Устойчивость неопределённых дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*

И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р техн. наук, ведущий научн. сотрудник, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Устойчивость дискретных систем как «в малом», так и «в целом» изучалась многими авторами (см., например, работы [1-4]). Из последних статей упомянем [5-7]. В настоящее время возрос интерес к исследованию неопределённых дискретных систем, коэффициенты которых неизвестны и могут принимать любые значения из заданных множеств. Так, в [8, 9] исследовалась робастная устойчивость дискретных систем с неопределёнными запаздываниями. К классу неопределённых систем относятся, в частности, системы переключательного типа

х(п + 1) = А(п)хп,

где т х т-матрицы А(п) могут принимать любые значения из заданного множества {А1,..., А;}. Изучению устойчивости таких систем, а также их непрерывного аналога, посвящён обзор [10].

В предлагаемой статье рассматривается дискретная система, коэффициенты которой являются функционалами произвольной природы и принадлежат известному симплексу. С помощью построения специальной функции Ляпунова с якобиевой матрицей коэффициентов получены достаточные условия робастной устойчивости в целом. В приложении рассматривается система с широтно-импульсной модуляцией первого и второго рода [1, 4, 11], математическое описание которой сводится к рассмотренной неопределённой дискретной системе.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ2387.2008.1) и Программы №22 Президиума РАН.

© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2009

2. Формулировка результата. Рассмотрим систему

Хп+1 = Ап Хп, п = 0,1, 2,...,

где коэффициенты (п) т х т-матрицы Ап являются функционалами произвольной

природы и удовлетворяют при всех п следующим ограничениям:

КДп)| < а* < 1,

(п)| < ао при ] > г + 1, |а^'(п)| < 5 при ] < г.

(2)

(3)

(4)

Требуется по заданным а* и ао найти условия на 5, при выполнении которых состояние равновесия хп = 0 устойчиво в целом (глобально асимптотически устойчиво). Представим матрицу Ап в виде

Ап = Вп +

(5)

где

/ а1 ,1(п) а1,2(п) а1,з(п) ••• а1, т(п) \

0 а2,2(п) а2,з(п) • • • а2, т(п)

Вп = 0 0 аз,з(п) • • • аз, т(п)

\ 0 0 0 ••• ат т (п, /

/ 0 0 0 0 ^

а2,1(п) 0 0 0

Сп = аз,1(п) аз,2(п) 0 0 ,

\ ат,1(п. ат,2 ( п) ат,з(п) 0

и рассмотрим функцию Ляпунова

V = х* Нх

^ п — ХпН Хп ,

где Н = diag{^1,..., Л.т}, ^ > 0 (г = 1,..., т). Нашей целью является выбор таких ^1,..., Л.т, чтобы приращению Д^п, = ^п+1 — ^ удовлетворяло оценке

ДVn < —а|хп|2, (6)

где а — заданный положительный параметр.

В силу уравнения (1)

ДК = хп^пхп,

где ^п = АпНАп — Н, * — знак транспонирования (все величины вещественные). Воспользовавшись разложением (5), представим матрицу ^п в следующем виде:

^п = Рп + Дп — 2а/,

где

Рп — вп НВп — Н + 2а/,

Дп = сп НСп + сп НВп + вп НСп.

Очевидно, что для справедливости оценки (6) достаточно выполнения неравенств

Рп < 0, (8)

Дп ^ а/. (9)

Обратимся сначала к неравенству (8). Обозначим через в*з'(п) (г, з = 1,..., т) элементы матрицы Рп. Легко убедиться в справедливости следующих выражений:

вм(п) = а1 1(п)^1 — ^1 + 2а,

в2,2(п) = а1,2(п)^1 + а2,2(п)^2 — ^2 + 2а,

вт,т(п) = а1,т(п)^1 + а2,2(п)^2 + ... + а^^тМ^т — ^т + 2а, в1,2(п) = в2,1 (п) = а1,1(п)а1,2(п)^1, в1,з(п) = взд(п) = а1,1(п)а1,з(п)^1,

в1,т(п) = вт, 1 (п) = а1,1(п)а1,т(п)^1,

в2,з(п) = вз,2 (п) = а1,2(п)а1,з(п)^1 + а2,2(п)а2,з(п)^2,

в2,т(п) = вт,2(п) = а^2 (п)а^т (п)^1 + а^2 (п)а2,т (п) ^2 ,

Если обозначить через Д* (п) (з = 1,..., т) главные диагональные миноры матрицы Рп, отсчитываемые сверху, то оказывается, что Д* (п) зависит только от ^ при г ^ з, причём Л* входит лишь в последний диагональный элемент минора Дд (п) в виде слагаемого а2* (п)^ — Л*. Покажем, как определить Л-1,..., Л.т таким образом, чтобы ( —1)д Дд (п) > 0 и, следовательно, согласно критерию Сильвестра выполнялось неравенство (8).

Очевидно, что Д1 (п) = (а2^) — 1)^1 + 2а. Поэтому ввиду условия (2) справедливо соотношение

—Д1(п) ^ (1 — а*)^1 — 2а.

Положим

(1 — а2)^1 — 2а = Д+, где Д+ —произвольное положительное число. Тогда

Д+ + 2а

Ьл = —------—. 10

1 — а2

Предположим, что найдены такие Л-1,..., ^_1, что имеют место неравенства

( —1)*'Дд(п) > Д+, з = 1,...,к — 1, (11)

где Д+ —положительные параметры. Представим Д& (п) в виде

д (п) = Кк-1(п) ^ (п)

Дк (п)= 9*(п) а* (п) + (а!,к (п) — 1)^

где detKk_i(n) = Afc_i(n), ffifc(n) = ai,k(n)hi + a|,fc(n)h2 + ... + a2k_i(n)hk_i + 2a, а qk(n) и Kk_i(n) зависят от выбранных hi,..., hk_i, Д+,..., A+_i, а также от a* и ao. Представим Д^ (n) по лемме Шура следующим образом:

Д(n) = ^_i(n) [жй(n) + (ak fc(n) - l)hfc - q*(n)K__ii(n)qfc(n)] .

Отсюда вытекает соотношение

( —1)kД(n) = ( —1)k ^k_i(n)(1 — a|,fc(n))hk + nk(n),

где nk(n) = ( — 1)k_^k_i(n) [q*(n)Kfc_ii(n)qk(n) — ®k(n)] . В силу (11) справедлива оценка

( —1)k Дk (n) > — a2)hk — sup nk (n), (12)

где супремум берётся по всем элементам aj (n) из симплекса (2), (3). Поскольку nk (n) является полиномом высокой степени от m(m + 1)/2 переменных, искать sup nk (n) затруднительно. Поэтому воспользуемся какой-либо оценкой величины sup nk (n), которую обозначим через supщ(п). Заменив в правой части supryfc(n) на supry^(п) и приравняв правую часть полученного неравенства произвольному положительному числу получим для hk следующее выражение:

Щ%+Д+

hk ~ Л+ П---------2V

^i (1 — a*)

Таким образом, найдены положительные параметры hi,..., hm функции Ляпунова, при которых имеет место свойство (8).

Определим теперь допустимые значения параметра S в предположении (4), при которых справедливо свойство (9). Обозначим через ||М|| = \JАтах(ММ*) спектральную норму матрицы M, а через |М| её эвклидову норму. Известно [12], что ||M|| ^ |М|. Из формулы (7) вытекает неравенство

IIRnll < l|CJ2||HII + 2||Cn||||Bn||||tf||.

Загрубим эту оценку, увеличив выражение, стоящее в правой части этого неравенства, путём замены спектральных норм матриц Bn и Cn на эвклидовые. Воспользовавшись обозначением h* = ||H || = max hj, приходим к соотношению

i=i,...,m

||RJ < (|Cn|2 + 2|C„||B„|)h*. (14)

Свойство (9) равносильно неравенству

||Rn|| < a,

которое выполняется в силу (14), если |Cn | удовлетворяет оценке

\Сп\2 + 2|С,П||_В„| — — ^ 0.

h*

Максимальное значение |Cn|, удовлетворяющее этому неравенству, имеет вид

|Сп| — — \Вп\ + \/\в„\2 + •

Поскольку

(m - 1 )т

\Сп\ < -------^------д,

для параметра S получим оценку

i(m — 1) \\ h

Поскольку

*

а / а

|в„|2 + г-|в„|>

h* у h*

искомая оценка для S принимает вид

6<-гЩг/Г- (15)

m(m — 1)V h*

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема. Если выполнены условия (2)—(4), (15), и параметры h выбраны согласно (10), (13), то состояние равновесия системы (1) устойчиво в целом.

Замечание. Если все элементы матрицы An, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, то система (1) устойчива в целом при любых ajj (n), удовлетворяющих условиям (2), (3).

3. Приложение. Рассмотрим систему с широтно-импульсной модуляцией [1, 11], описываемую уравнениями

x = Ax + b£, а = c*x, (16)

где A — постоянная m х m-матрица, b и с — постоянные m-мерные столбцы, £ — сигнал на выходе модулятора, а — сигнал на его входе. Предполагается, что если |a(nT)| ^ Д, то £(t) = 0 при nT ^ t < (n + 1)T (Д — параметр нечувствительности модулятора, T — период повторения импульсов). В случае |a(nT)| > Д сигнал определяется формулой

£(,) \ А„ при nT < T < (nT + r„), (17)

) [0 при nT + тп ^ t < (n + 1)T, ( )

где An = sign a(nT). В случае широтно-импульсной модуляции первого рода (ШИМ-1) ширина n-го импульса тп определяется выражением

т„ = k(|a(nT )|)|a(nT )|, (18)

где к —заданная непрерывная функция. В случае широтно-импульсной модуляции второго рода (ШИМ-2) тп является первым положительным корнем функционального уравнения

т„ = k(|a(nT + т„ )|)|a(nT + т„ )|, (19)

если таковой имеется на промежутке [0, T]. В противном случае тп = T. Проинтегрировав уравнение (16) от nT до (n + 1)T, приходим к дискретной системе

x„+i = eATj„ + eATA-1 (I — e-ATn) A„b,

где xn = x(nT). Подставляя сюда выражение

получим в случае |a(nT)| > Д формулу

где

(7 = /" —

” 2! ' 3!

+

В случае ШИМ-1 из (18), (20) вытекает соотношение

ж„+1 = еАТ ж„ + еАТ к(|<г(пТ )|)6ст(пТ), которое имеет вид (1) при

А„ = еАТ [I + адИпТ)|)6е*].

В случае ШИМ-2 из (19), (20) получаем уравнение

ж„+1 = еАТ ж„ + еАТ С„к(|а(пТ + т„ )|)6а(пТ + т„),

которое можно представить в форме x„+i = eAT ж„ + eAT G совпадающей с (1) при

AT , ATf-ч k(\a(nT + тп)\)\а(пТ + rn)| *

|a(nT)| &C J

An

„AT

I + G,

A:(|cr(nT + r„)|)|cr(nT + rn)lbc*

|a(nT )|

(20)

(21)

Таким образом, математическое описание ситемы (16) с широтной модуляцей сводится к уравнению (1), причем в случае ШИМ-1 коэффициенты матрицы Ап являются нелинейными функциями от хп, а в случае ШИМ-2 — функционалами.

Литература

n

1. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтноимпульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970.

2. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.

3. Шепелявый А. И. О качественном исследовании устойчивости в целом и неустойчивости амплитудно-импульсных систем // Доклады АН СССР. 1970. Т. 190. №5. С. 49-56.

4. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.

5. Kubiaczyk I., Sakar S. H. Oscillaiton and global attractivity in a discrete survival red blood cells model // Applicationes Mathematicae. 2003. Vol. 30, N 4. P. 441-449.

6. Elabbasy E.M., Saker S.H., El-Metwally H. Oscillation and stability of nonlinear discrete models exhibiting the allee effect // Mathematica Slovaca. 2007. Vol. 57. P. 243-258.

7. Гелиг А. Х. Устойчивость дискретных систем в простейшем критическом случае // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 15-18.

8. Jia Xinchun. Robust stability with guaranting cost for discrete time-delay systems with noninear perturbation // J. of System Science and Complexity. 2005. Vol. 3, N18. P. 302-308.

9. Shinn-Horng Chen, Jyh-Horng Chou. Robust eigenvalue-clustering in a specified circular region for linear uncertain discrete systems with state delay // Applied Mathematics and Computation. 2007. Vol. 186. P. 1660-1670.

10. Shorten Robert, Wirth Fabian, Mason Oliver, Wulff Kai, King Christopher. Stability Criteria for Switched and Hybrid Systems // SIAM Review. 2007. Vol. 49, N4. P. 545-592.

11. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Birkhauser, Boston, 1998. 262 p.

12. Вилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.