Гамильтоновость полиномиальных ниль-распределений на аффинной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84

ГАМИЛЬТОНОВОСТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ НИЛЬ-РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

НА АФФИННОЙ ПЛОСКОСТИ

О. В. Герасимова,1 Ю. П. Размыслов2

Исследуются свойства полиномиальных векторных полей конечного ниль-индекса на аффинной плоскости.

Ключевые слова: аффинная плоскость, векторное поле, дифференцирование, ниль-индекс, плоская кривая.

Properties of finite nil-indexed polinomial vector fields on an affine plane are studied. Key words: affine plane, vector field, differentiation, nil-index, flat curve.

def

Обозначим Nd(v) = max{n G N|Dra x v = 0} ниль-индекс оператора D на векторе v, и пусть для каждой точки (x, y) аффинной плоскости в касательном пространстве зафиксирован вектор (a, b), который полиномиально зависит от x,y. Когда такое векторное поле допускает достаточно много интегральных кривых, выражаемых многочленами от t?

Теорема 1. Пусть алгебраическое .замыкание подмножества M в K2 (K = R, C) совпадает с K2 и при любых (xo,yo) G M решение системы дифференциальных уравнений

Г^ = а(х,у), ^ = Ь(х,у) (х(0)=хо, у(0)=уо), (1)

где a и b — многочлены, полиномиально зависит от t. Тогда это верно для всех (xo,yo) G K2. Более того, дифференцирование D =f а(х,у+ Ъ(х,у)-щ алгебры многочленов К[х,у] действует нилъпотентно на образующие x и y, т.е. Nd(x),Nd(y) < с.

Положим U d= K[q,p], D d= a{q,p)§^ + b(q,p)-^, UD d= {h(q,p) G U\D x h = 0}, c(q,p) d=

def

НОД(a(q,p),b(q,p)) и D = c~L ■ D = a(q,p)Wq + b(q,p)^, где a = а/с, b = b/c e K[q,p}.

Теорема 2. Пусть K — произвольное поле нулевой характеристики и ненулевое дифференцирование D алгебры многочленов U = K[q,p] действует нильпотентно на q и p. Тогда

(i) D — гамилътоново дифференцирование, т.е. D = Т>н fr"¿Г ~~ W~W~ ^ля подходящего H(q,p) £

uD; Р q , Р

(ii) max(ND(q),ND(p)) делит degH(q,p);

(iii) НОД(а^,р),Ь^,р)) G UD = UD, Dm = cm • Dm, ND(h(q,p)) = Nd(h(q,p)) для всех h G U, в частности D нильпотентно действует на q и p;

(iv) D = Dg ^ ~ l^fSp u многочлен H(q,p) порождает подалгебру UD;

(v) Dnd(q) x q = const = 0, DNd(p) x p = const = 0, ND(q) = degp H(q,p), ND(p) = degq H(q,p);

(vi) алгебраическая кривая (линия уровня первого интеграла H(q,p), см. (1)), задаваемая уравнением H(q,p) = E (E пробегает алгебраическое замыкание K поля K) на аффинной плоскости K2, неприводима и полиномиально гомеоморфна (изоморфна) аффинной прямой K1;

(vii) вектор (a(q,p),b(q,p)) = (^Щ-, не равен нулю ни в какой точке К2.

Следствие 1. Для любого дифференцирования D алгебры K[q,p], действующего нильпотентно на q и p, существуют такие порождающие u(q,p),v(q,p) G K[q,p], что D в этой новой, криволинейной на K2

системе координат, имеет вид f(u) • J^, где fit) G K[t\.

1 Герасимова Ольга Вячеславовна — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ynona_olga@rambler.ru.

2Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ynona_olga@rambler.ru.

Следствие 2. Многочлен И(д,р) можно дополнить до системы двух свободных образующих алгебры К[д,р] тогда и только тогда, когда для гамилътонова дифференцирования И = Т)ц ^ Щ^Щ ~ Щ"Щ> выполняется любое из следующих условий:

(I) т&х(Мв(д),Мп(р)) = degИ(д,р);

(II) (^рЯ(д,р) хд = соп^ ^ 0) & (^е§дЯ(д,р) хр = ^^ ф 0). (Ш) (£>^е§Я(д,р) хд = 0 = В1+АщН(Я,р) х р) & (£> = 15).

Будем считать, что К[х,у] = К[д,р], х = д,у=рииА= К[д,р]. Для каждой точки О = (Хо,уо) € К2 определим (см. [1, 2]) гомоморфизм Тэйлора ф^ : II —полагая

фо(п(д,р)) = Ефо(О х п(д,р)) ■ ё/н, (2)

i=0

где фо(у(д,р)) == у(хо,уо). Непосредственная проверка показывает, что

в

ф8(Охи(д,р)) = -ф8(и(д,р)). (3)

Поэтому степенные ряды х({) = ф°(д), у(£) = ф°(р) являются формальными решениями системы (1). При К = К, С по теореме С. Ковалевской (см. [3]) они сходятся в некоторой окрестности нуля поля К и задают аналитическое решение уравнений (1).

По условию теоремы 1, когда О £ М, решение (1) выражается многочленами, следовательно, для любой такой точки образ гомоморфизма ф® лежит в подалгебре многочленов КЩ, порожденной в степенных рядах !£"[[£]] переменной Если О не принадлежит подмножеству особых точек ^ {(Яо,Ро) € К \а(до,ро) = 0 = Ь(до,ро)}, то образ ф® содержит не только константы, что позволяет благодаря (3) заключить, что подалгебра Фо(и) должна содержать £ и совпадать с КЩ. Но в этом случае по теореме о

плоских кривых (см. [4]) ядро Кегф^ ^ {у(д,р) € 17(у) = 0} порождается одним неприводимым многочленом. Обозначим его Ио(д,р). Из (3) вытекает, что ф°(О х Ио) =0 и векторное поле О не имеет особых точек на плоской кривой Но(д,р) = 0 в К2. В частности, И х Но £ Кег0ф и

О х Ио(д,р) = Ио(д,р) * ^(д,р). (4)

Но Е(д,р) = 0, так как в противном случае, выбрав в М точку О, на которой произведение Ио(д,р) * Г(д,р) не равно нулю, и применив гомоморфизм Тэйлора ф°, к обеим частям соотношения (4), мы получили бы невыполнимое равенство п'(1) = пф * У^) для ненулевых многочленов п(1) ф°,(Ио(д,р)),

г>(£) ^ ф®,(Р(д,р)). Таким образом, Но(д,р) <5 17° ^ {¡1(д,р) е 17\Б х/г = 0}. Более того, справедливо Предложение 1. Для любой точки О = (хо,уо) £ М \ Б о

0)и ° = К[Н0];

(И) degрНо(д,р) = degtx(t) = ND(д), degдН0(д,р) = degíy(í) = _

Доказательство. Из определения гомоморфизма Тэйлора (2) для любого ]г(д,р) € 17 в будем иметь фо (Н(д,р)-Н(х0,уо)) = 0. Следовательно, Н(д,р) -Н(хо,уо) £ Кегф° и Н(д,р)-Н(х0,уо) = Ио(д,р)*/ (д,р), где deg / < deg Н. Применяя О к обеим частям последнего равенства, заключаем, что Ио * (О х /) = 0, и из индуктивных соображений / £ К[Но]. Но тогда ¡г(д,р) = /г(жо, уо)+Но(д, р) * / (д, р) также лежит в К[Но]. Это доказывает первую часть предложения. В частности, Но' = а ■ Но + (3, где О' & М \ Бр, а, [3 £ К.

Так как Фо(&) = КЩ, то многочлены х(£) ф^(д), Фо(р) порождают КЩ. Рассмот-

рим КЩ как модуль над подалгеброй К[х(Ь)], порожденной х(Ь). Обозначим его Тогда он сво-

бодно порождается 1,1,...,Ьт-1, где т c==f degtх(Ь). По теореме Гамильтона-Кэли для эндоморфизма у(Ь) : ¡(Ь) у(Ь) * ¡(Ь) модуля при подходящих а\(х),..., ат(х) € К[х] должно выполняться со-

отношение вида у(Ь)т + а\(х(1))у(1)т~1 + ... + ат(ж(£)) = 0. Из него (так как К[х(1;), у(^Ь)] = КЩ) вытекает, что: а) 1 ,?/(£),... ,у{Щ)т~1 — свободные образующие ^[^(¿)]-модуля б) многочлен Р(х,у) ут + а\(х)ут~1 + ... + ат(х) неприводим в К[х,у]; в) Фо{^{ч^Р)) = 0 и Р(д,р) е Кег0о- Следовательно,

неприводимые полиномы F(q,p),Ho(q,p) отличаются числовым множителем и degpНо = degpF = m =

degt x(t), a tpo(Dm x q) = ^x(t) ф 0, т.е. Dm x q ф 0 и No(q) ^ т. Так как H0' = a ■ Но + (3, то значение

degpHo(q,p) (а значит, и т) не зависит от выбора О в М \ Sd- Поэтому ipQ(Dm+1 х q) = f^m+i x(t) = 0

для всех O Е M. В частности (см. (2)), фо(Dm+i х q) = 0 и алгебраическое замыкание подмножества M

_ _2

лежит среди нулей многочлена Dm+l х q Е K[q,p], По условию теоремы 1 это замыкание совпадает с К ,

и мы имеем Dm+i х q = 0, Nd(q) = m. Аналогично доказывается, что degg Но(q,p) = degt y(t) = Nd(p). Таким образом, D действует нильпотентно на q и p и для любой точки O Е K2 \ Sd степенные ряды

x(t) = фЕ(q), y(t) = (p) оказываются многочленами степеней Nd(q), Nd(p) соответственно, а при O = (xo,yo) Е Sd полиномы x(t), y(t) имеют нулевую степень, так как фD(q) = xo, фD(p) = yo. Теорема 1 доказана.

В работе [2] дано наглядное описание инъективных оболочек всех одномерных модулей над алгебрами K[ti,...,tn]. Мы построим доказательство теоремы 2 и следствий из нее на частном случае этих результатов.

Лемма. Если char K = 0, то К Ш-модуль K[t} и любые прямые суммы его изоморфных копий

[(it

инъективны.

г d

Так как в алгебре любой идеал главный, то доказательство следует из критерия Бэра (см. [1, 5])

и хорошо известного факта, что неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y(n) + ai ■ y(n-l) + ... + an-i ■ y(l) + an ■ y = f (t), где f (t) Е K[t], допускает полиномиальное решение.

Предложение 2. Пусть A — коммутативно-ассоциативная K-алгебра без делителей нуля, Q(A) — ее поле частных и D — такое ненулевое дифференцирование A, что Nd(w) < ж для любого w Е A.

Положим Ad d=f {w Е A\D х w = 0}, Ae d=f A[e-1] С Q(A). Тогда

(i) Nd(di * d2) = Nd(di) + Nd(d2) для всех ненулевых элементов di,d2 Е A, и если di * d2 Е AD, то di, d2 eAD ; кроме того, если D = c ■ D', то c Е AD и Nd (w) = Nd' (w) для всех w Е A;

(ii) для любого элемента d Е A, ниль-индекс которого равен единице, верно, что Ae = AD [d] ~

K[d]®KAD ((Ae)D = (AD)e), где e = D х d, (Ae)D = {w Е Ae\D х w = 0}; в частности, если алгебра A содержит единичный элемент и e = 1, то A = AD[d] ~ K[d]®KAD.

Доказательство. Так как Nd(d) = 1, то e = D х d = 0 и Nd(e) = 0. Поэтому e = c * (D' х d), если D = c ■ D' и 0 = Nd(e) = Nd(c) + Nd(D' х d). Но Nd(c),Nd(D' х d) ^ 0, следовательно, Nd(c) = 0 и c Е AD.

Учитывая, что e E AD, мы можем продолжить дифференцирование D на подалгебру Ae, порожденную в поле частных Q(A) элементом e-:L и алгеброй A, полагая D х (w/em) = (D х w)/em. Обозначим De дифференцирование e^ ■ D : Ae ^ Ae. Очевидно, что Ndc (w) < ж при любом w Е Ae. Тогда De х d = 1 и K-подалгебра K[d], порожденная в Ae элементом d, является в силу леммы инъективным K[D^-модулем.

Пусть {wi\i Е I} — базис подалгебры (A,;)D, тогда K[D^-подмодуль W (==f ^i=I wi * K[d] будет прямой суммой изоморфных экземпляров инъективного K[D^-модуля K[d]. Следовательно, W — инъективный подмодуль в K[D^-модуле Ae и Ae = W ® W' для некоторого W'-подмодуля Ae. Если бы W' содержал

w = 0, то D^0х w был бы ненулевым элементом из подалгебры (Ae)D (которая по определению W содержится в W), что противоречит тому, что W П W' = 0. Поэтому W' = 0 и Ae = AD[d] ~ K[d]®KAD. Остальные утверждения предложения 2 теперь очевидны.

Доказательство теоремы 2. Пусть К, К,U,U,UD,IJD,a(q,p),b(q,p),c(q,p),a(q,p),b(q,p) обозначают то же, что и выше. Тогда при А = U, U из предложения 2 следует, что, во-первых, подалгебра UD = K ■ 1 (так как в противном случае алгебра U = K[q,p] порождалась бы любым многочленом d(q,p),

у которого ND(d) = 1), во-вторых, для каждого F(q,p) (_F(0,0) = 0) наименьшей степени среди U \К ■ 1 полином F(q,p) — Е ■ 1 неприводим в К[х,у] при любом Е Е К, в-третьих, наибольший общий делитель c(q,p) для a(q,p),b(q,p) принадлежит UD, что доказывает свойство (iii), и взаимно простые многочлены a(q,p), b(q,p) не делятся в К[х,у] на F(q,p) — Е ни при каком Е Е К. Поэтому подмножество особых

точек Sjy =f {(ск,/3) G К2\а(а, /3) = 0 = Ь(а, /3)} дифференцирования D не содержит какую-то точку кривой J~E = {(а,/3) Е К \F[а, /3) = Е}. Тогда в точке О = (хо,уо) Е Fe \ Sjj у гомоморфизма Тэй-лора ipQ : U —K[t] (см. формулу (2)) образ V'o(^) совпадает с K[t], а ядро порождается многочленом E(q,p) —Е. Это значит, что неприводимая кривая Fe изоморфна аффинной прямой К1 и является глад-

кой при любом Е G К. Следовательно, касательные векторы {Щ:, не обращаются в нуль ни в одной

точке К2. Так как F(q,p) G IJD = UD, то 0 = D х F = а ■ Щ- b ■ ^ и ненулевые полиномиальные

векторы (а,Ь), {Щ;, пропорциональны над полем рациональных функций К(х,у). Но a(q,p) и b(q,p)

взаимно просты, поэтому = f(Q>P) ' b) для некоторого / £ K[q,p], А так как не

—2

обращается в нуль нигде на K , то это должно быть верно и для многочлена f (q,p). Следовательно, / = const ф 0. Положим H(q,p) ^ /-1 • F(q,p). Тогда D = что доказывает гамильтоновость D и свойства (vi), (vii) теоремы 2. (Так как _F(0, 0) = 0, то Н{0,0) = 0 и многочлен H(q,p) однозначно определяется а, Ь. Но a(q,p),b(q,p) G K[q,p\. Поэтому коэффициенты многочленов с, а, b можно выбрать в поле К. Следовательно, Н G K[q,p\.)

Доказательство свойств (i), (iv), (v) непосредственно вытекает из предложения 1. Действительно, так как множество особых точек Sjy дифференцирования D пусто и в качестве Ho(q,p) можно взять полином H{q,p) — Н(хо,уо), то предложение 1 применимо к дифференцированию D в любой точке О = (Хо,уо) аффинной плоскости К2. Поэтому (IJD = К[Н\) & (UD = К[Н\) и c(q,p) = g(H(q,p)) для некоторого g(t) G K[t]. Кроме того, из п. (ii) предложения 1 и равенства (3) для многочленов x(t) = (q), y(t) = Фо(р) заключаем, что 0 ф ^rx(t) = ФоФ™ х <?), 0 / ^y(t) = Фо(ра х р), где m = N^(q), п = N^(p), в частности (см. формулу (2)) фо{Р> х q) ф 0, фо{0 х р) ф 0. Таким образом, ненулевые полиномы

Ц71 х q, Т)а х р из K[q,p] не обращаются в нуль ни в одной точке аффинной плоскости К . Но такое возможно, только если они — ненулевые константы. Оставшаяся часть свойства (v) теперь следует из

п. (ii) предложения 1. Полагая Н ^ f(H), где f(t) — такой многочлен, что ^ f(t) = g(t), непосредственно убеждаемся в том, что VH = Щ - Щ = д(Н) • (Щ - Щ) = c{q,p) ■ {a{q,p)§-q + Цд,р)£) = D, т.е. D — гамильтоново дифференцирование и H(q,p) G K[q,p].

Так как deg H(q,p) делит deg H(q,p), то для доказательства свойства (ii) достаточно установить равенство mayi(Njy(q), Njy(p)) = deg H(q,p). Рассмотрим другие системы аффинных координат q' = a-q-\-(3-p, р' = + на К2. Очевидно, что почти во всех этих координатах Njj(q') = Njj(p') = m&x(Njj(q), Njj(p)), degq'(H) = degp>(H) = deg(ii) и доказываемое равенство вытекает из свойства (v). Теорема 2 полностью доказана.

Доказательство следствия 1. Положим u(q,p) = H(q,p), v(q, р) = D1^4'-1 х q. Тогда e = D x v = const ф 0 (см. свойство (v) теоремы 2). Поэтому из предложения 2 имеем K[q,p] = UD[v], a так как UD = K[H], то многочлены u(q,p), v(q,p) порождают всю алгебру K[q,p\. При этом D х и = 0, Dxv = eGK,D = f(H) • D, и утверждение следствия 1 теперь очевидно.

В заключение отметим, что исчерпывающий ответ на вопрос, когда два-порожденная подалгебра в алгебре многочленов от одной переменной совпадает с K [t], был дан в фундаментальной работе [6]. Благодаря этому можно внести два уточнения в теорему 2: (ii) min((ND(q),ND(p)) делит max((ND(q),ND(p));

(viii) группа всех автоморфизмов алгебры K[q,p] порождается подмножеством

{eaD\а G K,D G DerxK[q,p],N(q),N(p) < *>}.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Размыслов Ю.П. Введение в теорию алгебр и их представлений. М.: Изд-во МГУ, 1991.

2. Панкратьев Е.В., Размыслов Ю.П. Гейзенберговы оболочки вейле-уоттоновских подалгебр // Междунар. алгебр. конф., посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры: Тез. докл. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2004. 99-103.

3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматлит, 1961.

4. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.

5. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Факториал-пресс, 2005.

6. Abhyankar T, Moh S. Imbeddings of the line in the plane //J. reine und angew. math. 1975. 276. 148-166.

Поступила в редакцию 08.06.2009