CC BY
5ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№2 (75) / 2021.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519:539.3:534.1
©2021. В.Н. Павлыш, С.В. Сторожев
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛОГО ШАРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ В РАМКАХ ВЕРОЯТНОСТНОГО И НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННОГО ПОДХОДОВ
Представлены результаты исследования модели упругопластического деформирования полого изотропного шара под действием равномерно распределенного внутреннего давления с неопределенной, имеющей разбросы значения интенсивностью, на основе стохастического и нечетко-множественного подходов. Приведена аналитическая форма представления неопределенного эндогенного параметра радиуса границы между областями упругого и пластического деформирования, получаемая в случае применения обоих указанных подходов и сопоставлены результаты численной реализации соответствующих алгоритмов решений.
Ключевые слова: полый изотропный шар, концентрическая геометрия, равномерное внутреннее давление, модель упругопластического деформирования, радиус пластической зоны, учет неопределенности параметра давления, стохастическая методика анализа, конечно-множественная методика анализа.
Введение и цели исследования. Задача упруго-пластического деформирования полого шара под действием внутреннего давления рассматривалась в работах [1-5] в контексте описания аналитического подхода к построению ее решения, анализа обнаруживаемых при исследовании физико-механических эффектов, интерпретации получаемых результатов в прикладных аспектах, связанных с расчетами сосудов высокого давления, взрывных камер и т.д. Решения, представленные в [1-5], получены в рамках постановки соответствующей задачи в детерминистической постановке без учета фактора неопределенности ее параметров, в частности параметра интенсивности равномерного внутреннего давления. В работе [6] модель упругопластического деформирования полого шара под действием внутреннего давления исследована при учете случайного показателя интенсивности равномерного внутреннего давления с задаваемой плотностью распределения вероятностей в рамках стохастического подхода.
Целью исследования, представляемого в настоящей работе, является анализ модели упругопластического деформирования полого шара под действием внутреннего давления неопределённой интенсивности на основе применения нечетко-множественного подхода [7-9], и сопоставительный анализ методиче-
ских особенностей и результатов применения в исследованиях данной модели вероятностного [6, 10] и нечетко-множественного подходов.
1. Описание решения задачи в детерминистической постановке. В
представленной в работе [6] интерпретации, результаты анализа модели упруго-пластического деформирования полого шара с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь, к поверхности внутренней полости которого приложено удовлетворяющее условию д0 < д < да равномерно распределенное давление интенсивности д, в области упругого деформирования описываются соотношениями для характеристик напряженного состояния
аг = д1(1 - Ь3/г3), ав = д1 (1 + Ь3/(2г3)), (1)
а в пластической области - соотношениями
аг = 2а в 1п(г/а) - д,ав = 2а в 1п(г/а) - д + а в. (2)
В вышеприведенных выражениях аг и а$ - соответственно радиальные и тангенциальные напряжения в шаре;
до = (2/3)аа(1 - а3/Ь3),д8 = 2аа 1п(Ь/а)д = (д - 2аа 1п(р/а))(р3/(Ь3 - р3)); (3)
аа - предел текучести материала шара; р € [а, Ь] - радиус границы между областями упругого и пластического деформирования, определяемый из уравнения вида
^(р, а, Ь, аа, д) = д - 2аа (1п(р/а) + (1/3)(1 - р3/Ь3)) = 0. (4)
2. Алгоритм нечетко-множественного анализа модели учета неопределенности величины внутреннего давления. Из параметров рассматриваемой задачи, характеризующихся неопределённостью, соответственно [6], рассматривается только параметр равномерно распределенного давления д, приложенного к границе внутренней полости шара. В этом случае при постановке задачи описания неопределенных значений радиуса границы между областями упругого и пластического деформирования в рамках применения нечетко-множественного подхода [7-9] исходным соотношением является следующая из (4) неявная функциональная зависимость
р = С (а, Ь, аа, д), (5)
к которой, в предположении об описании неопределенной характеристики д выпуклым нечетким множеством д с разложением по множеству альфа-срезов вида
« = и ^
а€[0,1]
применяется модифицированная форма эвристического принципа обобщения [79], и искомое представление для неопределенной нечетко-множественной величины р записывается в виде
Р= У (а' ^ °а (а' а^ = У [£а>Л*]- (7)
ае[0,1] ае[0,1]
Для получения представлений О^ (а, Ь, а3, д), Са (а, Ь, а3, (?) с использованием формулы (4) находится выражение для частной производной
др/дд = (2а3 р-1 (1 - р3/Ь3))-1, (8)
на основе которого и соответственно физическим соображениям о характере зависимости р от д, формулируется оценка
др/дд > 0. (9)
С учетом (9) записываются представления
Ра = С (а, Ъ, <т8, да),~ра = С (а, Ь, <т8, да). (10)
В частном случае описания д симметричным нечетким гауссовым числом [7]
да = т* - а*(\поГ2)112,да = т* + <7»(1па"2)1'/2, и величины р^, ~ра соответственно определяются из уравнения (4) при
Я = 0а,Я = Яа- (11)
Результатом реализации описанного расчетного алгоритма является получение функции принадлежности для нечетко-множественной характеристики р, позволяющей делать заключения о степени уверенности в том, что радиус зоны пластического деформирования принимает определенные значения из области носителя нечеткого множества р при заданном нечетком описании д интенсивности нормального внутреннего давления.
3. Алгоритм вероятностного анализа модели учета неопределенности величины внутреннего давления. В рамках применения к анализу рассматриваемой модели вероятностно-стохастического подхода, описываемого в работе [6], полагается, что нормальное давление д является случайной величиной с плотностью распределения вероятностей ^(д). В этом случае, согласно [6], функция распределения Ф(р) для случайного параметра р радиуса границы между областями упругого и пластического деформирования с использованием представления (4) может быть записана в виде
{0, р < а;
¡-^ ф) йд , а < р < Ь; (12)
1, р>Ь.
В случае задания закона нормального распределения давления д
<р(д) = (д„(2п)1/2)-1 ехр (-(д - до)2/(2д2а)), (13)
в котором д0 - среднее значение (математическое ожидание) и да-среднеквадра-тическое отклонение (дисперсия), для Ф(р), соответственно, можно записать представление
{0, р < а;
Ф((д(Р) - до)/да) + 1/2 , а < р < Ь; (14)
1, р>Ь.
в котором фигурирует функция Гаусса
Ф(г) = (2п)1/2 Г ехр (-г2/2) (П. (15)
Jо
В рамках вероятностного подхода в [6] получены описания для вероятностей событий, которые заключается в прохождении границы раздела упругой и пластической зон деформирования в области
а < г1 < р <г2 < Ь (16)
либо в области
а < р <г2 < Ь. (17)
При рассматриваемом варианте распределения д
Р {а < г1 < р <г2 < Ь} =
[Ф 2) (18)
= у(д)йд = Ф((д(г2) - до)/да) - Ф((д(г1) - до)/да),
Jq(r 1)
/Я(Т2)
<р(д)(д = Ф((д(г2) - до)/да) + 1/2. (19)
-те
Также, в [6] представлено статистическое обоснование выбора параметра
в = Ь/а, (20)
обеспечивающего не возникновение предельного состояния в рамках требования о выполнении условия
д<да = 2аа 1п в (21)
с заданной вероятностью Ро, соответственно которому
/qs
<Р(д) (д. (22)
-те
Как показано в [6], при нормальном распределении д вида (13) в этом случае можно найти
в = ехр ((до + к(Ро)да)/(2а3)), (23)
а зависимость к(Ро) устанавливается из соотношения
фф(к(Ро)) = Ро - 1/2.
4. Численная реализация алгоритмов нечетко-множественного и вероятностного анализа модели, сопоставительный анализ результатов. Расчеты с применением соотношений, полученных в рамках двух рассматриваемых методик, осуществлены для конструкции виде полого шара с приведенными физико-механическим и геометрическим параметрами
а = 1.0 • 1*,Ь = 3.0 • I*,аа = 10.0 • р* ,
а также параметрами неконтрастного задания интенсивности внутреннего давления
т* = до = 12.0 • р*, а* = да = 0.02 • рр*.,
где I*, р* - нормирующие параметры соответствующей физической размерности.
Результаты расчетов с применением нечетко-множественной методики на основе соотношения (7) представлены на рисунке 1 в виде графика функции принадлежности для нечетко-множественной характеристики радиуса зоны пластических деформаций р.
Рис. 1. Вид функции принадлежности Цр(р).
Модальным значением для характеристики р является величина р = 1.34546 , интервалом на носителе, границы которого характеризуются показателем принадлежности 0.01, является интервал [1.341, 1.350].
Результаты расчетов по вероятностно-стохастической методике отражены на рисунке 2 в виде картины значений приведенного показателя вероятности Р {г = р} для нормально распределенной случайной характеристики р радиуса
Рис. 2. Распределение приведенного показателя Р {г = р}
пластической зоны. Среднее (математическое ожидание) для данной случайной величины имеет расчетное значение ро = 1.34515 , а областью определения Р {г = р} является интервал [1.342, 1.348].
Сопоставляя и характеризуя представленные расчетные результаты можно сделать вывод о самой высокой степени их идентичности в случае анализа рассматриваемой модели с применением нечетко-множественной и вероятностно-стохастической методик. Оценки модального значения р и среднего для случайной величины радиуса пластической зоны при сходных описаниях неконтрастного экзогенного параметра интенсивности внутреннего давления различаются на величину порядка 0.02%; интервал носителя для нечетко-множественной оценки р на крайне незначительную величину несущественно шире расчетного интервала области определения Р {г = р}. Таким образом, в рассмотренной ситуации возможного применения к модели учета неопределенности экзогенных параметров в модели упругопластического деформирования нагруженного внутренним давлением полого шара применение обоих рассматриваемых подходов приводит к практически идентичным результатам.
Выводы. Полученные с применением двух походов (нечетко-множественного и вероятностно-стохастического) результаты анализа меры влияния факторов неопределенности в модели определения радиуса границы между областями упругого и пластического деформирования полого шара при действии равномерно распределенного внутреннего давления с характеризуемой разбросами интенсивностью, дают основание для заключения о предельно высоко мере соответствия в значениях оцениваемого эндогенного параметра. Таким образом, можно сделать вывод о том, что в ситуации возможного применения указанных подходов к учету неконтрастности экзогенных параметров модели дефор-
мирования, при сходных способах задания неопределенных исходных характеристик, оба подхода приводят к эквивалентным верифицированным результатам с незначительным относительным расширением прогнозируемой области разброса значений результирующих параметров в случае применения методов теории нечетких множеств.
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. - М.: Наука,1976. -984 с.
2. Вольмир А.С. Устойчивость тороидальных композитных оболочек / А.С. Вольмир, К.З. Хайрнасов // Механика композитных материалов. - № 3. - 1982. - C. 454-459.
3. Wenmin R. A survey of works on the theory of toroidal shells and curved tubes / R. Wenmin // Acta Mechanica Sinica. - Vol. 15. - No. 3. - 1999. - P. 225-234. doi: 10.1007/BF02486150
4. Biachut J. On buckling of toroidal shells under external pressure / J. Biachut, O. Jaiswal // Computers & Structures. - Vol. 77. - No. 3. - 2000. - P. 233-251. doi: 10.1016/S0045-7949(99)00226-6
5. Croll J.G.A. Stability in Shells / J.G.A. Croll // Nonlinear Dynamics. - Vol. 43. - 2006. -P. 17-28.
6. Sun B. Closed-Form Solution of Axisymmetric Slender Elastic Toroidal Shells / B. Sun // Journal of Engineering Mechanics. - Vol. 136. - No. 10. - 2010. - P. 1281-1288.
doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000175
7. Asratyan M.G. Mixed boundary-value problems of thermoelasticity for anisotropic-in-plan inhomogeneous toroidal shells / M.G. Asratyan, R.S. Gevorgyan // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - Vol. 74. - No. 3. - 2010. - P. 306-312. doi: 10.1016/j.jappmathmech. 2010.07.006
8. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений.
- М.: Стройиздат, 1982. - 352 с.
9. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: ЛЕНАНД, 2014. - 144 с.
10. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: Издательство Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.
11. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УН1ВЕРСУМ, 2007. - 215 с.
12. Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечеткими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House, 2019. - 216 с.
13. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Appli-cation / M. Hanss.
- Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.
14. Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B.Bede. - Berlin Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - 276 p.
15. Vyskub V. G. Model of fuzzy estimation of mechanical stress concentration for aerospace and industrial flat structures with polygonal holes of uncertain curvature at rounded corner points / V.G. Vyskub, E.I. Mutina, V.I. Storozhev, S.V. Storozhev // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 537 (2019), 022013, URL: http://doi:10.1088/1757-899X/537/2/ 022013.
16. Мутин Д.И. Учет разброса значений экзогенных параметров в модели устойчивости тонкой цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии / Д.И. Мутин, С.В. Сторожев, С.Б. Номбре // Донецкие чтения 2020: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы V Международной научной конференции (Донецк, 17-18 ноября 2020 г.). - Том 1: Физико-математические и технические науки. Часть 1. -
Донецк: Изд-во ДонНУ, 2020. - С. 77-79.
17. Выскуб В.Г. Оценки влияния разброса параметров в прикладных моделях устойчивости цилиндрических оболочек / В.Г. Выскуб, Д.И. Мутин, С.В. Сторожев, Зыонг Минь Хай // Механика твердого тела. - 2020. - Вып. 50. - С. 133-144.
18. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka // Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.
19. Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu,P. Grzegorzew-ski // Fuzzy Sets Syst. - 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.
V.N. Pavlysh, S.V. Storozhev
Investigation of the elastoplastic deformation model of a hollow sphere under action of internal pressure witch using of probabilistic and fuzzy-set approaches.
The paper presents the results of a study of a model of elastoplastic deformation of a hollow isotropic sphere under the action of a uniformly distributed internal pressure with an indefinite intensity with scatter values, based on the stochastic and fuzzy-multiple approaches. An analytical form of representation of the indefinite endogenous parameter of the radius of the boundary between the regions of elastic and plastic deformation, obtained in the case of applying both of these approaches, is given and the results of the numerical implementation of the corresponding algorithms for solving.
Keywords: hollow isotropic sphere, concentric geometry, uniform internal pressure, model of elastoplastic deformation, radius of the plastic zone, accounting for the pressure parameter uncertainty, stochastic analysis method, finite-set analysis method.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 02.06.2021
Донецк
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", Макеевка
Donetsk National Technical University, Donetsk
Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture,
Makeevka
s.storozhev@donnasa.ru
