Напряженное состояние упругого толстостенного кольца при произвольно распределенных самоуравновешивающихся давлениях на его внутренней и внешней границах Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

ФИЗИКА

DOI: http://dx.doi.orgЛ0Л5688/jvolsuL2015.4.5

УДК 539.3 ББК 22.251

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОГО ТОЛСТОСТЕННОГО КОЛЬЦА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ САМОУРАВНОВЕШИВАЮЩИХСЯ ДАВЛЕНИЯХ НА ЕГО ВНУТРЕННЕЙ И ВНЕШНЕЙ ГРАНИЦАХ

Александр Степанович Кравчук

Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры био- и наномеханики, Белорусский государственный университет [email protected]

просп. Независимости, 4, 220030 г. Минск, Республика Беларусь

Анжелика Ивановна Кравчук

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования, Белорусский государственный университет [email protected]

просп. Независимости, 4, 220030 г. Минск, Республика Беларусь

о <м

Аннотация. Впервые с помощью теории аналитических функций и формул Коло-сова-Мусхелишвили решена задача двумерной теории упругости для толстостенного кольца при неравномерных самоуравновешивающихся давлениях, представленных в

виде рядов Фурье, действующих на его границах. ^ Ключевые слова: аналитические функции, формулы Колосова-Мусхелишвили,

« комплексные числа, упругое толстенное кольцо, неравномерное давление. *

о

Введение

И

м

^ Обобщение задачи Ляме для толстостенного кольца на случай произвольного распределе-

ния давлений на его внутренней и внешней границах представляет определенный методический

интерес, так как при решении указанной задачи у студентов закрепляются навыки решения краевых задач для областей, имеющих круговые границы с помощью рядов аналитических функций.

Отсутствие решения этой задачи как в научной, так и в учебной литературе объясняется довольно громоздкими преобразованиями, которые необходимо выполнить для получения распределений компонент напряжений.

Общие формулы Колосова-Мусхелишвили

Для упругого изотропного кольца формулы в декартовых координатах имеют вид [1; 2]:

а хх + °уу = 2р' (г)+ р (г)],

хх 1 " уу

ауу - ахх + 2'аху = 2 • [гР"(г) + ¥,(г)],

уу ^ хх ' ху 1х + Шу )

2^ • (их + Шу )= к • р(г)- гр(г) - ),

(1) (2) (3)

где стхх, стуу, а - компоненты напряжений; их, иу - проекции вектора перемещений в декартовой системе

координат; ' - комплексная единица; ф(7), - функции, голоморфные в кольце (рис. 1); ц =

Е

2(1 + У)

; Е -

модуль упругости; V - коэффициент Пуассона; к - константа, определяемая видом напряженного состояния:

к =

3 - 4v - при плоской деформации; 3-V

--при плоском напряженном состоянии.

.1 + V

Учитывая, что в [1]:

а + Стдд = а + а

гг 66 хх уу ?

аее-а-+<

2гаге =(ауу -ахх + 2аху)• е2'6,

(4)

где агг, аее, аг6 - компоненты напряжений в полярной системе координат, вычитаем из первого уравнения системы (4) и, используя (1) и (2), получаем:

агг - 'аге = ф'(г) + ф"(г) - гф',(?) - = • )

7

(5)

Рис. 1. Кольцо под действием самоуравновешивающегося внутреннего _р1(6) и внешнего р2(6) давлений ^ - внутренний радиус кольца; R2 - внешний радиус кольца)

Общий вид комплексных потенциалов, решающих первую основную краевую задачу для кольца в общем случае

Очевидно, что общий вид комплексных потенциалов, решающих задачу для кольца, является простой суперпозицией комплексных потенциалов для линейно упругих изотропных отверстий в плоскости и диска:

(V,1 + УхЛ )+ /(Vy.1 + Vyg )

2я-(1 +к) ' £" ' £ zk

V+ V»') • >n(z )+£ V. • z'+Х

2л-(1 + к) ti z •

Ф(z) =--,-X л , "ч-—• ln(z)+La1,k •z +L-T, (6)

где

= -R J (a. Ц cos(e) - |^ • sin(0))dQ, (7)

0

= -R12J(oXr • sin(Q)+are|^ • cos(e))dQ,

0

V;,2 = R2 2J(o rr | r=r2 cos(e)-a^| r=R • sin(e)) de,

0

■;,2 = -R2 2J(orr|r=R • sin(e)+aj r=R • cos(e)) de,

(8)

Vх 1, V 1 - компоненты главного вектора сил, действующих на внутреннем радиусе кольца; Ух 2, Уу 2 - компоненты главного вектора сил, действующих на внешнем радиусе кольца.

Краевые условия на границах кольца. Определение самоуравновешивающейся нагрузки

Будем предполагать, что трение на границах кольца отсутствует (стг0 \г = 0), а также I=я = _Р1 (®) и агг \Г=Е = ~Р2 (б). Исходя из краевых условий задачи и из формул для определения главных векторов сил, действующих на одной и другой границе кольца (7) и (8), получаем:

(9)

00

2Д 2 Д

= R J p (e) cos(e) de, гуЛ = r J a (e> sin(e) de,

00

V;,2 = R2 J P2 (e) cos(e) de, v^ = r2 J p2 (e> sin(e) de.

00

Условие самоуравновешенности нагрузок, действующих на границах кольца, определяется очевидным образом, исходя из (9):

V,1 = Vy,1 = Vxa = Vy,2 = 0. (10)

Будем полагать, что на внутренней и внешней границе кольца для p1(Q) и p2(Q) справедливы следующие равенства:

P1 (e) == Чт+1 A • cos(j • e)+bXj • sin(j • e)), (U)

2 j=1

Р2(е)=А0+ Хк/ • 008(7^е)+в2] • 81п(у•е)),

2 7=1

где Ап ., Вп ^ (п = 1,2, ] = 1,да) - вещественные коэффициенты рядов Фурье, для которых выполнено:

1 я _ _

Ап,7 = - [Рп(е)-008(7•е)я© (п = 1,2,7 = о,»X (12)

тг »

^ / и->' 0ОЫ / •еие (п = 1,2, / = 0,да) л

1 я ___

Вп,7 = -1 Рп (е> 81п(/ • е)ие (п = l,2, / = 1, да). я

-л

Тогда, подставляя (11) в (9), с учетом (10), можно получить условия самоуравновешивания обеих нагрузок, действующих на внутренней и внешней поверхностях кольца. Используя известное свойство ортогональности тригонометрических функций, с учетом (11) и (12), условие (10) можно переписать в виде:

А11 = В11 = 0, А2,1 = В2,1 = 0. (13)

Решение первой основной задачи для упругого изотропного кольца с произвольными самоуравновешиваемыми распределениями давлений, заданными на его границах в виде рядов Фурье

Подставляя (10) в (6), можно получить:

да да а

Ф'(г) = Хк• аи • гк-1 -Xк%, к=1 к=1 7

да да а

ф'' (г) = Х к •(к - !)• а,к • гк-2 +Х к (к +1) % (14)

к=2 к=1

да да Ь

V (г)=Х\к • к• 7к-1 -Xк-2+1, к=1 к=1 7

7

Подставляя (14) в (5), получаем выражение нормального радиального и касательного напряжений, действующих в кольце, с использованием разложений в ряд:

= Хк• «и • 7к-1 -Xк^ +

1,к

к=1 к=1

^ __а

+ Хк• «и • г - -Х-

к=1 к=1 г

-XX к •(к -1> аи • -1 -XX к (к +1) % -

(15)

к=1

г

2 и °2,к

„к да

к=1 г ~1 г • ^

-Х ь1,к •к—+х

Подставляем в (15) выражение г = г • е/6:

а гг - 'а ге=Х к • «1,к • гк 1 • е/(к-1)е-ХХ к~,

к=1 к=1 г

,■ (к+1)е _

+ Хк• «и • гк 1 • е-(к-1)е-ХкЦ+те

к=1 к=1 г

а -/а „

гг г6

к=2

+

- X к • (к -1> аи • гк-1 • е/(к-1)6 - X к (к +1) а+е (к+1)е - (16)

к=2 к=1 г

-XX к • ¿и • гк-1 • е'(к+1)е + XX к%е-(к-1)е. к=1 к=1 г

Задавая последовательно два значения г (г = ^ и г = П2) в (16), получаем значение агг - /а^ на обеих границах с учетом краевых условий:

- Рпп=Г2 (е)=X к • а1,к • Rnk-1 • е/(к-1)6 -X ^ • е-'(к+1)е +

к=1 к=1 Rn

+ к • а^ • Rnk 1 • е-(к-»-XкО^ е/(к+1)6 -

к=1 к=1 Rn

да да

-XX к •(к - !)• а1,к • Rnk 1 • е'(к-»-X к (к +1)

к-1 • е'(к-1)е-X к (к +1)°^ -(к+1)е

(17)

-Xк• ¿и • Rnk 1 • е'(к+1)е+Xк Чт-те

¿2,к е - /(к-1)6

^ п к+1

к=1 Пп

Разделяя вещественную и мнимую части в (17), получаем очевидные уравнения:

да / \

- Рп,п=п(6) = 2•XXк • ппк 1 • Re(au • е'(к-1)е)-

к=1

-2•XX^• *е(аи • е-(к+1)6)-

к=1 Пп

да

-XXк •(к -!)• Ппк 1 • Яе(аи • е/(к-1)е)-

к=2

-XX ^ -,к-1*)-

к=1 Пп

Xк• Ппк 1 • «е(¿и • е/(к+1)е)+^-к^• «е(ьи • е-(к-1)е)

(18)

да / \

0 = -XXк •(к -!)• -1 • 1т(а1,к • е'(к-1)е) к=2

-XX^'Ца,,. • е-"»)-

к=1 Пп

XX к • Ппк-1 • 1т(¿1,к • е'(к+1)е)+X-¿ • 1т(Ь2,к • е-'(к-1)6)

к=1 п.

Используя очевидные подстановки ап,к = Яе(ап,к )+/• 1т(ап,к ), Ъп,к = «е(Ьп,к )+/• 1т(Ьп,к ) и е'т6 = 008(т •б) + / • 81п(т •б) в (18) и (11) для левой части (18), можно получить две вещественные системы уравнений:

( ^ 'НА./ • 008 (/ ^6)+ Вп,/ • 81П (/ •е))1

- +

V 2 /=1

да

= 2 •X к • Ппк-1 • (Яе(аи)• 008((к -1> 6)- Ьп(аи)• 8ш((к -1> 6))-

к=1

к

■2 • X• («е(а2,к )• 008 ((к +1> 6)+ 1т(а2,к )• 81п ((к +1> 6))-

к=1 Пп

п,п=1,2

k .(k -1)-Rnk -1 -(Re(au)• cos((k -1)-0)-Im(au)• sin((k -1)-0))-

-Z

• (Re(a2,k )• cos ((k +1)- 0)+ Im(au )• sin ((k +1)- 0))-

R

да

- Zk • Rnk-1 • (Re(bu)• cos((k +1). 0)- Im(bu)• sin((k +1)- 0))+

k=1

w 7

+ 1^+1 -(Re (bu )• cos ((k -1)-0)+ Im(b2,k )• sin ((k -1)-0)),

k=1 Rn

0 = -Z k - (k -1)- Rnk-1 - (Re(au)- sin((k -1)- 0)+ Im(au)- cos((k -1)- 0))-

k=2

(19)

- Z - (- Rekk)- sin((k +1)- 0)+ Imfo,) - cos((k +1)- 0))-

k=1 Rn

да

- Z k -Rnk-1 - (Re(b,,k)- sin((k +1) - 0) + Im(bu)- cos((k +1)- 0))+

k=1

да i

+ Z^T•(-Re(b2,k)-sin((k -1)-0)+ Im(b2,k)-cos((k-1)-0))

k=1 Rn

Разделяем уравнения (19) для коэффициентов при cos(m • 0) и sin(m • 0) отдельно для вещественной и мнимой частей:

(

Z A, J - cos (j-0)

Л

j=1

/ n,n=1,2

Л

= Z 2 -k -Rnk-1 - Re(au)+—т - Re(b2,k) - cos((k -1)-0)-

R

-Z

-Z k-(k -1)-Rnk-1 - Re(au)-cos ((k -1)-0)-

k =2

- Re (a2 k)+ k - Rnk1 - Re (bu)! - cos ((k +1) - 0),

V Rn

uu

Z Bn, j - sin (j -в)

j=1

^ n, n=1,2

Z

k=1

R,

k+1

Im(b2,k)-2 - k - Rnk-1 - Im(au) - sin((k - 1)-в) +

Z k - (k -1) - Rnk-1 - Im(a1,к)- sin((k -1) - в)

k=2

+ ZÍk -Rnk-1 - Im(bj,k)- -k+I^- Im(a2,k)] - sin((k +1)-0),

k=1 V Rn )

(20)

k=1

n,0

2

n

k

+

+

0 = -¿ k • (k -1)- Rnk -1 • Im(au)• cos((k -1> 0)-

k =2

- X f ^ • Im(«2,k) + k • Rnk-1 • Im(bu )\ • cos((k +1) • 0) +

v Rn y

да 1

+ 1^+1 • Im(b2,k > cos ((k - 1).0)L

k=1 Rn

0 = -Xk • (k -1>Rnk-1 • Re(au)• sin((k -1> 0) +

k=2

X f ^ • Re k* )- k • Rnk-1 • Re(b,,k)] • sin ((k +1) • 0) -

Rk+! «2,k )-k • Rnk - ReVb1,k

k = V Rn У

• Re fe, )• sin ((k -1>0).

k=1 Rn

Выделяя уравнения для коэффициентов при одинаковых cos(m • 0) и sin(m • 0) в (20), получаем систему уравнений (ограничимся несколькими первыми слагаемыми в (6), то есть

au (k=55) = a2,k (k= 0, \k ,(k=3^) = b2, k ,(k=5^) = 0):

Полагая j = 0 в левой части первого и второго уравнений (20), определим вещественные части коэффициентов a11 и b21:

2 • Re(«u ) + Rr • Re (b2,1 )=-A2L,

R 2 (21) A,

2 • «е (ац • Яе (¿2Д )=-

П2 2

1т(а11) = 0.

Из третьего уравнения (20):

1т (¿2,1 )= 0. (22)

Полагая / = 1 в левой части первого и второго уравнений (20), получаем систему для определения вещественной части а1 2, а также вещественной и мнимой части Ь2 2 для тригонометрических функций аргумента 6, учитывая условие самоуравновешенности нагрузки на внутренней и внешней границе кольца (13):

2 • • Яе (аи ) ■+ • Ке(ь2,2) = -АпЛ = 0,

2 (23)

- 2 • Rn • Im(a12)+ — • Im(b2 2) = -Bn l = 0.

Rn

Из третьего и четвертого уравнения (20) дополнительно получаем для тригонометрических функций аргумента 6:

- 2 • Пп • 1т(а1,2)+ — • 1т(Ь2 2)= 0,

Пп

(24)

- 2 • • Яе(а1,2)- — • Яе(Ь2,2)= 0.

Полагая ] = 2 в левой части первого и второго уравнений (20), получаем систему для тригонометрических функций аргумента 2 -9:

/I О

_ _. Re (а2Д )- Re (ьи )+ — - Re (Ь23 ) = - А,2,

(25)

к2 + к4

4 3

_ "ГГ ' 1т(а2,1 )+ 1т(ь1,1 )+ "ТГ • 1т(ь2,3 ) = _В п

к2 + к4

Из третьего и четвертого уравнений (20) дополнительно получаем для тригонометрических функций аргумента 2 -9:

_ 6'к2 • 1т(а1,3)- "А"' 1т(а2 1)- 1т(ь1,1)+ г^г' 1т(ь2,3) = 0

К К ' (26)

_ 6 • К2 • Кс(аи) + —г • Re(а2Д)_ Re(¿1,)_ — • Re(b2,з) = 0.

К к

п п

Полагая ] = 3 в левой части первого и второго уравнений (20), получаем систему для тригонометрических функций аргумента 3 • 9:

_4• К3 • И^а^)_-10• Re(а2,2)_2• К • Яс^• Re(b2,4)=_А,3, К К

п п (27)

4 ' Кп3 • 1т(а1,4 )_ "ТТ ' 1т(а2,2 )+ 2 ' Кп ■ 1т(ь1,2 )+ "¡ТГ ' 1т(Ь2,4 )= _Вп,3 .

К К

Из третьего и четвертого уравнений (20) дополнительно получаем для тригонометрических функций аргумента 3 • 9:

_ I2 ' Кп3 • 1т(а1,4 )_ ' 1т(а2,2 )_ 2 ' К п ■ 1т(Ь1,2 )+ • 1т(ь2,^) = 0

Кп Кп

6 4 (28) _ 12 • Кп3 • Re(а1,4)+ — • Re(а2,2)_ 2 • К • Re(ь1Л)_—г• Re(Ь2А) = 0.

Кп Кп

Исходя из систем (21)-(28), следует, что, решив эти уравнения, можно получить выражение

коэффициентов а1Л(к=-), а2к(к=1,2), \к{к, ¿2,к(к=-) через коэффициенты двух рядов фурье (11) в следующем виде

П 2 _ А П 2

1,0 ' 1 Л2,0 '-"Ч

•• 4 •(К12 _ К22) , а12 = 0, ¿2,1 • ¿2,2 = 0.

(29)

Система для определения вещественной части коэффициентов при тригонометрических функциях аргумента 2 -9:

4 3

_ ~2 ' ^2,1 )_ ^1,1 )+ —Т ' ^^2,3 ) = _А1,2 К1 К1

_ "^Г ' ^ (а2,1 ) _ ^^1,1 ) ++ "Л" ' Re (Ь2,3 ) = _ А2,2,

(30)

_ 6 • К12 • Re(а1,3)+-т • Re(a2,l)_ Re(bц )_-т • Re(ьг_3 )= 0 К1 К1

- 6 • Я22 • Яе(аи)+ -2 • Яе(а2Д)- Яе(¿ц)- —• Яе(Ь2,3) = 0 .

Я2 Я2

Система для определения мнимой части коэффициентов при тригонометрических функциях аргумента 2 •б:

4 3

- 1Т2" ^ 1т(а2,1 )+ 1т(Ь1,1 )+ —Г • 1т(Ь2,3 ) = -В1,2 Я1 Я1

43

- "ТГ • 1т(а2,1 ) + 1т(Ь1,1 ) ++ 7Т • 1т(Ь2,3 ) = -В2,2

2 2 2 3 (31)

- 6 • п12 • 1т(а1,3 )- — • 1т(а2,1 )- 1т(Ь1,1 )+ — • 1т(Ь2,3 )= 0

Я1 Я1

- 6 • П22 • 1т(а1,3 )- • 1т(а2д )- 1т(Ь1Д )+ • 1т(Ь2,3 ) = 0 .

Я2 Я2

Система для определения вещественной части коэффициентов при тригонометрических функциях аргумента 3 • 6:

- 4 • Я/ • Яе(а1,4)-^0Г• Яе^)- 2 • Я • Яе^)+ -4Т• Яе^) = -Аи,

К1 Я1

- 4 • Я23 • Яе(а1,4)- ^0Г • Яе(а2,2)- 2 • Я2 • Яе^)+ • Яе^) = -А„,

Я~ Я,

2 6 2 4 (32)

-12 • Л13 • Яе(а1,4) + -г• Яе(а2,2)-2 • Я1 • Яе(Ь1,2• Яе(Ь2,4)= 0 Я1 Я1

-12 • Я23 • Яе(а14• Яе(а2,2)-2• Я2 • Яе(Ь12• Яе(Ь2,4)= 0

Система для определения мнимой части коэффициентов при тригонометрических функциях аргумента 3 • 6:

4 • Я13 • 1т(а1,4 )- • 1т(а2,2 )+ 2 • Я1 • 1т(Ь1,2 )+ • 1т(Ь2,4 ) = -В1

Я1 Я1

4 • Я23 • 1т(а1,4 )- "Г • 1т(а2,2 )+ 2 • Я2 • 1т(Ь1,2 )+ "Т5 • 1т(Ь2,4 ) = -В:

12 • Я13 • 1т(а1,4 ) -- -6Г • 1т(а2,2 ) - 2 • Я1 • 1т(Ь1,2 ) ++ -4Г • 1т(Ь2,к ) = 0 Я1 Я1

12 • Я23 • 1т(а1,4 ) - ^ТТ ^ 1т(а2,2 ) - 2 • Я2 • 1т(Ь1,2 ) ++ ^ТТ ^ 1т(Ь2,к ) = 0

(33)

^ • 1т (а1,4 )-^Г ^ 1т (а2,2 )- 2 • Я2 • 1т (Ь1,2 )+ _ 5 - 1т \Ь2,к ^ Я2 Я2

При решении примера будем предполагать, что распределение нагрузки на внешней и внутренней границах кольца р —— (б) (11) является четной функцией аргумента 6е[-л, л], то есть Вп / = 0 в (11), (31) и (33). Это условие приводит к тому, что все искомые коэффициенты а , а2к(к=1"2), Ь1к(к_1"2), Ь2к(к=—) являются вещественными числами и вычисляются с учетом (29) по формулам:

А1,0 • Я12 - А2,0 • Я22 4•(Я12 -Я22)

а12 = 0,

3

а1,1 =

3 • R1 • R2 • (2 - 2 ) - А^ 2 • R1 + ^2 2 ■ R2

°1,3 6 • (я^ - R22) :

а _- 5 • Л • У + 8 • Л2,3 • Я1 • Я23 - 3 • Л13 • Я24

1,4 '

, 1 _ (Rl6 • R22 • (Л2,2 - 2 • Л,2)+Rl4 • R24 • (Л2,2 - Л12) - Я12 • Л26 •(Л1,2 - 2 Л2,2))/ 2 •Я - Л22 У, R1 • Я2" ' • (2 • Л2,3 • Rl3 + Л1,3 • R2 •(- 3 • V + R22 ))

а2,2 _-Ч-4-/4 -^-(34)

4 • (5 • R16 - 9 • R12 • R24 + 4 • R26 )

Ьи _ (< • Я22 • (Л,2 - 2 • Л2,2)+ Я? • Я,* • (2 • Л1,2 - Л2Д)+

+ Л1,2 • Я16 - Л2,2 • Д - Д22

3 •(- 6 • Л2,3 • Я13 • Я23 + Л13 • (5 • Я16 + Я 6)) 4 • (5 • Я17 - 9 • Я13 • Д24 + 4 • Я1 • Я26)

(Л1,0 - Л2,0 ) Я12 • Я22

Ь2,1 _ ■

Я2 - Я1

¿2,2 _ 0,

ь _ Я14 • Я24 • (Л2,2 • (Я12 + 3 • Я22 )- Л1,2 • (3 • Я12 + Я22 ))

2,3 3-(Я!2 -Я22У ,

¿2,4 _ 0.

Зададим распределение самоуравновешивающихся положительно определенных давлений на внешней и внутренней границах кольца с помощью отрезка ряда Фурье гипотрохоиды [1]:

2

Р1 (0) _ Р2 (0) _ Р + Пг ) + 2 • 1 • °08((1 + п^, (35)

где Р - произвольный нормирующий множитель; п - целое число.

Коэффициенты Л1. _ Л2,.. (. _ 0,3) вычисляются численно при подстановке конкретных значений Р и п в (35), а затем полученного выражения в (12) (см. рис. 2).

Подставляя далее (34) в (14), с помощью (1), (2) и (5) можно получить распределение напряжений в кольце, а с помощью (3) - распределение перемещений в декартовой системе координат (см. рис. 3).

Выводы

Впервые поставлена и решена задача для упругого изотропного кольца под действием самоуравновешивающихся неоднородных нагрузок, действующих на его границах и представленных в виде отрезка ряда Фурье.

Рис. 2. Распределение приложенных к внутренней и внешней границе отверстия давлений приближенного в смысле отрезка ряда (11) для / = 0,3 с конкретными коэффициентами А1 / = А2 /, вычисленными с помощью (12) (Р = 105Па, п = 2)

Рис. 3. Распределение касательных напряжений а ге в кольце (Я1 = 1, Я2 = 2, при заданных давлениях р1 (б) = р2 (6) при Р = 105Па и п = 2 в (35) на внутренней и внешней границах)

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Амензаде, Ю. А. Теория упругости / Ю. А. Амензаде. - М. : Высш. шк., 1976. - 272 с.

2. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхе-лишвили. - М. : Наука, 1966. - 708 с.

REFERENCES

1. Amenzade Y.A. Teoriya uprugosti [The Theory of Elasticity]. Moscow, \fysshaya shkola Publ., 1976. 272 p.

2. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoy teorii uprugosti [Some Basic Problems ofthe Mathematical Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 708 p.

STRESS STATE OF ELASTIC THICK-WALLED RING WITH SELF-BALANCED PRESSURES DISTRIBUTED ON ITS INTERNAL AND EXTERNAL BORDERS

Aleksandr Stepanovich Kravchuk

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Professor of Department of Bio- and Nanomechanics, Belarusian State University [email protected]

Prosp. Nezavisimosti, 4, 220030 Minsk, Republic of Belarus

Anzhelika Ivanovna Kravchuk

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Web-technologies and Computer Modeling, Belarusian State University [email protected]

Prosp. Nezavisimosti, 4, 220030 Minsk, Republic of Belarus

Abstract. For the first time with the help of the theory of analytic functions and Kolosov-Muskhelishvili formulas the problem of the two-dimensional theory of elasticity for a thick-walled ring with the uneven pressures, acting on its borders, was solved. The pressure on the inner and outer boundaries is represented by Fourier series. The authors represent the two complex functions which solve boundary problem in the form of Laurent series. The logarithmic terms in these series are absent because the boundary problem has the self-balancing loads on each boundary of ring. The coefficients in the Laurent series are calculated by the boundary conditions. Firstly, the equations were obtained in the general form. But the hypothesis about even distributions of pressures at borders of ring was used for constructing an example. It leads to the fact that all coefficients of analytic functions represented in Laurent series have to be only real. As a solving example, the representation of pressures in equivalent hypotrochoids was used. The application of the computer algebra system Mathematica greatly simplifies the calculation of the distribution of stresses and displacements in ring. It does not require manual formal separation of real and imaginary parts in terms of Kolosov-Muskhelishvili to display the distribution of the physical parameters. It separates them only for calculated numbers with the help of built-in functions.

Key words: analytic functions, Kolosov-Muskhelishvili formulas, complex numbers, elastic thick-walled ring, uneven pressure.