CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (86) / 2024.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 51-74:510.22:519.6: 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2024-1-73-82
EDN:URZFFM
©2024. С.Б. Номбре1, Д.Д. Полянский2, С.В. Сторожев3, Чан Ба Ле Хоанг4
НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ УЧЕТ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В МОДЕЛИ РАСЧЕТА КРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Представлена разработка нечетко-множественной методики учета разбросов значений исходных геометрических и физико-механических параметров в расчетных соотношениях модели определения критической температуры потери устойчивости для тонкой изотропной пологой цилиндрической оболочки. Реализуемый подход основывается на введении нечетко-множественных описаний неконтрастных экзогенных характеристик и использовании их в
1Номб,ре Светлана Борисовна - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: [email protected].
Nombre Svetlana Borisovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.
2Полянский Дмитрий Дмитриевич - аспирант каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: [email protected].
Polyansky Dmitry Dmitrievich - Postgraduate, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.
3 Сторожев Сергей Валериевич - доктор техн. наук, проф. каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: [email protected].
Storozhev Sergey Valerievich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.
4 Чан Ба Ле Хоанг - канд. техн. наук, зав. каф. физики ф-та общих наук Хо-шиминского университета природных ресурсов и окружающей среды, Вьетнам, e-mail: [email protected].
Tran Ba Le Hoang - Candidate of Technical Sciences, Head of Department, Ho Chi Minh City University of Natural Resources and Environment, Vietnam, Faculty of General Sciences, Chair of Physics.
качестве аргументов в расширяемых на данный тип переменных расчетных выражениях детерминистической версии исследуемой модели с применением аппарата нечетко-множественных вычислений и модифицированной альфа-уровневой версии эвристического принципа обобщения. Приведен ряд результатов численной реализации разрабатываемой методики. Ключевые слова: пологая цилиндрическая оболочка, модель термомеханического деформирования, тепловые воздействия, критическая температура потери устойчивости, разбросы значений исходных параметров, нечетко-множественный учет неопределенности,, эвристический принцип обобщения.
Введение и постановка задачи. Проблема теоретического анализа эффектов устойчивости тонкостенных конструкций при термосиловых воздействиях сохраняет высокую степень актуальности как в фундаментальном, так и, в особой мере, в прикладном аспектах. Так, конструкционные элементы в виде пологих цилиндрических оболочек-панелей находят широкое применение в строительных сооружениях, объектах транспортной отрасли, оборудовании химических производств, в промышленной энергетике, в корпусах аэрокосмической техники и летательных аппаратов. Корректное решение задач проектирования и выработки оптимизированных конструктивных решений в указанных научно-промышленных отраслях связано с разработкой специализированных методик математического моделирования деформационных эффектов в указанных конструкциях при их нагревании. При наличии некоторых теоретических разработок по проблеме определения критических температур потери устойчивости оболочечных элементов, представляемых, в частности, в работах [1—3], реальным свойством применяемых для этого математических моделей и получаемых на их основе расчетных соотношений является весьма высокая мера параметрической неопределенности, обусловленной разбросами значений исходных геометрических и физико-механических параметров - погрешностями экспериментальных данных о физико-механических свойствах используемых материалов, предусматриваемыми при изготовлении конструктивными технологическими допусками, вариативными субъективными экспертными оценками для отдельных базовых характеристик конструкций. Однако решение задачи учета неконтрастности исходных данных при расчете критической температуры потери устойчивости подверженных тепловым воздействиям пологих цилиндрических оболочки на базе применения методов вероятностно-стохастического анализа во многих случаях на практике осложнено отсутствием статистически корректной информации о подлежащих учету разбросах, а также большим числом подлежащих одновременному учету неконтрастных параметров и необходимостью априорного задания типа вероятностных распределений для экзогенных и эндогенных характеристик расчетных моделей. В этой связи, для решения задачи учета параметрической неопределенности в модели нахождения критической температуры потери устойчивости пологой цилиндрической оболочки-панели предлагается использование методов теории нечетких множеств [4,5] с более мягким уровнем требований к характеру неопределенной исходной информации. Данный подход базируется на переходе к неконтрастным исходным
параметрам в расчетных соотношениях для результирующих характеристик детерминистического варианта рассматриваемой модели, расширяемых на аргументы нечетко-множественного типа посредством применения альфа-уровневой модификации эвристического принципа обобщения. В контексте изложенных соображений, целью представляемых в данной работе исследований является разработка и апробация нечетко-множественной версии методики учета параметрической неопределенности в модели определения критической температуры потери устойчивости пологой цилиндрической оболочки.
1. Расчетное соотношение детерминистического варианта модели. Детерминистическая модель термомеханического деформирования тонкой изотропной пологой цилиндрической оболочки-панели, для которой разрабатывается методика нечетко-множественного учета параметрической неопределенности в виде разбросов значений исходных геометрических и физико-механических параметров при расчете критической температуры потери устойчивости, описана в работе [3] и базируется на варианте разрешающих уравнений теории пологих цилиндрических оболочек В.З. Власова в форме, представленной Л.Г. Доннел-лом [3,6,7].
В контексте исследуемой задачи рассматривается шарнирно закрепленная по контуру цилиндрическая оболочечная панель, срединная поверхность которой занимает в координатах Ох1х2 область О = {0 < х1 < Ь, 0 < х2 < Б}; координатное направление Ох1 отвечает ориентации образующей цилиндрической поверхности панели, которая по ортогональному направлению имеет радиус кривизны Я. Панель имеет толщину Н, изготовлена из изотропного материала с коэффициентом Пуассона V и коэффициентом линейного теплового расширения ат. Полагается, что силовые воздействия на рассматриваемы конструкционный элемент отсутствуют и она подвергается тепловому нагреву извне [3].
Полученное в [3] и преобразованное для сформулированной выше задачи основное расчетное соотношение, определяющее значения параметра критической температуры нагрева оболочки, при которой возникает потеря ее устойчивости в процессе термоупругого деформирования, имеет вид
тт = Фтп(V, Н, Я, ат, Ь, Б) = (Н3(Х2т + ^(12(1 - v2))-1+ (1)
3—1
+НЯ2Х4т)(ат НЯ2(Х2т + &У) = = а-1(Н2(Х2т + мП)(12(1 - V2)Я2)-1 + Х4т(Х2т + £)-3),
где Хт = ттгК/Ь, /лп = пжК/Б (т,п = 1,оо). При конкретных значениях исходных физико-механических и геометрических характеристик конструкции и варьируемых значениях т,п в расчетах определяется наименьшая величина Тт). Соотношение (1) и является предметом нечетко-множественного обобщения для учета в рассматриваемой модели факторов неопределенности в виде разбросов значений экзогенных физико-механических и геометрических параметров.
2. Нечетко-множественный расчетный алгоритм. Нечетко-множественная модификация алгоритма расчета критической температуры потери устойчивости конструкции рассматриваемого типа формируется на основе процедур фаззификации имеющихся массивов экспериментальных и экспертных данных о разбросах значений неконтрастных исходных параметров и расширения области определения функционального соотношения (1) на аргументы нечетко-множественного типа с применением альфа-уровневой версии эвристического принципа обобщения [4,5,8-10].
Применительно к исходным, промежуточным и выходным параметрам расчетного соотношения (1) вводятся в рассмотрение их нечетко-множественные расширения V, Н, Я, ат, Ь, Б, Хт, ¡лп, тКтП, представляемые разложениями по множествам а - уровней
U h= U \àa,ha}, R= U «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]
(2)
ат= и [аТа,аТа], I = У [Ьа,Ьа], Б = У [5«, 5*«], «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]
= У [А топота], Дп = [Цпа > №па]> ТКр = [Икра> ^кр«] • «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]
Далее могут быть построены следующие варианты разрабатываемого алгоритма. В случае описания параметрических обобщений V, Н, К, ат, Ь, Б несимметричными квазигауссовыми нормальными нечеткими числами, для границ интервалов а - уровней в разложениях (2) записываются представления.
Еа = - cr*iv(\na 2 ка = ™*h ~ а*ш(\па~2
Ra = m*R - (r*m(lna~2 QLTa = m*aT ~ <T*laT(^na~2
La = m*L ~ <T*lL(\na~2 Sa = m*s ~ oT2
1/2 _ , n _9\ 1/2
va = m*v + a*ru(lna ) ;
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
(3)
h« = m*h + v*rh(lna 2)1/2;
R« = m*R + ^*rR(ln a"2) ;
— , /1 —2\ 1/2
ат« = m*«T + a*r«T (ln a ) ;
L« = m*L + o*rb(ln a"2)1/2; S « = m*s + a*rs (ln a"2)1/2.
В случае использования для описания обобщений V, Н, К, ат, Ь, Б! нормальных трапецеидальных нечетких интервалов с кортежами реперных значений
V = (v1, V2, V3, V4), h = (h1, h2, hi, h4),
R = (R1, R2, R3, R4), ат = (ат1, ат2, атз, ат4),
L = (L1, L2, L3, L4), S = (S1, S2, ^ S4),
соответствующие границы интервалов а - уровней в разложениях (2) описываются выражениями
Еа = (1 - а)и1 + а1У2 ка = (1 — а)Н 1 + аН2 = (1 — а)К\ + скЕг Йт« = (1 ~ а)ат1 + аат2 Ьа = (1 - + аЬ2 = (1 — а)3\ + аБ2
V« = аvз + (1 -
На = аН3 + (1 — а)Н4; Ка = аВ,з + (1 — аТа = аатз + (1 - а)аТ4] Ьа = аЬ3 + (1 - а)Ь4] Ба = аБ з + (1 — а) 5*4.
(5)
Наконец, при описании обобщений V, Н, Я, ат, Ь, Б для неконтрастных экзогенных параметров треугольными нормальными нечеткими числами
V = ^1, V2, Vз), Н = (Н1, Н2, Н33), Я = (Я1, Я2, Яз), ат = (ат 1, ат2, атз), Ь = (Ь1, Ь2, Ьз), Б = (Б1, Б2, Бз), границы интервалов а - уровня имеют вид
Ка = (1 - «М + Н^ = (1 — а)Н\ + аН2 Ка = (1 — а)К\ + аК2 (Ата = (1 ~ а)ат! + ааТ2 Ьа = (1 - а)Ьх + аЬ2 Б_а = (1 — а)в1 + аБ2
Va = аv2 + (1 - а^з; На = аН2 + (1 - а)Нз; Ка = аП2 + (1 - а)Е3; аТа = аат2 + (1 - а)атз; Ьа = аЬ2 + (1 - а)Ь3; Б а = аБ2 + (1 — а) Б3.
(6)
(7)
Общий прием применения альфа-уровневой модификации эвристического принципа обобщения ко всем вышеописанным вариантам задания типов нечетко-множественных исходных параметров включает предварительный этап исследования свойств знакоопределенности частных производных [4,5,8] от функции Фтп^,Н,Я,ат,Ь,Б) по ее аргументам в области их совокупного изменения, в рамках которого получены оценки
дФтп/дЪ > 0, дФтп/дН > 0, дФтп/дЯ < 0, дФтп/дат < 0, дФтп/дБ > 0.
(8
С их учетом на базе принципа обобщения могут быть записаны следующие представления для величин Ткра1 Ткра в разложении результирующей нечетко-множественной характеристики Ткрпо множествам а - уровня
Т^а = Фтп(Ка,ка,Яа,аТа,Ь,Ба),
ье\ьа, Ьа\
(9)
T^pa* — sup ha, R^, CXrpa, L, Sa).
Le\LarCa]
Также структура выражения (1) позволяет в случаях описания неконтрастных экзогенных параметров V, h, R, ат, L, S нормальными трапецеидальными нечеткими интервалами и треугольными нормальными нечеткими числами применить для вычисления Ткр поэтапное фрагментированное использование арифметики соответствующих нечетких величин. Для этих вариантов разрабатываемого алгоритма
Ткр = (ТкрЪ Tкр2, Tкр3, Ткр4), (10)
Ткр1 = ((mnR\L-1)2 + (nnRiS4"1)2)hi(12(1 - V42)R2aT4)-1+ +n"2(mRiL-1)4((mR4L-1)2 + (nRS-1)2 f3«-1,
TKp2 = ((mnR2Lf1)2 + (nnR2S3-1)2)h2(12(1 - V32)R2aT3)_1+ +n-2(mR2Lf1 )4((mR3Lf 1 )2 + (nR3 S-"1)2)"3,
Ткрз = ((mnR3L-1)2 + (nnR3S2-1)2)h3(12(1 - v^)R2^aT2)-1+ +n-2(mR3L-1 )4((mR2L-1 )2 + (nR2 S3-1)2)"3,
Ткр4 = ((mnR4L-1)2 + (nnR4S-1)2)h4(12(1 - v^ROiT 1)-1+ +n-2(mR4L-1 )4((mR1L-1 )2 + (nR1 S4-1)2)-3;
или
Ткр = (Ткр1, Ткр2, Ткр3), (11)
Ткр1 = ((mnR1L-1)2 + (nnR1S3-1)2)h1(12(1 - vl)R3i0iT3)-1+
4 2 2 -3
+n(mR1L-1) ((mR3L-1) + ^Sf1) ) ,
TKp2 = ((mnR2L-1)2 + (nnR2S2-1)2)h2(12(1 - y2^)R2aT2)-1+
1 4 1 2 1 2 —3
+п(mR2L"1)4((mR2L"1)2 + ^S-1)2) ,
Ткр3 = ((mnR3L-1)2 + (nпRзS3-1)2)hз(12(1 - ^RaT 1)-1+ 4 2 2 -3
+n(mR3L-1) ((mR1L-1) + (nR^- ) ) .
Расчетные соотношения (2), (3), (5), (7), (9)—(11) являются составными элементами предлагаемого алгоритма учета параметрической неопределенности в
виде разбросов значений для величин исходных параметров в модели определения критической температуры потери устойчивости при нагревании пологой цилиндрической оболочечной панели
3. Результаты вычислительных экспериментов. Пример реализации построенного нечетко-множественного расчетного алгоритма относится к получению оценок влияния эффектов разбросов значений исходных параметров для приведенного в работе [3] примера расчета критической температуры возникновения одной из форм потери устойчивости тонкостенной пологой цилиндрической оболочечной конструкции-панели из алюминия с V = 0.32, Н = 2 • 10_з м, Я = 3 м, ат = 24.7 • 10-6 С0-1, Ь = 0.9 м, Б = 1.5 м. В частности, согласно описанным в этой публикации расчетам, для формы потери устойчивости с т = 5, п = 4 получено тКрА) = 13.5 С0.
В настоящей работе рассмотрены случаи задания следующих, отражающих неконтрастность исходных геометрических и физико-механических характеристик нечетко-интервальных экзогенных параметров
V = (0.317, 0.319, 0.320, 0.323), Н = (1.96Н*, 1 .98Н*, 2.0Н*, 2.03Н*), Я = (2.951*, 2.981*,3.01*,3.071*), ат = (24.3а*, 24.6а*, 24.7а*, 24,9а*), Ь, = (0.881*, 0.891*, 0.91*, 0.921*), Б = (1.471*, 1.491*, 1.501*, 1.531*), Н** = 10-:з [м], I* = 1 [м], а* = 10-6 С0-1,
и экзогенных параметров, описываемых треугольными нормальными нечеткими числами
В результате расчетов с использованием соотношений (10), (11) для сопоставляемого случая т = 5, п = 4 соответственно получены представления неконтрастного выходного параметра Т виде нечетко-интервальной величины
с функцией принадлежности, изображенной на рисунке 1, а также в виде треугольного нечеткого числа
V = (0.317, 0.320, 0.323), Н = (1.96Н*, 2.0Н*, 2.03Н*), Я = (2.951*, 3.01*,3.071*), ат = (24.3а*, 24.7а*, 24,9а*), Ь, = (0.881*, 0.91*, 0.921*), Б = (1.471*, 1.501*, 1.531*).
Т = (9.9, 12.4, 14.5, 18.8),
(12)
Т =(9.9, 13.5, 18.8),
(13)
для которого функция принадлежности представлена на рисунке 2. Медианное значение для величины (12), равно 13.9, модальное значение для (13), составляет 13.5 и отвечает значению тКр'4 = 13.5 С°, получаемому при расчетах в рамках детерминистической модели [3].
^.жг')
ч>
10 12 14 16 18 т(т'п) С°
кр '
Рис. 1. Профиль функции принадлежности ßф(т,п) для нечетко-интервальнои
величины (12).
10 12 14 16 18 Т(т'п)
кр 7
Рис. 2. Профиль функции принадлежности для треугольного нечеткого
числа (13).
Выводы. В результате проведенных исследований разработана нечетко-множественная методика учета разбросов значений исходных геометрических и фи-
зико-механических параметров в расчетных соотношениях модели определения критической температуры потери устойчивости для тонкой изотропной пологой цилиндрической оболочки-панели, как типа конструкций с предъявляемыми повышенными требованиями к оценкам прочности и надежности при их проектировании и эксплуатации в связи с разнообразными применениями в аэрокосмической технике, приборах и строительных сооружениях, в технологическом оборудовании энергетических и химических производств.
Учитываемые в расчетах разбросы могут быть обусловлены погрешностями экспериментальных данных о физико-механических свойствах используемых материалов, предусматриваемыми при изготовлении технологическими допусками, вариативными субъективными экспертными оценками для отдельных базовых характеристик конструкций. Реализованный подход основывается на введении нечетко-множественных описаний неконтрастных экзогенных характеристик и использовании их в качестве аргументов в расширяемых на данный тип переменных с применением аппарата нечетко-множественных вычислений и модифицированной альфа-уровневой версии эвристического принципа обобщения расчетных выражениях детерминистической версии исследуемой модели. Приведены некоторые результаты численной реализации разработанной методики.
Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124012400354-0).
1. Бажанов В.А. Расчет конструкций на тепловые воздействия / В.А. Бажанов, И.И. Голь-денблат, Н.А. Николаенко, А.М. Синюков. - М.: Машиностроение, 1969. - 599 с.
2. Подстригач Я.С. Термоупругость тонких оболочек / Я.С. Подстригач. - К.: Наукова думка, 1978. - 343 с.
3. Григорьев П. С. Определение критических температур потери устойчивости пологих цилиндрических оболочек / П.С. Григорьев, С.В. Беспалько, В.В. Гончаров // Тепловые процессы в технике. - 2021. - Т. 13, № 7. - С. 324-328. - doi:10.34759/tpt-2021-13-7-324-328.
4. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.
5. Нгуен Куок Ши Исследование моделей высокотемпературной термостабилизации с нечеткими параметрами / Нгуен Куок Ши, Чан Ба Ле Хоанг, С.В. Сторожев. - Yelm, WA, USA: Science Book Publishing House, 2019. - 216 с.
6. Власов Б.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В.З. Власов. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.
7. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки / Л.Г. Доннел. - М.: Наука, 1982. - 567 с.
8. Номбре С.Б. Анализ неконтрастной модели осесимметричного термонапряженного состояния полого цилиндра / С.Б Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хоанг // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 4 (81). - С. 63-76. -doi:10.24412/0136-4545-2022-4-63-76. - EDN:TOGBNE.
9. Номбре С.Б. Нечетко-множественный анализ параметрической неопределенности в расчетных моделях термоупругого деформирования балок / С.Б Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - № 1 (82). -С. 81-92. - doi:10.24412/0136-4545-2023-1-81-92. - EDN:PQQQXY.
10. Номбре С.Б. Учет параметрической неопределенности в модели температурных воздействий на внутреннюю поверхность упругого полого шара / С.Б Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хоанг // Журнал теоретической и прикладной механики. -2023. - № 2 (83). - P. 56-66. - doi:10.24412/0136-4545-2023-2-56-66. - EDN:TVWFZT.
С.Б. Номбре, Д.Д. Полянский, С.В. Сторожев, Чан Ба Ле Хоанг S.B. Nombre, D.D. Polyansky, S.V. Storozhev, Tran Ba Le Hoang
Fuzzy-set accounting for parametric uncertainty in a model for calculation the critical temperature of buckling of a flat cylindrical shell.
The development of a fuzzy-set method for accounting for the scatter errors of values of the initial geometric and physical-mechanical parameters in the calculation relationships of the model for determining the critical temperature of buckling for a thin isotropic shallow cylindrical shell are presented. The implemented approach is based on the introduction of fuzzy-set descriptions of non-contrasting exogenous characteristics and their use as arguments in the calculation expressions of the deterministic version of the model under study, extended to this type of variables, using the apparatus of fuzzy-set calculations and a modified alpha-level version of the heuristic principle of generalization. A number of results of the numerical implementation of the developed method are presented.
Keywords: shallow cylindrical shell, thermomechanical deformation model, thermal effects, critical temperature of buckling, scatter errors of values of initial parameters, fuzzy-set accounting of uncertainty, heuristic generalization principle.
Статья поступила в редакцию 29.07.2024; доработана 22.08.2024; рекомендована к печати 06.09.2024.
