ∗

˜

P = (0.0125 P , 0.0127 P , 0.0129 P , 0.0131 P ),

b ∗ ∗ ∗ ∗

˜ ˜ (42)

T = (0, 0, 0, 0), T = (98 T , 100 T , 101 T , 102 T ),

a b ∗ ∗ ∗ ∗

P ◦

= 101325Па, T = 1 С.

∗ ∗

Результатами дефаззификации по методу медиан [8] для представленных нечет-

кими трапецеидальными интервалами неконтрастных экзогенных параметров

(41), (42) являются величины

E = 20.0375 E , ν = 0.3005, α = 14.0125 A ,

∗ s ∗

P = 10.49875 P , P = 0.0128 P , T = 0, T = 100.25 T .

a ∗ b ∗ a b ∗

На рисунках 1–9 представлены функции принадлежности нечетко-множе-

˜

ственных характеристик T (ρ), σ˜ρ(ρ), σ˜ (ρ), рассчитанные в случае задания ука-

θ

занных неконтрастных исходных параметров нормальными нечеткими трапеце-

идальными интервалами во внутренних точках рассматриваемого сферического

тела для значений параметра ρ = 0.9a + 0.1b, ρ = 0.5a + 0.5b, ρ = 0.1a + 0.9b.

1 2 3

Рис. 1. Профиль функции принадлежности μ ˜ ) (T )

T (ρ1

Рис. 2. Профиль функции принадлежности μ (σ )

σ˜ρρ (ρ1) ρρ

110

----------------------- Page 10-----------------------

Нечетко-множественный учет разброса параметров в модели термомеханических воздействий

Рис. 3. Профиль функции принадлежности μ (σ )

σ˜θθ (ρ1) θθ

Рис. 4. Профиль функции принадлежности μ ˜ ) (T )

T (ρ2

Рис. 5. Профиль функции принадлежности μ (σ )

σ˜ρρ (ρ2 ) ρρ

111

----------------------- Page 11-----------------------

А.С. Гольцев, С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев

Рис. 6. Профиль функции принадлежности μ (σ )

σ˜θθ (ρ2 ) θθ

Рис. 7. Профиль функции принадлежности μ ˜(ρ ) (T )

T 3

Рис. 8. Профиль функции принадлежности μ (σ )

σ˜ρρ (ρ3 ) ρρ

112

----------------------- Page 12-----------------------

Нечетко-множественный учет разброса параметров в модели термомеханических воздействий

Рис. 9. Профиль функции принадлежности μ (σ )

σ˜θθ (ρ3 ) θθ

Как свидетельствуют результаты расчетов, максимальные уровни разбросов

для эндогенных расчетных характеристик исследуемой модели имеют нечетко-

множественные оценки термомеханических напряжений σ˜θθ (ρ).

Заключение. В результате проведенных исследований применение нечетко-

множественной методики учета параметрической неопределенности экзогенных

характеристик, реализованное ранее в задаче о центрально-симметричном тер-

монапряженном состоянии изотропного тела в форме полой сферы при тепло-

вых воздействиях на его внутреннюю граничную поверхность, распростране-

но на задачу анализа общего случая комбинированных силовых и температур-

ных равномерно распределенных воздействий на внутренней и внешней гранич-

ных поверхностях. Получены расчетные соотношения для неконтрастных вы-

ходных параметров рассматриваемой модели при описании обладающих разбро-

сами значений исходных физико-механических и геометрических характеристик

нормальными нечеткими гауссовыми числами, треугольными нечеткими числа-

ми либо нормальными нечеткими трапецеидальными интервалами. Методика

базируется на использовании расчетных соотношений детерминистического ва-

рианта рассматриваемой модели с дальнейшим поэтапным фрагментированным

применением операций нечетко-множественных вычислений и альфа–уровневой

модификации эвристического принципа обобщения в процессе перехода к некон-

трастным аргументам в указанных расчетных формулах. Представлены отдель-

ные результаты численной реализации предложенной методики.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государствен-

ного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).

1. Бажанов В.А. Расчет конструкций на тепловые воздействия / В.А. Бажанов, И.И. Голь-

денблат, Н.А. Николаенко, А.М. Синюков. – Москва: Машиностроение, 1969. – 599 с.

2. Коваленко А.Д. Термоупругость / А.Д. Коваленко. – К.: Вища школа, 1975. – 215 с.

3. Подстригач Я.С. Термоупругость тонких оболочек / Я.С. Подстригач. – К.: Наукова

думка, 1978. – 343 с.

113

----------------------- Page 13-----------------------

А.С. Гольцев, С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев

4. Миронов Д.Н. Решение стационарной задачи термоупругости и термопластичности в при-

ближении эффективной модели для тела сферической формы / Д.Н. Миронов, В.П. Гон-

чаренко, Ю.А. Чигарева, В.А. Чигарев // Теоретическая и прикладная механика: меж-

дународный научно-технический сборник. – 2016. – Вып. 31. – С. 185–195.

5. Дац Е.П. Термоупругопластическое деформирование многослойного шара / Е.П. Дац,

Е.В. Мурашкин // Изв. РАН. МТТ. – 2017. – № 5. – С. 30–36.

6. Сёмка Э.В. Упругопластическое состоянии полого шара / Э.В. Сёмка // Вестник инже-

нерной школы ДВФУ. – 2020. – № 3(44). – С. 3–12. doi: http://www.dx.doi.org/10.24866/2227-

6858/2020-3-1

7. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ло-

макин – М.: ЛЕНАНД, 2014. – 144 с.

8. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss.

– Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. – 253 p.

9. Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечет-

кими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. – Yelm, WA, USA:

Science Book Publishing House, 2019. – 216 с.

10. Номбре С.Б. Анализ неконтрастной модели осесимметричного термонапряженного состо-

яния полого цилиндра / С.Б Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хоанг

// Журнал теоретической и прикладной механики. – 2022. – № 4 (81). – С. 63–76. С. 63–76.

– doi: 10.24412/0136-4545-2022-4-63-76. – EDN: TOGBNE.

11. Номбре С.Б. Нечетко-множественный анализ параметрической неопределенности в рас-

четных моделях термоупругого деформирования балок / С.Б Номбре, Д.Д. Полянский,

С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. – 2023. – № 1(82). – С.

81–92. – doi: 10.24412/0136-4545-2023-1-81-92. – EDN: PQQQXY.

12. Номбре С.Б. Учет параметрической неопределенности в модели температурных воздей-

ствий на внутреннюю поверхность упругого полого шара / С.Б Номбре, Д.Д. Полянский,

С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хоанг // Журнал теоретической и прикладной механики. –

2023. – № 2 (83). – С. 56–66. – doi: 10.24412/0136-4545-2023-2-56-66. – EDN: TVWFZT.

A.S. Goltsev, S.B. Nombre, D.D. Polyansky, S.V. Storozhev

Fuzzy-set accounting of parameters scatter errors in the model of thermomechanical

loads impact on the surfaces of an elastic hollow ball.

The development of a fuzzy-set methodology for taking into account scatter errors in the values of the

initial physical-mechanical and geometric parameters for a model of polar-symmetric deformation of

an isotropic elastic hollow ball under complex force and temperature influences on its internal and

external boundary surfaces is given. The described methodology is based on the use of calculated

relationships of the deterministic version of the model under consideration with further stage-by-

stage fragmented application of fuzzy set calculation operations and alpha-level modification of the

heuristic principle of generalization in the process of transition to non-contrasting arguments in

the specified calculation formulas. Some results of the numerical implementation of the proposed

method are presented.

Keywords: isotropic hollow ball, polar-symmetric deformation, internal and external pressure,

thermal surface effects, scatter errors of initial parameters, fuzzy-set methodic of accounting, heuristic

generalization principle.

Получено 14.09.2023

114