CC BY
19
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2009, том 52, №11______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.М.Миркалонова НАИЛУЧШЕЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ ПА<с/< х
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.08.2009 г.)
1. Задача нахождения точных значений наилучших полиномиальных приближений аналитических в круге функций вызывает определенный интерес, хотя по данной тематике в настоящее время уже получен целый ряд окончательных результатов (см., например, [1 -7] и список литературы к ним). В данной работе будем рассматривать аппроксимативные свойства аналитических в единичном круге функций /(г), принадлежащие банахову пространству Харди Н , 1 <q< со с конечной нормой
где
Г 1 2л у7«
МД/;л> = |—•
При этом норма функции f (z) е Hq реализует на ее угловых граничных значениях f{elt), которые в дальнейшем обозначим просто fit'). Обозначим через Hqp, 0 <р< 1 пространство Харди аналитических функций в круге \z\< р функций f (z), для которых ll/(z)IL Н1/(И1я, <о°- Производную г -го порядка функции f (z) по аргументу t комплексного переменного z = ре11 обозначим через f^r\z). При этом
/i‘,(z)=/(z)z; =/(z)zi,
/ГМ = {/Г‘>М}:, г = 2,3,4,...
Если f^r) (z), f{r) (z) е Hq, то структурные свойства этих функций будем характеризовать быстротой стремления к нулю модуля непрерывности их граничных значений
«.(/«,о, :=®(/i°,0„, =SUP ||/:'>(. + /0-/:'>(.)|Ц :\h\<t ,
</«,0, 0„, — эир ||/")('+Л)-/")(')||Я1 :|А|<1
при ^ —» 0, либо задавать скорость убывания к нулю мажоранты некоторой усредненной величины, содержащей или г»(/(г),7)
Символом
Еп (/), := Еп (/> ^-1) = ^ {||/ - Рп-1 II, : Рп-1 е ^-1 }
обозначим величину наилучшего приближения _/(2) е Нд подпространством , алгебраических комплексных полиномов
п-1
к=0
степени не выше и -1.
В следующей теореме оценим величину наилучшего приближения Еп (/) через усредненную величину модуля непрерывности угловых граничных значений производных г;\1) и /<"(0.
Теорема 1. Для любой функции /(г) е Ну которой /^г\г)еНд, /{г\г)<ЕНд соответственно при и <е(0,л!(2//)], м е (0, я/2(п - г)], и > г справедливы точные неравенства
-< 2м
0 2и
Е„(Л„<^-\со(Гг\1\Л, (2)
где огиг. =п(п-\)...(п-г + \),п >г и знак равенства в соотношениях (1) - (2) реализуется для /0(г) = г”еЯ?.
Доказательство. Не умаляя общности, докажем, например, неравенство (1). В силу неравенства [2]
Е„(Л<п-<’-"Еп(Г;\, г> 1 (3)
соотношение (1) достаточно доказать при г -1:
1 2 и
Рассмотрим оператор
и
^ 0 - \{f(t + х) + fit - х) } cos xdx.
4и J
2 и
Применяя неравенство треугольника для нормы, получаем Оценим каждое слагаемое в правой части (5). Разность / —^СЛО представим в виде
и
/ - ^(/, 0 = - \ifit + х) - 2/(0 + /0 - х) } соб хдх,
4 и 1
(5)
2 и
и, интегрируя по частям, получаем
2 и
1 а
/-^(/,0=-| /(/-Л-)-/.(/-.У)
2 о
Применяя обобщенное неравенство Минковского ([8], с. 300)
dx.
/
к разности (6), будем иметь
<
1 U
- Л fait + Х) ~ fait-Х)
ґ 7Г Л
1-sin—X 2 и
V
dx.
Простые вычисления показывают, что второе слагаемое допускает оценку
( 01 л2
И/)|Ы- И"(/)|
и так как
г2и]2
к п ;
- 1 U
KUA=-\ fa(i + X)-fa(f-X) Sin ^-Xdx, 2 і 2u
то с учетом неравенства (7) будем иметь
1 и
И/)М^Л|/:('+^)-/:(г-^)
sin—xdx. q 2u
(6)
(7)
(8)
(9)
Объединяя оценки обоих слагаемых (8) и (9), с учетом (5) получим
-і и
Еп (А - 7 Л(*+*)- /а (* ~ Х)\^-
Г\
0
(10)
Используя неравенство (10) и определение модуля непрерывности, завершаем доказательство соотношения (4):
Неравенство (1) следует из (3), и этим теорема 1 доказана. Равенство в (1) и (2) для /0 (г) — гп проверяется непосредственным вычислением.
Следствие 1. Для любой функции /{г)Е:Н , у которой /^\г)<ЕНч, /(г\г)<ЕНч, справедливы неравенства
и знак равенства в (11) и (12) имеют место для /а(г)-гп еЯ?.
Отметим, что неравенство (11) ранее доказано Л.В.Тайковым [2].
Далее приводятся точные оценки величины наилучшего приближения функции /"(г) е Нд через усредненные значения модуля непрерывности самой функции и ее второй производной.
Теорема 2. Для любой функции , у которой еН , и любого
и е (0, л/2//], справедливо точное неравенство
(11)
(12)
и знак равенства в (13) реализует функция /а(г) = г" еЯ?.
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 2. В условиях теоремы 2 справедливо неравенство
тх^
^ ґтг/2 п я/2и Л
<—< І б»(/а ,2х)д 1 — біппх сіх + п2 І со(/,2х)ч зіппхсіх к
І о о ]
її знак равенства достигается для функции /0{г) — гп є Н ч.
Вышеприведенные теоремы благодаря неравенству
Еп СЛя,„ ^ Р"ЕП (Лн, > °<Р^1, 1<^<=0
легко распространяются для аналитических функций /(г) є Нд .
Теорема 3. Для любой функции /{г)єН , у которой г -ые производные /а(г) (г) є Нч, /(г) (г) є Нч, справедливы неравенства
п ЯІП
<14>
О
п rt(n-r)
J ®(У(Г)Д<*, (!5)
и V./ /Я_
9,/ ГУ
о
м зншс равенства в (14) и (15) реализуется для функции /0 (г) = г" є Н ч р.
Теорема 4. Для любой функции /(г) є Ндр, _у которой /а (г) є Нд, справедливо нера-
венство
Еп(ЛН„ *
п \ я/2 п 7т/2п I
<— < | <y(/fl ,2.x), l-sinm- dx + n2 J <и(/,2.x), sinnxdx L (16)
[ о о J
и знак равенства в (16) реализуется для f0(z) = zn є Н.
Таджикский национальный университет Поступило 04.08.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихомиров В.М. - УМН, 1960, т.15, 3, с.81-120.
2. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1977, т.22, 4, с.535-542.
3. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 1995, т.57, 1, с. 30-39.
4. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2002, т.75, 5, с. 665-669.
5. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2006, т.410, 4, с.461-464.
6. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.
7. Юсупов Г.А., Миркалонова М.М. - ДАН РТ, 2008, т.51, 10, с.722-729.
8. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теория приближения. - М.: Наука, 1976, 320 с.
М.М.Миркалонова
НАЗДИККУНИИ БЕХДАРИНИ ПОЛИНОМИАЛИИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОЙ ХАРДЙ Hq,l<q<oo
Дар мак;ола бах,ои аник;и наздиккунии бех,тарини функсиях,ои f(z)eH , \<q<co
ба воситаи модули бефосилагии худи функсия ва хосилаи тартиби дуюми он ёфта шуда-аст.
M.M.Mirkalonova
THE BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION ANALYTICAL FUNCTIONS
IN Hq ,1 < q < oo HARDY SPACE
In article was founded the exact values of the best analytical functions f(z)e.H , \<q<co by means of modulus of continuity of the same functions and the second order of its derivative.
