CC BY
8ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№3 (76) / 2021.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 51-74:510.22:519.6:539.3
©2021. В.Е. Болнокин, В.Н. Павлыш, С.В. Сторожев
АЛГОРИТМ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НЕКОНТРАСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ АЛГЕБРЫ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ
Представлено описание и результаты применения двух вариантов нечетко-множественной методики теоретического исследования моделей потери устойчивости тонкостенных изотропных цилиндрических оболочек конечной длины с обладающими разбросами значений неконтрастными физико-механическим и геометрическим параметрами при действии приложенных к краям продольных сжимающих усилий и внешнего гидростатического давления. Рассматриваемые и параллельно применяемые альтернативные подходы заключаются в использовании математического аппарата стандартной неидемпотентной арифметики нечетких треугольных числе и идемпотентных операций арифметических вычислений, базирующихся на алгебре двухкомпонентных треугольных нечетких чисел. Рассмотрены числовые оценки результатов применения рассматриваемых подходов.
Ключевые слова: тонкие цилиндрические оболочки, эффекты потери устойчивости, продольное сжатие, гидростатическое давление, неконтрастные экзогенные параметры, оценки критических усилий, нечетко-множественная методика, алгебра треугольных нечетких чисел, алгебра двухкомпонентных треугольных чисел.
Введение и цели исследования. Проблемы исследования математических моделей потери устойчивости тонкостенных пластин и оболочек при различных видах силовых воздействий составляют один из важнейших и имеющих длительную историю изучения тематических разделов в прикладной механике деформируемого твердого тела и строительной механике [1-6]. При этом к числу ведущих факторов, обуславливающих необходимость и актуальность дальнейшей разработки подходов к синтезу и анализу моделей устойчивости тонкостенных конструкций, относится проблема учета в расчетных методиках эффектов неконтрастности исходных физико-механических и геометрических параметров рассматриваемых моделей, в том числе наличия погрешностей для экспериментальных значений параметров конструкционных материалов, разбросов для конструктивных характеристик, обусловленных технологическими допусками, отклонениями от проектных показателей при изготовлении и в режимах эксплуатации [1-6].
Как отмечалось в работах [7-14], учет перечисленных факторов неопределенности в моделях устойчивости тонкостенных конструкций может быть осуществлен на основе применения методов вероятностно-стохастического анализа [15] и методов теории нечетких множеств [16-21]. В частности, нечетко-множественные методики исследования ряда моделей устойчивости тонких стержней, изотропных цилиндрических, сферических, сфероидальных и тороидальных оболочек, а также результаты их применения в вычислительных экспериментах, представлены в работах [7-14].
Отмечается однако [11-17], что использование базирующейся на эвристическом принципе обобщения Л. Заде стандартной неидемпотентной арифметики нечетких величин в процессе расчета показателей влияния неконтрастности параметров математических моделей устойчивости тонкостенных конструкций с применением нечетко-множественного подхода, ведет к ускоренному нарастанию меры неопределенности в результатах вычислений. Соответственно, при этом в результате анализа формируются «осторожные», «пессимистические» оценки для значений вычисляемых нечетких эндогенных параметров моделей с предельно широкими прогнозируемыми разбросами и, соответственно, с рекомендациями о повышенных запасах прочности для рассматриваемых конструкционных элементов.
Анализ ряда моделей устойчивости тонких цилиндрических оболочек на основе фаззификации неконтрастных исходных параметров с переходом к их представлениям в форме нормальных трапецеидальных нечетких интервалов и применения стандартной неидемпотентной арифметики нечетких интервалов представлен в работах [7, 13, 14].
В контексте вышеизложенного, представляет интерес исследование возможностей применения при нечетко-множественном анализе факторов неопределенности для моделей деформирования тонкостенных конструкций альтернативных модифицированных версий аппарата нечетких вычислений с целью снижения уровней разбросов в значениях эндогенных параметров моделирования. К числу таких подходов принадлежит использование в расчетах арифметики треугольных нечетких чисел, базирующейся на алгебре двухкомпонентных чисел [22].
Краткая характеристика применения такого подхода при исследовании модели устойчивости тонкой сферической оболочки при действии внешнего гидростатического давления представлена в работе [23].
Целю исследований, представляемых в настоящей работе, является распространение методики использования идемпотентной арифметики треугольных нечетких чисел, базирующейся на алгебре двухкомпонентных чисел, в расчетных алгоритмах анализа моделей устойчивости цилиндрических оболочек с неконтрастными экзогенными геометрическим и физико-механическими параметрами, сопоставительный анализ применения двух версий аппарата арифметики нечетких треугольных чисел, включая сравнение результатов вычислительных экспериментов.
1. Получение нечетко-множественных расчетных соотношений для модели устойчивости цилиндрической оболочки при действии осевых сжимающих усилий. Модель определения критического сжимающего осевого усилия [24], приложенного к изотропной круговой тонкой цилиндрической оболочке из материала с модулем Юнга E, коэффициентом Пуассона v, имеющей радиус R, толщину стенки h и длину L, которое в детерминистической версии модели в случае безмоментного докритического состояния для формы потери устойчивости с числом полуволн m в продольном направлении и числом волн n в окружном направлении применительно к шарнирно опертой по краям оболочке описывается выражением
q*mnl = Eh \{\m/{\2m + n2))4(X2m + (2 + v)n2)+
(12(1 - v2))"1 (h/Rf((\2m + n2)2/Am)j = (1)
= FH(h, R, L, E, v, m, n),\m = mnRL-1, а применительно закрепленной по краям оболочке - выражением
q*mn2 = Eh [(2Am/(4Am + n2))4(4Am + (2 + v)n2)+ +(12(1 - v2))-1 (h/R)2((4A2m + 2Amn2 + (3/4)n4)/)&)] = (2)
= FR(h, R, L, E, v, m, n).
Концепция нечетко-множественного подхода к учету неопределенности, заключающейся в существовании ошибок разброса для ряда экзогенных физико-механических и геометрических параметров рассматриваемой модели, на первом этапе предполагает фаззификацию неконтрастных параметров h, R, E, v переход к их представлениям в виде треугольных нечетких чисел h, R, E, v с кортежами опорных точек и разложениями по множествам а-уровня
h = (hi,h2,h3), h= (J [ha,К],
«е[о,1]
ha = (1 — a)h\ + ah2, ha = ah2 + (1 — a)hs
R = (El, R2, -йз), R= [J [Ha,Ra],
«€[0,1]
Ra = (1 - a)R\ + aR2, Ra = olR2 + (1 - a)R3]
E = (E1,E2,E3), E= U [Ea,Ea],
ae[0,1]
Ea = (1 -a)Ei +aE2, Ea = aE2 + (1 - a)E3]
V = {vi,V2,V:i), V = (J [Ea^a], ae[0,1]
ua = (1 - a)v 1 + au2, Va = au2 + (1 - a)u3.
Параметр длины оболочки полагается точной величиной, задаваемой без ошибок возмущения.
Алгоритм анализа моделей устойчивости цилиндрических оболочек Далее, с учетом свойств
дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/дЬ > 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/дЯ < 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/дЕ > 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/д^ > 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/дЬ > 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/сШ < 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, п)/дЕ > 0, дЕи(Ь, Е, Ь, Е, V, т, n)/дv > 0,
для представляемых треугольными нечеткими числами и описываемых на основе применения модифицированного принципа обобщения в форме разложений по множествам а - срезов эндогенных параметров (тп1*, (тп2*
ЧтЩ* = У [Я*тп]а^шпза] (5)
«€[0,1]
йгпХа = рн(Ьа,Еа,Е,Еа,иа,т,п), д*тп1а = ^яОа, Ь, Еа, 1/а, т, п) (6)
Я*тп2а = РкШа,Еа,Е,Еа,1±а,гп,п), д11п2а = Рн(Ка,В!а,Ь,Еа,йа,тп,п) (7)
кортежи опорных значений могут быть найдены в результате стандартных арифметических нечетко-множественных вычислений с заменой в (1), (2) параметров модели Ь, Е, Ь, Е, V на Ь, К, L, Е,
Ятп1 = (QlBn1, (2тп1, Q3mn1),
Ч1тп1 = ЕЬ [(А1т/(\23т + п2))\\\т + (2 + Vl)n2) +
+ (12(1 - V2,))-1 (Ь1/Ез)2 (Ат + п2)2/А2т)], (2тп1 = Е2Ь2 [(А2 /(А2т + п2))4(А2т + (2 + V2)n2)+ (8)
+(12(1 - V2))-1 (Ь2/Е2)2((А2т + п2)2/А2т)],
(3тп1 = Е3Ь3 [(А3
/Ат + п2))4(А3т + (2 + Vз)n2) + +(12(1 - V2))-1 (Ьз/Е1)2((А2т + п2)2/А2т)];
(9)
Чтп2 = ((1тп2, Q2mn2, (3тп2), (1тп2 = ЕЬ [(2А1т/(4А3т + п2))4 (Ат + (2 + Vl)n2) + +(12(1 - V2))-1 (Ь1/Е3)2((4А2т + 2А\тп2 + (3/4)п4)/А2^)];
(2тп2 = Е2Ь2 [(2А2т / (Ат + п2))4 (Ат + (2 + V2)n2) +
+(12(1 - V2))-1 (Ь2/Е2)2((4А22т + 2А22тп2 + (3/4)п4)/А2т)];
(3тп2 = Е3Ь3 [(2А3т/ (Ат + п2))4 (Ат + (2 + Vз)n2) + + (12(1 - V2))-1 (Ь3/Е1 )2((4А33т + 2А23тп2 + (3/4)п4)/А\т)]; Ат = тпЕз Ь-1.
При использовании в вычислениях (¡^п1, (]*тп2 правил идемпотентной арифметики, основывающейся на алгебре двухкомпонентных чисел [22], неконтрастные экзогенные параметры модели Ь, Е, Е, V описываются треугольными
нечеткими числами с кортежами реперных значений Н = (Н1,Н,Нз), К = (К1,К2,Кз), Е = (Е1,Е2,Ез), V = ), и интерпретируются как двух-
компонентные векторы из параметрических зависимостей
Н = {(Н1 + (Н2 - Н1)а), (Нз + (Нз - Н2)а)} а е [0, 1], К = {(К1 + (К2 - К1)а), (Кз + (Кз - К2)а)} а е [0, 1], Е = {(Е1 + (Е2 - Е1)а), (Ез + (Ез - Е2)а)} а е [0, 1], V = {V + V - ^1)а), (уз + V - ^2)а)} а е [0, 1].
(10)
В свою очередь, идемпотентные арифметические операции для пар треугольных нечетких чисел фJ = (Фл, ФJ2, Ф<3 = ( ФQ1, ФQ2, Ф^з) интерпретируе-
мых двухкомпонентными векторами параметрических зависимостей
ФJ = {(Фл + (ФJ2 - Фл)а), (ФJз + (ФJ2 - ФJз)а)} а е [0, 1],
(11)
Ф< = {(ф<1 + (ф<2 - Ф<1)а), (Ф<з + (Ф<2 - Ф<з)а)} а е [0, 1], выполняются по правилу
ФJ * Ф< = (ФJ 1 * Ф<1, ФJ2 * Ф<2, ФJз * Ф<з), (12)
где символ * соответствует произвольной операции стандартной арифметики действительных чисел. Этот результат, в свою очередь, имеет интерпретацию в виде двухкомпонентного вектора
ФJ * Ф< = {((ФJ 1 * Ф<1) + (^2 * Ф<2) - (ФJ 1 * Ф<1))а),
(13)
((ФJз * Ф<з) - ((ФJ2 * Ф<2) - (ФJз * Ф<з))а)}.
Таким образом, результатом анализа рассматриваемой модели в варианте применения аппарата идемпотентной арифметики треугольных нечетких чисел являются представления вида
фтп1 = {Я1тп1 + (Я2тп1 - Qlmn1)а, Язтп1 + (Я2тп1 - Язтп1)a}, (14)
(15)
фгтп2 = {Ц1тп2 + (^2тп2 - qlmn2)а, Цзтп2 + (Ц2тп2 - Цзтп2)а}
а е [0, 1],
в которых
Я3Бп1 = Е3 Н, [(Л,т/(Л2т + П2))4(Х]т + (2 + +
+ (12(1 - и2))-1Н/К,)2((Л2т + П2)2/Л2т)], Я3тп2 = Е3 Н, [(2Л^т/(4Л2т + П2))4(4Л2т + (2 + V,)п2)+ (16)
+ (12(1 - V2))-1 (Н,/К,)2((4Л2т + 2Л2тП2 + (3/4)п4)/Л2т)]; Хзт = тжЩЬ~1 (] = 1, 3).
Соотношения (5) - (16) являются основой для вычислительного алгоритма реализации изложенных версий методики анализа рассматриваемых моделей.
2. Нечетко-множественные расчетные соотношения для моделей устойчивости цилиндрических оболочек при нагружении сжимающими торцевыми усилиями и внешним гидростатическим давлением. В модели следующего анализируемого типа дается описание эффектов потери устойчивости тонкостенной изотропной цилиндрической оболочки с шарнирно-опертыми краями, на которую действуют приложенные к торцевым поверхностям равномерно распределенные сжимающие усилия интенсивности ( и внешнее гидростатическое давление р. Оболочка находится в условиях безмоментного начального состояния, имеет радиус Е, длину I, толщину Ь, изгибную жесткость О, изготовлена из материала с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V. В работе [24] Для случая осесимметричных форм потери устойчивости рассматриваемой оболочки с числом полуволн т в продольном направлении под действием осевых сжимающих нагружений величина критического осевого усилия [24] описывается соотношением
Получаемое в рамках модели больших перемещений критическое значение внешнего гидростатического давления для цилиндрической оболочки с введенными выше характеристиками имеет представление [25]
в котором к - параметр граничных условий на краях оболочки, принимающий значение к = 0.25 для случая шарнирно опертых краев и значение к = 0.5 для случая жестко закрепленных краев.
Нахождение нечетко-множественных представлений для величин критических усилий на основе соотношений (17)-(19) в предположении о неконтрастности параметров Ь, Е, Е, V для модели (17) и параметров Ь, I, Е, V для модели (18) также реализуется путем введения описаний неопределенных параметров нормальными треугольными нечеткими числами вида (3) и последующего применения двух версий аппарата нечетких вычислений. При этом учитываются и получаемые оценки
(4*1 = Ет1(Е, V, Е, Ь, I, т) = Е[Ь3(тп/1)2(12(1 - V2))-1 + ЬЕ-2(тп/1)-2}.
(17)
Р2 = Е2(Е, V, Е, Ь, I, к) = (2/3)(Е(1 - V2)-1)(Ь/Е)3(4к(пЕ/(21))2 + 21/2 + 1)
(18)
дЕт1(Е, V, Е, Ь, I, т)/дЕ > 0, дЕт1 (Е, V, Е, Ь, I, т)/дЬ > 0,
дЕт1 (Е, V, Е, Ь, I, т)/дЕ < 0, дЕт1(Е, V, Е, Ь, I, m)/дv > 0;
дЕ2 (Е, V, Е, Ь, I, к)/дЕ > 0, дЕ2 (Е, V, Е, Ь, I, к)/дЬ > 0,
дЕ2 (Е, V, Е, Ь, I, k)/дv > 0, дЕ2 (Е, V, Е, Ь, I, к)/д1 < 0.
(19)
Соответственно, в рамках применения стандартной модификации неидемпотент-ной арифметики нечетких треугольных чисел можно получить:
Ят1 = и \9*т1 а'^пг!"]'
«е[0Д] (20)
Сп« = Рт1(Ка,Ка> I, ш), (¡т1а = (Еа, Т7а, Ка, На, I, ГП)]
Р2= У ^2«' ^«К
«€[0,1] (21)
Р1а = ЫЖа, Ка, Я, Ьа, 1а, к), %а = Е2(Еа, Т7а, К, Ъа, 1_а, к)]
или
** / ** ** ** \
Ят1 = (Я1т1, Я2т1, %т1),
Я*1*т1 = Е1[Н?(т^//)2(12(1 - V!))-1 + Н1К-2(т^/Г2], , Л
т з (22) Я*2*т1 = Е2[Н2(т^//)2(12(1 - V22))-1 + Н2К-2(тп/1)-2],
Ят = Ез[Нз(тп/02(12(1 - V,2))-1 + НзК-2(тп/1)-2];
Р*2 = (Pl2, P*22, P*32), Р12 = (2/3)(Е1 (1 - Vз2)-1 )(Н1 /К)з(4к(пК/(21з))2 + 21/2 + 1),
(23)
р22 = (2/3)(Е2(1 - v!)—1 )(Н2/К)з(4к(пК/(212))2 + 21/2 + 1), рз2 = (2/3)(Ез(1 - VI)-1 )(Нз/К)з(4к(пК/(211 ))2 + 21/2 + 1).
Результатом анализа рассматриваемой модели, представляемой соотношениями (17), (18) в варианте применения аппарата идемпотентной арифметики треугольных нечетких чисел, соответственно являются представления вида
фт1 = {я 1т1 +(я*т1- я 1т1)а, + - язт1)а}, (24)
р2 = {Р12 + ( р*22 - Pl2)а, Рз2 + (р*22 - P*32)а}, (25)
где
я2*т1 = Е,[Н?(тп/02(12(1 - ^))-1 + Н,К~2(тп/1)-2], (26)
р22 = (2/3)(Е,(1 - ^)-1)(Н,/К)з(4к(пК/(21,))2 + 21/2 + 1). (27)
Соотношения (20) - (27) являются основой для вычислительного алгоритма реализации вышеописанных методик.
3. Результаты и сопоставительный анализ данных вычислительных экспериментов. С применением разработанного для численной реализации вышеописанных методик программного приложения выполнен ряд вычислительных экспериментов, в которых рассматривается тонкая изотропная цилиндрическая оболочка с неконтрастными параметрами, интерпретируемыми как нечеткие треугольные числа. Параметры для расчетных моделей (5) - (16), (20), (22), (24), (26) заданы в виде
Е = (190с*, 198с*, 208с*), V = ( 0.3, 0.31, 0.315), Е = (1.451*, 1.501*, 1.5311*), Ь = (0.00281*, 0.0031*, 0.00311*), (28) I = 10.01*, с* = 1[ГПа], I* = 1 [м]; параметры для расчетной модели (21), (23), (25), (27) имеют значения
Е = 1.51*, Е = (190с*, 198с*, 208с*), V = ( 0.3, 0.31, 0.315),
(29)
I = (9.951*, 10.01*, 10.021*), Ь = (0.00281*, 0.0031*, 0.00311*).
Для заданных в указанном виде неконтрастных экзогенных параметров рассматриваемых моделей, а также набора значений детерминированных характеристик граничных условий и форм потери устойчивости рассматриваемой оболочечной конструкции, реализован цикл расчетов профилей функций принадлежности для экзогенных параметров критических усилий, определяемых с применением вышеописанных альтернативных вариантов аппарата нечетко-множественных вычислений. Априорным свойством представляемых результатов является совпадение модальных значений для треугольных нечетких чисел, описывающих эндогенные параметры критических усилий и получаемых как при использовании стандартного аппарата арифметики нечетких треугольных чисел, так и версии идемпотентных арифметических операций.
Результаты вычислительных экспериментов для модели (1) с расчетными соотношениями (5) - (16) в случае варьирования целочисленных параметров формы потери устойчивости приведены в таблице 1.
На основе их анализа можно сделать заключение о том, для ряда сочетаний параметров формы (в частности, для п = 0, т = 1,4; п = 1, т = 2,3; и т.д.) оценки разбросов значений критических усилий в пределах точности вычислений не отличаются при использовании обоих альтернативных вариантов аппарата нечетко-множественных вычислений. В доминирующем числе случаев интервалы разбросов, получаемые в случае применения версии идемпотентных арифметических операций, являются более узкими в сравнении с интервалами, определяемыми с применением стандартной арифметики треугольных нечетких чисел.
Как следует из таблицы, низшее значение критического усилия в рассматриваемых случаях отвечает форме потери устойчивости п=3, т=1. В этом случае применение алгебры двухкомпонентных треугольных нечетких чисел влечет
Таблица 1.
Характеристики нечетко-множественных эндогенных параметров для модели (1)
Параметры формы Модальное значение, 1СГБ Па Разбросы значений критического усилия, 10 5 Па
Стандартные операции Идемпотентные операции
П1 п (¡2тп1 С[1тп1 <J3m.nl С[1тп1 <J3m.nl
1 0 26748.8 25637.5 27872.4 25637.5 27872.4
2 0 6687.20 6409.38 6968.0 6409.38 6968.00
3 0 2972.09 2848.62 3096.94 2972.09 2848.62
4 0 1671.81 1602.35 1742.04 1602.35 1742.04
1 1 332.557 270.159 382.253 270.20 382.251
2 1 1179.06 1022.87 1301.95 1022.87 1301.95
3 1 1264.46 1143.65 1362.11 1143.65 1362.11
4 1 1023.08 946.204 1087.90 946.205 1087.90
1 2 8.89825 7.01536 10.4284 7.03133 10.4067
2 2 83.1946 67.5926 95.6302 67.5979 95.6228
3 2 205.984 173.285 231.735 173.288 231.730
4 2 294.799 255.741 325.529 255.744 325.525
1 3 1.68987 1.33211 2.00542 1.40857 1.90196
2 3 10.8682 8.64108 12.6704 8.66287 12.6405
3 3 37.0818 30.1239 42.6314 30.1357 42.6148
4 3 73.6108 61.2161 83.4036 61.2246 83.3914
1 4 27.5310 21.8563 32.9039 24.2253 29.7052
2 4 28.8396 22.7516 33.9843 23.3902 33.1148
3 4 91.6321 73.1823 106.573 73.5022 106.132
4 4 21.0196 17.0699 24.1756 17.0909 24.1461
уменьшение ширины интервала прогнозируемых разбросов на 27%. Профили функций принадлежности для нечетко-множественных характеристик критических усилий (Цз! применительно к этому случаю, рассчитываемые с применением стандартных и идемпотентных нечетко-множественных арифметических операций, соответственно приведены на рисунках 1,2.
Для случая оболочки с закрепленными краями - модель (2) с расчетными соотношениями нечетко-множественных обобщений (5), (7), (9), (15), (16), низшее значение критического усилия в рассматриваемых случаях отвечает форме потери устойчивости п=4, т=1, и применение в этом случае алгебры двухкомпо-нентных треугольных нечетких чисел приводит к уменьшению ширины интервала прогнозируемых разбросов на 26%. Модальное значение д \42 в данном случае составляет 4.146 ■ 105 Па. Соответственно для этой формы потери устойчивости на рисунке 3 и рисунке 4 представлены профили функций принадлежности для нечетко-множественных характеристик критических усилий сЦ^, рассчитанные в рамках применения стандартных и идемпотентных нечетко-множественных арифметических операций.
И^Сйи)
Рис. 1. Функция принадлежности для (Ц-ц, получаемая с использованием стандартной арифметики нечетких треугольных чисел
Рис. 2. Функция принадлежности для (Ц-ц, получаемая с использованием идемпотентной арифметики нечетких треугольных чисел
Рис. 3. Функция принадлежности для , получаемая с использованием стандартной арифметики нечетких треугольных чисел
Применительно к модели устойчивости цилиндрической оболочки с неконтрастными параметрами (29), находящейся под действием внешнего гидростатического давления, описываемые расчетными соотношениями (21), (23), (25), (27),
Рис. 4. Функция принадлежности для <7142, получаемая с использованием идемпотентной арифметики нечетких треугольных чисел
нечетко-множественные характеристики интенсивности критического внешнего гидростатического давления при задании краевого условия шарнирного опира-ния краев имеют визуально идентичные функции принадлежности при использования в расчетах стандартной либо идемпотентной арифметики треугольных нечетких чисел, а их изображение дано на рисунке 5. Аналогичная картина сходных профилей функций принадлежности представлена на рисунке 6 для случая задания на краях оболочки граничных условий жесткого закрепления. Для обо-
I О
0 8 0,6 0.4 0.2
2400 2600 2В00 3000 3200 .....
Рис. 5. Функция принадлежности р1 для оболочки с шарнирно опертыми краями.
лочки с опертыми краями модальное значение р2 составляет = 2885.31 Па, а для оболочки с закрепленными краями = 2950.17 Па.
Уменьшение ширины интервалов прогнозируемых разбросов при применении в расчетах алгебры двухкомпонентных треугольных нечетких чисел в сравнении с использованием стандартной алгебры треугольных нечетких чисел, составляет в рассматриваемом случае лишь 0.3% для оболочки с шарнирно опертыми краями и менее 0.1% - для оболочки с закрепленными краями.
Таким образом, в случае модели потери устойчивости под действием гидростатического давления устанавливаемые в численных экспериментах коррекции
Рис. 6. Функция принадлежности p для оболочки с закрепленными краями.
расчетных результатов, обусловленные применением алгебры двухкомпонент-ных треугольных нечетких чисел вместо стандартной неидемпотентной арифметики треугольных нечетких чисел, крайне малы.
Заключение. В результате проведенных исследований дано описание двух вариантов нечетко-множественной методики анализа некоторых моделей потери устойчивости изотропных тонкостенных цилиндрических упругих оболочек с неконтрастными физико-механическим и геометрическими параметрами, неопределенность которых обусловлена погрешностями экспериментальных замеров, технологическими допусками, отклонениями от проектных показателей при изготовлении и эксплуатации. Представленные альтернативные подходы связаны с применением в расчетах стандартной арифметики треугольных нечетких чисел и арифметики, основанной на алгебре двухкомпонентных чисел. Получены теоретические расчетные соотношения, описывающие нечетко-множественные эндогенные параметры критических усилий применительно к ряду рассматриваемых моделей при различных вариантах граничных условий для рассматриваемых конструкций, и осуществлены вычислительные эксперименты, позволяющие дать сопоставительные оценки для численных результатах применения вышеуказанных подходов.
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. - М.: Наука, 1976.
- 984 с.
2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. - М.: Наука, 1978. - 312 с.
3. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов. - М.: Наука, 1978.
- 359 с.
4. Croll J.G.A. Nonlinear Dynamics / J.G.A. Croll // Nonlinear Dynamics. - Vol. 43. - 2006. -P. 17-28.
5. Греков В.Ф. Об устойчивости тонкостенных цилиндров / Греков В.Ф., Пьянков А.А., Тодчук В.А. // Компрессорное и энергетическое машиностроение. - 2013. - №3(32). - С. 10-12.
6. Савельев Л.М. Устойчивость конструкций. Конспект лекций[Электронный ресурс] // -Самара: СГАУ, 2013. -43 с. Режим доступа: http://repo.ssau.ru/bitstream/Uchebnye-posobi-
7
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
1б.
16.
17.
18.
19
20
21
22
44
ya/Ustoichivost-konstrukcii-Elektronnyi-resurs-elektron-konspekt-lekcii-napravlenie-15160068-Priklad-mehanika-magist-progr-Prochnost-konstrukcii-letat-apparatov.pdf. - (Дата обращения 01.10.2021).
Мутин Д.И. Учет разброса значений экзогенных параметров в модели устойчивости тонкой цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии / Д.И. Мутин, С.В. Сторожев, С.Б. Номбре // Донецкие чтения 2020: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы V Международной научной конференции (Донецк, 17-18 ноября 2020 г.). - Том 1: Физико-математические и технические науки. Часть 1. -Донецк: Изд-во ДонНУ, 2020. - С. 77-79.
Сторожев С.В. Методы теории нечетких множеств в задачах устойчивости тонкостенных конструкций с неопределенными параметрами / С.В. Сторожев, С.Б. Номбре // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела. Материалы IX Международного научного симпозиума (Тверь, 15-17 декабря 2020 г.). -Тверь: Тверской государственный университет, 2021. - С. 88-92.
Павлыш В.Н. Нечетко-множественный анализ математической модели устойчивости тороидальных оболочек / Павлыш В.Н., С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2021. - № 1(74) - С. 65-73.
Павлыш В.Н. Исследование нечетких моделей устойчивости и резонансных колебаний замкнутых сферических и эллипсоидальных оболочек / Павлыш В.Н., С.В. Сторожев, С.Б. Номбре // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2020. - № 3(72) - С. 3242.
Павлыш В.Н. Влияние разбросов значений исходных параметров в моделях изгибных форм потери устойчивости сжимаемых прямых стержней: нечетко-множественный подход / Павлыш В.Н., С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2020.
- № 3(72) - С. 43-56.
Павлыш В.Н. Исследование нечетких моделей устойчивости и резонансных колебаний замкнутых сферических и эллипсоидальных оболочек / Павлыш В.Н., С.В. Сторожев, С.Б. Номбре // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2020. - № 3(72) - С. 3242.
Выскуб В.Г. Оценки влияния разброса параметров в прикладных моделях устойчивости цилиндрических оболочек / В.Г. Выскуб, Д.И. Мутин, С.В. Сторожев, Зыонг Минь Хай // Механика твердого тела. - 2020. - Вып. 50. - С. 133-144.
Павлыш В.Н. Математическое моделирование в задачах устойчивости на основе теории нечетко-множественного анализа / Павлыш В.Н., С.В. Сторожев // Проблемы искусственного интеллекта. Раздел 2. Математика. - 2021. - №2(21) - С. 44-51. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. / В.А. Ломакин. - М.: ЛЕНАНД, 2014. - 144 с.
Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: Из-во Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.
Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечеткими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House, 2019. - 216 с.
Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B.Bede. - Berlin Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - 276 p.
Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Appli-cation / M. Hanss.
- Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.
Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu,P. Grzegorzew-ski // Fuzzy Sets Syst. - 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.
Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka // Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.
Шевляков А.О. Алгебраические операции с нечеткими треугольными числами с исполь-
зованием алгебры двухкомпонентных чисел / А.О. Шевляков // Вестник ВГУ, Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2017. - №1. - С. 149-153.
23. Павлыш В.Н. Сопоставление результатов применения неидемпотентной арифметики и арифметики двухкомпонентных нечетких треугольных чисел для учета неопределенности в модели устойчивости тонких сферических оболочек / Павлыш В.Н., С.В. Сторожев // Донецкие чтения 2021: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы VI Международной научной конференции (Донецк, 26-27 октября 2021г.) - Том 1: Механико-математические, компьютерные и химические науки, управление. -Донецк: Изд-во ДонНУ, 2021. - С. 60-63.
24. Меньшенин А.А. Об устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки с круговыми вырезами с ребрами жесткости при ее осевом сжатии [Электронный ресурс] / А.А. Меньшенин // Научный электронный архив академии естествознания. Режим доступа: http://econf.rae.ru/article/6968 - (Дата обращения 07.10.2020).
25. Ванько В.И. Цилиндрическая оболочка под внешним давлением: неклассическое решение задачи о больших перемещениях механика деформируемого твердого тела / В.И. Ванько // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4(4). -С. 1413-1414.
V.E. Bolnokin, V.N. Pavlysh, S.V. Storozhev
Algorithm for the analysis of stability models of cylindrical shells with non-contrast parameters based on the use of the algebra of two-component triangular fuzzy numbers.
A description and results of application of two variants of a fuzzy-set methodology for theoretical study of models of buckling of thin-walled isotropic cylindrical shells of finite length with non-contrasting physical-mechanical and geometric parameters with scattering error values under the action of longitudinal compressive forces applied to the edges and external hydrostatic pressure are presented. The alternative approaches considered and applied in parallel are to use the mathematical apparatus of the standard non idempotent arithmetic of fuzzy triangular numbers and idempotent arithmetic operations based on the algebra of two-component triangular fuzzy numbers. Numerical estimates of the results of applying the considered approaches are considered.
Keywords: thin cylindrical shells, buckling effects, longitudinal compression, hydrostatic pressure, non-contrast exogenous parameters, estimates of critical efforts, fuzzy-multiple technique, algebra of triangular fuzzy numbers, algebra of two-component triangular numbers.
ФГБУН "Ин-т машиноведения им. А.А. Благонравова РАН", Получено 01.11.2021
Москва
ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Донецк
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", Макеевка
Mechanical Engineering Research Institute of the Russian
Academy of Sciences, Moscow
Donetsk National Technical University, Donetsk
Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture,
Makeevka
