CC BY
4ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (74) / 2021.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519:539.3:534.1
©2021. В.Н. Павлыш, С.В. Сторожев
НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УСТОЙЧИВОСТИ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК
Представлено решение задачи распространения численно-аналитической нечетко-множественной методики описания эффектов влияния неконтрастности в значениях исходных физико-механических и геометрических параметров на случай анализа математической модели потери устойчивости тонкой замкнутой изотропной оболочки тороидальной формы, подверженной воздействию интенсивных статических равномерно распределенных по внешней поверхности нормальных сжимающих усилий. Методика предполагает применение приема фаззи-фикации обладающих разбросами экзогенных параметров модели с переходом к их нечетко-интервальными представлениям и последующее расширение области определения функциональных расчетных соотношений детерминистической версии рассматриваемой модели на аргументы нечетко-множественного типа в рамках альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения. Приведены отдельные результаты численных исследований с применением излагаемой методики.
Ключевые слова: тонкие изотропные оболочки, замкнутая тороидальная форма, действие равномерных сжимающих усилий, прикладные модели статического деформирования, эффекты потери устойчивости, неопределенные исходные параметры, учет разбросов значений, методы теории нечетких множеств, эвристический принцип обобщения.
Введение и цели исследования. Исследования статических деформационных моделей устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций [1], в частности оболочек замкнутой тороидальной формы, несмотря на достаточно длительную историю сохраняют важное фундаментальное и прикладное значение, практический интерес для инженерных применений в важнейших научно-промышленных отраслях, таких машиностроение, строительство, воздушный и подводный транспорт, аэрокосмическая техника [1 - 7], к которым в последнее время добавились междисциплинарные разработки в области термоядерной энергетики. К сохраняющим крайнюю актуальность аспектам таких исследований относятся вопросы анализа эффектов влияния неопределенности в виде разбросов экспериментальных и технологических расчетных значений неконтрастных физико-механических и геометрических параметров конструкций на подлежащие определению показатели критических интенсивностей внешних нагруже-ний. Развитая практика применения для учета отмеченных факторов неопределенности методов вероятностного стохастического анализа [8, 9] зачастую стал-
кивается с ситуацией отсутствия имеющей корректную статистическую природу исходной информации. Более мягкие условия к характеру неопределенных экзогенных данных и дополнительные возможности в этом направлении, включая возможности использования результатов обработки маломощных частотных выборок и данных субъективных экспертных заключений, а также наличие аппарата непосредственного оперирования неконтрастными величинами без процедур их усреднения, открываются в рамках применения в таких исследованиях методов нечетких множеств (методов теории нечетких вычислений) [10-14]. Данный подход к получению оценок влияния разбросов исходных параметров предполагает осуществление процедуры фаззификации неконтрастных исходных параметров с разбросами значений путем перехода к нечетко-интервальным величинам, используемым далее в качестве нечетко-множественных аргументов в аналитических соотношениях детерминистических версий моделей расчета критических усилий на основе применения модифицированной альфа-уровневой версии эвристического принципа обобщения [15-17].
В контексте изложенных соображений, целью осуществляемых в работе исследований является распространение нечетко-множественной методики получения оценок для эффектов влияния разбросов значений экзогенных механических и геометрических параметров в математических моделях механики деформирования применительно к задачам устойчивости тонкостенных конструкций в виде тонких замкнутых изотропных оболочек тороидальной формы, подверженных действия равномерно распределенных по граничной поверхности сжимающих внешних усилий.
1. Описание критических значений внешнего нормального давления в рамках детерминистической версии модели. В представляемом исследовании используются полученные в [1, 2] результаты решения в классической постановке задачи определения критических значений равномерно распределенных по внешней поверхности нормальных усилий, обуславливающих потерю устойчивости при безмоментном деформировании тонкой замкнутой в обоих направлениях изотропной тороидальной оболочки.
Оболочка характеризуется геометрическими параметрами толщины стенки Л, радиуса круговых сечений Я3 трубчатой части и расстояния Я[ от оси симметрии оболочки до центров поперечных сечений, а также физико-механическими параметрами модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V материала оболочки. Для оболочки с описанными характеристиками, согласно [1], значения критических усилий дП описываются соотношениями
дП = Фп(Л,Я3,Щ,Е, V) = = ЕНК-1(1 - V2)~\5п(к) + (Л2/(12Я2))Ап(к)) (1)
(п = 1,2,...),
в которых
к = Я3/Яг,
(1 + к2/А)~1{{к2/2){п2 + ((1 - у2)/2)п2к2 + (1 + и)2к2 + и + 1)
п[ > ~ (п2(п2( 1 + к2/2) + (1 + и)к2/2)) ' (2)
(1 + к2/А)~1({п2 - 1 + п2к2/2)(п2(1 + к2/2) + к2) К(-к>- (п2(1 + к2/2) + (1 + и)к2/2) + к2/2)
При этом для функций Фп(Н, Я3, Яг,Е,и) во всей области их определения выполняются свойства
дФп (Н, Яэ, Яг ,Е, у)/дЕ > 0, Фп (Н, Я3, Яг, Е, у)/дН > 0, (3)
учитываемые ниже при реализации процедуры перехода в функциональных отображениях (1) к нечетко-интервальным аргументам.
Для оценки меры влияния неконтрастности значений указанных исходных физико-механических и геометрических параметров в модели устойчивости рассматриваемой оболочки на определяемые соотношениями (1), (2) критические величины параметра внешнего нагружения, в данных функциональных соотношениях реализуется переход к нечетко-множественным аргументам с применением а - уровневой формы эвристического принципа расширения [10-17].
2. Получение нечетко-множественных оценок для параметров критических усилий. Исходным этапом процедуры расширения области определения аргументов Н, Яэ, Яг,Е,и функциональных соотношений (1), (2) на нечетко-множественные величины Н,Я3, Яг ,Ев виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов является ведение их представлений кортежами из значений границ носителей и границ интервалов модальных значений [18, 19]
Н = {Н\,Н2,Нз ,Н4), Яэ = {Яэ1,Яэ2 ,Яэз,Яэ4), Яг = {Яц,Яг2 ,Ягз,Яц),
(4)
Е = {ЕьЕ2,Еэ,Е4), V = (Р1,Р2
Далее введенные интервалы представляются разложениями по множествам альфа-срезов в форме
«€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]
Ё= и [Еа,Ёа], 9= и [иа,иа], «€[0,1] «€[0,1]
(5)
где
Ка = (1 — а)к 1 + аЪ 2, Ъа = аЪ з + (1 — а)Л,4;
Яза = (1 - а)Я31 + аЯ32, Яза = аЯ33 + (1 - а)Я34;
Я1а = (1-а)Яц+аЯ12, Яга = аЯгз + (1 - а)Яи; (6)
Еа = (1 -а)Ех +аЕ2, Ёа = аЕ3 + (1 - а)Е4]
иа = (1 - а)и 1 + аи2, Vа = аи3 + (1 - а)щ.
Нечетко-множественные описания для эндогенных параметров интенсивности критических усилий с применением а - уровневой формы эвристического принципа расширения [15-17] при учете свойств (3) соответственно записываются в виде:
<!*' У Ка^п* Ь «€[0,1]
д*па = вир_ Ф„(Л« ,К3,П1,Еа,}у).
Данные соотношения позволяют провести расчеты, связанные с получением описаний для функций принадлежности цд* (дП) нечетко-множественных характеристик дп
3. Результаты численных исследований. На основе применения описанной методики реализован ряд расчетов, связанных с нечетко-множественным анализом рассматриваемой модели.
При этом полагается, что рассматриваемая оболочка изготовлена из стали, и в качестве задачи численного анализа подлежат расчету функции принадлежности для нечетко-множественных оценок дП в случае задания совокупности нечетко-интервальных исходных параметров вида:
Е = (19.7Е*, 19.9Е*, 20.0Е*, 20.2Е*), V = (0.276, 0.279, 0.282, 0.285), К3 = (0.95Я*, 0.99Я*, 1.02Я*, 1.06Я*), Кг = (104.95Я*, 104.99Я*, 105.02Я*, 105.06Я*), (8)
Л = (0.0038Я*, 0.004Я*, 0.0042Я*, 0.0044Я*), Е* = 1010 [Па], Я* = 1 [м].
Результаты расчетов цд^(д*П) с использованием соотношений (1), (2), (7) для этого варианта задания неконтрастных исходных параметров приведены на рисунках 1-3. При этом с учетом немонотонной зависимости д* от п и зависимости соответствующей минимальному значению д* величины п от совокупности физико-механических и геометрических характеристик модели, для рассматриваемого варианта нечетких экзогенных параметров дано описание функции принадлежности для минимального по медианному значению нечетко-множественного показателя д* и двух следующих по возрастанию медианных значений на носителях нечетко-множественных величин д2* и д*.
Рис.1. Профиль функции принадлежности ^д* (?з)-
Рис.2. Профиль функции принадлежности цд* (дЗ).
Рис.3. Профиль функции принадлежности ^д* (д4).
Анализ результатов расчетов позволяет заключить, что максимальные разбросы для задаваемых в виде (8) исходных нечетко-интервальных параметров E, V, Ri относительно медианных значений на носителях составляют не более 1.6%; для исходного параметра Rs этот разброс составляет 5.5%, а для исходного параметра h - 7.3%. Расчетный оцениваемый максимально возможный разброс для параметров и относительно средних значений на интервалах их носителей составляет в данном случае порядка 26.4%, а в диапазонах наиболее достоверных значений на модальных интервалах относительно их средних значений - порядка 8.2%. Для параметра сЦ оценка максимально возможного разброса на интервале носителя составляет порядка 33.5%, а в диапазоне наиболее достоверных значений на модальном интервале - порядка 10.5%. Вид рассчитанных функций принадлежности позволяет оценить меру возможности достижения соответствующих значений эндогенным параметром интенсивности критического давления q*n в случае задания рассматриваемых неконтрастных исходных параметров расчетной модели.
Выводы. Результатами представленных в данной работе исследований является распространение численно-аналитической нечетко-множественной методики учета факторов неопределенности обладающих разбросами значений исходных физико-механических геометрических параметров в процессе анализа модели устойчивости тонкой изотропной идеально упругой замкнутой оболочки тороидальной геометрической формы. Методика базируется на задании фаз-зифицированных неконтрастных исходных параметров с разбросами значений нечетко-интервальными величинами и на расширении областей определения функциональных соотношений детерминистических версий рассматриваемых моделей на нечетко-множественные аргументы. На основании реализованных вычислительных экспериментов получены описания функций принадлежностей для рассчитываемых нечетко-множественных эндогенных характеристик интенсивности критических усилий и представлен сопоставительный анализ величин разбросов исходных параметров и разбросов в получаемых нечетко-множественных оценках.
Описываемая методика дает возможность установить диапазоны наиболее достоверных отклонений в значениях эндогенных параметров расчетных моделей при оговариваемых разбросах исходных физико-механических и геометрических параметров и определить предельные границы возможных разбросов для значений исследуемых характеристик на минимальном уровне уверенности.
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. - М.: Наука,1976. -984 с.
2. Вольмир А.С. Устойчивость тороидальных композитных оболочек / А.С. Вольмир, К.З. Хайрнасов // Механика композитных материалов. - № 3. - 1982. - C. 454-459.
3. Wenmin R. A survey of works on the theory of toroidal shells and curved tubes / R. Wenmin // Acta Mechanica Sinica. - Vol. 15. - No. 3. - 1999. - P. 225-234. doi: 10.1007/BF02486150
4. Biachut J. On buckling of toroidal shells under external pressure / J. Biachut, O. Jaiswal // Computers & Structures. - Vol. 77. - No. 3. - 2000. - P. 233-251. doi: 10.1016/S0045-7949(99)00226-6
5. Croll J.G.A. Stability in Shells / J.G.A. Croll // Nonlinear Dynamics. - Vol. 43. - 2006. -P. 17-28.
6. Sun B. Closed-Form Solution of Axisymmetric Slender Elastic Toroidal Shells / B. Sun // Journal of Engineering Mechanics. - Vol. 136. - No. 10. - 2010. - P. 1281-1288.
doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000175
7. Asratyan M. G. Mixed boundary-value problems of thermoelasticity for anisotropic-in-plan inhomogeneous toroidal shells / M.G. Asratyan, R.S. Gevorgyan // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - Vol. 74. - No. 3. - 2010. - P. 306-312. doi: 10.1016/j.jappmathmech. 2010.07.006
8. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений.
- М.: Стройиздат, 1982. - 352 с.
9. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: ЛЕНАНД, 2014. - 144 с.
10. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: Издательство Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.
11. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УНИВЕРСУМ, 2007. - 215 с.
12. Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечеткими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House, 2019. - 216 с.
13. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Appli-cation / M. Hanss.
- Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.
14. Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B.Bede. - Berlin Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - 276 p.
15. Vyskub V. G. Model of fuzzy estimation of mechanical stress concentration for aerospace and industrial flat structures with polygonal holes of uncertain curvature at rounded corner points / V.G. Vyskub, E.I. Mutina, V.I. Storozhev, S.V. Storozhev // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 537 (2019), 022013, URL: http://doi:10.1088/1757-899X/537/2/ 022013.
16. Мутин Д.И. Учет разброса значений экзогенных параметров в модели устойчивости тонкой цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии / Д.И. Мутин, С.В. Сто-рожев, С.Б. Номбре // Донецкие чтения 2020: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы V Международной научной конференции (Донецк, 17-18 ноября 2020 г.). - Том 1: Физико-математические и технические науки. Часть 1. -Донецк: Изд-во ДонНУ, 2020. - С. 77-79.
17. Выскуб В.Г. Оценки влияния разброса параметров в прикладных моделях устойчивости цилиндрических оболочек / В.Г. Выскуб, Д.И. Мутин, С.В. Сторожев, Зыонг Минь Хай // Механика твердого тела. - 2020. - Вып. 50. - С. 133-144.
18. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka // Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.
19. Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu,P. Grzegorzew-ski // Fuzzy Sets Syst. - 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.
V.N. Pavlysh, S.V. Storozhev
Fuzzy-set analysis of the mathematical model of the stability of toroidal shells.
The solution of the problem of generalization of a numerical-analytical fuzzy-multiple methodology for describing the effects of the influence of non-contrast in the values of the initial physical-mechanical and geometric parameters for the case of analyzing of the mathematical model of buckling of a thin closed isotropic toroidal shell subjected to intense static uniformly distributed
normal compressive forces on the outer surface is presented. The technique involves the use of fuzzification of the non-contrasted exogenous parameters of the model with a transition to their fuzzy-interval representations and the subsequent expansion of the domain of definition of the functional calculation ratios of the deterministic version of the model under consideration to arguments of fuzzy-set type within applying of the alpha-level form of the heuristic principle of generalization.
Some results of numerical studies using the described technique are presented. Keywords: thin isotropic shells, closed toroidal shape, uniform compressive forces, applied models of static deformation, buckling effects, uncertain initial parameters, scatter errors of values, methods of the theory of fuzzy sets, heuristic principle of generalization.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 21.01.2021
Донецк
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства
и архитектуры", Макеевка
s.storozhev@donnasa.ru
