CC BY
18
- на статистическое описание и стохастиче- 8. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Ган-
скую оптимизацию технологических параметров
исследуемого ФТП [15,16].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. - М. : Наука, 1976. - 255 с.
2. Бернштейн, А. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей / Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. // Параллельные вычисления и задачи управления. РАСО'2008 : пленар. и избран. докл. IV междунар. конф. / Ин-т пробл. упр. им. В. А. Трапезникова РАН. - М., 2008. -С. 56-62.
3. Андриевский, Б. Р. Элементы математического моделирования в программных средах МАТЬАБ и 8С1ЬАБ / Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. - СПб. : Наука, 2001. - 288 с.
4. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Наука, 1979. - 624 с.
5. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / Колмогоров А. Н., Фомин С. В. - М. : Наука, 1976. - 544 с.
6. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы / Месарович М., Такахара Я. - М. : Мир, 1978. - 312 с.
7. Хорн, Р. Матричный анализ / Хорн Р., Джонсон Ч. - М. : Мир, 1989. - 656 с._
тмахер. - М. : Наука, 1988. - 552 с.
9. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. -М. : Наука, 1982. - 268 с.
10. Теория выбора и принятия решений / Макаров И. М. [и др.]. - М. : Наука, 1982. - 328 с.
11. Rosenberg, A. E. On the scientific method and the foundation of system identification / Rosenberg A. E., Shen D. W. C. // Modelling, Identification and Robust Control / Byrnes C. I., Lindquist A. -North Holland, Amsterdam, 1986. - P. 563-580.
13. Ljung, L. Theory and Practice of Recursive Identification / Ljung L., Soderstrom T. - Cambridge ; Massachusetts : MIT Press, 1983. - 128 p.
13. Ljung, L. A non-probabilistic framework for signal spectra / L. Ljung // Proc. 24th Conf. Decis. Control, Ft Lauderdale, Florida, December, 1985. - Florida, 1985. - P. 1056-1060.
14. Домрачеев, В. Г. О построении регрессионной модели при нечетких исходных данных / Домрачеев В. Г., Полещук О. М. // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 11. - С. 74-83.
15. Rissanne, J. Stochastic complexity and statistical inference : Unpublished manuscript, I.B.M. Research K54/282 / Rissanne, J. - California : San Jose, 1985.
16. Чадеев, В. М. Цифровая идентификация нелинейных динамических систем / В. М. Чадеев // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 12. -С. 85-93.
Бурлакова Л. А.
УДК 512.643.8: 531.36
D - УСТОЙЧИВЫЕ МАТРИЦЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Введение. Понятие Б-устойчивости матриц появилось достаточно давно впервые в работах по математической экономике [1], в дальнейшем нашло применение в математических методах экологии [2]. Матрица А называется Б - устойчивой, если она в произведении с любой положительной матрицей О = diag(й1;...,йп) имеет собственные значения только с отрицательными вещественными частями. Задача сводится к проверке положительности действительного полинома от п переменных всюду в положительном ортанте. Для матриц п х п общего вида известны лишь некото-
рые необходимые и некоторые достаточные условия ([3], [4], [5] и др.). В общем случае определение Б-устойчивости затруднительно проверить за конечное число шагов (по определению работы [6] - конструктивно) с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных задач, так как трудоемкость алгоритмов исключения переменных в полиномиальных задачах оптимизации не позволяет применить их к достаточно сложным полиномам с большим числом и высокими степенями переменных [7]. Поэтому важна задача построения аналитических проверяемых условий в
терминах элементов матрицы. Для матриц второго и третьего порядков давно известны необходимые и достаточные условия [8], [5] Б-устойчивости, а для четвертого порядка проблема построения конструктивного критерия (у нас в смысле получения аналитических выражений) до сих пор открыта. Для матриц четвертого порядков в работе [6] изложен общий подход к решению задачи на основе использования критерия Рауса-Гурвица, и описан алгоритм полиномиального программирования для проверки численно достаточного условия и необходимого условия Б - устойчивости произвольных матриц 4 х 4, программно реализованный в частных случаях, когда матрица имеет не менее двух нулей на диагонали, но условия в аналитическом виде не получены ни для общего, ни для частного случаев. В нашей работе получены необходимые условия Б-устойчивости матрицы 4 х 4 в аналитическом виде через элементы матрицы A, что позволяет проводить параметрический анализ заданной системы; показано, что в частном случае трех нулевых диагональных элементов в матрице эти условия являются достаточными. Получены некоторые достаточные условия Б-устойчивости матриц 4 х 4 . Приведены примеры матриц с параметром, когда предложенные условия Б-устойчивости являются необходимыми и достаточными.
Основные определения. Пусть Mn (Я) -множество квадратных матриц размера п х п над полем Я действительных чисел; <(Л)-- спектр матрицы Л е Мп (Я); Бп с Мп (Я) -- класс диагональных матриц с положительными элементами на главной диагонали.
Определение 1 Матрица Л называется устойчивой, если Яе(Л) < 0 для любого Л е <(Л).
Матрица Л е Мп (Я) устойчива тогда и только тогда, когда выполнены условия Рауса- Гурви-ца для характеристического полинома
аег(Л1 _ Л) = Лп + а1Лп_ + к + ап_1Л + ап, (1)
Л1 ,1 - еди-
где а] =(-1))'
ничная матрица;; Л)
-> 1
п_) <п ]11,...,,п_)
- главные миноры по-
Ч ?• • • тп_)
рядка ); причем а1 = _ТгЛ , ап = (_1}пйе1Л. Здесь и в дальнейшем в обозначениях главных миноров первый индекс означает порядок минора, в субиндексах указываются номера вычеркнутых строк и столбцов матрицы Л в порядке возрастания номе-
ров; главные диагональные миноры порядка к будем обозначать Дкк .
Определение 2 Матрица Л е Мп(Я) называется Б -устойчивой, если Яе(Л) < 0 для всех Л е <(БЛ) при любых Б е Бп .
Определение 3 Матрица В е Мп (Я) принадлежит классу Р0, если все главные миноры матрицы В неотрицательны и для каждого к < п существует строго положительный минор матрицы В порядка к [3].
Пусть X е Мп (Я), тогда определим множество (_X) = {_х | х е X}. Для матриц Л любого порядка необходимо для Б- устойчивости Л е (_Р0) [9]. Это условие обеспечивает положительность всех коэффициентов характеристического полинома матрицы БЛ ; оно требует неположительности всех главных миноров нечетного порядка (для каждого нечетного порядка по крайней мере один минор строго отрицателен) и неотрицательности всех главных миноров четного порядка (для каждого четного порядка по крайней мере один минор строго положителен). Для матриц второго порядка условие Л е (_Р0) является необходимым и достаточным [9-10]. Для матриц третьего порядка
Л =
известна теорема
Теорема 1 [8]. Матрица Л е М3(Я) Б - устойчива тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1) Л е (_Р0),
2) (\/(аМа2,1 _ а2,1а2,2)а3,3 + д/а2,2 (а1,3а3,1 _ а1,1а3,3 )
+>/а1,1(а2,3а3,2 _ а2,2а3,3) )2 ^ _ Д33 ' (2)
где Д33=ёе1Л, причем равенство достигается только в том случае, когда хотя бы один сомножитель под знаком радикала обращается в нуль, а другой не равен нулю.
Матрицы 4 х 4. Для матриц Б е Б4 и Л е М 4( Я)
а1,1 а1,2 а2,3
а2,1 а1,2 а2,3
а3,1 а3,2 а3,3
(
Л=
а1,1 а1,2 а1,3 а1,4
а2,1 а2,2 а2,3 а2,4
а3,1 а3,2 а3,3 а3,4
а4,1 а4,2 а4,3 а4,4
Л
(3)
характеристический полином (1) матрицы ПЛ
Л4 - ЛЛ (01а11 + 02а2 2 + 03а3 3 + 04а4 4) +
Л2 (Л22 4 d1d3 + Л21 4 0203 + Л22 з Д104 +
Л213d2d4 + Л212<°3<°4 + d1d2Л22) - (4)
Л(Л33
dld2d4 + Л3 dldзd4 + Л.3 d2dзd4 + 0^1 /3 ^^33) ^2/3d4 ^^44
имеет все корни с отрицательными вещественными частями тогда и только тогда, когда все коэффициенты полинома (4) положительны при любых di >0, что возможно только если Л е (-Р0), и положителен при любых di > 0 определитель Гур-вица третьего порядка:
^ , , , 4) аз ао а^.
(5)
Нетрудно заметить, что / (d1, d2, d3, d4) представляет из себя однородную форму шестой степени по всем di, причем по каждому Д, в
общем случае это полином не выше третьей степени. Свойства полиномов третьей степени известны: для того, чтобы полином
w(di) = Ь/ + + b2di + Ь3 принимал только положительные значения на всей положительной части оси di (не имел положительных корней di), необходимо, чтобы коэффициенты при наибольшей и нулевой степенях di были неотрицательными, т.е. в общем случае Ь0 > 0, Ь3 > 0 . В свою очередь, эти коэффициенты есть полиномы не более чем третьей степени по оставшимся Д , (] Ф /) .
Все возможные варианты условий на коэффициенты полинома, при выполнении которых полином всегда положителен в положительном ортанте, выписаны в общем виде (но не в терминах элементов матрицы Л) в работе [6], в которой также описан один из алгоритмов проверки положительности полинома /(Д1, 02, 03, 04) (5) при любых di >0. Мы предлагаем условия, в терминах элементов матрицы.
Необходимые условия для матрицы четвертого порядка. Полиномиальная форма (5) имеет вид:
°2< 13 04 Ь13,2,3,4 + Д2, Д2 ДЗ^ Ь12,2,З,42 +
/2 / /3 Ь1,22,3,42 + - 01 Д2 ДЗ 04Ь1,2,З2,42 +
¡2 0 ?3 043 Ь1,2,3,43 +' о2. V2 /2 Ь +
о2, Д32, 04 Ь12,32,42 + 0 ?12 / '2 02 Ь 2 1Л4 ^12,22,42 +
/3 Д4Ь1,22,32,4 " 1-0- 1 0203 04Ь12,: 2,32,4 +
о2, 02< 0 3 04 Ь12,22,3,4 + 0 03 04Ь1,2З ,3,4 +
о2, о 2 о/о Ь 2 З о 3 12522532 10203 04Ь1,2,33,4 +
дЗ о2, 04 Ь13,32,4 + 01 0 21 Ь13,2,42 3 / /2Ь 4 Ь1З,З,42 +
Д3< 04 Ь13,22,4 + 01 0 21 03Ь13,2,32 / 2 ^ 0 Ь 3 1з,22,3 +
Д23< о2, 04 Ь23,32,4 + 01 0 21 Ь1,23,42 +<: -/-3 ^/3 / 2Ь , 4 2з,З,42 +
о2, /З 04 Ь12,23,4 + 01 0 23' 03 Ь1,23,32 + 0 2 / Ь 3 12,2з,3 +
02< 033< 04 Ь12,33,4 + 02 033 04 Ь22,33 ,4 +' о/. ^/3 / 2Ь , 4 1,Зз,42 +
:/33< ^4 Ь2,33 ,42 + 01 0 2' 03Ь12,2,33 + 0 2 о '3 Ь 3 1,22,Зз +
02< 02< 04ь12,2,43 + 01 0 22' Ь1,22,43 + 0 ^ /3 / ?3Ь 4 12,З,4з +
Д22( 03с ^4Ь22,3,43 + 01' /2< 04Ь1,32,43 + 0 ^2 /3 / ?3 Ь
Обозначения для коэффициентов при произведениях Д в форме (6) приведены в (А.1). В силу условий Л е (-Р0) все коэффициенты вида Ь, ,
0 <]< g = 1,2,3,4; I Ф к Ф р, р = 1,2,3;
1 + к + р = 6) неотрицательны. Пусть коэффициенты с четырьмя индексами, имеющие в субиндексах цифру 3, допускают следующее представление:
{Ь1з,2,3,4 = Ь1з,22,3 +
д/Ь1з,22,^ Ь1з,32,4) + 71,
Ь1,2з,3,4 = -2ЦЬ12,2з,^Ь2з,32,4 + "\/Ь1,2з,32 "\/Ь1,2з,42 + у1\,2з,3у1 Ь2з,3,42) + ^2,
Ь1,2,3з,4 = Ь22,Зз,^Ь12,Зз,4 + "\/Ь1,22,Зз "\/Ь1,Зз,42 + ^Ь2,Зз,4^Ь12,2,Зз ) + Г3,
Ь1,2,З,4з = -2^ь1,22,4^ь1,32,43 ^ь2,32,4^ь12,2,43 +
+ >/ь12,3,4^ь22,3,43 ) + Г4 } (7)
а коэффициенты с тремя индексами, имеющие в субиндексах только цифру 2, запишем в виде:
{Ь22,32,42 = -2^Ь22,З,4^Ь22,Зз,4 + л]Ь2,Зз,4^Ь2З,З,42 + ^Ь2,З2,4^Ь2з,З2,4) + А, Ь12,32,42 = -2^Ь1з,З,4^Ь1,Зз,42 ^Ь12,З,4^Ь12,Зз,4 + Л/Ь1,32,4^Ь1з,З2,4) + в2 ,
(8)
К ,22,42 2Ц/Ь1з,2,42 л/Ь1,2з,42 + V^Vb ^2,23,4 +
^АА = -2^Ь1,2з,3^Ь1з,2,32 ^Ь12,2,3^Ь12,2з,3 +
Выполним замену (7) в (6) и после преобра- +d3d2b зований получим выражение:
{/ Ц, d 2, ^з, d4)=
d13(d2d3d4Y1 + d2 (d3*Jb13,2,32 - d^b13,2,42 )2 + d3(d4<у/b13,3,42 - d2^Jb13,22,3 )2 + d4(d2^/b13,22,4 - d3^/b13,32,4 )2) +
d43(d1d2d3Y4 + d1(d2^b1,22,43 - ^b1,32,43 )2 +
d2 (d3^b2,32,43 - d1^/b12,2,43)2 + d3 (d1 ^
d2 d32d42^1 + d22d3d4 ( d4^b22,3,43 + d3 ^b22,33,4 )2 + d2d3d4- (-d3*Jb2,33,42 + d2^/b23,3,42 ) +
d2 d32 d4(-d^ Ь2,З2,4з + d ^ b23,32,4 )2 + d1 (d22 d33b1
1,22,3. 2з,42
2 j3 d22 d4b1 22 4з + d33d2b.
2"4"1,22,43 .32.43
- d32d4b1
2"3"1,23,3. .3з,42
d33d42b1
'3'J2 +
d3d3d4b1,3,3,24 + d3 d^b1,3,32,22
+ d4dзbl,з,44,з ' +
d 2d4dзb1,з4,4,з) + 4b12,2,44 + d3d2b12,3,24
+d3 + ^ d3b12,32,32 + d3b12,32,32 +
d dobi
+ d 2 d A
3"3^чз,34,3 1 ^*3^*2L'13,34,2 1 "3 ^*2L'13,33,2.
+ do2 d^h
d3d A
+ d2 d3d A
^ ^^4 12,34,4 ^*3^*3^*2^Ч3,3Д23 1 ^*3^*3^M'J^3,3,33,2
+ d2 d3d A
,3,4з
d2^Ь22,3,43 )2 ) + d33 (d1d2d4 Y3 + d1 (d2^b1,22,33 " d4^jb1,33,42 )2 + d2 (d4^Jb2,33,43 - d1 ^b13,2,33 )2 + d 4(d^ - d ^ b23,з3,4)2)+
d23(d1d3d4Y2 + d1(d^b1,23,32 - d^Vb1^)2 + d3 (d^b12,23,3 - d4^,3^ )2 + d4(d1>/b12,23,4
d1 d3 d3-b12,32,42 d1d2 d3d4 (d3d4b1
"d 2 d3d 4^,3^
2з ,32 ,4 ) )"
- d2 d4b1
22,3Л
- d2 d3b1
2з,3з,3
+ d1 d;, d3 b12 ,22 ,3'
+ d12 d 2 d 4 b1
>22
_d^Ь13,2,42 )2 + d3 (^Ь13,3,42 _ 4 +
d4 (d2^/Ь13,22,4
Свободный член полинома (10) неотрицателен всюду в положительном ортанте только при Д > 0, так как в общем случае если две скобки в этом коэффициенте обращаются в ноль за счет выбора ¿2, ¿3, ¿4, то обращается в ноль и третья скобка; при Д <0 обязательно найдутся такие di, при которых полином (10) принимает отрицательные значения. Потому условие Д > 0 является необходимым условием Б-устойчивости. Рассмат-
+d1d4Ь12 2,3,42 + 2,32 4 + 22 3,4 )}, (9) ривая выражение (9) поочередно как полином по
из которого следует, что для положительности по- 2>d 3,d4, получим другие необходимые условия: линома при любых >0 необходимо ^ > 0 ( Д2 > 0, Д3 > 0,Д4 > 0.
1 = 1,2,3,4). Действительно, тогда коэффициент при наибольшей третьей степени di в полиноме
Следовательно, необходимыми условиями D-устойчивости матрицы Л е M4(Я) являются
по любому d■ неотрицателен всюду в положи- неравенства:
{Д > 0, Д > 0, Д > 0, Д4 > 0}
тельном ортанте, и может принимать отрицатель- л
ные значения при ^ < 0, так как в общем случае, если за счет выбора di любые две скобки в коэффициенте при ¿3 равны нулю, то обращается в
ноль и третья скобка.
Запишем /d2, d3, d4) (9) как полином по d1, который после подстановки (8) можно привести к виду:
(11)
{Y1 > 0, Y2 > 0, Y3 > 0, Y4 > 0} (12)
Разрешая систему неравенств (11)-(12) с учетом требований Л е (-Р0), получаем условия на главные миноры матрицы:
Л44 >0, 0 < А44 < - Л3з Л22,4 Л32 Л22 +
V-Л22,З Л33 )2 «1,1, 0 < «22,2Л44 < +
-у/-Л31Л22 + Л213 А33 )2 «2,2 , 0 < «3,3Л44 < -Л32 Л214 Л31 Л22,4 +
д/-Л21д А33 )2 «3,3 , 0 < «42,4Л44 < -Л33 Л21д +
4 A32 A2,
2 ,,3
V A3, A22,3 )2°4,4;
(13)
0 < (- A3,) < q - A212 «2,2 +>/=A"
\4«4,4 )2, 0 < (-A32) < (^-A212«1,1 +
V-A22,3°3.3 A22,4°4.4 )2'
0 < (-A33) < (^A2, 3 (-«,,,) + ^A223(-«2,2) +
^(-a^))2, 0 < (-A33) < (^A2,,4(-ai i) +
^224(-«2,2) ^a 22 (-«3,3))2; (,4)
Причем одновременное равенство слева по группам условий (13) и (14) не допускается. Сопоставляя (14) с условием (2) теоремы 1, делаем вывод, что для D-устойчивости матрицы 4 х 4 необходимо, чтобы была D-устойчивой по крайней мере одна из главных подматриц третьего порядка. Следовательно, известный результат [3] может быть дополнен следующей теоремой:
Теорема 2. Для D-устойчивости матрицы A е M4(R) необходимо, чтобы A е (-P0) [3], и были выполнены условия (13) и (14).
Другие формы представления полинома f(d1,d2,d3,d4) (5) приведены в приложении. Как видно из форм (A.2) и (A.4), отрицательные значения могут принимать только слагаемые, содержась,2,3,42 ,
щие m1,2,32,42
m1,22,3,42 :
m1,22,32,4 :
m12,2,32,4 , m12,22,3,4
(А.З). Нетрудно показать, что
первые шесть скобок в выражении (А.4) могут одновременно обращаться в ноль при некоторых
значениях (0*, 02,03,04); подставив значения 0* в (А.4), мы получим как необходимое условие Б-устойчивости требование положительности полученного выражения. Точно так же можно найти и
значения 0* , обращающие в ноль скобки с квад-
7*** /—
ратами, содержащие Д, и di для скобок с yi. Если матрица Л такова, что У1Д1 = У2Д2 = УзДз = У44в44 ф 0, то в форме (А.4) все скобки в квадрате, содержащие , Д, могут одновременно обращаться в ноль. Подставляя найденные значения 0* или 0* в выражение (А.4), получим еще необходимые условия Б-устойчивости, потребовав его положительность. И эти условия не содержат di. Явный вид их очень громоздок и потому здесь ограничиваемся только изложением идеи, которая успешно может быть использована в примерах.
Достаточные условия Б-устойчивости матрицы 4 х 4. Различные формы представления полинома Гурвица /(01,02,03,04) (5) позволяют нам получить некоторые достаточные условия его положительности. При выполнении этих достаточных условий совместно с необходимыми матрица Л е Ы4(К) будет Б-устойчивой. Из представления / (01,02,03,04) (6) следует
Теорема 3. Матрица Л е Ы4(Я) Б - устойчива, если Л е (-Р0) и все коэффициенты (А.1) неотрицательны (не равные нулю одновременно).
Эта теорема дает очень далекие от необходимых условия Б-устойчивости. Менее жесткие достаточные условия можно получить из формы (9) для определителя Гурвица:
Теорема 4. Матрица Л е Ы4(К) (3) Б - устойчива, если Л е (- Р0), выполнены условия (13) и коэффициенты из (А.1) Ь^^^ > 0 ( i < ] < g = 1,2,3,4), Ь1 4 > 0 (I,к,р,д = 1,2;
Г к' р' д
I + к + р + д = 6).
Из выражения (А.2) видно, если наряду с условиями теоремы 2 положительны последние шесть скобок, то определитель Гурвица (4) положителен при любых Д* > 0.
Теорема 5. Если выполнены условия теоремы 2 и
«1,2,32,42 > 0 т1,22,3,42 > 0, ^1,22,32,4 > ^ «12,2,3,42 > 0, т12,2,32,4 > 0, т12,22,3,4 > 0, (15)
то матрица Л е Ы4(Я) Б-устойчива.
К сожалению, эта теорема дает также очень жесткие условия. Из формы представления (А.4) очевидным образом следует теорема:
Теорема 6. Матрица Л е Ы4(Я) Б - устойчива, если Л е (-Р0), > 0 , Д > 0 (*=1,2,3,4), и выполнены условия
(24Д14Д2 + 3^|y¡^Jy4 + 3 «1,2,3^ ) > 0, Су^у/Ж + 3^|y3^|y4 + 3 «1,2^3,^) > 0, (3^¡Дl^¡Д4 + 3y[y3,Jy¡ + 3 ml,23,з3,4) > 0, (2^Д2^Дз + 2^474 + 3 т^дзл) > 0, (27Д/Д4 + 2^/^ + 3 ^,2,^,4) > 0, (2Д/Д + + 3 «1^,3,4) > 0. (16)
(одновременное равенство не допускается.) В условиях (15) и (16) теорем 5 и 6 в общем случае одновременное равенство исключается, но в частных случаях граница может быть включена после дополнительного исследования.
Вариант, когда на главной диагонали только один ненулевой элемент. В работе [11] получены некоторые необходимые условия для матриц, у которых на главной диагонали не менее двух нулевых элементов. Мы рассмотрим вариант, когда а11 Ф 0, а2 2 = а3 3 = а4 4 = 0. Тогда условия
Л е (_Р0) имеют вид: а1,1 <0, Д22 > 0, Д44 > 0 ,
Л2 > 0, Л3 < 0 (одновременное равенство не до-
¿4 (у! Л32 Л22,4 d3 d2^J~As3Д22 ) 2 +
_ Л33 Л22з d4 _ ¿з^Л^)2 + (19)
d3 (_^JA~A~d4 _ d2^1 _Д22 Д33 )2)(_а1,1 )).
Теперь очевидно, что при выполнении условий (18) (исключая правую границу) полином (17) не отрицателен при любых di >0, а при смене хотя бы одного знака в неравенствах на противопо-пускается, ) > i = 1,2,3,4). Все главные миноры ложный полином может принимать отрицатель-
второго порядка имеют вид (_«.«а,), и потому ные значения. Исследуем границу в неравенствах.
Так как не все определители Л1 равны нулю
(иначе нарушится условие Л е (_Р0), то одно из соответствующих ненулевому Л2 1 условий (14)
необходимо sign(ai))= _&1^п(а] . )(1 Ф )) . Определитель Гурвица:
¿1 (2Л3 4 ( Л3 dзd4 + ( Л-з ¿4 ¿з Д33))
+Л3 Л_2 d2dз d4 а11 + Л3 ¿2 dзd4 (Л_2 dз + л21 3 ¿4 )а1,1 ) + л31л21 2 d2¿з ¿4 а1,1 + ^ ¿2 ^¿4 (Л 4 ¿З + Л213¿4)а1Д) + ¿12(_(_Лз2dзd4 + ¿2(_Лззd4 _
¿3 Дзз))2 + Лз1 ¿2 dзd4( Л22,4 ¿3 + Л22,з ¿4 + ¿2 ДиМд _ Л212¿3¿4(_Л32¿3¿4 + ¿2(_Л3з¿4 _¿3Д33))а11 _
¿2( Л214 ¿3 + Л2.
з d4 )( Лз2 dзd4 + d2 ( Лзз d4 _ ¿3Д33))а1,1) + ¿13((_Л22,4¿3 _ Л22,3¿4 _ ¿2Д 22
)(_ Лз2 dзd4 + ¿2(_ Лзз d4 _
¿3Д 33))а1,1 _ ¿2 d3d4 Д 44 а121) (17)
может быть положительным для любых di > 0 только при Л^ =0. Это же следует и из необходимых условий (13) и (14), которые в рассматриваемом случае принимают вид:
0 < _Д44а1,1 < Ц_Л3з Л22,4 +>/_Л32 Д22 + Л22,з Д33 )2 , Л =0, _ Л32 < _Л21д а1,1, _ Д33 < _Л,4 а1,1 ,
_Л3з <_Л213 а1,1 (18)
После подстановки в (17)
_Л33 = _Л213 а1,1 _ М3, _Л32 = _Л212 а1,1 _ М2,
_Д33 = _Л214 а1,1 _ М4,
можно взять со строгим неравенством справа; тогда неравенство (13) может включать справа границу (что в (18) соответствует % > 0), и при этом полином (19) положителен при любых di >0, т.е. матрица Л Б-устойчива. Рассмотрим еще один вариант. Пусть последние три неравенства (18) включают границу справа (тогда в (19) м > 0), и требуем % > 0, причем знак равенства достигается только в случаях, когда хотя бы в одном подкоренном выражении первого условия (18) один из сомножителей равен нулю, а другой не равен нулю. При выполнении этих условий определитель Гурвица (19) положителен при любых di >0. Приведенные рассуждения позволяют сформулировать теорему:
Теорема 7. Матрица Л е М4, имеющая на главной диагонали только один ненулевой элемент (а11 ф 0), Б-устойчива, если Л е (_Р0), Л^ = 0 и в
условиях
_Л32 <_Л212 аl'1'
_Д33 < _Л2 а1
_Л33 <_Л213 аU'
0 < Д44«1,1 < (д/_Л3зЛ22,4 Л32 Д22 + д/_Л22,з Д33 )"
выполнен один из следующих вариантов: 1). равенство в последнем условии достигается только в том случае, когда хотя бы в одном в подкоренном выражении один из сомножителей равен нулю, а
_д44«11=( /_Л3 Л2 + _Л3 Д22 + 1~Л2 Д33 )2 другой обязательно не равен нулю; 2). одно из ' V 3 2,4 V 2 V 2,3 трех первых условий выполнено со строгим нера-
венством.
При смене знаков в неравенствах на противоположные или при нарушении условий 1). или
Л^ =0 (М > 0, % > 0) имеем:
¿12(_(Л3 ¿2¿4 + Л3 d3d4 + ¿2¿3Д33)(d3d4м2 +
¿2 d4м3 + ¿2 ¿3м4) + +
2). свойство Б-устойчивости отсутствует.
Следовательно, эта теорема дает необходимые и достаточные условия Б-устойчивости матрицы Л е М4(Я) с одним ненулевым элементом на главной диагонали.
1,4
Пример 1. Рассмотрим матрицу
Г -2 1 1 1 ^
1 + а -2 1 1 1 + а 1 + а -2 1 1 + а 1 + а 1 + а -2
Л=
(20)
(21)
-8(-3 + а)(36 - 24а + 5а2 + а3)> 0.
а2=
сводятся к одному неравенству
(15 + а2)(225 + 31а2) >0, которое выполняется всегда. Поэтому матрица А2 Б-устойчива при любых значениях а.
Пример 3. Для матрицы вида
Для матрицы А1 (20) имеем:
У\ = г2 = Г3= Га = 2(54 - 135а + 78а2 + 11а3) > 0, в= в = в3 = в4 = -а(9 + а)(54 - 9а + а2)3 > 0.
Система неравенств А1 е (-Р0) сводится к
двум
{а (9 + а) < 0,3-а> 0} (22)
и дает решение для параметра а : -9<а <-0.568393. Совместное решение необходимых неравенств (21) и (22) дает интервал
(-8.58675 < а < -0.568393). Проверим условия теоремы 6; в дополнение к необходимым условиям получим неравенство (16)
А3 =
Г-1 -а2,1 -а3,1 -а4,1
а2,1 0 -а3,2 -а4,2
а3,1 а3,2 0 -а4,3
ч а4,1 а4,2 а4,3 0
Л
(24)
применим теорему 7 и получим следующие свойства: 1). матрица (24), у которой вне главной диагонали нет нулей, и выполнены условия
Я3 1^4 3^2 1^4 2 < 0,
1 а 2 1 ^4 3 < 0,
а3 ха3 2а4 ха4 2 < 0 или
а2 1а3 2а4 ха4 3 >0 или
(23)
Совместное решение (21), (22) и (23) дает интервал (-8.37768 < а < -0.568393), в котором матрица Б-устойчива. Чтобы оценить полученный результат, обратимся к форме (А.4) определителя Гурвица. Для рассматриваемой матрицы при d1 = d2 = d3 = все скобки в квадрате в (А.4) обращаются в ноль. При подстановке таких значений di определитель Гурвица
(—16(—3 + а)(36-24а + 5а2 + должен быть
положительным, что с точностью до положительного множителя совпадает с условием (23). Следовательно, теорема 6 в рассматриваемом примере дает необходимое и достаточное условие Б- устойчивости.
Пример 2. Рассмотрим матрицу
Г -4 1 -а 1 -а 1 -а^
1 + а -4 1 - а 1 - а 1 + а 1 + а -4 1 - а Ч1 + а 1 + а 1 + а -4 ;
Необходимые условия, определяемые теоремой 2, для А2 выполнены при любых значениях а. Достаточные условия из теоремы 3 приводят к неравенству (1625 + 430а2 -7а4) > 0, из которого
имеем решение а2 < 65 , это очень далеко от необходимого. Достаточные условия из теоремы 6
а4 а ъаг а 2 >0, а4 а 2а3 а 2 <0 не обладает свойством Б- устойчивости; 2).матрица (24), которая имеет только один нулевой элемент ниже (и выше, соответственно) главной диагонали устойчива и Б-устойчива только тогда, когда выполнено условие (а3,2а41 -а31а4,2 + а21а4,3) Ф 0; 4). матрица
(24), которая имеет только два нулевых элемента ниже (и выше, соответственно) главной диагонали всегда Б-устойчива; 4). матрица (24), которая имеет три нулевых элемента ниже ( и выше, соответственно) главной диагонали Б-устойчива, если эти нулевые элементы не располагаются на одной строке (столбце). Например, пусть в матрице (24) а4,3 = а41 = а4,2 = а32 = 1, а31 = -1, тогда достаточные условия отсутствия Б-устойчивости сводятся к неравенству а21 > 0, а необходимые и достаточные условия Б - устойчивости из теоремы 7 -- к системе неравенств а2 х Ф -2, а21 < 0. Действительно, необходимые условия Б-устойчивости дают (2 + а21)2 >0, а определитель Гурвица матрицы БА :
d13(d2(dз -d4)2 + d4(d3 -d2a21)2 + d3(d4 -d2a21)2),
будет всегда положительным при а21 < 0.
Приложение. Введены обозначения для коэффициентов при произведениях di в форме (6) (в индексах информация о номере di, в субиндексах -- о степени):
{¿1,22,33 — А214Л33а3,3, ¿1,22,43 — А33 А213 а4,4,
¿1,23,32 : = А214Л33а2,2, ¿1,23,42 — А33 А213 а2,2,
¿1,32,43 : = А32 А21,2 а4,4 , ¿1,33,42 — А32 А21,2 а3,3,
¿13,32,4 : = А32А224а1,1, ¿22,3,43 — А31 А213 а4,4 ,
¿22,32,42 — -А31 + А31 А21,2 а2,2 + А3 А2 а3 3 + А3 31 21,3 3,3 31
¿22,33,4 — А31 А214а3,3, ¿23,3,42 — А31 А213 а2,2,
¿23,32,4 — А31 А214а2,2, ¿1,2,3,43 — А33 А21,2 а4,4 +
3] 2,4 4,4'
А32 А213 а4,4 + а31 А223 °4,4 Л44°4,4,
¿,234 — 2 Аз Аз + А3 А_2 а,, + Аз А2 а.
%^21 2 2,2
А33 А212 а3,3 + А32 А213 а3,3 + А3, А223 а3,3 + А32 А214 а4,4 + а31 А224 а4,4 + А212 Д33а4,4 - 2Л 44а3,3а4,4, ¿1 2 3 — Л33а.
224 Л33а3,3, ¿12,2,43 — А33 А223 а4,4,
Ь12,3,43 — А32 А223 а4,4, ¿12,22,32 — Л23 + А214 Л33а1,1 +А224Л33а2,2 + Л22Л33а3,3, ¿12,22,42 — — А33 + А33 А213 а1,1 + А33 А223 а2,2 + А33 Л22а4,4,
Ь12,23,3 Л22 Л33 а2,2, ¿12,23,4
— А33 Л22а2,2,
¿1
— А32 + А32 а21 2 а1,1 + А32 А22 3 а3,3 + А32 А22 4 а4,4 ,
Ь12,33,4 — А32 А224а3,3, ¿13,2,32 — А224Л33а1,1,
¿13,2,42 — А33 А22,3 а1,1, ¿13,3,42 — А а1,1,
¿13,22,3 —Л22Л33а1,1, ¿13,22,4 — А33Л22а1,1,
¿1
2,33,4
— А32 А214 а3,3 + А3. А2 а3,3 + А2 Л 33а3 3 Л 44а-
21 2 33 3,3
— 2 А3 А3 + А.3 А_2 а11 + А3 А.2 а'
А32 А21 3 а2,2 + А3 А22 3 а2,2 + А33 А21 3 а3,3 + А33 А2Ма4,4 +
33 21,3 3,3
А31 Л22а4,4 + А21 3 Л33а4,4 2Л44а2,2а4,4,
3 4 — 2 А3 Л 33 + А3 А2 алл + А3 А2 а22 +
'2 2 31 33 31 21,4 м 32 21,4 2,2
А31 А224 а2,2 + А21 2 Л33а2,2 + А33 А21 4 а3,3 + А31 Л 22 а3,3 + А21 3 Л33а3,3 — 2Л44а2,2а3,3 + А21 4 Л33а4,4,
1,23,3,4
(А33 А21 4 + А31 Л22 + А213 Л33 )а2,2 Л44а2,2 ,
¿12,2,3,42 — 2 А32 А33 + А33 А212 а1,1 + А32 А213 а1,1 +
А3 А_2 а11 + А3 А.2 а0 2 + А3 А2 а3 3 + А3 А2 а 4 4 +
3л 2л 3 2,2 33 2л 3 3,3
З3 2? 4 4,4
А32 Л 22а4,4 + А22 3 Л33а4,4 2Л44а1,1а4,4,
1,,2,3,,4
— 2А3 Л33 + А3 А2 а11 + А3 А2 а11 +
"3~ 214 1,1 3^ 23 4 1,1
А212 Л33а1,1 + А32 А22,4 а2,2 + А33 А22,4 а3,3 + А32 Л22а3,3 + А223 Л 33а3,3 -2Л 44 а1,1а3,3 + А22,4 Л33а4,4, ¿12,22,3,4 — -2А33 Л33 + А33 А214 а1,1 + А31 Л22а1,1 + А213 Л33а1,1 + А33 А22,4 а2,2 + А32 Л22а2,2 + А22,3 Л33а2,2 -2Л 44а1,1а2,2 + А33 Л 22 а3,3 +Л 22Л33а4,4, ¿13,2,3,4 — А33 А224 а1,1 + А32 Л22а1,1 + А223 Л33а1,1
(А.1)
-Л44а121}
Полином /й?2,й?3,ё4) (6) можно преобразовать к виду:
а?2а?32 d4в1 + а?12 d2 d4в2 + А?12 ^22 ^4в3 + ^12 ^22 ^32в4 + ^13 й2 й3 й4у1 + й1й23 й3 й4у2 + d1d2 d33d4Y3 +
d1d2 d3d4У4 + d1d 2 (-d2d3 + й2
+¿13,2,32 - 4^¿13,2,42 )2 + й1й3(-й2й + й3й4л]¿1,33,42 - ^¿13,3,42 + ¿13,22,3)2 + й1й4(-й2 ¿1,22,43 +
й3й4л]¿1,32,43 + ¿13,22,4 - ¿13,32,4)
+й3й4 ¿\г,ъ,аъ + ¿\г33ъ,4
I 2 й4
- й2 + й 2 й3(^.
1,23,42 3
4
+ d2 d.
^ 4
44 3,3
^¿23,3,42 )2 + d2d4 ( d3^¿2,32,43 + -d1d ^ ¿12,23,4 + d2 d1d2d3 ^ т1,2,32,42
^ )2 +
+ ^^ d3d4^ т1,22,3,42
dl ^^2 ^^4 2 3 4 + dз т-
I2 Л Л2
^^^4 "12,2,3,42 2 Л,
d1 d2d3d4 т12,2,32,4 + ^ dзd4 т12,22,3,4 ,
-здесь введены обозначения:
т1,2,32,42 — ¿12,33,^¿22,3,43 -
^¿22,33,4 + ¿1,2,32,42 ), т1,22,3,42 — ^у/Ь.
(А.2)
12,3,43
2,3,,43
>/¿12,23,4 ^>/¿^>/¿23X4 + ¿1,22,3,42 )
«1,22,32,4 — (-^V¿2з3X>/b^ -&
У23,3,4.
+ ¿1
22,32,4^,
1 ^2
2
m
1„2,3,4,
1з,32,4
+bl2,2,3,42)' mi2,2,32,4 - ( ^b1,22,3^bl3,3,42 ^ь13з,4^ь1з,22,3 + b12,2,32,4), mi2,22,3,4 -
- ^Ь1,2з,3^Ь1з,2,42 + bl2,22,3,4), (A3)
или к виду
d1d2 (d2d3^/b1,23,32 - d2d4^/Ь1,2з,42 - d1d3yjb13,2,32 + d1d4л/Ь1з,2,42 )2 + d1d3(d2d^Vb1^A - d3d^Ь1,3з,42 -d1d4,1 b13,3,42 + d1d2j\Z3)2 + d1d4 (d2 b1,22,43 -d3d^ b1,32,43 - d1d + d1d^ b13,32,4)2 +
d3d4 (d1d4*jb12,3,43 — d1d3y]b12,33,4 — d2d4^/b22,3,43 + d2b22,33,4 )2 + d2d3(d3d4^/b2,33,42 -
1„2,3з
*ГГ31
2 d4 d3 d4
d1d^b12,23,3 + d2d^b23,3,42 )2 + d2d4(d3d4>/b2,32,43 d1d^b12,2,43 - d1d2^b12,23,4 + d2d3yjb23,32,4 )2 +
1/3((d2d3d4*Jßi - d1d3d4.Jßi + d1d2d4„JßT -
Ж)2
+ (d 2 d3d^y[e + d1d3 d^^^/e -
- d1d2d3^J~ß~4)2 + (d2d3d4y[e -
л/вТ- Wd2d4У[вз -dd2d^^/Д^))2 +
d1d 2 d3d4((d^7Y"- + d^^/YT - d^VY4)2 +
(d1yfn- d2y[rY -d3ylYY + d4y[r4)2 + +
d2 VY2 - d3y[Y - d^^JYY)2) + dd2dTd4 (l^ßvJK
2у1ГГУ1Г4 + 3ml,2,3l,4l ) + d1d2 d3d42 VjÄJÄ + + 3m122,3 42 ) + dd 22d32 d4 (l^[ßl^íв + l^|rly|rT + 3m1,22,32,4) + d12d2d3d42 V-JÄyiÄ + + 3m12,2,3,42 ) + d12 d 2d3 d 4(24ß'2 4ß'4 + ^V^VrT + 3m12,2,32,4) + d12 d 22d3d4(l4ßз4ß~4 + h-Jr! + 3m12,22,3,4 ))* (A4)
Все вычисления выполнены с помощью системы компьютерной алгебры МАТНЕМАТ1СА-6.
Работа частично поддержана ИНТАС-СО РАН, грант № 06-1000013-9019
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Arrow, K. J. A note of dynamic stability / K. J. Arrow, M. McManus // Econometrica. - 1958. -V.26. - P. 448-454.
2. Свирежев, Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. -М. : Наука, 1978. - 352 с.
3. Johnson, C. R. Sufficient Conditions for D - Stability. / C. R. Johnson // J. of Economic Theory. -1974. - № 9. - P. 53-62.
4. Johnson, C. R. D-Stability and Real and Complex Quadratic Forms / C. R. Johnson // Linear Algebra and its Applications. - 1974. - № 9. - P. 89-94.
5. Cross, G. W. Three Types of Matrix Stability / G. W. Cross // Linear Algebra and its Applications. -1978. - № 20. - P. 253-263.
6. Кановей, Г. В. Логофет, Д. О. D - устойчивость матриц 4 х 4/ Г. В. Кановей, Д. О. Логофет // Вычислительная математика и математическая физика. - 1998. - № 9, т. 38. - С. 1429-1435.
7. Кановей, Г. В., Нефедов, В. Н. О необходимом условии положительности действительного полинома от нескольких переменных в положительном ортанте / Г. В. Кановей, В. Н. Нефедов // Вест. МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. - М., 2000. — № 2.
- С. 24-29.
8. Cain, B. E. Real, 3х 3 D-stable matrices : Research / B. E. Cain // J. Nat. Bureau Standards U.S.A. - U.S.A., 1976. - V. B80. - № 1. - P. 75-77.
9. Johnson, C. R. Second, third and fourth order D-stability : research / C. R. Johnson // J. Nat. Bureau Standards U.S.A. - U.S.A., 1974. - V. B78.
- № 1. - P. 11-13.
10. Кановей, Г. В. Соотношения, свойства и инвариантные преобразования D- и aD-устойчивых матриц / Г. В. Кановей, Д. О. Логофет // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. - 2001. -№ 6. - С. 40-43.
11. Кановей, Г. В. Об одном необходимом условии D-устойчивости матриц, имеющих не менее двух нулевых элементов на главной диагонали / Г. В. Кановей // Автоматика и телемеханика.
- 2001. - № 5. - С. 31-35.
32
