CC BY
10
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
О ПОЛЗУЧЕСТИ композитов
С ДИСКРЕТНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
В. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических наук, член-кор. РААСН, В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук, Ю. В. ЮРКИН, кандидат технических наук
Рассматривается композит, моделируемый регулярной структурой, повторяющаяся ячейка которой представляет собой куб со стороной 2а\ в центре ячейки находится шарообразное включение с радиусом Я. Отношение названных размеров выражается через коэффициент /л объемного наполнения композита по формуле
Я _ я 6М _
а
71
= 1,24 ^¡7.
(1)
Будем полагать, что композит находится в одноосном напряженном состоянии с осредненным напряжением ц. Включения считаем лишенными ползучести и имеющими модуль упругости, намного превышающий модуль упругости матрицы. Это позволяет рассматривать включения как абсолютно жесткие недеформируемые тела. Матрица представляет собой вязко-упругую среду, наделенную, в общем слу-
о
чае, свойством «старения».
«Старение» матрицы будем характеризовать функцией
ср(ь) =
_£(0
Е
(2)
Здесь Е(0
— модуль упругости по прошествии времени считая от момента нагружения; Е = Е(°°) — асимптотически стабилизировавшийся модуль упругости
при £ = оо.
При отсутствии «старения» постоянный модуль упругости также обозначаем буквой Е без индексов.
Если в каком-либо волокне матрицы действует неизменное напряжение <7, то деформация е = е(0, которую волокно получит по прошествии времени будет равна:
е = а
1
ь
Ек)
+
\к(р-т)йт
О
(3)
Как следует из сказанного ранее, за начало отсчета текущего времени т взят момент приложения нагрузки.
Ядро ползучести выразим в экспоненциальной форме, записывая
к{ь-
В этом случае
) = Су<?
-/(г-т)
(4)
t
\к(Ь~т)с1т
С1
-уЬ
О
Подставив это выражение в (3), полу-
чаем
е = а
1
М)
-4-
(5)
Поскольку при Ь = оо е = е(оо), из записанного равенства следует, что
С _ 1 е(~) . Е а
после чего (5) принимает вид
а
£ =—— +
т
и- §1(1
(6)
В. Д. Черкасов, В. А. Карташов, Ю. В. Юркин, 2002
Пользуясь понятием длительного модуля упругости Я, деформацию е(оо) выражаем равенством е(«>) = ст/Я, благодаря чему (6) преобразуется в формулу
е =
а 1
1 ( Е +
vit)
V
Я
-л-
-yt
(7)
В момент приложения нагрузки материал обладает модулем упругости £0 = = Еср( 0) и начальная упругая деформация равна:
¿0 =
G
G
Е
0
Еср{0)
Отсюда следует, что
Е
Подстановка этого выражения в (7) дает
формулу
¿О
= <р(0
1 Е +
Я
<р(0
V
-у*
. (8)
Из (7) находим выражение для напря-
О
жении:
а =
Ее
1 Е
+
ç{t)
H
(9)
-yt
Если материал матрицы инвариантен относительно времени, т. е. (pit) = 1, формулы (7) — (9) приобретают вид
£ =
а
1
1 +
Е_ H
-yt
(10)
£0
= 1 +
Е_ H
1
-yt
(11)
а =
Ее
1 +
Е
H
(12)
-yt
Поскольку Е/Н = е(°°), из (11) выте-
кают равенства
е-е0 =[e(°°)-e0](l-e *)
(13)
g- ер
£(оо)-£0
1
-yt
(14)
Иллюстрацией формул (13) и (14) служит вид кривой ползучести, показанной на рис. 1.
А
(О
- o-yt
(£оо - £0Ю - е
Ж_ж
UJ
ж
> t
Рис. 1
Несколько упрощая расчетную модель, будем представлять матрицу состоящей из волокон, параллельных направлению действующей нагрузки и не взаимодействующих друг с другом. Такая схема адекватна при коэффициенте Пуассона, равном нулю.
На рис. 2 изображена половина ячейки композита. Длина волокон матрицы, проходящих мимо включения, /1 = а. Волокна, встречающиеся с включением, име-
ют длину /2
U = а - у1я2 -г2, где г
рас-
стояние от оси, проходящей через центр включения.
А
F = 4qa2
<7->
штеш ежс
«
Р и с. 2
Используя обозначения
Р =
будем иметь
Я
у
т =
а
Я
(15)
т
-Г-
р
2
\
/
*
(16)
Поскольку все ячейки композита считаются одинаковыми, их взаимные границы при его деформировании остаются плоскими и перпендикулярными к направлению действующей осевой нагрузки. Иными словами, они поступательно перемещаются в этом направлении. Это означает, что действие одной ячейки на другую равноценно действию абсолютно жесткого штампа. Если равномерное перемещение грани ячейки равно А, то относительная деформация волокон, не встречающихся с включением, £| = А/а. В пределах всей этой зоны действуют одинаковые напряжения, которые в соответствии с (9) равны:
0\ =
А
а
Е
1 (Е +
V
Я
(17)
-п
Продольная сила, приходящаяся на долю зоны, опоясывающей включение, = <7\А\, где А\ = 4а2 - я/?2. С учетом (17) получаем
4 а
2
а 1
1
л\ — а
2
<рЬ)\н
(18)
-у1
Согласно (15) и (16) относительные деформации волокон, встречающихся с включением, выражаются формулой
£2 =
А
а
т
т
-Г-
р
2
Подставив это выражение в (9), будем
иметь
°2 =
А
а
т
т
1-Р
2
X
X
Е
I (Е (р{ь) +1 Я
1
(19)
Сила, приходящаяся на долю центральной зоны, выразится интегралом
я
= \o22mdr
о
С учетом (15) и (19) получаем
Р2 =
а 1
2иР}т
<К0 1
+
(Е
Н
1
рйр
О т
-Г-
Р
2
Имея в виду, что
рйр
т
-Г-
р
2
р2 +
+ т 1п
/
т
-Г-
р
2
\
V
после подстановки пределов получим
1
р&р
О т
-Г-
р
2
= ш!п
т
т-\
-1.
Для силы окончательно имеем
р2 =
-Е — а 1
о т>2 Г , т 2лк т ш 1п
ш — 1
-1
*
(рк)
+
Е_ Н
(20)
11
-уЬ
Полная сила, действующая на ячейку, Р = Ада-- Подставив в равенство = + + выражения (18) и (20), получаем
4Й
2
х
1-я
А
а
Ех
"+2лИ2т\ --1
т -1
у
1
ср(р)
+
(Е_
Н
11
= Ада
2
Отношение А /а представляет собой осредненную относительную линейную деформацию г ячейки композита, т. е. е = А/а. Из предыдущего равенства находим
(21)
В этой формуле приняты следующие обозначения:
Ф (т)=
1
1
71 1
4
т
71 1
z 2 т
Г
т 1п
т
у
(22)
т -1
1
т=
1
Е
\
ф(0+1Я 1
1-е
(23)
7
Для нестареющей матрицы
1 +
/
V
Я
-К
(24)
Формула (21) служит уравнением ползучести рассматриваемого вида композитов. Подставив найденное выражение величины г = А / а в формулы напряжений
(17) и(19), получаем
Я
= Ф(га);
(25)
°2 _
Я
= Ф(т)({т, р).
(26)
В формуле (26) использовано обозначе-
ние
/(т, р) =
т
т
(27)
1-р
2
Графики функций Ф(т) и /Кт, р) при некоторых значениях ш представлены на рис. 3 и 4.
Поскольку в данной задаче характер распределения напряжений не зависит от упругих параметров тела, вязкоупругое решение можно было получить из предварительно найденного упругого решения с последующим применением принципа Воль-терры, т.е. путем замены модуля упругости Е величиной Е/Е(0, зависящей от времени.
гГА
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 3
f(m, р)
0,5-
0
т = °о
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Р
Рис. 4
Инвариантное относительно времени распределение напряжений характеризуется эпюрами, изображенными на рис. 5.
0
а/3 0,5 а 2а/3 т = 3,\х = 0,019
т = 2,11 = 0,065 /и = 1,5, |1 = 0,154 Рис. 5
а
Гсут)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1/ш = 0, ц= 0 1 /от = 0,5, |ы = 0,065 1/от = 0,8, ц = 0,266
Рис. 6
О том, как на ползучесть влияет наполнение композита, говорят кривые, представленные на рис. 6. При их
построении было принято £(оо) = 2го,
у = 0,025
1
су т.
Полученные результаты в достаточной мере характеризуют влияние объемного наполнения на ползучесть дискретно-армированных композитов.
Поступила 08.04.02.
КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
В. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических наук, член-кор. РААСН, А. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических наук
Понятие сложного сопротивления стержня упругим деформациям присуще «тех-
о
ническои теории» сопротивления материалов. В прикладной теории упругости, например, данный термин не используется. В учебной, научной и технической литературе он применяется широко, произвольно и часто в противоречивых, а иногда и противоположных смыслах. Установившихся дефиниций названного термина пока нет, что видно из учебников по сопротивлению материалов, написанных разными авторами. Здесь большой диапазон различных трактовок и иллюстраций. Имеются попытки дать строгое обоснование термина. Одной из таких наиболее удачных, на наш взгляд, попыток является изложение темы «Сложное сопротивление» автором
о
малоизвестного курса лекции по сопротивлению материалов [1]. Но, заложив основу классификации видов сложного сопротивления, В. И. Петрашень не довел дело до конца, не дал классификации видов, ограничившись обычной иллюстрацией нескольких типовых примеров. Мы наме-
рены, опираясь на работу [1], дать по возможности обоснованную и полную классификацию видов сложного сопротивления», изучаемых технической теорией сопротивления материалов.
Рассмотрим призматический стержень (швеллерного сечения, например), который при действии сил находится в равновесии (рис. 1).
Рис. 1
С центром О одного из поперечных сечений совместим начало «стандартной»
В. Д. Черкасов, А. С. Тюряхин, 2002
