НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ РАЗБРОСОВ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗГИБАЕМЫХ ТОНКИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (69) / 2019.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3:534.1:519

©2019. С.В. Сторожев

НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ РАЗБРОСОВ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗГИБАЕМЫХ ТОНКИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ

Дано описание численно-аналитической нечетко-множественной методики получения оценок влияния разбросов исходных физико-механических и геометрических параметров в прикладной модели Кирхгоффа для описания изгибного деформирования тонких круговых и кольцевых изотропных плит на эндогенные характеристики их напряженного состояния. Применяемый в нескольких типах задач о действии осесимметричных изгибающих нагрузок подход основывается на интерпретации параметров с разбросами как нормальных трапецеидальных нечетких интервалов, и на последующем использовании модифицированных версий эвристического принципа обобщения в процессе перехода в соотношениях классических детерминистических моделей расчета внутренних изгибающих усилий к нечетко-множественным аргументам.

Ключевые слова: тонкие изотропные плиты, прикладная теория изгиба, круговая и кольцевая геометрия, осесимметричное напряженное состояние, 'разброс исходных параметров, учет факторов неопределенности,, нечетко-множественная методика, эвристический принцип обобщения.

Введение. Расчеты напряженного состояния тонких плит под действием внешних изгибающих усилий являются чрезвычайно распространенной проблемой предпроектного моделирования в строительной индустрии, машиностроении, приборостроении, аэрокосмической промышленности и ряде других научно-технических отраслей [1 - 5]. При этом, одной из задач, возникающих в практике прочностных расчетов с использованием тех или иных моделей деформирования, является определение методики учета разбросов исходных физико-механических и геометрических параметров изгибаемых плит на характеристики их напряженного состояния.

Эффективная методика учета разбросов исходных данных в расчетных схемах на основе выбранных моделей должна учитывать природу информации о характере и величинах этих разбросов, которая во многих случаях формируется на основе экспертных заключений и опытных оценок. Данное обстоятельство в ряде случаев затрудняет обоснованное применение разработанных эффективных методов вероятностно-стохастического анализа [6, 7] для получения искомых эн-

догенных оценок и, соответственно, ставит вопрос о создании альтернативных подходов.

С учетом данных соображений, целью представляемых в работе исследований является разработка альтернативной методики получения оценок влияния разбросов исходных физико-механических и геометрических параметров на искомые силовые и деформационные характеристики напряженного состояния изгибаемых тонких изотропных плит в рамках прикладной модели, базирующейся на гипотезах прямых нормалей [1 — 5]. Применяются методологические принципы теории нечетких множеств [8 - 14] и используются расчетные соотношения, получаемые в результате анализа задач теории изгиба тонких изотропных плит в классической четкой постановке, с последующим переходом в этих соотношениях к нечетко-множественным аргументам на основе фрагментированного поэтапного применения альфа-уровневой формы эвристического принципа обобщения в сочетании с методами нечетко-интервальной арифметики [15 - 20].

1. Получение нечетко-множественных оценок для параметрических распределений прогибов и изгибных усилий в круговой плите под действием осесимметричных распределенных и сосредоточенных нагру-жений. В процессе получения нечетко-множественных оценок для параметрических радиальных распределений прогибов и изгибных усилий в тонких изотропных круговых плитах в случае действия осесимметричных распределенных либо сосредоточенных нагружений могут быть использованы точные аналитические решения задач данного типа в рамках классических детерминистических моделей. Соответствующие решения приведены, в частности, в работах [1-5].

Так, для изотропной круговой плиты радиуса Я с закрепленным краем, изгибаемой равномерно распределенными по лицевой поверхности усилиями интенсивности д, имеющей толщину Н и изготовленной из материала с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V, функция прогиба описывается в полярных координатах (г, в) выражением [1]

(г) = (V, Е, Н, Я, д, г) = д(64Б)-1 (Я2 - г2)2, ( )

Б = ЕН3[12(1 - V2)]-1;

а радиальные и тангенциальные изгибающие моменты имеют представления

И1 = О™(V, Я, д, г) = (д/16)[Я2(1 + V) - г2(3 + V)], (2)

= О{д)(у, Я, д, г) = (д/16)[Я2 (1 + V) - г2(1 + 3v)]. (3)

Аналогичные представления для изотропной плиты с опертым краем соответственно имеют вид [1]

^(г) = Е, Н, Я, д, г) =

= д(64Б)-1 ((Я2 - г2)2 + 4Я2(Я2 - г2)(1 + V)-1); )

И(2 = О^(V, Я, д, г) = (д/16)[(3 + V)(Я2 - г2)], (5)

Ы{2) = С{2) (V, Е, д, г) = (д/Щ[Е2(3 + V) - г2(1 + 3и)]. (6)

В случае нагружения закрепленной по краю изотропной круговой плиты сосредоточенной силой величины Р, приложенной в центральной точке г = 0, функция прогиба описывается выражением [1]

йэ (г) = (V, Е,Н, Е, Р,г) = = Р(8пБ)-1[(3 + V)(2(1 + V))-1(Е2 - г2) - г2 1п(Е/г)],

а при задании на контуре условия опирания

(г) = Е, Н, Е, Р, г) = Р(8пБ)-1[(1/2)(Е2 - г2) - г21п(Е/г)]. (8)

Соответственно предположениям о наличии разбросов в значениях исходных физико-механических и геометрических параметров плиты V, Е, Н, Е, а также в значениях параметров нагружения д и Р, реализуется переход к описанию указанных неопределенных экзогенных параметров рассматриваемой модели в форме трапецеидальных нормальных нечетких интервалов [15 - 18] с кортежами реперных точек

V = (VI, V2, Vэ, V4), Е = (Е1, Е2, Еэ, Е4),

Н = (Н1, Н2, Нз, Н4), Е = (Е1, Е2, Еэ, Е4), (9)

V = (д1, д2, дэ, д4), Р = (Р1, Р2, Рэ, Р4).

При этом нечетко-интервальные величины V, Е, Н, Е, д могут быть представлены суперпозициями множеств а - уровня в виде

и [^«ь Ё= и \м*,Еа\, н= и [к,к\, «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]

Д = и ШаЛа], й= и [^Яа], Р = I) [Еа^а], «€[0,1] «€[0,1] «€[0,1]

(10)

где

(11)

ь>а = (1 - а)ь> 1 + аи2, Т'а = оа>ъ + (1 - а)щ]

Еа = (1 -а)Ех +аЕ2, Ёа = аЕ3 + (1 - а)Е4]

На = (1 — а)Н 1 + аН 2, На = + (1 — а)Н^

= (1 — а)К\ + аВ.2, Яа = + (1 — 0)^4;

д^ = (1 - а)дх + ад2, да = ад3 + (1 - а)д4;

Ра = (1-а)Р1+аР2, Ра = аР3 + (1-а)Р4.

Искомая процедура получения параметрических нечетких оценок (г),

для характеристик напряженно-деформированного состояния

рассматриваемых плит заключается в применении модифицированной а—уро-вневой формы эвристического принципа расширения [9] в процессе перехода к нечетко-интервальным аргументам в функциональных зависимостях (1) - (8). Эта процедура включает использование возможности получения справедливых во всей области определения аргументов Е() (и, Е, Н, Я, д, г), сСга\и, Я, д, г), Са (и, Я, д, г) оценок для частных производных (за исключением точки г = 0 в модели сосредоточенного нагружения):

дЕ(1) (и, Е, Н, Я, д, г)/ди < 0, 0Е(1)(и, Е, Н, Я, д, т)/ЗЕ < 0, дЕ,^ (и, Е, Н, Я, д, г)/дН < 0, дЕ^ (и, Е, Н, Я, д, г)/дЯ > 0, (12) ЗЕ^ (и, Е, Н, Я, д, г)/дд > 0;

0С(Г1) (и, Я, д, г)/ди > 0, 0С(г1)(и, Я, д, г)/дЯ > 0, дС{1 (и, Я, д, г)/дд > 0;

дС{1 (и, Я, д, г)/дЯ > 0, дС^1'(и, Я, д, г)/дд > 0;

(13)

(14)

0Е(2\и, Е, Н, Я, д, т)/0Е < 0, 0Е(2\и, Е, Н, Я, д, т)/0Н < 0, дЕ(2) (и, Е, Н, Я, д, г)/дЯ > 0, 0Е(2\и, Е, Н, Я, д, г)/дд > 0;

(15)

0С(2) (и, Я, д, г)/ди > 0, 0С(2)(и, Я, д, т)/0Я > 0, ЗС(2) (и, Я, д, г)/дд > 0;

ЗС^ (и, Я, д, т)/ЗЯ > 0, ЗС^ (и, Я, д, г)/дд > 0;

дЕг^(и, Е, Н, Я, Р, г)/ди < 0, дЕг^(и, Е, Н, Я, Р, г)/дЕ < 0, дЕ(3 (и, Е, Н, Я, Р, г)/дН < 0, дЕ(3) (и, Е, Н, Я, Р, г)/дЯ > 0, 0Е(3) (и, Е, Н, Я, Р, г)/дР > 0;

(16)

(17)

(18)

0Е(4\и, Е, Н, Я, Р, г)/дЕ < 0, дЕ(4\и, Е, Н, Я, Р, г)/дН < 0, дЕ(4) (и, Е, Н, Я, Р, г)/дЯ > 0, дЕ(4) (и, Е, Н, Я, Р, г)/дР > 0. (19)

В результате для эндогенных нечетко-множественных характеристик (г),

а) а)

Мг , М^ записываются параметрические представления вида

Щ(г) = У \ица(г),Ща(г)], (20)

«€[0,1]

где

ае[0,1]

а€[0,1]

ШаМ = Еа, Ъа, Еа, да, г),

Ща(г) = К, Яа, 1а, г);

Ш.2а{г) = Ж*, К, Еа, Ч„, 0},

^[Но г'а]

®2а(г) = эир_ {^2)(г/, Еа, Па,да, г)};

ШЗаМ = Еа, Ъа, Еа, Ра, г),

т„(г) = ^3)(г/а, ]га, Ка, Ра, г);

Л-а, Д*> 0})

= ка, Па, Ра, г)};

о£(г) = Еа, 9а> = С*1^, Ка, да, г);

г/е^а, г/с г/а

Еа, г)

г/а г/а

{с^, Д,, г)}, Т{а,да, г)}]

б>2(г) = с(2)(г/а, Ка, да, г)

г а Чач

Еа, ^ г)}, {С® (и, Ка, да, г)}.

(21) (22)

(23)

В качестве примеров численной реализации описанной методики оценивания разбросов для параметрических количественных оценок Wj(г), М(\т), М^ (г) представлены результаты расчетов, в которых рассматриваются процессы на-гружения пластины в случае задания следующих нечетко-интервальных параметров:

и = (0.29, 0.297, 0.301, 0.307), Е = (202Е*, 205Е*, 207Е*, 209Е*),

Н = (2.71*, 2.91*, 3.01*, 3.11*), К = (3751*, 3951*, 4101*, 4351*), д = (3.6д*, 3.9д*, 4.1д*, 4.5д*), Р = (1.1р*, 1.17р*, 1.21р*, 1.26р*), Е* = 1[ГПа], I* = 10"3[м], д* = 103[Па], р* = 103[н].

(24)

Вид функций принадлежности для введенных нечетко-интервальных исходных параметров приведен на рисунках 1-6.

Рис. 1. Функция принадлежности V.

Рис. 2. Функция принадлежности Ё.

Рис. 5. Функция принадлежности д. Рис. 6. Функция принадлежности Р.

В свою очередь результаты расчетов, характеризующих нечетко-множественные параметрические оценки (г), Ы^^), \г), представлены на рисунках 7 - 16.

Так, на рисунке 7 представлены параметрические зависимости для границ ц = 0 носителей и границ ц = 1 модальных областей максимальной достоверности нечетко-множественных оценок эндогенной характеристики й1 (г) от параметра радиальной координаты г, а на рисунке 8 - форма функции принадлежности для нечетко-множественной оценки й1(0).

0.1 0.2 0.3 0.4 Рис. 7. Распределения (г) с показателями^, Й1 (г) (ю1 (г)).

Ф'1

1.0

*1'|(0)|10 4м]

0.2 0.3 04 0.5 11 1

Рис. 8. Функция принадлежности^) 1(0).

Рис. 9. Распределения М( ) (г) с

показателями ^

-41)(г)Мг (г)).

45 50 55 60 65 Рис. 10. Функция принадлежности 1М(1)(0).

Рис. 11. Распределения (г) с

в

в) г

показателями ц - (1) ЛМ( (г)).

45 50 55 60 65 70""0 Рис. 12. Функция принадлежности

М(г)(0).

110 4ЛГ

0.1 0.2 0.3 0.4 Рис. 13. Распределения ю2(г) с показателями 11—2(г) (ю2(г)).

г И

1.0

1 1.5 2

Рис. 14. Функция принадлежности

М0).

Рис. 15. Распределения М( ) (г) с показателями / - (2) ( ) (М(2\г)).

м г (г)

Рис. 16. Функция принадлежности

м(2)(0).

0.1 0 2 0.3 0.4 Рис. 17. Распределения М(2^ (г) с показателями /-(2) (г) (М(2 (г)).

ПО 120 130 140 150 160 170 '0

Рис. 18. Функция принадлежности

М(2)(0).

0.! 0,2 0,3 0.4

Рис. 19. Распределения ю3(г) с показателями /1^,3(г)(т3(г)).

/■[.и]

^ »з((Ш »О*} (001))

ич(0.01) [10 .«]

1.5 2 2 5 л

Рис. 20. Функция принадлежности

юз(0.01).

щ(г

) [10-4.«]

гЫ

0.1 0,2 0.3 0.4 Рис. 21. Распределения ю4(г) с показателями /■а4(г)('ш4(г)).

^■4(0.01)<™'4<°-01» 1.0

и,,(0.0!)[10 4 .и]

0.5 0,6 0.7 0.8 0.9 1 II

Рис. 22. Функция принадлежности гУ4(0.01).

2. Нечетко-множественные параметрические распределения для из-гибных усилий в осесимметрично нагруженной кольцевой плите. Получение нечетко-множественных оценок для параметрических радиальных распределений прогибов и изгибных усилий в тонких изотропных кольцевых при осесиммеричных нагружениях базируется на использовании точных аналитических представлений для решений соответствующих задач в рамках классической детерминистической постановки, приведенных, в частности, в работе [2].

Согласно полученным в [2] решениям, представления для радиальных и тангенциальных изгибающих моментов в изотропной концентрической кольцевой плите с внешним радиусом К0 и внутренним радиусом К1 имеют следующий вид при следующих рассматриваемых типах нагружения.

При жестком закреплении внешнего контура плиты и действии на внутреннем контуре равномерно распределенных поперечных усилий интенсивности N

М(5 = аГ5(V, Е, Н, Ко, К1, N, т) = = -2Б(1 + V)[А 1пт + а + А] - Б(1 - и)[А - Ът-2],

м(5) = а(/}(V, Е, Н, Ко, К1, N, т) = = -2Б(1 + V)[А 1пт + а + А] + Б(1 - и)[А - Ът-2],

(25)

(26)

где

А = (4В)-1 К^, а = -[Б(1 - и)[АК0(21п К0 + 1) + АК2(($ - 1) 1п К1 - 1)] +

+N^^(1 - и)((§ - 1)К21 + 2К2)]-1, (27)

Ъ = -В(1 - V)[А($ - 1)(21п К0 + 1) - 2А(($ - 1) 1п К1 - 1)]--2NКl]К0К2l[D(1 - »)((<& - 1)К2 + 2К0)]-1.

При жестком закреплении внутреннего контура плиты и действии на внешнем контуре равномерно распределенных поперечных усилий интенсивности N

м(6 = а® (V, Е, Н, К0, К1, N, т) = = -2В(1 + V)[А 1пт + а + А] - В(1 - и)[А - Ът-2],

М(6) = а(/}(V, Е, Н, К0, К1, ^ т) = -2В(1 + V)[А 1пт + а + А] + В(1 - и)[А - Ът-2],

(28)

(29)

А = -(4В)-1 Е^М, а = -[Б(1 - v)[AЕ2(21n Е1 + 1) + АЕ2(($ - 1) 1п Е0 - 1)]-

-МЕ1т1 - V)((# - 1)Е0 + 2Е2)]-1, (30)

Ь = -[Б(1 - V)[А($ - 1)(21п Е1 + 1) - 2А(($ - 1) 1п Е0 - 1)] + +2КЕ0]Е0,Е1[П(1 - V)(($ - 1)Е22 + 2Е\)]-1.

При жестком закреплении внешнего контура плиты, свободном внутреннем контуре и действии по всей ее лицевой поверхности равномерно распределенных усилий интенсивности д

ЫР = С^ (V, Е, Н, Е0, Е1, д, г) = = -2Б(1 + v)[A 1пг + а + А] - Б(1 - V)[А - Ьг-2] - 4йБ(3 + v)г2,

Ы^ = С™^, Е, Н, Е0, Е1, д, г) = = -2Б(1 + V)[А 1пг + а + А] + Б(1 - V)[А - Ьг-2] - 4сШ(1 + 3v)г2,

где

А = -(8В)-1дЕ2,

а = [-(АЕ0(21п Е0 + 1) + АЕ2(($ - 1) 1п Е1 - 1) + 4йЕэ1)+

+4(5 - V)(1 - V)-ЧЕ4]р - 1)Е\ + 2Е0]-1, (33)

й = д/(64Б),Ь = -[(1 - V)[А($ - 1)(21п Е9 + 1) - 2А(($ - 1) 1п Е1 - 1)] +

+8(1 + v)dЕo + 4(5 - V)с1Е4]Е0Е1[(1 - v)((^9 - 1)Е2 + 2Е?,)]-1.

При жестком закреплении внутреннего контура плиты, свободном внешнем контуре и действии по всей ее лицевой поверхности равномерно распределенных усилий интенсивности д

ы(8 = Е, Н, Е0, Е1, д, г) =

= -2Б(1 + v)[A 1пг + а + А] - Б(1 - V)[А - Ьг-2] - 4йБ(3 + v)г2,

Ы(8) = С®^, Е, Н, Е0, Е1, д, г) = = -2Б(1 + V)[А 1пг + а + А] + Б(1 - V)[А - Ьг-2] - 4йБ(1 + 3v)г2,

где

A = -(8D)-1qR¡¡,

a = [-(AR1(2 ln Ri + 1) + AR¡(($ - 1) ln R0 - 1) + 4dR3) + +4(5 - v)(1 - v)-1dR0][(V - 1)R20 + 2R¡]-1,

(36)

d = q/(64D),

b = -[(1 - v)[A($ - 1)(2 ln Ri + 1) - 2A(($ - 1) ln R0 - 1)] +

+8(1 + v)dRi + 4(5 - v)dR0]R0R¡[(1 - v)((ti - 1)R¡ + 2R¡)]-1.

В случае жесткого закрепления внешнего контура плиты, наличия недефор-мируемого подкрепления на внутреннем контуре и действии по всей ее лицевой поверхности равномерно распределенных усилий интенсивности q

= Gf)(v, E, h, R0, Ri, q, r) =

(37)

= -2D(1 + v)[Alnr + a + A] - D(1 - v)[A - br-¡] - 4dD(3 + v)r¡, M(9) = G{¡](v, E, h, Ro, Ri, q, r) =

(38)

= -2D(1 + v)[Alnr + a + A] + D(1 - v)[A - br-¡] - 4dD(1 + 3v)r¡,

где

A = q* / (8nD), q* = -nqR¡, a = [jioRo - 7iiRi]/[2(R¡ - R¡)],

(39)

b = [Ro(YiiRoRi - YioR¡)]/[(R¡ - R¡)], Yij = -[ARj (ln Rj + 1) + 4dR3 ].

При получении и анализе нечетко-множественных обобщений моделей, описываемых соотношениями (25) - (39), вводятся дополнительные нечетко-интервальные описания для обладающих разбросами исходных геометрических параметров и параметра наружения

Ñ = (Ni, N¡, N3, N4), Ro = (Roi, Ro¡, R03, Roa), Ri = (Rii, Ri¡, Ri3, Ría),

R-0 = [J [Roa>Roa],

ae[o,1]

Rq a = (1 — Ct)Roi + OíRq2 1 Roa = CíRqs + (1 — a) R04]

Rl — [J [KlaiRla],

a€[0,1]

Ria = (1 — a)Rn + aRu, Ria = aRiz + (1 - a)Ru

N= U

ae[0,\]

Na = (1 -a)Ni + aN2, ~Na = aN3 + (1 - a)N4. и для эндогенных характеристик напряженного состояния на основании применения а - уровневой формы эвристического принципа обобщения записываются представления вида

где

«€[0,1]

_ (41) м^\т)= U [G^(r),G^(r)], (j = 5Г9),

a€[0,1]

Ш(г) = inf_ {Gij\u, E, h, Во, Rl, N, r)},

Ee\Ea, Ea]

h£\äa> ha]

Ro € \Moa ' Roa ]

Ri£\Mia> 3«! Ne\Na, Na]

Grl(r) = sup_ {G^iv, E, h, Ro, Ri, N, r)};

ve\Ka> Ы Ee\Ea, Ea]

he\ha, ha]

Ro € IMoa > Roa ]

Rie\Ria, 3«] Ne\Na, Na]

Gg(r) = inf_ {G^iy, E, h, Ro, Rl, N, r)}, (42)

Ee\Ea, Ea}

h£\äa> ha]

Roe\R()a.

ßieLRla, Ria] Na]

G(pa{r) = sup_ {djj\v, E, h, Ro, Ri, N, r)},

ve\}La, Va] Ee[Ea, Ea\

h£\äa> ha]

Ro € IMoa > Roa ]

Ri€\Mia> 3«]

Na]

(j = 5, 6);

0£>(г) = т1_ Е, к, По, Дь д, г)},

Ее\Еа, Еа]

Ь£\ка, ка]

= 8ПР_ Е, к, Ко, Дь д, г)};

Ее\Еа, Еа] ье\ьа, ьа] ДоеШоа. ^Оа]

сЩ{г) = Е, к, По, ДЬ д, г)}, (43)

Ее\Еа, Еа]

Ь£\ка, ка]

С(ра{г) = 8пр_ Е, к, Ко, Къ д, г)}

^[На- ^а]

Ее\Еа, Еа} ье\ьа, ьа] ДоеШоа. ^Оа]

, 5а]

С/ = 7, 9).

Примеры численной реализации описанной методики оценивания количественных разбросов параметрических оценок М(\т), М(\т) для рассматриваемых моделей осесимметричного изгиба кольцевых пластин представлены применительно к случаю задания исходных нечетко-интервальных параметров в виде (24) с дополнением:

N¡ = (0.284*, 0.31и*, 0.32и*, 0.36и*) и* = 103[н/(рад • м)].

зг „ (44)

Расчеты, результаты которых отражены на рисунках 23 - 43, относятся к случаям, когда геометрические параметры рассматриваемых плит полагаются точными величинами без разбросов со значениями

Яо = 0.41*, Яг = 0.11*, к = 3 • 10"31*, I* = 1[м], (45)

а механические свойства материала плиты и характеристик внешнего нагруже-ния обладают описываемыми представлениями (24), (44) разбросами значений.

В частности, на рисунке 23 представлена форма функции принадлежности для нечетко-множественного экзогенного параметра N. Описания характеристик нечетко-множественных параметрических распределений М^(г), М(\г), определяемых соотношениями (25) - (39), (41) - (43), а также формы функций принадлежности для этих нечетко-множественных величин при отдельных значениях радиальной координаты даны на рисунках 24 - 43.

Рис. 23. Функция принадлежности N.

Рис. 24. Распределения МГ ) (г) с

(М(5\т)).

показателями и - (5), ч

' МГ (г) 4

Рис. 25. Функция принадлежности М(б)(0.4) .

Рис. 26. Распределения М( ) (г) с показателями и(5), (М(б\г)).

М а ( г )

Рис. 27. Функция принадлежности

М(5\0.4).

Рис. 28. Распределения М( ) (г) с показателями и—(6) ( ) (М(6\г)).

М г ( г )

Рис. 29. Функция принадлежности м(6)(0.4).

Рис. 30. Распределения М( ) (г) с показателями и—(б) (г) (М(6 (г)).

[л]

Рис. 32. Распределения М(7) (г) с показателями и(7) ( ) (М(7\г)).

Мг ( г)

200 21В 220 2.10

Рис. 31. Функция принадлежностиМ(6) (0.4).

Рис. 33. Функция принадлежности М(7)(0.4).

Рис. 34. Распределения М( ) (г) с показателями и.>(г). (М(7\г)).

М а ( г)

-75 -70 -Й5

Рис. 35. Функция принадлежности М(7\0.4).

Рис. 36. Распределения М{ ) (г) с показателями и-(в) ^ (М{8 (г)).

Рис. 37. Функция принадлежности

М(8)(0Л).

Рис. 38. Распределения М( ) (г) с

показателями и - (в),

М ^ {г)

(8)[ в

(М{8\г)).

Рис. 39. Функция принадлежности М{8)(0Л).

Рис. 40. Распределения М{ ) (г) с показателями и - (9) { (М{9\г)).

М- ( )

Рис. 41. Функция принадлежности

м{д)(0Л).

Рис. 42. Распределения М{ ) (г) с

показателями и - (9), , {г)

в( (М{9)(г)).

Рис. 43. Функция принадлежности

М{9\0Л).

Результаты расчетов во всех рассмотренных случаях согласуются с оценками, получаемыми в работах [1, 2] на основе детерминистических вариантов соответствующих моделей.

Выводы. Итогом представленных исследований является разработка нечетко-множественной численно-аналитической методики учета разбросов в значениях исходных параметров на характеристики напряженно-деформированного состояния изгибаемых тонких изотропных плит, определяемые в рамках применения прикладной теории, базирующейся на гипотезах прямой нормали. Предложенный и реализованный для ряда примеров подход основывается на использовании соотношений модифицированной альфа-уровневой версии эвристического принципа обобщения в процессе перехода в аналитических представлениях решений, полученных в рамках классической четкой постановки соответствующих задач, к нечетко-множественным аргументам в виде нормальных трапецеидальных нечетких интервалов. Оценки, получаемые в результате применения предложенной методики, дают возможность установить диапазоны наиболее достоверных отклонений в значениях анализируемых характеристик напряженно-деформированного состояния изгибаемых плит при заданных разбросах их исходных физико-механических и геометрических параметров, а также определить предельные границы возможных разбросов для значений анализируемых характеристик на минимальном уровне уверенности.

1. Тимошенко С.П. Курс теории упругости / С.П. Тимошенко. - Киев: Наукова думка, 1972. - 508 с.

2. Калоеров С.А. Решения задач об изгибе тонких плит для канонических областей / С.А. Ка-лоеров, А.И. Занько, А.А. Кошкин // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. -№ 9 (55). - С. 99-138.

3. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных изотропных плит / С.А. Калоеров // Теоретическая и прикладная механика. - 2013. - № 7 (53). - С. 83-100.

4. Калоеров С.А. Концентрация напряжений в многосвязных изотропных пластинках / С.А. Калоеров, Е.В. Авдюшина, А.Б. Мироненко.- Донецк: Изд-во ДонНУ, 2013. - 440 с.

5. Космодамианский А.С. Изгиб тонких многосвязных плит / А.С. Космодамианский, Г.М. Иванов.- Донецк, 1973.- 256 с.

6. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. - М.: Наука, 1970. - 139 с.

7. Ларин В.Б. Статистические задачи виброзащиты / В.Б. Ларин. - Киев: Наукова думка, 1974. - 128 с.

8. Дилигенский Н.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н.В. Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов. - М.: Издательство Машиностроение - 1, 2004. - 397 с.

9. Ротштейн А.П. Моделирование и оптимизация надежности многомерных алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба, А.Н. Козачко. - Винница: УН1ВЕРСУМ, 2007. - 215 с.

10. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях / А.Е. Алту-нин, М.В. Семухин. - Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2002. - 352 с.

11. Kaufmann A., Gupta M. Introduction to fuzzy arithmetic-theory and applications / A. Kaufmann, M. Gupta. - New York: Van Nostrand Reinhold, 1985. - 349 p.

12. Anastassiou G.A. Fuzzy Mathematics: Approximation Theory / G.A. Anastassiou. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. - 444 p.

13. Kandasamy W.B. V. Special set linear algebra and special set fuzzy linear algebra / W.B.V. Kan-dasamy, F. Smarandache, K. Ilanthenral. - Slatina, Judetul Olt, Romania: Editura CuArt, 2009.

- 469 p.

14. Sonbol A.H. TSK Fuzzy Function Approximators: Design and Accuracy Analysis / A.H. Sonbol, M.S. Fadali // IEEE Trans. Syst. Man and Cybern. - 2012. - Vol. 42. - P. 702-712.

15. Ban A.I. Trapezoidal approximation and Aggregation / A.I. Ban, L.C. Coroianu, P. Grzegorzew-ski //Fuzzy Sets Syst.- 2011. - Vol. 177. - P. 45-59.

16. Bede B. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. - Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013. - 276 p.

17. Grzegorzewski P. Trapezoidal approximations of fuzzy numbers / P. Grzegorzewski, E. Mrfowka //Fuzzy Sets Syst. - 2005. - Vol. 153. - P. 115-135.

18. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An introduction with Engineering Application / M. Hanss.

- Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. - 253 p.

19. Сторожев В.И. Нечетко-множественные оценки в моделях теории объемных волн деформаций / В.И. Сторожев, С.В. Сторожев // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. -С. 103 - 111.

20. Сторожев С.В. Нечеткие оценки для характеристик нелинейных вторых гармоник объемных волн сдвига в трансверсально-изотропной упругой среде / С.В. Сторожев, С.Б. Ном-бре // Вестник Донецкого национального университета. Серия А. Естественные науки. -2015. - № 2. - С. 38 - 43.

S.V. Storozhev

Fuzzy-set methodology for estimating the influence of scattering of initial parameters on the characteristics of the stressed state of bended thin isotropic plates.

A description of a numerical-analytical fuzzy-set technique for obtaining estimates of the effect of scatter of the initial physical, mechanical and geometric parameters in the Kirchhoff applied model for describing the bending deformation of thin circular and annular isotropic plates on the endogenous characteristics of their stress state is given. The approach used in several types of problems on the action of axisymmetric bending loads is based on the interpretation of parameters with scatter as normal trapezoidal fuzzy intervals, and on the subsequent use of modified versions of the heuristic generalization principle during the transition to fuzzy-set arguments in the ratios of classical deterministic models for calculating internal bending forces.

Keywords: thin isotropic plates, applied theory of bending, circular and ring geometry, axisymmetric stress state, scatter of initial parameters, allowance of uncertainties, fuzzy-set technique, heuristic generalization principle..

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства Получено 27.08.2019

и архитектуры", Макеевка

s.storozhev@donnu.ru