НАМАГНИЧИВАНИЕ КОМПЕНСИРОВАННОГО ФЕРРОНЕМАТИКА С МЯГКИМ СЦЕПЛЕНИЕМ КОЛЛОИДНЫХ ЧАСТИЦ С МАТРИЦЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 3 (21)

УДК 532.783; 539.22

Намагничивание компенсированного ферронематика с мягким сцеплением коллоидных частиц с матрицей

А. Н. Захлевных, Д. А. Петров

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В рамках континуальной теории изучено индуцированное магнитным полем намагничивание ферронематика - высокодисперсной суспензии магнитных наночастиц в нематическом жидком кристалле. Рассматривается компенсированный ферронематик, содержащий в отсутствие поля равные доли примесных частиц с магнитными моментами, направленными параллельно и антипараллельно директору. Изучен случай слабого сцепления дисперсной магнитной фазы с нематической матрицей, допускающий три различных режима ориентационного отклика суспензии на приложенное магнитное поле.

Ключевые слова: жидкий кристалл, магнитная суспензия, ферронематик, наночастицы, переход Фреде-рикса, намагниченность, эффект сегрегации.

1. Введение

Коллоидные суспензии магнитных наночастиц в нематических жидких кристаллах (ферронемати-ки, ФН) представляют собой новый класс магнитных материалов [1-5]. Замечательная физика этих мягких конденсированных сред обусловлена двумя различными механизмами влияния магнитного поля на их ориентационную структуру [6, 7]. Первый из них обычен для жидких кристаллов (ЖК) и обусловлен анизотропией диамагнитной восприимчивости ЖК-матрицы, другой связан с диспергированными ферромагнитными наночастицами. Взаимодействуя с магнитными моментами частиц, магнитное поле меняет их ориентацию, а силы сцепления между частицами и ЖК передают механическое вращение частиц ЖК-матрице. Наличие двух механизмов магнито-ориентационного поведения приводит к существованию многих новых физических явлений в ферронематиках, которые отсутствуют в каждой из компонент по-отдельности, и представляют большой интерес не только для фундаментального материаловедения, но являются весьма привлекательными для практических приложений. В частности, ферронемати-ческие жидкие кристаллы демонстрируют большое разнообразие ориентационных и структурных переходов, вызванных внешними магнитными и

электрическими полями, в том числе, возвратных и трикритических явлений [8-17].

Роль высокодисперсной примесной фазы ФН выполняют анизометричные частицы ферро- или ферримагнетика, а жидкостью-носителем является нематический жидкий кристалл (НЖК). Ориента-ционное взаимодействие магнитных частиц с НЖК-матрицей приводит к тому, что ФН обладают, в отличие от чистых ЖК, высокой чувствительностью к внешнему магнитному полю, а малые размеры примесных частиц и их низкая концентрация (~ 0.01% по объему) почти не нарушают ориентацию директора, так что с макроскопической точки зрения ФН можно рассматривать как гомогенные анизотропные жидкости. Впервые такие суспензии были предсказаны и описаны в рамках континуального подхода в [1].

Выше температуры перехода в мезофазу ФН по свойствам близки к обычным магнитным жидкостям. При охлаждении в матрице происходит фазовый переход в ЖК-состояние и появляется дальний ориентационный порядок. Если процесс охлаждения происходит в отсутствие магнитного поля, то образуется компенсированная суспензия, в которой отсутствует намагниченность, т.к. частицы с магнитными моментами, параллельными и антипараллельными директору п, распределены равновероятно. В этом отношении компенсированные ФН являются жидкокристаллическими

© Захлевных А. Н., Петров Д. А., 2012

аналогами антиферромагнетиков. Ориентационные и магнитные свойства таких суспензий почти не исследованы [1, 18-21].

В настоящей работе изучается влияние внешнего магнитного поля на ориентационные и магнитные свойства компенсированного ФН с конечной энергией сцепления между магнитными частицами и ЖК-матрицей; пороговые явления изучены ранее в [21], случай жесткого сцепления исследован в работах [18-20]. Предлагаемое рассмотрение пригодно (без учета поляризации среды) для сегнето-электрических аналогов ФН - суспензий сегнето-электрических частиц на основе НЖК [22-24].

2. Свободная энергия и уравнения равновесия

Пусть компенсированный ФН находится в плоскопараллельной ячейке толщиной Ь . Ось х системы координат направим параллельно ограничивающим пластинам, ось г - перпендикулярно им, начало координат выберем в центре слоя (рис. 1). Будем полагать сцепление директора с границами слоя жестким и планарным, так что направление директора на границе фиксировано и директор направлен вдоль оси легкого ориентирования е = (1, 0, 0). Будем считать сцепление магнитных частиц с ЖК-матрицей мягким и планарным, поэтому в отсутствие магнитного поля директор и намагниченность коллинеарны. Направим магнитное поле Н = (0, 0, Н) перпендикулярно границам слоя.

/

Ь/2

0

■Ь/2

е

<->

т

ФУ*

Н

х

/

е

Рис. 1. Слой ФН во внешнем магнитном поле. Выбор системы координат

Возникающее в поле искажение ориентацион-ной структуры ФН в равновесии отвечает минимуму свободной энергии

Здесь объемная плотность свободной энергии ФН имеет вид [1, 3, 21]:

Кт/ = К + К + К + К + К

(2)

К = -

К^У-п)2 + К2 (п-Ух п)2 + К3 (п х Ух п)2

К = Ш.

(1)

К = -1 Ха(п - Н)2 , К, = -М.(/+ - /_)(т - Н)

К =(/++ /-)(п - т)2 а

К = квТ (/+ 1п /++ /- 1п /-)

где К1, К2, К, - упругие модули Франка; п -директор жидкого кристалла; т - единичный вектор намагниченности; Мв - намагниченность насыщения материала феррочастиц; /+ и /- -объемные доли частиц с магнитными моментами ^ + = МVт + и ^- = М..Vт- , направленными параллельно (т + = п) и антипараллельно (т- = -п) локальному директору п соответственно; ха -анизотропия диамагнитной восприимчивости жидкого кристалла (мы полагаем ха > 0 , поэтому директор стремится повернуться в направлении поля); - плотность поверхностной энергии

(будем считать ^р > 0, в этом случае в отсутствие

магнитного поля свободная энергия минимальна при п || т, что соответствует планарному сцеплению директора и магнитных частиц); а - поперечный диаметр частицы; V - объем частицы; кв

- постоянная Больцмана; Т - температура. Будем считать, что в отсутствие магнитного поля суспензия компенсирована, т.е. в ней имеются равные доли феррочастиц с магнитными моментами и ^-, имеющими направления вдоль п и -п соответственно (/+| Н=0 = /-\н=0 = //2, где / = Ыу/¥ , N - число магнитных частиц в суспензии, V - объем ФН), так что намагниченность ФН равна нулю. Мы полагаем / << 1, что позволяет пренебречь межчастичными магнитными ди-поль-дипольными взаимодействиями в суспензии.

Слагаемое К в выражении (2) представляет

собой плотность свободной энергии ориентацион-но-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена - Франка). Второй ( К2 ) и третий ( К3 ) вклады характеризуют взаимодействие диамагнитного нематика и магнитных моментов частиц с внешним магнитным полем Н соответственно.

2

z

Четвертое слагаемое (F4) учитывает энергию сцепления НЖК-матрицы с поверхностью феррочас-тиц. Пятое слагаемое (F5) учитывает вклад энтропии смешения идеального раствора частиц суспензии.

В рассматриваемом нами случае (рис. 1) возникающая в магнитном поле деформация ориентаци-онной структуры отвечает комбинациям поперечного и продольного изгиба директора и решение можно искать в виде

n = [cos p (z), 0, sin p (z),],

m = [cos^(z), 0,sin y/(z)]; (3)

здесь p(z) и i//(z) - углы отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования e = (l, 0, 0) соответственно (рис. 1). Выберем в качестве единицы длины толщину слоя L и определим безразмерные величины: координату C = z/L ,

напряженность поля h = HL^Jхa/K- , приведенные объемные доли g ± = f± / f, коэффициент анизотропии ориентационной упругости k = K3/Ki, а также безразмерные параметры [6, 8, 9]:

b_MsfL KjBTfLz

л/Kl

чХа

Здесь использована величина Hq = Ь-1^К1/ ха в

качестве единицы напряженности магнитного поля. Она выбрана из условия баланса энергии ори-ентационно-упругих деформаций р и диамагнитного вклада Е2 [см. (1)]. При Н > НС1

ориентационные искажения возникают из-за диамагнитной анизотропии НЖК-матрицы (диамагнитный или квадрупольный механизм). Аналогично путем сопоставления упругого Е и дипольного р вкладов в плотности свободной энергии приходим к другой характерной величине напряженности поля = К^ (М5/Ь2). В этом случае при Н > Н^ ориентационные искажения в ФН вызываются взаимодействием магнитных частиц с внешним магнитным полем (ферромагнитный или дипольный механизм). Параметр Ь = Hq|H(¡

представляет собой отношение полей Hq и Н^ и

характеризует режим влияния поля на ФН [6, 8, 9]. При Ь >> 1 (<< Hq) ориентационные искажения обусловлены преимущественно дипольным механизмом, а в случае Ь << 1 (Hq << Н^ ) они

вызваны квадрупольным механизмом. При Н и Н0 = Мв /¡ха слагаемые Е2 и /3 становятся одного порядка и преобладающий механизм влияния поля на ФН меняется от дипольного к

wpfLL - - . (4)

Kd

квадрупольному (или наоборот). Параметр сегрегации к = (ь/Я)2 представляет собой квадрат отношения характерных длин - толщины слоя Ь и сегрегационной длины Х^К^ квТ/) 2 [1]. Для к >> 1 сегрегационные эффекты слабы, т.к. характерный размер области концентрационного расслоения меньше толщины слоя. Кроме того, в (4) определена безразмерная энергия ст сцепления примесных частиц с директором.

Подставляя (3) в (1), находим выражение для свободной энергии в безразмерном виде

Р = ЕЬ/(К^) = { , (5)

Еу =1К^["р] -^Ь2^п2 <-ЬЬ(8 + - %-^п^-

-ст(%+ + g-)cos2(<-^) + к(я+ 1п Я++ Я- 1п Я-),

где £ - площадь ограничивающих слой плоскостей. Введем также обозначение

K(p) = cos2 p + k sin2 p.

(6)

Состоянию равновесия отвечает минимум свободной энергии Е, представляющей собой функционал относительно четырех функций - угловых распределений р(С), ^(С) и концентраций магнитной примеси я +(С) и я-(С). Минимизация этого функционала приводит к следующей системе уравнений [21]:

р(С) 1

| ^1/2(р,^)йр = --С, о 2

1

j R1/2(p,w)dp =

j (g++ g-)R1/2pp,y)dp = -

g± (C) = Q expj ± — sm^ (C) + - cos2 (p (C) - W(£))

bhcos^ th^—sin^j + CTsin2(p-^) = 0 . (7)

Здесь введены обозначения go± = g ±(<0) и Po = p (0) для приведенных объемных долей частиц и угла наклона директора в центре слоя соответственно:

^Т1 (p,w) = K_1 (р)h2(cos2p-cos2 p0) +

+ 2K(go ++ g0-- g +- g-)] . (8)

Константа нормировки Q находится из условия постоянства числа частиц в суспензии

К/++ /-)dV = N ,

или в терминах приведенных объемных долей

1/2

|(я ++ я _К= 1.

-1/2

Формулы (7) для я± = /± // описывают эффект сегрегации [1], заключающийся в том, что магнитные частицы накапливаются в тех областях слоя, где минимальна сумма их магнитной энергии в поле Н и ориентационной энергии в ЖК-матрице.

Намагниченность компенсированного ФН определяется выражением М = Мз (/+ - /-) т . Введем безразмерную намагниченность

м = м/ (м./ )=(я + - я -)т и определим среднюю

намагниченность соотношением

1 Ь/2 1/2

(м) = - | м аг = | м ас. (10)

Ь -Ь/2 -1/2

Переходя в соотношении (1 0) к интегрированию по р, находим выражения для усредненных по

толщине слоя компонент намагниченности: Р0

(Мх) = 2 I (я+-я-К1/2(<р,г)СОБ^ ау,

0

Р0

(Мг) = 21 (я + - я -)к1/2 (р,^) ¡¡т^ ар. (11) 0

Таким образом, уравнения (7), (9), (11) и условия жесткого планарного сцепления директора с границами

р(-1/2) = р(1/2) = 0 (12)

определяют углы р(с) и ^(с) поворота директора и намагниченности, распределения концентрации магнитной примеси я± (С) = /±(С)// и среднюю намагниченность (Мх), (Мг} в слое ФН в

зависимости от напряженности магнитного поля к и безразмерных параметров к, Ь , к и ст .

Для ФН на основе жидкого кристалла 5СВ согласно [25-26] имеем (в единицах СГСЭ)

К1 = 6.4 х10-7 дин, К3 = 1.0 х 10-6 дин, Т = 298 К, Ха = 1.67х 10-7, / = 2х 10-7, Мз = 500 Гс, = 10-3 -10-1 динсм-1, V = 1.5 х 10-16 см3 и,

полагая толщину слоя Ь = 2.5х10 см, получим оценки безразмерных параметров к и 1, Ь и 10,

-2

ст и

10"" -1 и к и 0.1. Малые значения к свиде-

1/2

тельствуют о важности магнитных сегрегационных эффектов в рассматриваемой задаче.

3. Пороговые явления

В отсутствие поля в компенсированном ФН вектор т является двусторонним, т.к. ФН содержит равные доли примесных частиц с магнитными (9) моментами ^ + = М ..V т + и ^- = М.V т- , направленными параллельно (т+ = п) и антипараллель-но (т- = -п ) локальному директору п соответственно. В этом отношении компенсированный ФН является жидкокристаллическим аналогом антиферромагнетика. Эта симметрия, однако, нарушается как только ФН начинает намагничиваться в направлении приложенного магнитного поля, т.е. становится не полностью компенсированным (жидкокристаллический аналог ферримагнетика, в котором также некомпенсированы магнитные под-решетки). По этой причине в ФН со слабым сцеплением магнитных частиц с ЖК-матрицей в общем случае возможны три моды порогового ориента-ционного отклика на магнитное поле, приложенное перпендикулярно первоначальному направлению векторов п, т + = п и т - = -п . Одна из них связана с отрывом намагниченности от директора, т.е. поворотом намагниченности подсистем в направлении поля и перераспределением магнитной примеси в энергетически выгодном по отношению к полю направлении; директор при этом остается перпендикулярным полю. Другая мода отвечает повороту директора в направлении поля после того, как магнитная подсистема уже ориентирована по полю, но еще не полностью компенсирована. И, наконец, третья мода отвечает совместному повороту директора и намагниченности вдоль приложенного поля. Найдем эти пороговые поля, обо-

кг и кс

соответственно.

значенные ниже кс

Уравнения ориентационного равновесия (7), (9), (11) с граничными условиями (12) допускают однородное решение р(с) = ^(с) = 0 и я + (С) = я- (С) = 12, соответствующее планарной текстуре ФН (т || п || е ± Н), однако это состояние становится неустойчивым, если внешнее магнитное поле превышает пороговое значение кс, известное как поле Фредерикса [27]. Вблизи кс углы отклонения директора р(С) и намагниченности у(С) от оси легкого ориентирования малы, поэтому в низшем порядке разложения уравнений (7), (9) можно найти [21] порог перехода Фреде-рикса кс :

22 П = кс

1+

2стЬ2

2стк- Ь 2кс2 ,

(13)

Из (13) видно, что Ис, как и должно быть в рассматриваемой геометрии, не меняется, если направление магнитного поля изменить на обратное. Если в суспензии отсутствуют сцепление между НЖК-матрицей и магнитными частицами (а = 0)

или магнитная примесь (/ = 0), то пороговое поле

I с

(13) совпадает с полем Фредерикса (Нс = —) в чистом нематике [27].

Биквадратное уравнение (13) имеет решения

к)2 =

1

2Ь7

п2Ь2 + 2ак + 2а Ь 2 ±

-I-

+ л/и2Ь2 + 2ак+ 2аЬ2 )

-8ак— Ь

22

(14)

К.

I

1 + ЬVк

И+ ^2а(1 + к/Ь2) . (15)

И,

_ 42к

Ь

И+

а

¡л+—.

(16)

,±= 0ехр| ± К], е = >К.

(17)

Для такого состояния, отвечающего второй из перечисленных выше мод ориентационного отклика, директор направлен вдоль оси легкого ориентирования, в то время как магнитные частицы ориентированы вдоль или против поля с концентрациями (17), т.е. ФН не является компенсированным и намагничен (по аналогии с ферримагнетиком) вдоль поля. Пороговое поле Иг, при котором появляются искажения директора и намагниченности, согласно [21], определяется уравнением

—2 = И2 +

2аЬИг

ЬИГ -2асш(ьиг/к)'

(18)

здесь И. и Ис отвечают первой и третьей модам порогового отклика на приложенное поле соответственно.

В пределе жесткого сцепления (а >> 1) частиц с НЖК-матрицей выражения (14) дают [21]:

4.

Ориентационные и магнитные свойства ферронематика

Как видно из (15), присутствие магнитной примеси понижает порог перехода Фредерикса (И- < — ), что характерно также для суспензий сегнетоэлек-трических частиц в НЖК [22-24]. Формула (21)

для И- получена ранее в работах [18-20], где изучено намагничивание компенсированного ФН с абсолютно жестким сцеплением феррочастиц с НЖК-матрицей в геометрии поперечного и продольного изгиба и кручения соответственно.

В случае слабого сцепления частиц с НЖК-матрицей пороговые поля (14) принимают вид [21]

Результаты численного решения уравнений (14) и (18) представлены на рис. 2. Расчеты проведены для дипольного режима (Ь = 10) влияния магнитного поля на ФН, к = 1.56, к= 0.5 и различных значений энергии сцепления частиц с матрицей. На рис. 3 показаны зависимости углов ориентации директора и намагниченности в центре слоя ФН как функции напряженности поля И . Пороговые поля ориентационных переходов приведены в таблице.

а И- Иг1 Иг 2 Ис+

2 0.12 0.70 2.24 3.73

3 0.14 - - 3.99

5 0.16 - - 4.46

Эти формулы отвечают различным модам ориентационного отклика ФН на приложенное магнитное поле: вторая из них описывает повышение порога перехода (И+ > — ) по сравнению с чистым ЖК [27], а первая отвечает существенному понижению порога при слабом сцеплении магнитных

частиц с матрицей (И- ^ 0 при а ^ 0).

Помимо рассмотренного выше однородного решения = = 0 и g+(c) = £-(с) = 12,

система (7), (9), (11) допускает другое однородное решение ср(^~) = 0, — 2, соответствующее

планарной текстуре ФН (п || е ± т || Н) с намагниченностью подсистем, направленной вдоль поля. В этом случае выражения (7) для концентраций частиц принимают вид

В отсутствие поля устойчивому состоянию ФН отвечает однородная планарная текстура, для которой п || е , ей соответствует область под кривой

И- на рис. 2. Магнитное поле, ортогональное слою (Н ± п , Н ± т + и Н ± т_), приводит к уменьшению устойчивости ориентации директора и магнитных частиц, а наличие сцепления частиц с матрицей вызывает уменьшение поля Фредерикса

— ьс

по сравнению с чистым нематиком (Ис < Ис = —)

- см. кривую И- на рис. 2. Наряду с И- уравнение (14) допускает решение, которому отвечает ветвь И+ на рис. 2. В этом случае поле Фредерикса компенсированного ФН превышает поле Фредерикса беспримесного ЖК и растет с ростом энергии сцепления. Это решение, однако, не является термодинамически устойчивым [21], т.к. отвечает большему значению свободной энергии (5).

2

Ь

5-1

к=0.5

Ь* =1.45

0

2

ст

пст

6

Рис. 2. Пороговые поля Ис и Иг как функции энергии сцепления ст магнитных частиц с ЖК-матрицей

Обсудим вначале случай сильного сцепления ст > ст* (рис. 2 и кривые ст = 3 и ст = 5 на рис. 3).

Видно, что в полях, меньших поля Фредерикса И-, ферронематик имеет невозмущенную структуру. Выше И- возникают искажения ориентации директора и намагниченности, которые растут с ростом поля, и в сильных полях углы отклонения директора ро и намагниченности ц от оси легкого ориентирования стремятся к направлению поля.

Эта картина существенно меняется при слабом сцеплении частиц с ЖК (ст <ст*). На рис. 2 появляется область, ограниченная двузначной кривой Иг. Пороговые поля, отвечающие при заданном ст нижней и верхней ветвям кривой Иг (ст), будем обозначать Иг1 и И 2 соответственно. Как видно

из рис. 3 (см. кривые ст = 2), в полях И- < И < Иг1 угол ориентации намагниченности ц монотонно растет от значения ц = 0 при И = И- , отвечающего невозмущенной структуре т || е, до

цо = п / 2 при И = Иг1, когда намагниченность становится параллельной полю. В отличие от намагниченности, при И- < И < Иг1 директор ведет

себя немонотонно: выше И- возникают отклонения директора от оси легкого ориентирования, которые затем исчезают при достижении полем порога Иг1. Таким образом, при И- < И < ИЛ однородная фаза с некомпенсированной намагниченностью подсистем, устойчивая пока И < И- ,

сменяется при И = И- неоднородной фазой (переход Фредерикса), в которой происходит отрыв на-

магниченности от директора (т.н. угловая фаза [7]). С ростом И намагниченность стремится к направлению поля и происходит перераспределение магнитной примеси согласно (17), так что ФН намагничивается в направлении поля по типу ферри-магнетика и перестает быть компенсированным.

к=0.5

'Ь_ Ьг1 ' Ьг7 о с г1 2 4

(а)

Ь

ц

л/2-г

к=0.5

Ь

(б)

Рис. 3. Зависимости углов ориентации директора ро (а) и намагниченности ц (б) в центре слоя как функции напряженности магнитного поля И при различных значениях энергии поверхностного сцепления ст

Внутренняя область, ограниченная кривой Иг на рис. 2, отвечает состоянию ФН, для которого намагниченность параллельна полю, а директор вновь направлен вдоль оси легкого ориентирования. Эта область расширяется по мере уменьшения ст и в предельном случае ст ^ о кривая Иг пересекается с кривыми И- и И+ . При И > И 2 повторно возникают отклонения директора от оси легкого ориентирования и в сильных полях директор асимптотически (из-за сильного сцепления с по-

6

о

о

6

верхностью) стремится к направлению поля. Конечное сцепление между директором и намагниченностью (слагаемое р в свободной энергии (2)) вызывает небольшие отклонения намагниченности от поля (кривая ст = 2 на рис. 3б).

Ф

л/2—

к=о.5, ст=2

Ь=5

"1 1 I 1 I 1 Г

о о.1 о.2 о.3 о.4 о.5

(а)

Ц Ь=5^_к=о.5, ст=2

С

Ь=о.4

Ь=о.14

о.1

1 1 г о.2 о.3 (б)

о.4 о.5

С

ния от оси легкого ориентирования (кривые И = о. 14 и о.4 на рис. 4а), а затем возвращается в невозмущенное состояние (кривая И = о.6 на рис. 4а). При И = ИГ1 ориентационная структура ФН вновь становится планарной (однако теперь намагниченность направлена вдоль поля) и не изменяется вплоть до значения И = Иг2, выше которого директор вновь начинает ориентироваться по полю. По этой причине кривые И = о.14, о.4 и о.6 с ростом поля ведут себя немонотонно.

Рис. 4. Пространственные распределения углов отклонения директора р (а) и намагниченности ц (б) при различных значениях напряженности магнитного поля И

На рис. 4 показаны пространственные распределения углов отклонения директора р и намагниченности ц при различных значениях И , построенные путем численного решения уравнений (7) и (9). Для заданных значений параметров при

И < И- = о. 12 ферронематик находится в невозмущенном состоянии, в котором р(С) = ц(С) = о. Кривые И = о. 14, о.4 и о.6 отвечают полям И- < И < Иг1 = о.7, при которых происходят искажения ориентационной структуры директора и намагниченности. В этом диапазоне полей, как видно из рис. 3 а, директор сначала испытывает отклоне-

о.5

ст=5

о.25 -

к=0.5

о.25

к=0.5

I

о.5

Ь

о

Ь

Рис. 5. Концентрации Яо- и Яо+ в центре слоя как функции И при различных значениях энергии поверхностного сцепления ст

Кривые И = 2.6 и И = 5 на рис. 4 отвечают полям И > Иг2 = 2.24 , где, как видно из рис. 3а, директор вновь испытывает отклонения от оси легкого ориентирования. С ростом поля угол отклонения директора от оси легкого ориентирования р(С) наиболее быстро увеличивается в центре слоя, и из-за жесткого сцепления ЖК-матрицы с границами слоя в сильных полях директор асимптотически стремится к направлению поля

о

о

о

Ф0 ^ — /2 (рис. 3а). Как отмечалось выше, в полях, превышающих пороговое (И > И-), ФН перестает быть компенсированным и с ростом И намагничивается по полю /2) не только в центре, но и по всему слою.

На рис. 5 показаны концентрации феррочастиц go_ и go+ в центре слоя ФН как функции магнитного поля И при различных значениях энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей а , а на рис. 6 представлены пространственные распределения концентраций примесных частиц "-" и

"+"-семейств. Видно, что выше И- происходит резкое уменьшение концентрации частиц go_, магнитные моменты которых направлены против директора (рис. 5), в то время как go+ ведет себя немонотонно и существенно зависит от энергии сцепления а . Для сильного сцепления а > а*

выше И- она быстро возрастает и далее с ростом поля асимптотически стремится к единице.

к=0.5; а=5

0.5 -г

к=0.5, а=2

п—1—I—1—I—1—I—1—I Г

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2.5 -| 21.51

0.5 Ч-

>+ к=0.5, а=2

Ь=5

Ь=0.6

Г

п 1 I 1 I 1 I 1 I 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 6. Пространственные распределения концентрации g_ и g+ . Штриховые линии

g- = g + = 1/2 отвечают И < И-

<М>

<м >

<м>

к=0.5; а=2

Ь

1 -| 0.80.60.40.20-

<м> •<мх>

0

~г 4

Ь

Рис. 7. Зависимость средней намагниченности от поля: сплошная кривая - (Мх),

штриховая

На рис. 7 показаны полученные по формулам (11) зависимости средней намагниченности от поля при различных значениях энергии сцепления частиц с матрицей. Видно, что с ростом И выше

порога И- ферронематик перестает быть компенсированным и намагничивается по полю. Компонента (М^ монотонно увеличивается с ростом

поля и стремится к насыщению, а ее поведение практически не зависит от энергии сцепления а (рис. 7).

Таким образом, с ростом поля в центре слоя накапливаются частицы, магнитные моменты которых направлены вдоль директора (эффект сегрегации). Немонотонное поведение go+ связано с тем, что для частиц из "+"-семейства минимуму энергии отвечает центральная область слоя, где директор направлен вдоль магнитного поля, а для частиц "-"-семейства минимуму энергии отвечает приграничная область; в рассматриваемой геомет-

0

6

0

рии это состояние энергетически менее выгодно, чем центр слоя для частиц "+"-семейства.

Как видно из рис. 5 и 6, с ростом поля в центре слоя угол ро отклонения директора увеличивается

и растет концентрация частиц Яо+ с магнитными моментами, ориентированными в направлении директора. Когда ро становится близок к я/2, дальнейшее увеличение поля приводит к расширению области, в которой ориентация директора близка к направлению поля. В этом случае частицам "+"-семейства, помимо центральной области, энергетически выгодно мигрировать к границам, занимая все большую часть слоя (см. рис. 6), в то время как концентрация частиц "-"-семейства с невыгодной ориентацией магнитных моментов растет вблизи границ слоя (рис. 6). Кроме этого, происходит перераспределение частиц между "-" и "+" -подсистемами, т.е. при И > ИГ1 концентрация

^ о, а %+ ^ 1 в соответствии с законом сохранения числа частиц (9). Для ст<ст* при ИГ1 < И < Иг2 искажения директора отсутствуют, и примесь преимущественно состоит из частиц "+"-семейства, однородно распределенных по слою (см. рис. 5). При И > Иг2 вновь появляются ориентационные искажения (см. кривую ст = 2 на рис. 5), директор ориентируется по полю и происходит дальнейшая сегрегация частиц. По мере роста напряженности поля примесь накапливается вблизи центра слоя, но при дальнейшем увеличении поля концентрация начинает уменьшаться.

Поперечная компонента намагниченности (Мх^ ведет себя немонотонно: для ст > ст* в полях

выше порогового она резко возрастает, достигает максимума и затем с ростом поля стремится к нулю (см. рис. 7). Немонотонную зависимость (Мх^(И) можно понять из рис. 4 и 6 и определения

Мх =(я +- я -)со8ц (С) . Как показано выше, при

И > И- частицы "+"-семейства мигрируют к центру слоя, в то время как концентрация частиц, магнитные моменты которых направлены против директора, уменьшается не только в центре, но и по всему слою. Наряду с этим, в полях, превышающих

поле Фредерикса И-, разность ( я + - я-) растет быстрее (рис. 6), чем убывает тх = собц . По этой

причине выше И- намагниченность увеличивается с ростом поля. Однако для к = о.5 при И и о.3 большинство магнитных частиц уже сосредоточено вблизи центра слоя (рис. 5). В этом случае (%+ 1 и цо ^л/2 , так что собц умень-

шается. Для к = 5 при И > о.8 и для к = о.5 при И > о.3 поведение намагниченности определяется главным образом углом поворота ц , поэтому рост

(Мх) = ((я+ -)соБц(С)) сменяется убыванием (рис. 7), а (Мг) = ((я+ _g_)8тц(£)) продолжает расти, стремясь к насыщению.

Рис. 8. Компоненты намагниченности при различных значениях напряженности магнитного поля И

На рис. 8 показаны распределения компонент намагниченности в слое при различных значениях напряженности магнитного поля. С ростом поля, как уже отмечалось, растет концентрация я +(с) выгодно ориентированных по отношению к полю магнитных частиц и происходит их миграция в середину слоя. По этой причине зависимость Мг (С) качественно похожа на %+(С) (см. рис. 6), т.к. продольная намагниченность определяется частицами, магнитные моменты которых направлены вдоль директора. Зависимость Мх(с) имеет другой характер: по мере возрастания поля доля частиц "+"-семейства возрастает в центре слоя (рис. 8), а намагниченность определяется углом ц .

Этим и объясняется уменьшение Мх с ростом поля.

5. Основные результаты

В рамках континуальной теории изучены пороговые изменения ориентационной, концентрационной и магнитной структуры плоского слоя компенсированного ФН под действием внешнего магнитного поля, приложенного по нормали к слою. Сцепление магнитных частиц с ЖК-матрицей предполагалось слабым и планарным. Исследованы пространственные искажения ориентационной структуры, концентрации магнитной примеси и намагниченности ФН как функции поля. Выяснено, что сегрегационный эффект вносит определяющий вклад в появление ориентационных и магнитных искажений под действием магнитного поля в компенсированном ФН, вследствие чего ФН пороговым образом перестает быть компенсированным и намагничивается. Показано, что поперечная намагниченность и концентрация частиц с магнитными моментами, ориентированными в направлении директора, меняются немонотонно с ростом напряженности поля.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 10-02-96030).

Список литературы

1. Brochará F., Gennes P. G. de. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France). 1970. Vol. 31. P. 691-708.

2. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N. Orientational structure and magnetic properties of a ferronematic in an external field // Sov. Phys. JETP. 1986. Vol. 64. P. 319-324.

3. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

4. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid ays-talline TOlloids of nanoparticles: preparation, properties, and applications // Solid State Physics. 2010. Vol. 62. P. 1-74.

5. Podoliak N., Buchnev O., Buluy O., D'Alessandro G., KaczmarekM., Reznikov Y., Sluckin T. J. Macroscopic optical effects in low concentration ferronematics // Soft Matter. 2011. Vol. 7. P. 47424749.

6. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-ferronematic transition in an external magnetic field // J. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103-110.

7. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // J. Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238-244.

8. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. Structure of the

domain walls in soft ferrocholesterics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593-599.

9. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. Magnetic properties of ferrocholesterics with soft particle anchoring // J. Magn. Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279-288.

10. Shavkunov V. S., Zakhlevnykh A. N. One-dimensional structures in ferrocholesteric film with weak homeotropic anchoring on the layer boundaries // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2001. Vol. 367. P. 175-182.

11. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. Влияние анизотропии поверхностного сцепления на пороговые поля ориентационного упорядочения в ферронематических жидких кристаллах // Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. 2008. Вып. 1(17). С. 80-86.

12. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. Влияние анизотропии поверхностного сцепления на ориен-тационные переходы в ферронематиках // Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. 2009. Вып. 1(27). C. 52-59.

13. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фреде-рикса в ферронематиках: трикритическое поведение // Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. 2009. Вып. 1(27). С. 62-68.

14. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. Бистабильные явления в слое ферронематика со слабым сцеплением // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2010. Вып. 2(32). C. 67-74.

15. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 219-226.

16.Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferronematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 051710 (9 pp.).

17. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. Tricritical phenomena in ferronematic liquid crystals // Technical Physics. 2012. Vol. 57. P. 1041-1050.

18. Захлевных А. Н., Петров Д. А. Пороговые эффекты в компенсированном ферронематике // Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. 2011. Вып. 3(18). С. 25 - 33.

19. Petrov D. A., Zakhlevnykh A. N. Freedericksz transition in compensated ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 557. P. 60-72.

20. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Influence of the segregation effect on the magnetic and optical properties of a compensated ferronematic liquid crystal // Technical Physics. 2012. Vol. 57. P. 1208-1218.

21. Захлевных А. Н., Петров Д. А. Магнитный ори-ентационный отклик ферронематика с мягким сцеплением коллоидных частиц с матрицей //

Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. 2012. Вып. 2(20). С. 55-63.

22. Shelestiuk S. M., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. Frederiks transition in ferroelectric liquid-crystal nanosuspensions // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83. 041705 (13 pp.).

23. Reznikov Yu., Buchnev O., Tereshchenko O., Reshetnyak V., Glushchenko A., West J. Ferroelectric nematic suspension// Appl. Phys. Lett. 2003.

Vol. 82. P. 1917-1919.

24. Cook G., Reshetnyak V. Yu., Ziolo R. F., Basun S. A., Banerjee P. P., Evans D. R. Asymmetric Freedericksz transitions from symmetric liquid crystal cells doped with harvested ferroelectric

nanoparticles // Optics Express. 2010. Vol. 18. P. 17339-17345.

25. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. Orientational transitions in a ferronematic layer with bistable anchoring at the boundary // Technical Physics. 2012. Vol. 57. P. 157-166.

26.Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles // Soft Matter. 2012. Vol. 8. P. 6493-6503.

27. Blinov L. M., Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. N. Y.: SpringerVerlag, 1994.

Magnetization of compensated ferronematic with soft anchoring between colloidal particles and the matrix

A. N. Zakhlevnykh, D. A. Petrov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

In the framework of continuum theory we study the magnetic field induced magnetization of a ferronematics, i.e., suspensions of magnetic nanoparticles in a nematic liquid crystal. We consider the compensated ferronematic, which in the absence of the field have equal portions of the impurity particles with magnetic moments directed parallel and antiparallel to the director. The case of weak coupling between the dispersed magnetic phase and a nematic matrix is studied, allowing three different modes of orientational response of a ferronematic to the applied magnetic field.

Keywords: Liquid crystal, magnetic suspension, ferronematic, nanoparticles, orientational transitions, magnetization, segregation effect.