Напряжения в капиллярах композита с неоднородностью непрерывного типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

боя определяется давление газа в разрядной трубке.

Предложенный нами метод испытан на разрядных трубках натриевых ламп ДнаТ-400, наполненных ксеноном, при давлении 3,192 кПа. Трубку 5 помещают между внешними электродами 1, 2 и 3, 4 размерами 4 х б мм, изготовленными из никелевой фольги и расположенными вдоль ее оси на расстоянии 3 см друг от друга. В схеме применен повышающий трансформатор 8 с коэффициентом транс-

формации между обмотками б, 7 и 13, равным 20, и обмотками 14 и 13, равным 40. К трансформатору 8 прикладывается переменное напряжение частотой 800 Гц от генератора низкочастотных колебаний

15.

Метод позволяет упростить измерительную схему, методику измерений и сделать ее доступной для экспресс-контроля давления в заводских условиях. Погрешность измерения давления не превышает 3 %.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алукаев Б. X. К определению давления инертного газа в люминесцентных лампах спектральным методом / Б. X. Алукаев, В. Ф. Дадонов, А. С. Федоренко // Светотехника. 1973. № 5. С. 4 — 5.

2. Свешников В. К. Способ определения давления газа в газоразрядных трубках / В. К. Свешников // Электронная техника. Сер. 4, Электровакуумные и газоразрядные приборы. 1980. Вып. 5. С. 48 — 49.

3. Физико-технические методы неразрушающего контроля ГРИ высокоинтенсивного оптического излучения / Ю. П. Андреев [и др.] / / Электронная техника. Сер. 4, Электровакуумные и газоразрядные приборы. 1990. Вып. 4. С. 35.

Поступила 14.02.05.

НАПРЯЖЕНИЯ В КАПИЛЛЯРАХ КОМПОЗИТА С НЕОДНОРОДНОСТЬЮ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА

B. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических наук, профессор,

член-корреспондент РААСН, А. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических наук,

C. Н. БОГАТОВА, аспирант

В ряде задач механики композитов в качестве модели представительной ячейки капиллярно-пористого композита можно выбрать (в геометрическом смысле) одиночный призматический капилляр кругового сечения [2; 3; 5]. Для такой модели ранее уже были представлены особенности макромеханики [4] и напряжен-но-деформироваииого состояния [2] ячейки из однородного материала, а также изложена методика определения эффективных модулей [3] и пористости [5] для ячеек с неоднородностью кусочно-одно-родпого типа. В данной статье, опираясь

на методы, изложенные в монографии [ 1 ], расширим класс решаемых задач и для ячеек, материал которых обладает свойством неоднородности непрерывного типа.

Расчетную модель ячейки композита представим прямолинейным капилляром, который имеет длину Ь, а также внутренний а и внешний Ъ радиусы кругового сечения (рис. 1). При этом замкнутая пористость композита при достаточно большой величине отношения Ь/Ь будет равна объемной доле канала в одиночной капиллярной ячейке:

© В. Д. Черкасов, А. С. Тюряхин, С. Н. Богатова, 2005

п =

я a L

п Ь2Ь

'а4

2

= (О

2

(1)

где со — отношение радиусов капилляра.

Капилляр, в общем случае, испытывает действие как внутреннего (порового) давления р, так и наружного давления ц.

Следовательно, при наличии осевой симмет-

ц „ ^

рии (статической, гео-

Р и с. 1. Круговое сечение ячейки композита

метрической и в распределении неоднороднос-тей материала) задача становится одномерной, зависящей лишь от радиальной координаты г в пределах интервала (а, Ь) ее изменения. Граничные условия первой краевой задачи примут весьма простой и лаконичный вид (см. рис. 1):

г = а, аг = -р г =Ь, ат = -q

)

(2)

где ог — радиальные напряжения.

Если пренебречь объемными силами, то для плоской деформации капилляра с изменяющимся по толщине материала модулем Юнга Е (см. рис. 1) разрешающее уравнение осесимметричной задачи запишется как [4]

а" + <р(г)ст'г + у/(г)а

0.

(3)

Коэффициенты <р(г) и у^г) особенно просты для так называемого несжимаемого материала, когда коэффициент Пуассона v = 0,5 = const [4]:

ср(г) =

3 _ ¿Г Е

у/(г) = 0.

(4)

Решением уравнения (3) с учетом равенств (4) служат выражения

аг = С2 +С\\

Е(г)

3

dr;

at = Со + С

2

1

_ г

2

3

(5)

где — окружные напряжения.

Здесь и далее от упругих констант Е и V целесообразно отказаться и перейти к объемному модулю К и модулю сдвига в, определяемым формулами

К

Е

3(1 - 2v)'

G =

Е

2(1+ v)

(6)

Положив v = 1/2 , получим iC

и

О = £/3. Отсюда следует, что материал капилляра под действием давлений р и ц, но при отсутствии объемных деформаций и сжимается, и растягивается в каждой своей точке. При этом за счет только деформаций чистого сдвига однородный капилляр расширяется или сужается [2; 4], а в его стенке появляются и радиальные, и окружные напряжения (положительные или отрицательные, в зависимости от знака и величины отношения давлений ц/р = П). Становится очевидной неудач-ность термина «несжимаемый материал», вызывающего противоречивые ассоциации.

Принимая сказанное во внимание, надо функцию Е (г), содержащуюся в выражениях (5), заменить функцией модуля сдвига С(г). Последнюю выберем, например, в виде степенной функции от безразмерной координаты с = г/Ь:

G(r) = G0(Apm + В),

(7)

где

А =

(i-k) (1 -of1)'

В

Оk-af0

(1 -of1) 1

k =

G0

(8)

Здесь С^ — модуль сдвига в точках поверхности канала капилляра; О0 — заданный модуль сдвига на наружной поверхности капилляра.

Тогда с учетом формул (7), (8) интегральная функция, входящая в равенства (5), примет вид

R(r) = SUrldr =

3

_ G0p~2[2Apm - B(m - 2)]

2b2 Ы-2)

(9)

Значения этой функции на границах отрезка а < г > Ь следующие:

Yl2b2(m -2)

Д(Ь) =

_ G0[2A-fi(m-2)]

2b2 (т - 2)

(10)

Удовлетворив условия (2), получим систему двух уравнений:

- р = С2 + С|Жя);

-¿7 = С2 +С1ЖЬ). (11)

Разрешив систему (11) относительно коэффициентов, найдем:

а =

р-я

R(b) - R(a)'

С2 = -р - C^R(a).

(12)

Обратная подстановка в соотношения (5) выражений (7) и (12) дает окончательные формулы:

для радиальных напряжений (в долях от порового давления р)

с _ _

Р

= -1 +

/

1-

Жг) Жй)

<71 Жб) ЖЬ)

R(a) ~ Rib)

Р

1

;(13)

для тангенциальных (или окружных) напряжений (в тех же долях)

St = — -

= -1 +

1-

1 Р

х

)

X

1

G(r) ^ Жг) +

Ж*)

2 R(b) R(b) ЖЬ)

1

Жд) ЖЬ)

(14)

Еще раз уточним суть допущения о «несжимаемости» материала. Напряжения Sr и St согласно равенствам (13) и (14) формально вроде зависят от величины отношения q / р . В случае q / р - \

напряжения at- аг - -р = const, что отвечает состоянию гидростатического сжатия, при котором отсутствуют деформации сдвига. Однако в «несжимаемом материале» наблюдается обратная ситуация: исключаются объемные, но сохраняются сдвиговые деформации. Поэтому из формул (13) и (14) нужно исключить не

только величину q / р - 1, но и все другие значения q/р, кроме одного, вызывающего только сдвиги. Для однородных тел [2; 4] таким значением служит величина

Р

(15)

Для численного анализа уравнений (13) — (15) рассмотрим случай линейной функции модуля сдвига, которую получим из выражения (7), положив т = 1 (рис. 2):

G(r) = G0(Aip + Bi).

(16)

При этом согласно равенствам (8) ее

коэффициенты будут равны:

(k-co)

(1 -СО)

(17)

Из рис. 2 следует, что с увеличением координаты р при значениях к < 1 величина модуля О (г) возрастает, а при к > 1 —

убывает. Значению к = 1 отвечает случай однородного материала, при этом формулы (13), (14) с учетом соотношений (15) — (17) дают классическое решение (задача Л яме).

При условии т = 1 выражения, содержащиеся в квадратных скобках формул (13) и (14), также существенно упростятся и примут вид

R(a)

1 2Aico + Bt

R(b) П 2Ах+Вх

0,6

0,7

0,8

0,9

р= 1

Рис. 2. Линейная зависимость модуля сдвига от координаты р для капилляра с отношением а) = 0,6

R(r) _ 1 2Л|Р + Bj

ЖЬ) р2 2^+Bt

#0)

2 ^р + Д

г2Ж&)

р2 + Bt

(18)

Для осмысливания результатов вычислений, производимых по формулам (13) — (15) при т - 1, целесообразно выделить случай, когда к - со . При этом коэффициенты = 1 и Вх = 0. Их подстановка в уравнения (18)и(14) дает величину

Р

-1 + (1 - п)

1

1-0)

= со - const.

(19)

Следовательно, при k = со окружные напряжения at = сор = const, то есть должны быть одинаковыми во всех точках капилляра.

Результаты вычислений по формулам (13) —(15) с учетом выражений (18) представлены в виде эпюр напряжений на рис. 3, 4 (при к = 1 материал однороден). Из рассмотрения эпюр окружных напряжений St можно сделать вывод, что (см. рис. 3):

1) в случае к > 1 наиболее опасными

будут всегда точки внутренней поверхности капилляра, так как при этом больше соответствующих напряжений для однородного материала (& = 1);

2) с уменьшением к (величины модуля С^) напряжения снижаются в точках

внутренней поверхности капилляра, а в точках наружной поверхности, наоборот, растут;

3) при к = со = 0,6 эпюра St горизонтальна, то есть в соответствии с равенством (19) окружные напряжения crt = сох р = const во всех точках капилляра;

4) эпюры любой пары St (при значениях k = псо и k = со/п) взаимно симмет-

о

ричны относительно уровня напряжении при k = со, причем всегда

St(k = со) =

2

St(k

nco) + SÁk = —)

п

• (20)

(на рис. 3 таким двум эпюрам отвечает значение п = 0,6);

5) значения к = псо и к = со/п, отвечающие паре взаимно симметричных эпюр, обладают свойством инверсии относительно значения к - со> 0, которое

назовем степенью инверсивной неоднородности, так как (псо) (со/п) = со2;

6) центр инверсии (k = 0) не имеет образа, поэтому и соответствующая эпюра St (k = 0) не имеет симметричной эпюры;

7) все эпюры пересекаются в одной точке (при р~ 0,775). Это означает, что в капилляре существуют точки (цилиндрическая поверхность), в которых напря-

жения неизменны и равны at любом значении к = Gt/G0.

со р при

1,5

1

сГ 0,5

к к к

си

о: К

со

0

-0,5

-1

0,6

0,7

0,8

0,9

р = 1

Р и с. 3. Эпюры окружных напряжений сь/ р в капиллярах композита (П = 36 %)

с линейной неоднородностью (0 < к. >1,5)

2 "

К- и Л сг _

1 1,5

II 03 ч

Л сл 1

с* ¡2 Я о ¡г /Л г _

Л к со 0,о

о -

0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 Р= 1

= 1 2 1,704 1,469 1,28 1,125 0,997 0,889 0,798 0,72

к = со 1,6 1,477 1,371 1,28 1,2 1,129 1,067 1,011 0,96

-чй— /г = П 1,2 1,25 1,273 1,28 1,275 1,262 1,244 1,223 1,2

-О—¿ = 0 --1 1,4-10-15 1., 0,568 1 0,98 1,28 1,5 1,661 1,778 1,861 1,92

Рис. 4. Эпюры эквивалентных напряжений (по координате р) для композита (П = 36 %)

при исходных данных рис. 2, 3

Если оценивать прочность капиллярной ячейки пористого композита по 3-й теории прочности (теории Кулона), то целесообразно построить эпюры эквивалентных напряжений (см. рис. 4), вычисляемых по формуле

^экв ^^ (21)

Из анализа рис. 4 следует, что: 1) эпюры пересекаются в точке с координатой р = 0,75, в которой напряжения сгэкв = 5эквр = 1,28 р для всех значений к = С^/Э

2) две эпюры 5ЭКВ (при значениях

к = со/со = \ и к = со со = П ) взаимно симметричны относительно эпюры со значением равным степени инверсии при соблюдении равенства

5

экв(£ =со) = = 1) +

+ 5ЭКВ(А = П)];

(22)

3) оптимальной (и равномерной) следует считать эпюру при значении /е = П, что равносильно соотношению

в

1 _

/

в

о

а

Ъ

<1

(23)

V- /

при котором 5™вх = 1,28р (в данном при-

мере). Очень важно, что равные напряжения ( 5ЭКВ =1,2 р) на наружной и внутренней поверхностях капилляра мало отличаются от величины

Таким образом, при всех других равных условиях наибольшей прочностью будет обладать такой капиллярно-пористый композит (с линейной неоднородностью), для которого соблюдается условие (23): к - П. Опасные точки, к тому же, располагаются внутри стенки капилляра

(при р- 0,75).

В заключение заметим, что приведенные выше рассуждения о прочности капиллярной ячейки справедливы и для неоднородной толстостенной трубы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Андреев В. И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел / В. И. Андреев. М. :

АСВ, 2002. 288 с.

2. Светкина С. Н. Классификация деформаций ячейки капиллярно-пористого композита / С. Н. Светкина, А. С. Тюряхин // Актуальные вопросы строительства : материалы Всерос. науч.-техн. конф., посвящ. 40-летию строит, фак. Мордов. гос. ун-та. Саранск, 2002. Вып. 1. С. 342 — 346.

3. Светкина С. Н. Упругие зависимости и эффективные модули жесткости капиллярно-пористых композитов / С. Н. Светкина, А. С. Тюряхин, В. Д. Черкасов // Проблемы строительного материаловедения : 1-е Соломатовские чтения : материалы Всерос. науч.-техн. конф. Саранск, 2002. С. 303 — 306.

4. Соломатов В. И. Макромеханика цилиндрической ячейки капиллярно-пористого композита /

B. И. Соломатов, В. Д. Черкасов, А. С. Тюряхин // Роль науки и инноваций в развитии хозяйственного комплекса Республики Мордовия : материалы респ. науч.-практ. конф. 27 — 28 марта 2001. Саранск, 2001.

C. 283-291.

5. Черкасов В. Д. К определению пористости капиллярно-пористого композита / В. Д. Черкасов, А. С. Тюряхин, С. Н. Светкина // Современные технологии строительных материалов и конструкций : материалы Всерос. науч.-техн. конф., посвящ. 150-летию со дня рожд. акад. В. Г. Шухова. Саранск, 2003. С. 135-140.

Поступила 05.04.05.

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НАГРУЖЕННОГО КАСАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, НЕ ОБЛАДАЮЩЕГО СПОСОБНОСТЬЮ ВОСПРИНИМАТЬ РАСТЯГИВАЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЯ

А. Е. ДУРАЕВ, кандидат технических наук

Касательная нагрузка ц равномерно распределена вдоль прямой линии (рис. 1). В случае плоской задачи она дей-

ствует на протяжении достаточной длины. Модуль упругости полупространства с глубиной г возрастает или уменьшается.

А. Е. Дураев, 2005