CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (81) / 2022.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 51-74:510.22:519.6:539.3
doi:10.24412/0136-4545-2022-4-63-76
EDN:TOGBNE
©2022. С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хо-анг
АНАЛИЗ НЕКОНТРАСТНОЙ МОДЕЛИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
Представлены разработка и отдельные результаты применения нечетко-множественного численно-аналитического алгоритма учета факторов параметрической неопределенности в задании значений исходных физико-механических и геометрических характеристик для модели двумерного осесимметричного напряженно-деформированного состояния протяженного полого толстостенного изотропного цилиндра при отсутствии силовых воздействий и подержании разности температур на его внешней и внутренней граничных поверхностях. Излагаемый подход базируется на использовании аналитических соотношений, описывающих решение рассматриваемой задачи в детерминистической версии без учета параметрической неопределенности, и переходе в этих соотношениях к нечетко-множественным аргументам с применением модифицированного альфа-уровневого варианта эвристического принципа расширения. Рассматриваются и анализируются результаты отдельных вычислительных экспериментов по применению разработанного алгоритма.
Ключевые слова: протяженный полый цилиндр, линейно-упругий изотропный материал, двумерное осесимметричное деформирование, термомеханическое напряженное состояние, теоретический численно-аналитический алгоритм, учет неконтрастности параметров, метод нечетких множеств, эвристический принцип обобщения.
Введение и цель исследования. Разработка и апробация новых усовершенствованных алгоритмизированных методов численно-аналитического исследования моделей термоупругого деформирования материалов, конструкций и сооружений представляет собой одну из современных актуальных задач в области фундаментальных исследований по проблемам механико-математического моделирования с широким кругом важных приложений в современных высокотехнологичных научно-промышленных отраслях - высокопотенциальной энергетике, электронике, аэрокосмической индустрии [1-5]. Применительно ко многим сферам приложений важными для анализа являются модели термонапряженного состояния цилиндрических тел [1, 6-8]. При этом, степень эффективности практического применения создаваемых методов в проектных расчетах параметров конструкций, сооружений и технологических процессов, в самой вы-
сокой мере обусловлена возможностями учета этими методами факторов существенной параметрической неопределенности в рассматриваемых моделях термоупругости, в том числе данных о разбросах экспериментальных замеров и технологических допусках для значений неконтрастных исходных физико-механических и геометрических параметров моделирования. С учетом необходимости использования в соответствующих расчетных алгоритмах нечеткой информации, не имеющей во многих случаях строгой статистической природы, включая данные, получаемые на основе субъективных экспертных оценок, одним из возможных подходов к учету параметрической неопределенности в моделях термоупругого деформирования, наряду с методами вероятностно-стохастического анализа, является применение методов теории нечетких множеств [1, 9-14].
В этом контексте, целью представляемого в данной работе исследования является разработка и апробация специализированного численно-аналитического алгоритма нечетко-множественного расчетного анализа модели осесимметрич-ного статического термонапряженного состояния протяженного полого цилиндра. Концептуальная схема реализуемого подхода включает фаззификацию неконтрастной информации об имеющих разбросы значений исходных параметрах [1, 9, 10] с введением их описаний в виде нормальных нечетких чисел треугольного или гауссова типа, либо в виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов [1, 9], а также последующий переход к нечетко-множественным аргументам в расчетных соотношениях детерминистического варианта соответствующей модели температурного деформирования [5]. Получение нечетко-множественных расчетных соотношений для анализируемых характеристик деформационных процессов осуществляется путем поэтапного фрагментированного использования аппарата арифметики нечетких чисел [1, 9, 10] и модифицированной альфа-уровневой версии эвристического принципа расширения [1, 9-14].
1. Соотношения детерминистической версии рассматриваемой модели. Вариант постановки и решения детерминистической версии рассматриваемой задачи представлен, в частности, в работе [5]. Рассматриваемым объектом является протяженный полый изотропный цилиндр, находящийся в состоянии осесимметричной плоской температурной деформации и занимающий в цилиндрической координатной системе ОтОх область
Внутренняя и внешняя поверхности цилиндра т = а и т = Ь свободны от внешних силовых воздействий
и на них поддерживаются заданные постоянные значения температуры §(т,О, х)
V = {a < r < b, в Е [0,2п], < z < œ}.
(1)
arr(a, в, z) = 0, are(a, в, z) = 0, arz(a, в, z) = 0, arr(b, в, z) = 0, aro(b, в, z) = 0, arz(b, в, z) = 0,
(2)
= 0q, 0(b^,z) = 0.
(3)
Решение задачи об осесимметричном температурном напряженном состоянии рассматриваемого цилиндра в детерминистической постановке описывается соотношениями [5]
агг(т, 9, х) = ¥гг(т, а, Ь, X, 1, до, а®) = = -ш^МНЬ/т)! Ы(Ь/а) - (Ь2/т2 - 1)/(Ь2/а2 - 1)],
авв(т,9,х) = ¥вв(т,а,Ь,Х,1, $о, а®) = = -ш^МНЬ/т)/ 1п(Ь/а) + (Ь2/т2 + 1)/(Ь2/а2 - 1)], (4)
&хх(т, 9, х) = ¥гг(т,а,Ь,Х,1, $о, а®) = = -ш1^о[(2\п(Ь/т) - X/(2(Х +1)))/ 1п(Ь/а) + (Х/(Х +1))/(Ь2/а2 - 1)], $(т, 9, х) = ¥®(т, а, Ь, 0О) = МНЬ/т)/ 1п(Ь/а)),
в которых
т = ч/(X + 21), 7 = (3Х + 21)ав, (5)
X и 1 - параметры Ламе материала цилиндра, а® - коэффициент его линейного температурного расширения.
2. Получение расчетных соотношений нечетко-множественного алгоритма учета неконтрастности параметров. В рамках реализации процедуры перехода к нечетко-множественным аргументам в функциональных расчетных соотношениях (3)-(5), для неконтрастных исходных физико-механических и геометрических параметров цилиндра а, Ь, X, 1, $о, а®, а также для описываемых нормальными нечеткими множествами эндогенных параметров исследуемой модели агг, авв, Ххх, вводятся представления в виде разложений по множествам а-уровней
а= и [аа,аа], Ъ = У [Ьа,Ьа],
«е[о,1] «е[о,1]
А= У [АаДа], £= У ¡ёаМу (6)
«е[о,1] «е[о,1]
= У Шоа^Оа], а19 = У [а#а,а19а}; «е[о,1] «е[о,1]
О'гг = У \ilrrai агга\, &вв = У «е[о,1] «е[о,1]
_ (7)
а€ [о, 1] ае[о,1]
В представлениях (6) в случае описания исходных параметров а, Ь, х, X, $0, а® нормальными треугольными нечеткими числами с кортежами реперных значений (а1, а2, а3), (Ь1, Ь2, Ь3), ...,(а®1, а®2, а®3) границы интервалов а-уровней
имеют выражения
^ = (1 — а) а 1 + аа2, аа = (1 — а)аз + аа2\ Ьа = (1 - а)Ь\ + аЬ2, Ъа = (1 - а)Ь3 + аЬ2\ • • •; (8)
Й^а = (1 - + Ща = (1 - + аа^2',
в случае описания а, Ь, Л, Д, §0, а$ нормальными трапецеидальными нечеткими интервалами с кортежами (а1, а2, а3, а4), (Ь1, Ь2, Ь3, Ь4), ..., (а$1, а$2, а$3, а$4) реперных значений
аа = {1 — ск)а1 + аа2, аа = (1 — а)а4 + сказ; Ьа = (1 - а)Ь\ + а62, 6« = (1 - а)&4 + а63;...; (9)
= (1 — + аа$ 2, а$а = (1 — а)а$ 4 + аа$ 3;
а в случае описания а, Ь, Л, Д, §0, Л? несимметричными нормальными нечеткими гауссовыми числами с параметрами (т*а, о*1а, о*га), (т*ъ, &*гь), •••, , 0*1$, о„&)
аа = ты - а^а(\па~2)1/2, аа = ты + а„а(1па~2)1/2-, Ьа = т*ь-а*1ь(Ыа~2)1/2, Ъа = т*ъ + а„ь(Ы а~2)1/2;...; (10)
Ша = т*а-& - о-*г«^(1по;"2)1/2, Ща = т*а{> + а„а^(1па~2)1/2.
В процессе применения модифицированного принципа обобщения для получения компонентов представлений (7) реализуется исследование свойств знакоопределенности частных производных от функций Ггг(т, а, Ь, X, д, а$, §0), F$$(r, а, Ь, X, д, а$,§0), Fzz(r, а,Ь, X, д, а$ ,§0), F$ (г,а,Ь,гд0) по переменным, отвечающим исходным параметрам модели в их областях определения, в результате которого получены оценки
дFrr/дХ < 0, дFrr/дд < 0, дFrr/дa$ < 0, дВ^гг/д§0 < 0; с№ввг/дХ < 0, сЩв/дд < 0, сШвв/0а& < 0, сШвв/д<00 < 0;
(11)
дFzz/да? < 0, дFzz/ддо < 0; дF$/да > 0, дF$/дЬ > 0, дВ^$/д§0 > 0В результате параметрические расчетные соотношения для результирующих нечетко-множественных характеристик 0ГГ, 0$$, ozz, § рассматриваемой модели имеют вид (7), где
Оа_, аа]
Ье[Ьа, Ьа\
(12)
агга
(г) = вир Ргг(г,а,Ь,Ха,1л,^0ос,а®а)]
За]
Ье[Ьа, Ьа\
ьа\
(13)
аввга(т) = вир ¥вв(т,
аа]
ье[ьа, ьа\
Я-ххЛг) = , Ргг(г, а, Ъ, X, §0а, ^9»),
а€[оа, аа\ Ьа\
ле[л
(14)
<?гга(г) = вир_ ^ (г, а, Ъ, X, ¡1, ±0а, а#а);
а€[Оа, «а]
ле[л
А»€[А»а,
= Щг^^Иоа), 0а{г) = Р#(г,аа,Ьа,$0а). (15)
Соотношения (7), (12)-(15) и определяют расчетный алгоритм описания разбросов оценок для характеристик термоупругого деформирования полого цилиндра с заданными температурами на граничных поверхностях при учете неконтрастности в задании исходных параметров.
3. Результаты вычислительных экспериментов. В рамках вычислительных экспериментов по применению представленной методики рассматривался вариант задачи о термонапряженном состоянии трубки из алюминия при следующем варианте задания неконтрастных нечетко-интервальных значений
С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хоанг исходных параметров термомеханических и геометрических свойств: а = (0.978*, 0.998*, 1.018*, 1.028*), Ь = (1.488*, 1.498*, 1.518*, 1.538*), Л = (5.110е*, 5.385е*, 5.662е*, 5.825е*), Д = (2.444е*, 2.548е*, 2.678е*, 2.704е*),
§0 = (290§*, 297§*, 304§*, 314§*), Л? = (1.512г*, 1.584т*, 1.722т*, 1.763т*), 8* = 10"2 м, е* = 1010 Па, § = 1 С°, т* = 10"5 К°.
(16)
При этом максимальные отклонения неопределенных величин от их значений
(17)
а = 1.08*, Ь = 1.58*, Х = 5.55е*, д = 2.6е*, §0 = 300§*, а$ = 1.66т*,
рассматриваемых как в наибольшей степени возможные, составляют для а - 3%, для Ь - 3%, для X - 8% для д - 6%, для а$ - 8%, для §0 - 6%.
Рассчитанные на основе описанного алгоритма функции принадлежности для нечетко-множественных характеристик 0гг((а + Ь)/2), 0$$((а+Ь)/2), 0^((а+ Ь)/2), §((а + Ь)/2) представлены на рисунках 1-4.
Рис. 1. Вид функции принадлежности для стгг((а + Ь)/2)
При задания неконтрастных значений исходных параметров нормальными треугольными нечеткими числами
а = (0.978*, 1.008*, 1.028*), Ь = (1.488*, 1.508*, 1.538*),
Л = (5.110е*, 5.550е*, 5.825е*), Д = (2.444е*, 2.6е*, 2.704е*), (18)
§0 = (290§*, 300§*, 314§*), = (1.512т*, 1.66т*, 1.763т*),
функции принадлежности для 0гг((а + Ь)/2), Л$$((а + Ь)/2), Лzz((a + Ь)/2), §((а + Ь)/2) представлены на рисунках 5-8.
Рис. 2. Вид функции принадлежности для стдд((а + Ь)/2)
Рис. 3. Вид функции принадлежности для агг((а + Ь)/2)
Рис. 4. Вид функции принадлежности для $((а + Ь)/2)
/\ 1,0 0,8
0,6
0,4
0,2
<т„ 10 7 Па /......................\[
-3,4 -3.0 -2,6 -2,2
Рис. 5. Вид функции принадлежности для огг({а + Ь)/2)
Мя^&ее)
Рис. 6. Вид функции принадлежности для адд((а + Ь)/2)
Рис. 7. Вид функции принадлежности для агг((а + Ь)/2)
Рис. 8. Вид функции принадлежности для $((а + Ь)/2)
Распределения по радиальной координате на интервале г € [а, Ъ\ для исследуемых характеристик термонапряженного состояния цилиндра даны на рисунках 9-16.
Рис. 9. Распределение атг(г) для детерминистического варианта модели
Рис. 10. Радиальные зависимости для границ интервалов носителей и модальных интервалов
нечетко-множественного описания <ггг(г)
Рис. 11. Распределение аее (г) для детерминистического варианта модели
Рис. 12. Радиальные зависимости для границ интервалов носителей и модальных интервалов
нечетко-множественного описания аее(г)
Рис. 13. Распределение агг(г) для детерминистического варианта модели
аи ■ 10 Па
Рис. 14. Радиальные зависимости для границ интервалов носителей и модальных интервалов
нечетко-множественного описания ёгг(г)
3 с
О,ОН 0,012 0,011 0,014
Рис. 15. Распределение ё(т) для детерминистического варианта модели
Рис. 16. Радиальные зависимости для границ интервалов носителей и модальных интервалов
нечетко-множественного описания ё(г)
При этом рисунки 9, 11, 13 и 15 описывают формы соответствующих распределений для детерминистического варианта модели с параметрами (17), а на рисунках 10, 12, 14 и 16 представлены зависимости от радиальной координаты для границ интервалов носителей ц = 0 и модальных интервалов ц = 1 в случае нечетко-множественных описания характеристик термонапряженного состояния при задании исходных неконтрастных параметров с разбросами в нечетко-интервальной форме (16).
Анализ полученных нечетко-множественных представлений для параметров механических напряжений и температуры в равноудаленных от внутреннего и внешнего контуров сечения цилиндра точках т* = (а + Ь)/2 при нечетко-интервальных описаниях неконтрастных параметров (16) иллюстрирует таблица 1. Нормировки для значений представляемых в этой таблице характеристик термонапряженного состояния отвечают принятым на рисунках 1-16.
Таблица 1. Характеристики разбросов нормированных значений неконтрастных результирующих параметров в их нечетко-множественных описаниях
Характе- Среднее Результать Величина Предельное Предельное Предельное
ристика значение дефаззи- отклонения отклонение отклонение отклонение
От , фикадии От И О и ОТ <Тт , левой правой
на СТО, -От И -&В на модаль- границы границы
модаль- по методу (%) ном интер- интервала интервала
ном медиан вале ( %) носителя носителя
интервале ОТ (7т , (%) ОТ От, (%)
0> г (г*) -2.604 -2.651 1.77 11.94 30.45 23.23
Vee{rt) -6.467 -6.514 0.72 12.06 28.79 25.88
&zz{rt) -1.716 -1.804 5.15 13.52 42.24 21.62
ê(rt) 141.742 146.364 3.45 5.68 8.25 21.46
Таким образом, расчеты в представленном численном эксперименте указывают, что разбросы значений неконтрастных результирующих характеристик (гГг(т*), &ее(т*), &хх(т*), *&(т*) на модальных интервалах нечетких множеств &гг(т*), &вв(т*), &хх(т*), *&(т*) имеют процентные уровни, сопоставимые с максимальными показателями разбросов значений исходных параметров в их нечетко-интервальных описаниях (16). На интервалах носителей нечетко-множественных величин о„(т*), &вв(т*), &хх(т*), $(т*), граничные значения которых отвечают предельно малым ненулевым показателям возможности того, что соответствующие характеристики термонапряженного состояния будут иметь данную величину, максимальные предельные разбросы для рассматриваемой модели от 2.3 до 3.7 раз превышают уровни разбросов на модальных интервалах.
Распределения на рисунках 10, 12, 14, 16 позволяют также заключить, что величины прогнозируемых разбросов для результирующих параметров уменьшаются с ростом значения радиальной координаты от внутреннего к внешнему контуру.
Выводы. Результатом изложенных в статье исследований является получение и применение в численных экспериментах нечетко-множественных аналити-
ческих расчетных соотношений для анализа модели двумерного осесимметрич-ного напряженно-деформированного состояния протяженного полого толстостенного изотропного цилиндра с имеющими разбросы значений неконтрастными исходными физико-механическим и геометрическими параметрами при отсутствии силовых воздействий и подержании разности температур на его внешней и внутренней граничных поверхностях. Представляемый подход базируется на использовании аналитических соотношений, описывающих решение рассматриваемой задачи в детерминистической версии без учета параметрической неопределенности, и переходе в этих соотношениях к нечетко-множественным аргументам с применением модифицированного альфа-уровневого варианта эвристического принципа расширения, а также на описании фаззифицируемых неконтрастных исходных параметров в виде нормальных нечетких чисел треугольного или гауссова типа, либо в виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов. Рассмотрены и проанализированы отдельные результаты вычислительных экспериментов по применению разработанного алгоритма и даны оценки уровней нечеткости результирующих параметров по отношению к величинам разбросов для исходных характеристик исследуемой модели.
1. Jabbari M. An exact solution for classic coupled thermoelasticity in cylindrical coordinates / M. Jabbari, H. Dehbani, M. Eslami // Journal of Pressure Vessel Technology. - 2011. -V. 133(5):051204.
2. Ieean D. Thermoelastic Models of Continua / D. Ieean. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. - 304 p.
3. Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечеткими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House, 2019. - 216 с.
4. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость / А.Д. Коваленко. - К.: Наукова думка, 1965.
- 204 с.
5. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
6. Vedeld K. Stresses in heated pressurized multi-layer cylinders in generalized plane strain conditions / K. Vedeld, H.A. Sollund // International Journal of Pressure Vessels and Piping. -2014. - V. 120. - P. 27-35.
7. Каур И. Двухтемпературный подход к анализу свойств полупроводящего термоупругого сплошного цилиндра, основанный на модифицированной теории теплопередачи Мура-Гибсона-Томпсона / И. Каур, К. Сингх // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2022. - Т. 16, № 1. - С. 65-81.
DOI: https://doi.org/10.18721/ JPM.16106
8. Shanghvi J. Y. Thermo-elasto-plastic finite element analysis of quasi-state processes in Eulerian reference frames / J.Y. Shanghvi, P. Michaleris // Int. J. Numer. Meth. Engng. - 2002. - V. 53.
- P. 1533-1556. DOI: 10.1002/nme.345
9. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss.
- Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.
10. Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic / B. Bede. - Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - 276 p.
11. Дремов В.В. Нечетко-множественные модификации расчетных соотношений для усредненных термомеханических характеристик пакета слоистого углепластика: теоретический алгоритм / В.В. Дремов, Н.И. Захаров, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 3(80). - С. 77-88.
12. Павлыш В.Н. Учет неконтрастности параметров в модели неразрушающих режимов ла-
зерного отжига диэлектрических и полупроводниковых пластин / В.Н. Павлыш, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев // Донецкие чтения 2022: образование, наука, инновации, культура и вызовы современности: Материалы VII Международной научной конференции, посвящённой 85-летию Донецкого национального университета (Донецк, 27-28 октября 2022 г.). - Том 1: Механико-математические, компьютерные науки, управление. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2022. - С. 68-70.
13. Storozhev S. V. Fuzzy-set analysis of models of temperature deformation of thin-walled elements with elliptic boundaries in industrial and aerospace structures / S.V. Storozhev, V.I. Storozhev, V.E. Bolnokin, Duong Minh Hai, D.I. Mutin // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering . - 2020, V. 862, 022005. https://doi.org/10.1088/1757-899X/862/2/022005
14. Сторожев С.В. Методика учета факторов неопределенности в моделях термоупругого деформирования тонких пластин с эллиптическими граничными контурами / С.В. Сто-рожев, В.Е. Болнокин, В.Г. Выскуб, Д.И. Мутин, Е.И. Мутина, С.Б. Номбре // Системы управления и информационные технологии. - 2020. - № 2(80). - С. 4-8.
S.B. Nombre, D.D. Polyansky, S.V. Storozhev, Tran Ba Le Hoang
Analysis of a non-contrast model of axisymmetric thermal stressed state for hollow cylinder.
The development and results of applying a fuzzy-set numerical-analytical algorithm for taking into account parametric uncertainty factors in setting the values of the initial physical, mechanical and geometric characteristics for a model of a two-dimensional axisymmetric stress-strain state of an extended hollow thick-walled isotropic cylinder in the absence of force effects and maintaining the temperature difference on its outer and inner boundary surfaces are given. The presented approach is based on the use of analytical relations that describe the solution of the problem under consideration in a deterministic version without taking into account parametric uncertainty, and the transition in these relations to fuzzy set arguments using a heuristic extension principle in modified alphalevel form. The results of individual computational experiments on the application of the developed algorithm are considered and analyzed.
Keywords: extended hollow cylinder, linearly elastic isotropic material, two-dimensional axisymmetric deformation, thermomechanical stress state, theoretical numerical-analytical algorithm, non-contrast parameters, fuzzy set method, heuristical generalization principle.
ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 05.12.2022
и архитектуры", Макеевка
Университет природных ресурсов и окружающей среды, Хошимин, Вьетнам
Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka
University of Natural Resources and Environment, Ho Chi Minh City, Vietnam
s.v.storozhev@donnasa.ru
