Способы уравнивания треугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.335

СПОСОБЫ УРАВНИВАНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

(в порядке обсуждения) И. А. Шлемов, А. В. Гальянов

Представлено полное решение задачи уравнивания треугольника по способу наименьших квадратов и упрощенному способу, разработанному А. В. Гальяновым.

Ключевые слова: уравнительные вычисления; решение треугольника; способ наименьших квадратов; упрощенный способ уравнивания.

В специальной и учебной литературе по уравниванию геодезических триангуляционных сетей и маркшейдерских сетей сгущения рассматриваются примеры уравнительных вычислений достаточно сложных геометрических фигур, начиная с четырехугольника и т. д. Вместе с тем основой этих сетей является треугольник, решение которого не рассматривается, а ограничивается правилом: угловая невязка «разбрасывается» на все углы поровну с обратным знаком. Если принять во внимание то, что угловая невязка есть просто некомпенсированные ошибки измерения углов [1], а не точность угловых измерений, то решение треугольника приобретает методическую целесообразность.

Геометрические основы решения треугольника. Решение треугольника в системе геодезических сетей есть нахождение «истинных» значений его элементов по результатам непосредственных измерений. У плоского треугольника имеется 6 элементов: 3 стороны и 3 угла. Для решения треугольника используются три основные теоремы: косинусов, синусов и суммы углов:

аур +Рур + Yyp =180°;

ур

ур

Sin Y ур Sin а ур Sin р ур

с, = Ja2 + b2 - 2a b cos у

o M ур ур ур ур 'у

В общем виде, для определения координат точки С достаточно измерить длину одной из сторон и ее дирекционный угол, при известной исходной стороне АВ (рис. 1).

Конечный результат вычислений по определению координат точки С через базисные пункты А и В имеет вид:

ХС (A) = XA + b cos а; УС (A) = Ya + b sin а;

XС (В) = Xb +а cos (l80° -р) YС (В) = Ys + а sin p.

(1)

Известно, что для решения треугольника необходимое и достаточное количество исходных данных равно трем, причем один из них должен быть обязательно линейным, в противном случае, решением будет бесконечное множество подобных треугольников.

Схема уравнительных вычислений по способу наименьших квадратов. Исходными данными для уравнивания треугольника по способу наименьших квадратов являются измеренные углы а, в и у, измеренные стороны a и b при известном базисе с0. Уравнять треугольник - значит привести соотношение его элементов к требованиям геометрии [2] путем решения независимых уравнений, количество которых равно: r = n - k, где r - количество независимых уравнений; n - число всех измеренных величин (включая базис); k - необходимое их количество.

Угловая невязка в треугольнике ABC

а+р + у-180о =га.

Принимая, что da, dp и dy рассматриваются как ошибки непосредственных измерений углов, будем иметь

d а + dp + d у = ю. (2)

Из теоремы косинусов после дифференцирования получаем

dср1 = da cos Р + db cos а = ср1 - с0.

Из теоремы синусов по стороне a после дифференцирования получаем

, с0 d у dср 2 = da--+ ^ctg у--

с

0

-с0с^ а— = ср2 -с0.

Р

Таким образом, имеем три независимых уравнения с пятью неизвестными параметрами.

На основе данной системы условных уравнений составляется матрица В - матрица коэффициентов линейных уравнений поправок. Она содержит частные производные от функций, вычисляемые по результатам измерений. По этим данным составляется Qw - матрица обратных весов. После обращения

получается матрица Qw1 - матрица коэффициентов уравнений коррелат.

Матрица В составляется по схеме

#1,3 = #3,1 = Ь1,1Ь3,1 + Ь1,2Ь3,2 + Ь1,3Ь3,3 + Ь1,4Ь3,4 + +Ь1,5Ь3,5 ;^2,2 = Ь2,1 + Ь2,2 + Ь1з + Ь1,4 + Ь1,Ъ; #3,2 = #2,3 = Ь2,1Ь3,1 + Ь2,2Ь3,2 + Ь2,3Ь3,3 + Ь2,4Ь3,4 +

+ь2,5Ь3,5 ; д3,3 = ь1л + Ь322 + ь323 + Ь324 + Ь325.

Для обращения Qw составляется матрица и по схеме

Ьц Ь1,2 Ь1,3 Ь1,4 Ь1,5

B = Ь2,1 Ь2,2 Ь2,3 Ь2,4 Ь2,5

Ь3,1 Ь3,2 Ь3,3 Ь3,4 Ь3,5

да да да

Ь11 = — = 1; Ь1 2 = — = 1; Ь1 3 = — = 1; да др ду

да , да дАс

Ь1,4 = —=0; Ь1,5 = —=0; Ь2,1 = я

да дЬ да

pi

= 0;

Ь2,2 = ■

дАс

pi

др

= 0;

Ь2,3 ="

дАс

pi

аЬ

ду

=-sin у; Ь2 4 = —— cos Р;

cpiP

"pi

с с

Ь25 = —°^cosа;Ь31 =- 0

Ь3,2 ="

"pi дАс

p 2

др

= 0; Ь33 =-

р tan а

AS 2 _ с0

ду р tan у

Ь =. Ь =Azi=0

¿/34 ?35 •

да sin а дЬ

Матрица Qw конструируется из матрицы B по схеме

#1,1 #1,2 #1,3

0 =

#2,1 #2,2 #2,3 #3,1 #3,2 #3,3

#1,1 = Ь1Л + Ьи + Ьи + Ьи + Ьи ; #1,2 = #2,1 =

= Ь1,1Ь2,1 + Ь1,2Ь2,2 + Ь1,3Ь2,3 + Ь1,4Ь2,4 + Ь1,5Ь2,5 ;

Ü1,1 U 1,2 Ü1,3

и = ü 2,1 и3,1 U 2,2 ü3,2 U 2,3 и3,3 ?

Ü1,1 =, /#17 ;и1,2 = ü 2,1 II ;Ü1,3 = и3,1 =

Ü1,2Ü1,3 -

II -у/#2,2 ü1,2 ;ü2,3 II

ü 2,2

Ü3,3 = Л/ #3,3 - ü 2 - ü 2 2,3 •

Л О

Рис. 1. Схема определения координат точки С

Составляется матрица обратная матрице Q по схеме

Q'1 =

а1,1 а1,2 а1,3

а2,1 а2,2 а2,3

а3,1 а3,2 а3,3

i

2,3

°3,3 = и2 ; °3,2 = °2,3 = и и2 ; °3,1 = °1,3 = U 2,3 U 2,2u 3,3

°3,2U1,2 + a3,3U1,3

и

a2,2 =

a2,3U2,3U2,2 i ü2 :

r

°2,2U1,2 + °2,3U1,3

U

1,1

ü1,2U1,2Ul,1 + Ü1,3U1,3UU - 1

U

1,1

вид

Уравнения коррелат К принимают общий

К1 =-( «1,1Ю+ «1,2 Ас р1 + а1,3Ас р 2 ); К2=-(«2,1Ю+ «2,2Аср1 + «2,3Аср2 ) ;

К3=-( а31ю + а32Аср1 + а33Аар 2 ).

В результате уравнения поправок в измеряемые параметры треугольника определяются из выражений

ва = V = Ъ11К1 + Ъ21К2 + Ъ31К3;

8р = V, = Ъ1,2 К1 + Ъ2,2 К2 + Ъ3,2 К3;

ву = V; = Ъ13 К1 + Ъ2 3 К2 + Ъ3 3 К3; ва = = ^ + Ь2,4 + Ь3,4

sb = V5 = ¿15 K + b2 5K2 + b3 5 K3 ;

а ур = а + sa;

Р ур = P + sP;Y ур = Y + sY;

аур = a + sa ; Ьур = b + sb.

ур

вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а угол, опирающийся на диаметр -прямой. Таким образом, если построить диаметр AjC (рис. 2), то образованный треугольник AlBC будет прямоугольным, а углы BAC и BAXC - равными а, так как опираются на дугу ВС.

А1

Рис. 2. Схема доказательства следствия из теоремы синусов

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

sin Za =

BC BC

AC 2R

В конечном результате по уравненным параметрам треугольника ABC находятся координаты точки С. Контролем правильности вычислений служит выполнение условий (1).

Приведенное развернутое решение треугольника положено в основу составления компьютерной программы для исследования влияния формы и ошибок непосредственных измерений на результат уравнительных вычислений.

Схема уравнительных вычислений по способу А. В. Гальянова. В основе данного способа уравнивания [1] лежит следствие из теоремы синусов, связывающее стороны треугольника с диаметром описанной вокруг данного треугольника окружности.

Доказательство данного следствия основано, в свою очередь, на следствии из теоремы о вписанном угле, доказывающей, что

Отсюда

2R =

BC

sin Za

Аналогично доказывается подобное равенство для других сторон треугольника.

В схеме, приведенной в [1], параметр 2R обозначен буквой U:

b

2 R =

= U.

sin a sin p sin y

Исходными данными для уравнивания треугольника по этому способу также являются измеренные углы a, Р и у, измеренные стороны a, b и известный базис С Алгоритм вычислительных операций сводится к следующей последовательности.

Находится параметр U - диаметр описанной окружности, вычисленный из различных

2

С

комбинаций сторон и противолежащих им _ у + у

у = a а

углов:

2

Ur = °0 ; Ua = —a—; Uh = ——. Вычисляются поправки в углы a и в в

sin у sin а sin у виде sa и ев:

ю

Находится среднее значение U. Вес U для расчетов принимается равным Pc = 2, V (cos p/cos a) + 1

так как содержит только одну ошибку за счет измерения угла у. Веса Ua и Ub принимается

а

Тогда

равными P = P = 1. ва = ю-вр.

2U + U + U U = —

4

Определяется уравненное значение угла

Y из соотношения

'ур

Вводя полученные поправки в измеренные углы с обратным знаком, находят уравненные углы a и в:

аур = а -ва;Рур =р-вр.

с0 с0 Контролем правильности вычисления

sin у ур = U' У ур = arcsin U • углов является сумма углов в треугольнике:

Вычисляется угловая невязка ю2 треуголь- аур +Рур +уур -180 = 0.

ника ABC с учетом уравненного угла y :

ур Находятся уравненные стороны a и b из

а + Р + Уур - 180о = ю2. выражений

Очевидно, что полученная новая невязка aw = U sin а ур; Ьур = U sin Р ур. распространяется только на углы а и в:

Контролем правильности вычисления

d а + й? р = га2. длин сторон треугольника является теорема

_ косинусов: Находится промежуточный параметр У,

также получаемый из теоремы синусов [1]: с0 = a + b -2a Ьур cosуур.

у = a. у = sn^

a ^ a sin p

По уравненным параметрам треугольника ABC находятся координаты точки С по формулам (2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Гальянов A. В. Способ уравнивания треугольника // Маркшейдерия и недропользование. 2013. № 1. С. 61-62.

2. Бахурин И. М. Курс маркшейдерского дела. М.: Высш. школа, 1962. 494 с.

Поступила в редакцию 14 июня 2013 г.

Шлемов Иван Александрович - аспирант. 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30, Уральский государственный горный университет. E-mail: smeag@mail.ru Гальянов Алексей Владимирович - доктор технических наук, профессор кафедры маркшейдерского дела. 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30, Уральский государственный горный университет. E-mail: sgimd@mail.ru