Неаффинных дифференциально-алгебраических кривых не существует Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84

НЕАФФИННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ

НЕ СУЩЕСТВУЕТ

О. В. Герасимова1, Ю. П. Размыслов2

Сей текст одновременно и алгебраический ликбез, и картезианский мастер-класс (message, так сказать) для невтонов, платонов и их последователей

В работе объясняется, почему у счетномерной дифференциальной С-алгебры А без делителей нуля степени трансцендентности 1 спектр максимальных идеалов SpeccA локально аналитичен, т.е. для любого С-гомоморфизма фм ■ А —> С (М G SpeccA) и а £ А

~ def °° m

ряд Тейлора фм (а) = имеет ненулевой радиус сходимости, зависящий от

т=0

элемента а £ А.

Ключевые слова: дифференциальная алгебра, аффинная кривая, параметризация, степенные ряды, аналитичность.

The paper outlines why the spectrum of maximal ideals SpeccA of a countably-dimensional differential C-algebra A of transcendence degree 1 without zero devisors is locally analytic, which means that for any C-homomorphism фм A —> С (M £ SpeccA) and any a £ A the Taylor

__OO m

series фм{а) = J2 "Фм(a^)f^y has nonzero radius of convergence depending on the element

m=0

a £ A.

Key words: differential algebra, affine curve, parameterisation, power series, analyticity.

1. Введение. Начнем с одного интуиционистского, чисто алгебраического трюка, позволяющего разрешать некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно входящей в них старшей производной.

Лемма об аффинности промежуточной подалгебры. Пусть ком,м,ут,ат,ивно-ассоциат,ив-ная область целостности А является алгеброй (с единицей) над произвольным алгебраически замкнутым полем k (charfc ^ 0), а ее поле частных Q{Á) имеет над к степень трансцендентности, равную 1. Тогда если в цепочке k-подалгебр А С С С В С Q{Á) алгебры А и В содержат конечное число образующих, то это верно и для подалгебры С.

Доказательство. Поскольку В имеет конечное число образующих, то С — счетномерная fc-алгебра. Выберем в С элементы {e¿\г = 1,2,...} так, чтобы они дополняли базис fc-алгебры А

до базиса С. Положим Со ^ A, C¿+\ =f C¿[e¿+1], С00 ^ В. Целые замыкания ("нормализации") всех этих конечно-порожденных подалгебр в Q(Á) будем обозначать Со, С i,..., C¿,..., С00 соответственно. Хорошо известно (см. [1, гл. 2]), что каждая такая подалгебра имеет над к конечное число образующих. Более того, в ходе доказательства этого факта устанавливается (см. [1]), что подалгебра Ci как модуль над C¿ конечно порождена и, следовательно, нётерова. Покажем, что возрастающие цепочки fc-подалгебр {C¿}, {C¿}, ¿ = 1,2,3,..., стабилизируются.

Предложение 1. Если в цепочке областей целостности F С G С Q{F) k-подалгебры F и G имеют конечное число образующих, F = F (т.е. F целозамкнута), degkQ(F) = 1, то ест,ест,венное отображение v : SpecfcG —> SpeckF обладает, следующими свойствами: у ............... инъективное отображение;

б) если V сюрьективно, то G совпадает с F,

в) (SpeckF) \ u(SpeckG) — конечное множество.

Это есть точный перевод на язык коммутативной алгебры утверждения следствия 2 теоремы 2 работы [1, гл. 2, § 2, с. 136].

1 Герасимова Ольга Вячеславовна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ynona_olgaQrambler.ru.

2Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ynona_olgaQrambler.ru.

Из свойства б заключаем, что если C¿ ф C¿+i, то некоторый максимальный идеал М € Spec fcC¿ не поднимается до идеала в SpecfcC¿+i, а тогда из свойства а вытекает, что М П Со € SpecfcCo не поднимается до идеала в SpecfcCoo. Но в Со в силу свойства в конечное число максимальных идеалов, которые не поднимаются до идеала в SpecfcCoo- Следовательно, в возрастающей цепочке "нормализации" Со Q С\ С ... Ст С ... лишь конечное число мест, где включения строгие, т.е. Cn = Cn+í для достаточно большого N G N(¿ = l,2,...)n Cn ^ С = (J Ст С CN. Но как было отмечено

_ т

выше, подалгебра Cn как модуль над Cn нётерова. Поэтому его Cjv-подмодуль С конечно порожден и должен совпадать с Cn+q для некоторого q € N, что доказывает лемму. Отсюда без труда выводятся следующие утверждения.

Теорема 1. Любая конечно-порожденная дифференциальная к-алгебра3 без делителей нуля и степени трансцендентности 1 имеет конечное число образующих как коммутативно-ассоциативная алгебра, в частности эта дифференциальная k-алгебра конечно определенаi4.

Следствие 1. Спектр максимальных идеалов SpeccA произвольной конечно-порожденной дифференциальной коммутативно-ассоциативной С-алгебры А без делителей нуля, степени трансцендентности 1 аполитичен, т.е. для любого С-гомоморфизма грм '■ А —>■ А/М ~ С (М € SpeccA) при

___. / ___. def т \

гомоморфизме Тейлора грм '■ А —> С [[г]] (грм (о) = Фм {а^) ^ ) все степенные ряды сходятся,

^ т=о ''

в некоторой окрестности нуля.

Теорема 2. Пусть X — неприводимая, аффинная алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым полем к, а к[Х] — ее алгебра регулярных функций. Тогда, любая k-подалгебра в к[Х] порождается, конечным, числом своих элементов.

Следствие 2. Пусть поле К имеет степень т,ра,нсцендент,ност,и 1 над алгебраически замкнутым полем k, a Der¡¿К — алгебра, Ли всех к-дифференцирований К —>■ К. Тогда, для, любых а\,...,ап € К, Di,..., Di € Der ¡¿К наименьшая коммутативно-ассоциативная k-подалгебра А в К, для которой ai,..., ат € А и Di{A) С А{г = 1,... ,1), конечно порождена. Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.

2. Дифференциальные алгебры Пикара (см. [2]). Зададим дифференциальную С-алгебру Р образующими xi,...,xn и п определяющими соотношениями х\ = /¿(жi,...,хп) (г = 1,2,... ,п), где все /¿ — произвольные фиксированные элементы алгебры многочленов C\xi,... ,хп]. Очевидно, что эта алгебра не имеет делителей нуля и ее можно реализовать на С[ж1,... ,хп], взяв в качестве

def П

дифференцирования D = ^ /¿¿Цт-

г=1 г

Спектр этой дифференциальной алгебры совпадает с аффинным пространством Сп. Для ко-

_ dof ^yi dof

эффициентов ряда Тейлора грм{Л = Е {Dm х /)U¿=a¿,.,,х„=«„ ' ш (f е C[xi,... ,хп],М =

т=0

{ai,..., an))i мгновенно выводится оценка \ {{Dm х /)\х=м)/тЦ ^ nmam+l, где а — максимум модуля значений функций /, fi,...,fnm всех их частных производных произвольного порядка в точке М. Следовательно, все степенные ряды грм{%i)j • • •, Фм{%п) сходятся в некоторой окрестности нуля.

Из равенства грм{1) = 1{фм{хi),... ,грм{хп)) следует, что для любого / € €\xi,... ,хп] ряд ip{f) сходится в той же окрестности. Так как любая конечно-порожденная коммутативно-ассоциативная С-алгебра А с фиксированным дифференцированием I) € Derc^4 является гомоморфным образом алгебры Пикара Р при подходящем выборе п и fi,..., fn, то SpeccA также аналитичен для любого D е DercA

3. "Рациональные" дифференциально-алгебраические параметризации плоских аффинных неприводимых алгебраических кривых. Обозначим через Хц плоскую аффинную неприводимую алгебраическую кривую, заданную уравнением Н{х,у) = 0 (Н{х,у) € к[х,у]). Пусть к[Хн] — ее алгебра регулярных функций над алгебраически замкнутым полем к произвольной характеристики. В пп. 3.1-3.3, 4 нами преполагается, что задаваемые в них дифференциально-алгебраическими соотношениями дифференциальные fc-алгебры ("параметризации") естественным образом содержат к[Хн] в качестве подалгебры. Разумеется, это должно накладывать некоторые

3Говорят, что дифференциальная алгебра порождается элементами а\,... ,ат, если как коммутативно-ассоциативная алгебра она порождается всевозможными ар', г = 1,... , т, ] = 0,1, 2,..., где ар' — это результат применения ] раз сигнатурного дифференцирования к образующему сн.

4Дифференциальная алгебра конечно определена, если она дифференциально изморфна дифференциальной алгебре, заданной конечным числом дифференциальных образующих и дифференциальных соотношений.

ограничения на неприводимый многочлен Н(х,у). Сразу явно укажем для каждого из этих случаев необходимые и достаточные условия, обеспечивающие такое включение:

а) Щ- ф 0 в пп. 3.1, 3.3;

б) Х'Ш + УЩ ¿k-H(x,y) вн. 3.2;

в) (ü)2 + (f)2# 0 в п. 4.

3.1. Одпопорождеппые дифференциально-алгебраические кривые (доказательство теоремы 1). Зададим дифференциальную /г-алгебру с единицей Wh двумя образующими со, со\ и двумя определяющими соотношениями Н(со,со\) = 0, со' = согде Н(со,со\) — неприводимый многочлен в к[со,со\], для которого ф 0. К сожалению, в данный момент неизвестно, содержит ли эта коммутативно-ассоциативная алгебра делители нуля. Чтобы избавиться (при ф 0) от такого рода виртуальных элементов, рассмотрим в Wh дифференциальный идеал /я {а € Wh\ ■ а = 0,т = т(а)} и пролокализуем Wh по элементу d =f € Wh- Тогда ядро канонического гомоморфизма дифференциальных алгебр v : Wh —> {Wh)<i {JH^ £ Wh} совпадет с идеалом /я- Положим

_ d^f dof _dof dof dof

Wh = v(Wh), ü = v(uj), d = v(d), co\ = v(co\), к[Хн] = k[co,coi]. Тогда из равенства со' = со\ вытекает, что Wн дифференциально порождается одним элементом со, а равенство 0 = Н' = показывает, что все элементы v(Wh) = Wя лежат в коммутативно-ассоциативной алгебре (Wn)d, порожденной тремя элементами со, со i, d-1 = (со\ ■ Это позволяет реализовать W я как диф-

ференциальную fc-подалгебру в поле к(Хн), где Хн — плоская неприводимая аффинная алгебраическая кривая, заданная уравнением Н(со,со\) = 0 Ф 0), взяв в качестве дифференцирования

1 V аш V аш i oui! > аш\ >

Следовательно, мы получаем цепочку fc-алгебр к[Хн} Ç W я Ç {Wh)í ^ к(Хн), удовлетворяющую всем условиям леммы об аффинности промежуточной подалгебры, т.е. W я как коммутативно-ассоциативная fc-алгебра порождается конечным числом элементов. Очевидно, что любая однопо-рожденная дифференциальная подалгебра, в произвольной дифференциальной области целостности (степени трансцендентности, равной единице) является гомоморфным образом, W я при подходящем выборе Н(со,со\) (тЩ- ф О) и, следовательно, как коммутативно-ассоциативная к-алгебра конечно порождена. Так как любая m-порожденная дифференциальная fc-алгебра является произведением m штук своих однопорожденных дифференциальных подалгебр, то это доказывает теорему 1 об аффинности дифференциально-алгебраических кривых. (Особо отметим, что проведенное рас-

f) J-f

суждение справедливо и над полями положительной характеристики р, так как из равенств q^ = 0,

= 0 следует, что Н(со,со\) = (F(co,co\))p, а это противоречит неприводимости Н.)

Завершим эту пункт одной незамысловатой (возможно, никчемной, но запоминающейся) версией теоремы 1.

Предложение 2. Если в дифференциальной области целостности F над алгебраически замкнутым полем к элементы / и f связаны некоторым ненулевым полиномиальным соотношением H(f, /0 = 0 (Н(х,у) € к[х,у], H ф 0), то для, некоторого натурального числа N "N-я производная," f(N) полином,иально выражается, через предыдущие f, f, f", ...,

Следствие 3. Если на действительном интервале (а, Ъ) бесконечно дифференцируемая ком-плекснозначная функция f(t) является решением, дифференциального уравнения H(f, f) = 0; где Н(х,у) € С[х,у] — неприводимый (ненулевой) полином, то для некоторого натурального числа, N функция, f(N\t) полином,и,ально выражается, через f(t), f'(t), f"(t), ..., Z^-1^)-

3.2. Кеплеровы, параметризации плоской кривой. Зададим дифференциальную /г-алгебру с единицей Он образующими х, у и двумя дифференциальными определяющими соотношениями Н(х,у) = 0, ху' — х'у = а, где H — неприводимый многочлен в к[х,у], для которого ж'Щ" + У'^ к-Н(х,у), а 0 ф а € к (например, а = К/те). Разрешая систему уравнений 0 = Н' = -х' + Щ--у', —ух'+ху' = а

II г( \ ( Х'\ Í~дН/ду\ def QH , дН тп

относительно х , у , получаем L[x, у) ■ I , I = а I 1 > гДе = 'х + 'У- ^сли неприводи-

мая аффинная кривая Хн (заданная уравнением Н(х, у) = 0) является гладкой, то идеал, порожденный Щ- в k[Xn], должен совпадать со всей алгеброй. Поэтому а^- + ЪЩ- = 1 для некоторых a, b из к[Хн} ■ Следовательно, С ■ (—ах' + Ъу') = а, т.е. элемент С обратим в Gh- Отсюда немедленно сле-

дует, что Он как коммутативно-ассоциативная fc-алгебра: а) порождается своими тремя элементами х, у, С~1; б) вкладывается в поле к(Хн) и не содержит делителей нуля; в) реализуется как дифференциальная подалгебра в к(Хн) относительно дифференцирования Dh =f а ■ + Щ^щ)-В общем случае не исключено, что в Он существуют делители нуля. Пусть I — произвольный дифференциальный идеал в Он, для которого Он/1 не имеет таких элементов. Допустим, что I пересекается с подалгеброй к[Хн], порожденной х, у в Он, ненулевым образом, тогда факторалгебра к[Хн\/(IП к[Хн\) нульмерна и область целостности Он/1 должна совпадать с к • 1, а это противоречит тому, что ху' — х'у = а ф 0. Если же I П к[Хн] = 0, то элемент С € к[Хн] не равен нулю в области целостности Он/1, и, локализуя по С, получаем (Он/1)с = (Он)с/1с- Следовательно, идеал I должен совпадать с идеалом 1(H) ^ {а € Он\^т ■ а = 0 в Он, ш = т(а)}. То есть существует единственная область целостности Он, которая задана образующими х, у и двумя дифференциальными соотношениями Н(х, у) = 0, ху' — х'у = а (а € к, а ф 0) и которая обладает свойствами: а) Он

вкладывается в к(Хн) относительно дифференцирования Dh ■&(—> б) при этом

вложении к[Хн] С Он ^ (Он)с С к(Хн) и локализация (Он)с как коммутативно-ассоциативная fc-алгебра порождается тремя своими элементами х,у,С~1; в) Он — простая дифференциальная /г-алгебра, и сигнатурное дифференцирование не исчезает ни в одной точке спектра SpecкОн- Таким образом, Xq = Spec ¡.Он — это гладкая аффинная неприводимая алгебраическая кривая и Он содержит k[X^j], где Хц — нормализация кривой Хн• Это говорит о том, что кеплеров наблюдатель Он исключает из рассмотрения все нелинейчатые ветви Xа немного сдвинувшись из начала координат, может заметить все линейчатые. Такой наблюдатель способен, обозревая кривую Хн, поступить более радикально: взбежать из начала координат по прямой х = 0 на "галерку".

3.3. Параметризации Пюизё. Рассмотрим дифференциальную fc-алгебру с единицей Рн, заданную образующими х, у и двумя дифференциальными соотношениями Н(х, у) = 0, х' = с (с € к, с ф 0), где Н(х,у) — неприводимый многочлен, для которого ф 0. Аргументы, приведенные в предыдущих двух примерах, гарантируют, что в Рн существует единственный (возможно, нулевой) дифференциальный идеал I d= {а е Рн\ ■ а = 0, т = т(а)}, факторалгебра по которому не содержит делителей нуля. Обозначим ее Рн- Равенство 0 II' ^-с + Щ-у' показывает, что локализация Рн по элементу порождается как коммутативно-ассоциативная

fc-алгебра тремя своими элементами: х,у, (^f^J , а Рн реализуется как дифференциальная подалгебра в поле к(Хн) относительно дифференцирования D = D(H) = с ^^ — щ)' Тогда к[Хн} С Рн С (Рн)ш С к(Хн), а в силу единственности идеала I дифференциальная fc-алгебра Рн

ду

проста, а ее сигнатурное дифференцирование не исчезает ни в одной точке SpecкРн и так же, как

def

и в предыдущем примере, Хрн = SpecкРн — это гладкая аффинная неприводимая алгебраическая кривая, для которой к[Хрн] = Рн содержит к[Хц], где Хц — нормализация плоской кривой Хц. При этом Рн исключает из рассмотрения те ветви кривой Хц, для которых проекция касательной на плоскость Оху параллельна прямой х = 0 (в том числе и нелинейчатые ветви).

4. Параметризации Ферма (натуральный параметр). Зададим дифференциальную fc-алгебру с единицей Fh образующими х,у и двумя определяющими соотношениями Н(х, у) = 0,

(х')2 + (у')2 = с2 (char к ф 2), где Н(х,у) — неприводимый полином, для которого A =f (f|f)2 +

ЯН 2

(-т^-) ф 0, а 0 ф с € к. Очевидно, что сигнатурное дифференцирование не исчезает ни в одной точке спектра SpeckFn fc-алгебры Fh, поэтому если мы покажем, что любой гомоморфный образ Fh алгебры Fh, не содержащей делителей нуля, имеет над к степень трансцендентности, равную 1, то Fh окажется простой конечно-определенной дифференциальной /г-алгеброй с аналитическим

спектром. Пусть ф : Fh Fh — соответствующий эпиморфизм, х ф(х),у =f ф(у), £;[Хя] — алгебра регулярных функций плоской аффинной кривой Хн, заданной уравнением Н(х,у) = 0. Ясно, что к[Хн] изоморфна fc-подалгебре, порожденной х, у в Fh, и к[Хн] П Кетф = 0 (в противном случае нульмерная подалгебра ф(к[Хн]) порождала бы Fh и х!, у' должны были быть равными нулю, а это противоречит равенству (х1)2 + (у1)2 = с2 ф 0). Равенства ^ = 0, = 0 возможны, если charfc = р > 0, но в силу неприводимости Н(х, у) либо ^ ф 0, либо ф 0.

Рассмотрим случай, когда ф 0. Тогда d ф (ßf^j — ненулевой элемент в области целостности Fh и из равенств 0 = ф(Н') = + Ф(*Щ')у' и (ж')2 + (у1)2 = с2 получаем, что

у' = —{ф{Щ^)/<1)х', (х')2{1 + (</>(ж")/d)2) = с2 в поле частных Q(Fh) алгебры Fh- Из последнего соотношения следует, что а) fc-подалгебра Е, порожденная х, у, х', у', содержится в "квадратичном расширении" поля ф(к(Хн)У, б) € Q{E), г = 2,3,.... Это доказывает, что область целост-

ности Fh содержится в Q(E) и degkFn = degkQ(E) = 1. По теореме 1 коммутативно-ассоциативная fc-алгебра Fh порождается конечным числом своих элементов и конечно определена как дифференциальная fc-алгебра. Так как сигнатурное дифференцирование ' не исчезает ни в одной точке

def ~ ~ -

Хрн = Specfc-Fff) то Fh — целозамкнутая /г-алгебра и Fh содержит к[Хц], где Хц — нормализация кривой Хн-

5. Неаффинные дифференциально-алгебраические поверхности существуют. Зададим дифференциальную С-алгебру Е (с единицей) образующими х, у и определяющими соотношениями х1 = 1, х2-у' +у—х = 0. Положим x(z) z, y(z) Yl (—1 )тт\-и породим элементами

т=0 _

х, у в степенных рядах C[[z]] дифференциальную С-подалгебру Е относительно дифференцирования Непосредственная проверка показывает, что = 1, — ж = 0вС[[г]]. Поэтому область целостности Е является гомоморфным образом Е при ф : Е —>■ Е (ф(х) = х, ф(у) = у) и мы последовательно получаем утверждения:

а) Кетф = {а € Е\х2т ■ а = 0 (т = ш(а))};

б) для максимального идеала М € SpecСЕ, являющегося пересечением Е с единственным максимальным идеалом в C[[z]], при гомоморфизме Тейлора фм '■ Е —> С [[г]] имеем фм{х) = х, Фм{у) = У, т.е. SpecсЕ неаналитичен в точке М;

в) х, у алгебраически независимы над С (в противном случае Е совпадала бы с некоторой параметризацией Пюизё Рн (Н(х,у) € С[х,у]) и SpecСЕ был бы аналитичным);

г) алгебра Е может быть реализована в поле рациональных функций С(х,у) как дифференциальная С-подалгебра относительно дифференцирования D =f +

Таким образом, дифференциальная область целостности Е имеет над С степень трансцендентности, равную 2, ее спектр максимальных идеалов не аналитичен и, следовательно, как коммутативно-ассоциативная С-алгебра Е не может порождаться конечным числом своих элементов.

Мы оставляем читателю в качестве упражнения проверку еще двух свойств С-алгебры Е:

д) С[х,у] СЁ с С [х,у,х~1] С С(х,у)-,

е) Е — простая дифференциальная С-алгебра.

6. Доказательство теоремы 2. Так как алгебра к[Х] конечно порождена, то ее произвольная fc-подалгебра С счетномерна. Если С содержит единичный элемент алгебры к[Х], то выберем в С базис {ei\i = 0,1,...} так, чтобы ео =f 1. Положим Со d= к ■ ео, Ci+\ =f Ci[ei+1], i = 0,1, 2,... . Поскольку поле к алгебраически замкнуто, то fc-алгебра С\ изоморфна алгебре многочленов к[еi]. Рассмотрим возрастающую цепочку полей частных Q(C\) fc-алгебр Cj. Так как к[Х] конечно порождена и degкк(Х) = 1, то поле к(Х) является конечным расширением подполя Q(Ci) и dimQ(G\)Q(Ci) ^ dim(g(c1)Q(C'i+i) ^ dimQ(Cl)fc(X). Следовательно, возрастающая цепочка полей Q(Ci), i = 0,1,2,..., стабилизируется начиная с некоторого номера N: Q(Cn) = Q(CV+i),

def

¿ = 1,2,.... Положим А = Cn, тогда Q{Ä) = Q(C) С к{Х) и вложение А с к[Х] задает регулярное

отображение v : X ->■ = SpecкА. Так как degkk(X) = 1, то множество Xa\v{X) конечно и Ха содержит конечное число особых точек. Поэтому в fc-алгебре А можно выбрать такой элемент d,

а) локализация

Л* = Aid-1] С Q{A) алгебры А по элементу d — целозамкнутая fc-алгебра;

б) локализация (к[Х}),ц состоит из алгебраических над А^ элементов, и любой идеал из SpecfcA<i поднимается до идеала из Specк(к[Х]),ц, в частности до идеала из Speck{CN+i)d-

Применяя предложение 1 при F = А^, С = (Cjv+i)<i) заключаем, что А^ = (Cjv+i)<i = Cd, и

def def

мы получаем цепочку подалгебр А = Cn С С В = А^ = (CN+i)d ^ Q(A)> удовлетворяющую всем условиям леммы об аффинности промежуточной подалгебры. Это завершает доказательство теоремы в случае, когда fc-подалгебра С содержит единицу.

def

Если 1 ^ С, рассмотрим fc-подалгебру Cid = к Л® С, которая по уже доказанному порождается

некоторыми своими элементами а = Л^ • 1 ф Сг г = 1,..., т, т = т(С), Сг € С, А^ € к. Но тогда съ • • •, ст € С порождают С. Теорема 2 полностью доказана.

Авторы считают своим долгом выразить глубокую благодарность И. Р. Шафаревичу за его неизменный интерес к результатам наших исследований и поддержку в работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: .\IIUI.\K). 2007.

2. Герасимова О.В., Погудин Г.А., Розмыслов Ю.П. Rolling simplexes and their commensurability, III (Соотношения Капелли и их применения в дифференциальных алгебрах) // Фунд. и прикл. матем. 2014. 19, вып. 6. 7^24.

Поступила в редакцию 05.09.2016

УДК 517.1; 530.1

ДВОЙСТВЕННАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ В НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ

B.C. Зарубин1 , Г. Н. Кувыркин2 , И.Ю. Савельева3

Для применения создаваемых перспективных диэлектрических материалов в различных современных электротехнических и электрофизических приборах и устройствах необходим надежный прогноз достижимости требуемого уровня выходных характеристик, зависящих от свойств этих материалов. Такой прогноз опирается (в том числе) на решение задач электростатики в неоднородной анизотропной среде, позволяющее расчетным путем оценить реальность выполнения предъявляемых требований к эффективным характеристикам создаваемых материалов. Для решения этих задач в работе использована двойственная вариационная формулировка задачи электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике.

Ключевые слова: задача электростатики, анизотропный диэлектрик, тензор диэлектрической проницаемости.

The use of developed prospective dielectric materials in various modern electrotechnical and electrophysical devices requires reliable forecast of attainability of the required level of final characteristics depending on properties of those materials. Such forecast is based (among others) on solution of electrostatic problems in an inhomogeneous anisotropic medium allowing one to estimate the ability to satisfy the qualifying standards for effective characteristics of created materials. A dual variational formulation of an electrostatic problem in an inhomogeneous anisotropic dielectric is used to solve these problems.

Key words: problem of electrostatics, anisotropic dielectric, tensor dielectric constant.

Введение. Во многих электротехнических и электрофизических приборах и устройствах в качестве диэлектриков используют неоднородные анизотропные материалы. Значительную часть таких материалов составляют композиты, в которых, как правило, изотропная диэлектрическая матрица (полимерная или керамическая [1-4]) армирована включениями различной формы, обладающими в общем случае анизотропными диэлектрическими характеристиками [5-7].

1 Зарубин Владимир Степанович — доктор техн. наук, проф. каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: ZarubinQbmstu.ru.

2Кувыркин Георгий Николаевич — доктор техн. наук, зав. каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: Fn2Qbmstu.ru.

3Савельева Инга Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: Inga.SavelyevaQgmail.com.