Эффект мягкого сцепления и ориентационная бистабильность ферронематиков Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Физика Вып. 1 (23)

УДК 532.783; 539.22

Эффект мягкого сцепления и ориентационная бистабильность ферронематиков

А. Н. Захлевных, Д. А. Петров

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Исследованы ориентационные свойства ферронематиков (коллоидных суспензий магнитных наночастиц в нематических жидких кристаллах) с мягким планарным сцеплением дисперсной фазы с жидкокристаллической матрицей в магнитном поле. Показано, что при слабом сцеплении переход из возмущенного состояния в однородное состояние магнитного насыщения и возвратный переход могут быть фазовыми переходами первого или второго рода в зависимости от значения параметра сегрегации. Аналитически найдено значение параметра сегрегации, соответствующее трикритической точке. Проведено сопоставление результатов численного расчета с экспериментальными данными.

Ключевые слова: жидкий кристалл; магнитная суспензия; ферронематик; наночастицы; мягкое сцепление; эффект сегрегации; ориентационная бистабильность

1. Введение

Ферронематики (ФН) представляют собой коллоидные суспензии вытянутых ферро- или ферри-частиц в нематических жидких кристаллах [1; 2]. Такие сложные жидкости, в отличие от обычных жидких кристаллов (ЖК), обладают высокой чувствительностью к магнитному полю, а малые концентрации примеси в целом не меняют характера ориентационного упорядочения жидкокристаллической матрицы. Первая континуальная теория ферронематиков была предложена в работе [1]. В ней рассмотрен случай абсолютно жесткого планарного сцепления вытянутых магнитных частиц с ЖК-матрицей, для которого намагниченность и директор строго параллельны. Позднее выяснилось, что для реальных ФН энергия сцепления ЖК-матрицы с феррочастицами конечна, и в работах [3; 4] была предложена модель мягких ФН, в которой директор и намагниченность являются независимыми переменными. Эта теория послужила основой дальнейших теоретических и экспериментальных исследований ферронематиков (см. обзор [2]).

В настоящей работе в рамках континуальной теории [3; 4] рассмотрены индуцированные внешним магнитным полем ориентационные переходы в плоском слое ФН с жестким планарным сцеплением директора на границах и мягким планарным сцеплением ЖК-матрицы с феррочастицами. Магнитное поле направлялось ортогонально ограничи-

вающим слой пластинам, а анизотропия диамагнитной восприимчивости ЖК предполагалась положительной (т.е. директор ЖК стремится ориентироваться в направлении магнитного поля).

Различные аспекты этой задачи изучались теоретически и экспериментально многими авторами [5-18]. В работе [5] рассмотрен случай абсолютно жесткого планарного сцепления директора и намагниченности ФН без учета взаимодействия диамагнитного нематика с внешним магнитным полем в геометрии кручения. Показано, что такой геометрии отвечает беспороговое поведение ФН на приложенное магнитное поле, при этом с ростом поля отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования на стенках ячейки монотонно увеличиваются и из-за жесткого сцепления директора с границами слоя асимптотически стремятся к направлению магнитного поля. В работе [6] рассмотрено мягкое планарное сцепление директора и намагниченности ФН. Кроме беспоро-гового перехода Фредерикса в работе [6] обнаружен так называемый инверсионный переход, при котором из-за мягкого сцепления ЖК-матрицы с дисперсной фазой с ростом магнитного поля происходит отрыв намагниченности от директора (переход в “угловую” фазу [7]) и магнитные моменты феррочастиц ориентируются по полю, а директор вновь становится параллельным оси легкого ориентирования на стенках ячейки. Этот инверсионный ориентационный переход может быть как первого, так и второго рода в зависимости от материальных параметров суспензии. Авторы работы

© Захлевных А. Н., Петров Д. А., 2013

[6] не учли, однако, влияние магнитного поля на ЖК-матрицу, вследствие этого с ростом поля директор остается планарно ориентированным в сколь угодно сильных полях. В работе [8] эта задача рассмотрена в бессегрегационном пределе, в то время как в работах [9-11] было показано, что сегрегация магнитной фазы вносит существенный вклад в формирование искажений ориентационной структуры и является причиной трикритического поведения во внешних магнитных полях [12-15]. Пороговые эффекты в достаточно сильных магнитных полях, в отличие от [6], в работе [8] не изучались и инверсионный переход не обсуждался. В работах [8, 16] экспериментально обнаружено существенное усиление магнитооптического отклика ФН по сравнению с чистым ЖК даже при низких концентрациях дисперсной фазы.

В работе [17] в той же геометрии теоретически изучен слой ФН с мягким сцеплением директора на границах и с магнитными частицами без учета взаимодействия ЖК-матрицы с магнитным полем. В ней исследованы ориентационные искажения директора и концентрационные распределения феррочастиц в зависимости от приложенного магнитного поля, толщины слоя и энергии сцепления директора с границами. В ней впервые показано существование однородного состояния с намагниченностью, направленной вдоль поля и поперек директора. В работе [18] экспериментально изучена зависимость электрической емкости планарной ячейки ФН на основе нематика 6СНВТ с положительной диамагнитной анизотропией от приложенного магнитного поля для разных концентраций дисперсной фазы. Обнаружено уменьшение порога переориентации директора по сравнению с чистым ЖК.

В настоящей работе дано последовательное решение задачи о влиянии магнитного поля на планарную текстуру ФН. С учетом сегрегационных и диамагнитных эффектов показано, что при мягком сцеплении дисперсной магнитной фазы с ЖК-матрицей ФН обнаруживает сложный отклик на приложенное магнитное поле, претерпевая переходы однородная фаза - неоднородная фаза - однородная фаза - неоднородная фаза. Установлено, что эти переходы обнаруживают трикритическое поведение. В заключение проведено сравнение построенной теории с экспериментальными данными.

2. Свободная энергия и уравнения равновесия

Рассмотрим плоский слой ФН толщины Ь . Ось х системы координат направим параллельно ограничивающим пластинам, ось г - перпендикулярно им, начало координат выберем в центре слоя (рис. 1). Будем предполагать, что на границах слоя

направление директора фиксировано и совпадает с осью легкого ориентирования е = (1,0,0) (жесткое планарное сцепление), а сцепление директора п с поверхностью феррочастиц мягкое (т.е. характеризуется конечной энергией ориентационного взаимодействия) и планарное (т.е. в отсутствие поля длинные оси магнитных частиц параллельны директору). Направим магнитное поле Н = (0,0, Н) перпендикулярно границам слоя. Равновесному состоянию ФН отвечает минимум свободной энергии

(1)

е

<---------=►

У///////////Л

х

-Ь/2

/

Рис. 1. Планарный слой ферронематика во внешнем магнитном поле. Выбор системы координат

Здесь объемная плотность свободной энергии ФН имеет вид [1; 4]:

+ Р2 + Р3 + Р4 + р5-.

(2)

Р1 = 1 [к (V-п)2 + К2 (п-Ух п)2 + К3 (п хУх п)2 ] Р2 =-1 Ха (п - Н)2 ,

Рз =- М,/ (т - Н)

w

к„Г

р4 =--------------------------р/ (п - т)

/ 1п /

где К1, К2, К3 - модули Франка ориентационной упругости жидкого кристалла; п - директор жидкого кристалла; / - объемная доля частиц с магнитными моментами ^ = М ьу т, направленными в отсутствие поля параллельно локальному директору п ; т - единичный вектор намагниченности суспензии; М_^ - намагниченность насыщения материала феррочастиц; %а - анизотропия диамагнитной восприимчивости жидкого кристалла (мы полагаем %а > 0, поэтому директор стре-

z

0

е

V

мится повернуться в направлении поля); wp -

плотность поверхностной энергии взаимодействия частиц с ЖК-матрицей (будем считать wр > 0, в

этом случае в отсутствие магнитного поля свободная энергия F4 минимальна при п || т , что соответствует планарному сцеплению директора и магнитных частиц); d - поперечный диаметр частицы; у - объем частицы; кв - постоянная Больцмана; T - температура. В разбавленной суспензии

1 = Ыу/¥ << 1 (здесь N - число магнитных частиц в суспензии, V - объем ФН), что позволяет пренебречь межчастичными магнитными диполь-дипольными взаимодействиями.

Слагаемое ^ в выражении (2) представляет

собой плотность свободной энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена-Франка). Второй (F2) и третий (F3) вклады характеризуют взаимодействие диамагнитного нематика и магнитных моментов частиц с внешним магнитным полем Н, соответственно. Четвертое слагаемое (F4) описывает энергию сцепления НЖК-матрицы с поверхностью феррочастиц, и, наконец, F5 учитывает вклад энтропии

смешения идеального раствора частиц суспензии.

В рассматриваемом случае (рис. 1) возникающая в магнитном поле деформация ориентационной структуры ФН отвечает комбинациям поперечного и продольного изгиба директора и решение можно искать в виде

п = [соє р (г), 0, єіп р (г)]

т

= [соє ц (г), 0, єіп ц (г)];

(3)

здесь р(г) и ц(г) - углы отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования е = (1,0,0), соответственно. Выбор углов и координатных осей показан на рис. 1. Введем согласно [7; 19; 20] безразмерные параметры

к = НЬ\^ , к = -^, g = 1=, £ = —

К

ь =

М,/Ь

Ха

К

квГ/12

К[V

/

ь

wp/L

а = —^----- . (4)

К

Нч = Ь 1^КХ/ ха , выбранное в качестве единицы

напряженности магнитного поля, характеризует порог появления искажений в ориентационной структуре ФН из-за квадрупольного (диамагнитного) механизма влияния магнитного поля. Величина н, = Кх! {м,1ь2 ) характеризует дипольный

(ферромагнитный) механизм влияния магнитного поля на ориентационную структуру ФН. При Ь >> 1 (На << Нд) ориентационные искажения

обусловлены преимущественно дипольным механизмом (дипольный режим), а в случае Ь << 1 (Нд << Н,) они вызваны квадрупольным механизмом (квадрупольный режим). Таким образом, параметр Ь характеризует относительное влияние квадрупольного и дипольного механизмов на ориентационную и магнитную структуру ФН. Параметр сегрегации к = (Ь/Я)2, где Я = (уК1/ квТ/)12

- так называемая сегрегационная длина [1], характеризует пространственный масштаб концентрационного расслоения суспензии. Для к >> 1 сегрегационные эффекты слабы, так как характерный размер области концентрационного расслоения Я меньше толщины слоя Ь . Последний параметр а представляет собой безразмерную энергию сцепления феррочастиц с ЖК-матрицей.

Подставляя выражения (3) в (1), находим свободную энергию в безразмерном виде

1/2

Р = (к^ )= | РуёС.

-1/2

-аgсоє (р-ц) + кg 1пg,

(5)

где £ - площадь ограничивающих слой плоскостей и введено обозначение

К(р) = соє2 р+ к єіп2 р .

(6)

Здесь к - безразмерная напряженность магнитного поля; g - приведенная объемная доля частиц в суспензии; £ - безразмерная координата, к - параметр анизотропии ориентационной упругости. Безразмерный параметр Ь определен согласно [19; 21; 22] и представляет собой отношение двух характерных полей Ь = Нд!Н, , где поле

Состоянию равновесия отвечает минимум свободной энергии F, представляющей собой функционал относительно трех функций - угловых распределений р (£) и а также концентрации

магнитной примеси g (£). Минимизация этого функционала приводит к следующим уравнениям:

К (р)р- +1 ,К(р!Г р +1 к ^т2р

- аg єіп

іп2(р-ц) = 0,

Ьксоєц +аєіп2(р -ц) = 0 .

(7)

(8)

к =

g(с)=Q exp<!—sin^(с)+—cos2 (p(с) - v(c))

(9)

1/2 r .

Q- = J expj~sw(c)+—cos2(p(c)-^(c))ldc

-1/2

(10)

где константа нормировки Q находится из дополнительного условия постоянства числа частиц в суспензии

Г1 dV = N

Для ФН на основе жидкого кристалла 6СНВТ согласно [18] имеем (в единицах СГСЭ):

1а = 3.5 X10-8,

K = 7.5 x 10-

K3 = 9.51 x 10-

дин,

T = 300 K, f ~10

дин,

5

Ms ~ 102

Гс,

wp = 10-4 -10-2

дин см

-1

, ~ 10 6 см и, полагая толщину слоя Ь ~ 10 3 см , получим оценки безразмерных параметров Ь и 10, а и 10-2 -1, к и 0.1 и к = 1.268 . Малые значения параметра к свидетельствуют о важности магнитных сегрегационных эффектов в рассматриваемой задаче.

или в терминах приведенных объемных долей

1/2

Г gdQ= 1. (11)

-1/2

Выражение (9) описывает так называемый эффект сегрегации [1] магнитной примеси: в однородном магнитном поле феррочастицы накапливаются в тех областях слоя ФН, где минимальна сумма их магнитной энергии ^ в поле Н и ориентационной энергии ^ в нематической матрице.

Систему уравнений (7)-(10) можно проинтег-

рировать [11; 12]:

p(C ) , .О

Jr1/2p,y)dp = --с , Jr1/2p,y)dp■■

po

po

J g (p,w) r1/2 (p,w) dp = -. (12)

Здесь

R(p,^) = K(<p)/[h2(cos2p-cos2 po)+ 2^(go -g)]

(13)

и введены обозначения p0 = p (o), iy0 = и (o) и g0 = g(p0,^0) для углов ориентации директора и намагниченности, а также приведенной объемной доли частиц в центре слоя, соответственно.

Таким образом, система уравнений (8)-(9) и (12) с условиями жесткого планарного сцепления директора с границами слоя

p(- 1/2) = р(1/2) = 0 (14)

определяет углы поворота директора и намагниченности p (с) и и(с), а также распределения

концентрации магнитной примеси g(C)= f(С)/f в слое ФН в зависимости от напряженности магнитного поля h и безразмерных параметров k, b , К и ст .

3. Ориентационные переходы в магнитном поле

В отсутствие поля ФН находится в однородном состоянии с директором и намагниченностью, параллельными оси легкого ориентирования на границах слоя, для которого р (£) = ц (£) = 0,

g(£) = 1. При к ф 0 такое решение уравнений равновесия отсутствует, т.е. включение поля приводит к искажению ориентационной структуры и ФН беспороговым образом намагничивается в направлении поля. В слабых полях отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования малы, поэтому, линеаризуя уравнения (7) и (8), находим

p" - 2—(p -^) = 0 .

bh .цч

v = p+—. (15)

2а

Вместе с граничными условиями (14) уравнения (15) имеют решение

p=po (1 - 4С2 ),

где

po =

bh

В

(1б)

определяющее ориентационное поведение суспензии в слабых полях. Как видно из второго соотношения (15), угол между намагниченностью и директором увеличивается с ростом поля (так называемая угловая фаза [7] ферронематика).

Система уравнений (7)-(10) допускает решение р(С) = 0, и(С) = ж/2 и g(с)= 1, отвечающее однородной планарной текстуре ФН, для которой директор параллелен оси легкого ориентирования, а магнитные моменты феррочастиц ориентированы в направлении поля (п || е , т ± п и т || Н).

Найдем пороговое поле кг, отвечающее переходу в эту однородную фазу (фазу магнитного насыщения). Вблизи к угол отклонения директора от оси легкого ориентирования р £) мал, а угол ориентации намагниченности и(С) близок к ж/2 (т.е. у(£) = п/ 2-8уО, где 8\у(с)<< 1), тогда в

7

низшем порядке разложения уравнений (7)—(10) получим

' + к 2р + 2а(р + 5ц) = 0 .

р + кг р

X 2а

5ц =-----------------р .

Ькг - 2а

(17)

Уравнения (17) с граничными условиями (14) имеют нетривиальное решение р = р0 соб(ж£). Из условия его существования находим уравнение для к:

2а - Ьк„

=0.

(18)

При / = 0 это уравнение, как и должно быть, дает кг =п, что отвечает переходу Фредерикса в беспримесном НЖК. Заметим, что пороговое поле, определяемое уравнением (18), не зависит от сегрегационного параметра к . Результаты численного решения уравнения (18) представлены на рис. 2. Расчеты проведены для дипольного (Ь = 10), квад-рупольного (Ь = 0.1) и промежуточного (Ь = 1) режимов влияния магнитного поля на ориентационную и магнитную структуру ФН.

Рис. 2. Пороговое поле кг как функция энергии сцепления а магнитных частиц с ЖК-матрицей для Ь = 10 (дипольный режим, ат = 2.53, кт = 1.45), Ь = 1 (промежуточный режим) Ь = 0.1 (квадрупольный режим)

В отсутствие внешнего поля устойчивому состоянию ФН отвечает однородная планарная текстура, для которой п || т || е , ей соответствует прямая к = 0 на рис. 2. Наличие магнитного поля, ортогонального слою (п || е , п ± Н и т ± Н), приводит к искажению ориентационной и магнитной структуры и ФН беспороговым образом намагничивается вдоль поля. Область, ограниченная би-

фуркационной кривой кг(а) на рис. 2, отвечает состоянию магнитного насыщения, вне этой кривой находится область неоднородной фазы.

Как видно из рис. 2, при а>ат (сильное сцепление магнитных частиц с матрицей) включение магнитного поля вызывает беспороговый переход ФН в неоднородную фазу, в которой директор и намагниченность стремятся ориентироваться в направлении поля. Именно этот режим исследован в работе [5].

Эта картина качественно меняется при слабом сцеплении (а < ат) дисперсной фазы с ЖК-матрицей. Для а < ат область, ограниченная прямой к = 0 и нижней ветвью двузначной кривой кг, отвечает неоднородному состоянию ФН, для которого намагниченность и директор отклонены от оси легкого ориентирования в направлении внешнего поля. Ниже мы будем использовать обозначения к и к для значений к на нижней (кг < кт) и верхней (кг > кт) ветвях кривой кг(а). Угол ориентации намагниченности в интервале полей 0 < к < кг1 меняется от ц = 0 при к = 0 до ц = ж/2 при к = кг1, а угол отклонения

директора от оси легкого ориентирования увеличивается с ростом поля и достигает максимума, а затем уменьшается до нуля при к = к . Таким образом, в диапазоне полей 0 < к < кг1 происходит отрыв намагниченности от директора (так называемая угловая фаза [7]). Область, ограниченная кривой кг (диапазон полей кг1 < к < кг2), отвечает

однородной планарной текстуре ФН с намагниченностью, направленной вдоль поля (состояние магнитного насыщения), и директором, параллельным оси легкого ориентирования (р (с) = 0,

ц(С) = Ж2 и g(с)= 1). Эта область расширяется по мере уменьшения параметра а и в предельном случае а ^ 0 кривая кг пересекается с осью ординат в точках к = 0 и к = ж (поле Фредерикса для чистого НЖК). Область, находящаяся выше кривой кг2, отвечает неоднородной фазе, в которой директор отклонен от оси легкого ориентирования и асимптотически стремится к направлению поля.

Заметим, что пороговое поведение (18) при заданных параметрах Ь и к имеет место только при слабом сцеплении дисперсной магнитной фазы с нематической матрицей ( а < а ). Как видно из рис. 2, разность между двумя пороговыми значениями поля кЛ и кг1 уменьшается с ростом а и при а ^ ат обращается в нуль.

Таким образом, для энергии сцепления а < ат первый ориентационный отклик происходит бес-

пороговым образом сразу после включения магнитного поля И и заканчивается при И = Иг1, когда директор вновь становится параллельным оси легкого ориентирования, а магнитные моменты феррочастиц ориентированы по полю. Первая ориентационная мода возбуждается из-за наличия магнитной дисперсной фазы и мягкого сцепления феррочастиц ЖК-матрицей. В интервале полей Иг1 < И < Иг2 ферронематик намагничен по полю, а директор однороден и планарно ориентирован во всем слое. Как только магнитное поле превысит значение Иг2, возбуждается вторая ориентационная мода и директор начинает ориентироваться в направлении магнитного поля. В рассматриваемом случае жесткого сцепления директора с границами слоя состояние ориентационного и магнитного насыщения, когда директор и намагниченность параллельны приложенному полю, достигается лишь при И ^ ж. Появление второго ориентационного отклика обусловлено взаимодействием ЖК-матрицы с магнитным полем из-за наличия анизотропии диамагнитной восприимчивости (без учета анизотропии восприимчивости эта мода отсутствует [6]).

Как видно из рис. 2, в промежуточном (Ь = 1) и квадрупольном (Ь = 0.1) режимах воздействия магнитного поля на ФН кривая Иг (ст) смещается в сторону меньших значений энергии сцепления ст и переход в состояние магнитного насыщения возможен только при слабом сцеплении.

Наличие нескольких мод ориентационного отклика имеется также у так называемых компенсированных ФН, которые в отсутствие магнитного поля имеют равные доли магнитных частиц с магнитными моментами, направленными параллельно и антипараллельно директору [9-11]. Существенное отличие ориентационных переходов в компенсированных ФН от намагниченных в одном направлении заключается в наличии порога первого ориентационного отклика, в то время как в рассматриваемых в этой работе намагниченных ФН первый ориентационный отклик возбуждается бес-пороговым образом.

4. Разложение Ландау

Рассмотрим поведение ФН вблизи точки перехода Иг между неоднородной фазой и состоянием магнитного насыщения (р(с)= °, Ис) = 2 и

g (с)= 1). Свободная энергия (5) может быть разложена в степенной ряд по ср = ф° СО$(жС) (здесь р0 - угол отклонения директора от направления оси легкого ориентирования в центре слоя) и и(С)**/2-И(С), где (р° << 1 и 8ц(с)<< 1. В этом случае уравнение связи (8) дает 8 ц = .р , где

5 = 2ст/(ЬИг - 2ст). Тогда в четвертом порядке разложения в степенной ряд по р° свободная энергия (5) принимает вид разложения Ландау

Р - Р0 + — (ЬГ -Н)р0 + рр0 + "

2.......... 4-° ■ (20)

где Иг определено уравнением (18), а коэффициенты разложения имеют вид

— - Нг -

Н-»2 )2

2ЬН2

р - \ал2к + 3ЬНгя2 (2 + я)2] (к -к*) . (21)

Здесь введено обозначение

(*! - )2

к» -

4ж2к + 3ЬНГ52 (2 + я )2

(22)

Минимизация свободной энергии (20) по р0 дает выражение для угла отклонения директора в центре слоя

Ро -±.,

(Н - Нг)

7 (к-к*)

у = —1— \4п2к + ЪЬИ.2 (2 + .)21> 0. (23)

16к 1 г У 1

Выражение (23) показывает, что характер перехода определяется соотношением между к и к„, а также знаком коэффициента а. Последний зависит от значения порогового поля на нижней ( И ) или верхней (Иг2) ветви кривой И (ст), показанной на рис. 2. Анализ выражения (21) для а показывает, что а < 0 на нижней ветви кривой Иг (ст), для которой Иг = Иг1, а для верхней (Иг = Иг2) коэффициент а > 0.

Из (23) видно, что к* является параметром сегрегации, соответствующим трикритической точке. Перепишем выражение для угла отклонения директора в центре слоя (23) применительно к ориентационным переходам между неоднородной фазой и состоянием магнитного насыщения (поле И ) и между состоянием магнитного насыщения и

неоднородной фазой (поле Иг 2):

Ро -±,

Ро -±.,

— (Н - Нг1 )

7 (к*1 - к)

а (Н - Нг2 )

7 (К-К*2 )

для Нг1 < Нт , где а < 0 ; (24)

для Нг2 > Нт , где а > 0 . (25)

а

Здесь к = к„(кг1) и к„2 =к„(кг2) - трикритиче-ские значения параметра сегрегации (22) на нижней и верхней ветвях кривой Нг (ст) соответственно.

Характер ориентационных переходов в зависимости от значений параметра сегегации к и знака коэффициента а для пороговых полей Нг, (а) соответствующих нижней ветви и (б) верхней ветви кривой Нг (ст) на рис. 2 представлен в таблице.

hr = hr1 к > к „ к <к „

а < 0 II род I род

а

h r II h 2r к > к „2 к <к „2

а > 0 II род I род

б

Пороговые поля hrl и hr2, определяемые уравнением (18), имеют смысл полей перехода между фазами ФН только при переходах второго рода. Найдем напряженность магнитного поля равновесного перехода первого рода, когда ФН проявляет ориентационную бистабильность. Для этого запишем свободную энергию (5) для однородного состояния магнитного насыщения

(р(С) = 0, ц(с) = ^/2 и g(С) = 1):

F0 = ~ (р = 0,у = л/2) = -bh . (26)

Поле равновесного перехода первого рода he находится из условия равенства свободных энергий возмущенного (5) и однородного (26) состояний ФН

F = Fo. (27)

Переходя в выражении (5) для свободной энергии ФН от интегрирования по координате к интегрированию по углу [12], находим

Р0

F = 2 J K (p)R~1/2 (p,^)dp — h2 sin2 р0

o

+ к(1п eQ - go ), (28)

где Q и K(р) определены соотношениями (6) и (10), а e - основание натурального логарифма. Теперь условие равенства свободных энергий (27) можно записать в следующем виде

Р0

2 J K (р)я ~1/2 (р, y/)dp — h2 sin2p0

0

+ ^[ln(eQ )-go ] + bhe = °. (29)

Уравнение (29) совместно с уравнениями равновесия позволяет найти магнитное поле he равновесного перехода первого рода.

5. Результаты расчетов

Результаты численного решения системы уравнений равновесия (8)-(10), (12) и (29) показаны на рис. 3-6. Расчеты проводились для дипольного режима (b = 10), в котором дипольный (ферромагнитный) механизм влияния магнитного поля на ФН преобладает над квадрупольным (диамагнитным) механизмом.

На рисунках 3,а, 4,а и 5,а показаны зависимости углов отклонения директора и намагниченности, а также концентрации магнитной примеси в центре слоя от напряженности магнитного поля для мягкого сцепления дисперсной магнитной фазы с ЖК-матрицей (а <ат) и значения параметра сегрегации меньше трикритических (к < K»j и к < к„2). В этом случае переход из неоднородного состояния в однородное и обратный переход происходят по типу переходов первого рода (см. табл. 1). Области неоднозначности, характерные для переходов первого рода, показаны на рис. 3а, 4а, 5а пунктирными линиями. Скачки углов ориентации директора р0 и намагниченности , а также концентрации феррочастиц g0 показаны вертикальными отрезками прямых (роль параметров порядка играют sin2 р0 и sin2 ц/0). Поля равновесного перехода he1 из неоднородной фазы в однородную и обратного перехода he2 определены с помощью уравнения (29).

Как видно из рис. 3,а, 4,а и 5,а, включение поля вызывает отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования (первый ориентационный отклик). С ростом поля эти отклонения увеличиваются и при h = h ферронематик скачком (переход первого рода) переходит в однородную фазу магнитного насыщения, в которой намагниченность направлена по полю, а директор становится вновь параллельным оси легкого ориентирования. В этой фазе распределение частиц однородно (рис. 5,а). В интервале полей

hel < h < he2 ферронематик находится в состоянии магнитного насыщения, а при h = h происходит

переход первого рода в неоднородную фазу, при котором имеются скачки углов ориентации директора и намагниченности, а при h > he2 намагниченность и директор асимптотически стремятся к направлению поля.

Рисунки 3,б, 4,б и 5,б отвечают к > к и к < к„2 .

,,Фо

л/2 -|

Ь=10; о=2;к=0.1 Ьг1=0.7

Иг2=2.24 к*1_0.18

Ие1=0.83 к.2=031

Ь.,=1.82

И

и

л/2-і

к„ =0.18

Иг,=0.7 Иг1=2.24 Иг0.83 к.2=031

Ь.,=1.82

И

и

и

и

и

и

Рис. 3. Зависимость угла ориентации директора в центре слоя от напряженности магнитного поля И при различных значениях параметра сегрегации к для к = 1.268, Ь = ,0; (а), (б), (в) ст = 2,

к»2 = 0.3,; (г) ст = 2.5,

к„2 = 0.44

к., = 0.18, к = 0.39,

Рис. 4. Зависимость угла ориентации намагниченности в центре слоя от напряженности магнитного поля И при различных значениях параметра сегрегации к для к = 1.268, Ь = 10; (а), (б), (в) ст = 2,

к = 0.18, к»2 = 0.31; к., = 0.39 , к„1 = 0.44

(г)

ст = 2.5,

и

0

0

0

1

3

0

1

3

4

а

б

б

в

в

г

г

765 -43 -22 -

§0

Ь=20; о=2; к=0.1

ие, Ьеі / \

, ь,

к.1=0.28 к.2=0.3 2

11,1=0.7

^=2.24

ие1=0.83

^ и =2.82

0

и

и

и

и

и

и

§0

Ь=20; о=2.5; к=0.3

Рис. 5. Зависимость концентрации феррочастиц в центре слоя от напряженности магнитного поля И при различных значениях параметра сегрегации к для к = 1.268 ,

Ь = 10; (а), (б), (в) ст = 2,

(г) ст = 2.5,

к.1 = 0.31; к.1 = 0.44

= 0.18,

к., = 0.39,

Рис. 6. Зависимости углов ориентации директора (а) и намагниченности (б), а также концентрации феррочастиц (в) в центре слоя от напряженности магнитного поля И при к = 1.268, Ь = 10, к = 0.5,

ст > СТт

В этом случае переход между неоднородной и однородной фазами является переходом второго рода, а обратный переход осуществляется по типу перехода первого рода (таблица). Участок кривой, показанный пунктиром, отвечает метастабильным и неустойчивым состояниям. В случае к > к и к > к„2 оба перехода являются переходами второго рода (рис. 3,в, 4,в и 5,в).

Особый интерес представляет случай ст и стт, показанный на рис. 3г, 4г и 5г, когда пороговые поля Иг1 и Иг2 оказываются близки и области метастабильности двух переходов первого рода

3

а

а

б

б

в

в

и

к

(к<кп и к<к„2 - см. таблицу) перекрываются. Здесь не происходит полного отрыва директора от намагниченности и ориентационный отклик ФН на приложенное магнитное поле является комбинацией первой и второй мод. С этим связано немонотонность зависимости р0(И) на рис. 3г и 6а. Неустойчивая ветвь решения в промежутке Иг1 < И < Иг2 показана пунктирной кривой на рис. 3г, 4г и 5г.

При а>ат (рис. 6) нет области неоднозначности: с увеличением энергии сцепления угол отклонения директора от оси легкого ориентирования ведет себя монотонно и возрастает с увеличением поля. В этом случае вызванный полем поворот намагниченности влечет за собой поворот директора в направлении поля, а из-за жесткого сцепления директора на границах слоя углы р0 и ц/0 достигают значения л/2 лишь в пределе И . Пространственное перераспределение магнитных частиц по слою (рис. 5 и 6) связано с эффектом сегрегации: частицы накапливаются в тех областях слоя, где минимальна сумма их магнитной энергии в поле Н и ориентационной энергии в ЖК-матрице. В рассматриваемой геометрии областью наибольшей концентрации феррочастиц является центральная часть слоя ФН.

6. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными

На рисунке 7 представлено сравнение результатов численного решения системы уравнений (8)-(10), (12) с экспериментальными данными работы [18], в которой изучена зависимость электрической емкости ячейки ФН на основе нематика 6СНВТ от напряженности приложенного магнитного поля. Электрическая емкость ячейки определяется соотношением [24]

с - с0 = с

( Р0

I

я"2 М

. 2

Є±+Єа вШ р

х

ёр

(30)

Здесь С - емкость ячейки ФН в магнитном поле; С0 - емкость ячейки, заполненной ФН в отсутствие поля; С - емкость пустой ячейки в отсутствие поля; Стах - наибольшее значение емкости ячейки, соответствующее Н = 12 Тл; £ц, - диэлек-

трические постоянные ЖК, измеренные параллельно и перпендикулярно оптической оси, соответственно; еа = £ц -е± - анизотропия диэлектрической проницаемости. Для нематика 6СНВТ согласно данным работы [25] еа = 8 , = 4. Ем-

кость пустой ячейки С = ££0 Б/Ь = 177 пФ найдена с помощью данных, представленных в [18].

Рис. 7. Приведенная электрическая емкость ячейки как функция напряженности магнитного поля для ФН с объемной долей дисперсной фазы / = 2 х 10-4 и чистого нематика 6СНВТ по данным [18]; сплошная линия - результат расчетов по формуле (30) для к = 1.268, Ь = 5 , к = 1, ст = 1.75

Сопоставление результатов проведенных расчетов с экспериментальными данными [18] выполнено для / = 2 х 10-4 . На рисунке 7 первому ориентационному отклику (0 < И < Иг1 ) на теоретической кривой отвечает небольшое увеличение емкости, а затем ее уменьшение с ростом поля, в то время как в эксперименте [18] в этом диапазоне полей изменений в поведении емкости не обнаружено. Это может быть связано с погрешностью измерений, не указанной в работе [18], либо с тем, что значение / = 2 х10-4 в работе [18] отвечает этапу приготовления суспензии. Между тем, с ростом поля из-за диполь-дипольного взаимодействия и сегрегационных процессов часть феррочастиц коагулирует, а образовавшиеся агрегаты уменьшают объемную долю примеси, участвующей в намагничивании суспензии, примерно на один-два порядка. По этой причине для согласования с экспериментом при И > Иг2 мы выбрали значение

/ = 10-. В области слабых полей (И < Иг1) объемная доля частиц / близка к указанной в [18], что увеличивает параметр Ь примерно на порядок. Как видно из рис. 2, с ростом параметра Ь пороговое поле ИГ1 сильно уменьшается, а вместе с ним становится малым ориентационный отклик фо (см. рис. 3). По-видимому, эти малые отклонения директора от оси легкого ориентирования не регистрировались в экспериментах [18].

Второму ориентационному отклику (И > Иг2) отвечает монотонное увеличение емкости до максимального значения в полях Н > 2 Тл. Как видно из рис. 7, при Н > 2 Тл расчетная кривая хорошо согласуется с экспериментом. По результатам сде-

±

ланного сопоставления теоретических и экспериментальных данных можно сделать вывод, что в ФН, исследованном в работе [18], преобладает ди-польный механизм влияния магнитного поля (b = 5 ) и существенны сегрегационные явления (к = 1); безразмерная энергия ст = 1.75 отвечает слабому сцеплению магнитных частиц и ЖК-матрицы.

7. Основные результаты

В работе изучены пороговые изменения ориентационной и магнитной структуры ФН под действием внешнего магнитного поля. На границах слоя были заданы условия жесткого планарного сцепления. Сцепление ЖК-матрицы с поверхностью феррочастиц предполагалось мягким и планарным. Магнитное поле было приложено нормально границам, а возникающая деформация ориентационной структуры отвечала поперечному и продольному изгибам директора.

В рамках континуальной теории получены уравнения для углов ориентации директора и намагниченности, распределение концентрации магнитных частиц как функции материальных параметров ФН и напряженности магнитного поля. Получено выражение для поля перехода из возмущенного в однородное состояние магнитного насыщения. Показано, что при мягком сцеплении директора и намагниченности возможно появление двух ориентационных переходов в магнитном поле, каждый из которых может быть переходом первого или второго рода в зависимости от значений сегрегационного параметра. Аналитически найдено значение параметра сегрегации, отвечающее трикритической точке для каждого из переходов. Найдено критическое значение энергии сцепления директора и феррочастиц, ниже которого происходят переходы неоднородная фаза - однородная фаза - неоднородная фаза.

Обнаружено хорошее согласие результатов расчета емкости ячейки ФН с экспериментальными данными [18].

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-02-96001).

Список литературы

1. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France). 1970. Vol. 31. P. 691-708.

2. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid ^s-talline TOlloids of nanoparticles: preparation, properties, and applications // Solid State Physics. 2010. Vol. 62. P. 1-74.

3. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational inter-

actions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

4. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. II. Behavior of real ferronematics in external fields // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 123-141.

5. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N. Orientational structure and magnetic properties of a ferronematic in an external field // Sov. Phys. JETP. 1986. Vol. 64. P. 319-324.

6. Zadorozhnii V. I., Reshetnyak V. Yu., Kleshchonok A. V., Sluckin T. J., Thomas K. S. Inverse Frederiks effect and bistability in ferronematic cells // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 221-231.

7. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // J. Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238-244.

8. Podoliak N., Buchnev O., Buluy O., D'Alessandro G., Kaczmarek M., Reznikov Y., Sluckin T. J. Macroscopic optical effects in low concentration ferronematics // Soft Matter. 2011. Vol. 7. P. 47424749.

9. Petrov D. A., Zakhlevnykh A. N. Freedericksz transition in compensated ferronematic liquid crystals //Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 557. P. 60-72.

10. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Influence of the segregation effect on the magnetic and optical properties of a compensated ferronematic liquid crystal // Technical Physics 2012. Vol. 57. P. 1208-1218.

11. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Magnetic field induced orientational transitions in soft compensated ferronematics // Phase Transitions. 2013. D0I:10.1080/01411594.2012.752085.

12. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferrone-matic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 051710 (9 p.).

13. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 219-226.

14. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Reentrant phase transitions in ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 553. P. 199-210.

15. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles // Soft Matter. 2012. Vol. 8. P. 6493-6503.

16. Ouskova E., Buluy O., Blanc C., Dietsch H., Mer-telj A. Enhanced magneto-optical properties of suspensions of spindle type mono-dispersed hematite nano-particles in liquid crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2010. Vol. 525. P. 104-111.

17.Burylov S. V., Zadorozhnii V. I., Pinkevich I. P., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. Weak anchoring effects in ferronematic systems // J. Magn. Magn. Mater. 2002. Vol. 252. P. 153-155.

18. Kopcansky P., Tomasovicova N., Timko M., Kon-eracka M., Zavisova V., Tomco L. and Jadzyn J. The sensitivity of ferronematics to external magnetic fields // J. Phys.: Confer. Ser. 2010. Vol. 200. P. 072055 (4 pp.).

19. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-ferronematic transition in an external magnetic field // J. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103-110.

20. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. Tricritical phenomena in ferronematic liquid crystals // Technical Physics. 2012. Vol. 57. P. 1041-1050.

21. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. Structure of the domain walls in soft ferrocholesterics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593-599.

22. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. Magnetic properties of ferrocholesterics with soft particle anchoring // J. Magn. Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279-288.

23. Leonard S. W., Mondia J. P., van Driel H. M., Toader O., John S. Tunable two-dimensional photonic crystals using liquid-crystal infiltration // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61. P. R2389-R2392.

24. Salamon P., Eber N., Seltmann J., Lehmann M., Gleeson J. T., Sprunt S., Jakli A. Dielectric technique to measure the twist elastic constant of liquid crystals: The case of a bent-core material // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. P. 061704 (9 pp.).

25. Raszewski Z., Kedzierski J., Rutkowska J., Zielinski J., Zmija J., Dabrowski R. D., Opara T. Dielectric investigation of the diamagnetic anisotropy and elasticity of 4-trans-4'-n-hexyl-cyclohexyl-isothiocyanatobenzene (6CHBT) // Liquid Crystals. 1993. Vol. 14. P. 1959-1966.

The effect of soft coupling and orientational bistability of ferronematics

A.N.Zakhlevnykh, D.A.Petrov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

Orientational properties of ferronematics (i.e., colloidal suspensions of magnetic nanoparticles in nematic liquid crystals) with soft planar coupling of the dispersed phase with the liquid crystal matrix in the magnetic field are studied. It is shown that for weak coupling the transition from the perturbed state into uniform state of magnetic saturation and the reentrant transition can be of the first or second order, depending on the value of segregation parameter. The value of segregation corresponding the tricritical point has been found analytically. The comparison of the numerical results with experimental data has been done.

Keywords: Liquid crystal; magnetic suspension; ferronematic; nanoparticles; soft coupling; segregation effect; orientational bistability