CC BY
17
303(3)
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2000
УДК 517.0 (075.8)
А.М.СУХОТИН
НАЧАЛО АЛЬТЕРНАТИВНОЙ ТЕОРИИ В АНАЛИЗЕ
Статья содержит (разд. 1) доказательства двух утверждений, противоположных теореме Римана о возможности такой перестановки членов знакопеременного не абсолютно сходящегося к числу А ряда (А), что ряд (В), полученный после такой перестановки, сходится к некоторому наперёд заданному числу В. В разд. 2 доказанные теоремы иллюстрируются примерами. В разд. 3 даны обобщения на бесконечные множества некоторых утверждений о конечных множествах и введены критерии биективности бесконечных подмножеств множества натуральных чисел и, следовательно, заложены начала альтернативной теории бесконечных множеств и их отображений.
1. Пусть сходящийся по Риману [3, стр. 316-318] к числу В ряд (J5),
B = ZbJ> (О
получается инъективным отображением ср: N -> N , ф(А:) -j, ак = Ь,, слагаемых ряда (А):
п оо К(п)
А = Yjak =S„+r„ = + а(и) + Yja<' а(") = • (2)
1 АГ(и)+1 n+1
Будем step by step выполнять отображением ср: N N , (р(£) =j, ak = bj, и одновременно стрела*»-,, СО
ить последовательность (S„) частичных сумм Sn ряда (В), предполагая, что r„= + ^а,,
М, К(п)+1
М\ <п +1. Здесь, как в (2) и ниже, К(п) =ma x{k:ak = bj, j <п), а у символа L суммирование идёт по умолчанию от 1 до оо. Сумма ß(ra) = содержит те слагаемые из частичной суммы
Mi
S/c(n) ряда {Ä), которые не вошли в частичную сумму Sn ряда (В). Таким образом, мы полагаем, что порядок слагаемых в остатках гК(п) и гК(п) рядов (А) и (В) соответственно при построении последовательности ) для всех К(п) совпадает:
Гк(п)=Щп). (3)
Очевидно, что при и-»оо К(п) ->со и а условие (3) не влияет на сходимость соответ-
ствующих частичных сумм: Sn —>В, S„ —>А. Вводя символ е(п) = ß(«)-a(«), мы получим из (1) и (2) равенства
B-A=(S„+r„)-(S„ + r„) = (S„-S„)+£(n). (4)
Теперь, учитывая, что (B-S„) - (А -Sn) = г„ -г„, или непосредственно из равенств
ОО ОО
гп = а(п)+ ^а, и rn =ß(«)+ мы получим оценку разности остатков рядов (В) и (А) в сле-
дующем виде:
г„-Г„=Е(П). (4')
Левая часть равенства (4') стремится к нулю при п->оо в силу предположения, что Sn ->В и S„ —>А, в то время как правая часть е(п) с учётом равенства (3) стремится в общем случае к некоторому числу б(оо) , зависящему от перестановок слагаемых в ряду (А) при переходе к ряду (В). Если допустить, например, что В - А > 0, то найдётся п, такое, что S„-Sn> 0. Значит будут справедливы при следующей смене символов 0 < р, = aki, 0 > qj = akj равенства
Ш2 /?4 П2 П4
/Л| Л3 П| /13
где щ-щ+щ-щ-К{п)-п, т2^п, т2-тх-п2-п\, п<п/ < К(п). Следовательно, мы получим, что
~ тг "г Е(И) = гп-гп = $[п) - а (и) = =Sn-Sn< 0. (5)
mi n,
Количество слагаемых s* в сумме б(я) неограниченно возрастает при п —» оо, а общий член £t в этой сумме имеет в силу неабсолютной сходимости ряда {А) порядок, не менее чем k~a, а < 1, и потому е(оо) < 0. Полученное противоречие 0 < 0 опровергает наше допущение, что В -А > 0.
Легко показать, что в силу (4) или первых двух равенств из (5) при каждом инъективном переходе ф(н) = к, ап = Ьк, от ряда (А) к ряду (В) существует такая последовательность (иь и2,...), n,eN, что для всех п, справедливы равенства
S„, + r„t = Sn. + r„t. (6)
Равенства (6) можно получить и непосредственно из тождества
Z«/ sZa"
если в его правой части переставить местами конечное количество слагаемых, необходимое для того, чтобы первые п из них давали п-ю частичную сумму S„ ряда (В), а в остатке гК(п) слагаемые не переставлять без необходимости. Последнее требование усиливает строгость рассуждений при последующем предельном переходе. Из равенства (6) при п—><х> и, следовательно, при К(п) —>оо получается импликация: (7п -> 0, гп —> 0) => (В = А). Тем самым нами доказана следующая
Теорема 1. Перестановка членов знакопеременного не абсолютно сходящегося к некоторому числу А ряда {А) не влияет на сходимость этого ряда к числу А.
В общем случае при Sn^> А из равенства (6) получаем при предельном переходе вместо теоремы Римана эквиваленцию
(S„ В, гп 0) о (г„ -> (А-В)),
так что справедлива
Теорема 2. Если для произвольного числа В из членов сходящегося к числу А знакопеременного . ряда (А) построена последовательность (S„ ) частичных сумм S„, сходящаяся к числу В, то последовательность (г„), получающихся при этом остатков гп, сходится к числу А- В.
Замечание 1. Теоремы 1 и 2 справедливы для любого знакопеременного ряда, но для абсолютно сходящегося ряда (А) число В в Теореме 2 может быть выбрано только так: -Q <В <Р, где
Р = ^ pi > 0, Q = - ^ q, > 0, и символами р, обозначены, как и выше, положительные слагаемые ряда (Л), a q, - отрицательные. При этом соответственно изменённый алгоритм Римана [1, стр. 316^-318] можно применить для доказательства сходимости последовательности (Sn) частичных сумм Sn к числу В, -Q <В <Р, и для абсолютно сходящегося ряда (А).
Действительно, пусть, например, В> 0. Так как р,—>0 и Z А -Р, то существует такое натуральное число п(В), что
п{В)-\ п(В) °°
2><Д<2>=51<Д и £>> 0. (7)
1 1 ,"(«)+!
Аналогично, существует такое число п{ S\), что справедливы неравенства
~ д ~ "$) ~ д ~
s2 = Si+2^qi<B и S3 = S2 + Pn(B)+\ > в ИТ. д. (8)
1
Для выполнения неравенств (7) и (8) на каждом шаге при необходимости слагаемые в соответствующих остатках рядов и можно переставить соответствующим образом. В крайних
случаях, когда В = -Q или В — Р, в частичные суммы S„ мы включаем только отрицательные или, соответственно, только положительные слагаемые ряда (А). Так, полученная последовательность ( Sn ) частичных сумм S„ сходится, как и в доказательстве теоремы Римана, к числу В. Для знакопеременного не абсолютно сходящегося ряда (А) при соответствующем изменении нумерации ^р,; = со и - = оо, поэтому для такого ряда В можно выбрать, включая крайние случаи, произвольно: -со < В < оо. Подробнее об этом в п. 2.
Обобщением Теорем 1 и 2 является следующая ниже
Теорема 3. Если из членов числового ряда (А) построена произвольным образом последовательность ( S„ ) частичных сумм Sn, сходящаяся к числу Р, а последовательность ( гп) получающихся при этом остатков г„ сходится к числу Q, то сумма ряда (А) равна Р + Q.
2. В [1, стр. 316-319] в качестве ряда (А) взят ряд У--, при этом Л=1п2. Ряд (В(р, q)) по-
п
лучен из ряда (А) следующей «процедурой»: после каждых р последовательных положительных слагаемых ряда {А) ставилось q последовательных отрицательных членов этого ряда. Последовательность ( Sn ) частичных сумм Sn так полученного ряда (В{р, q)) сходится к числу
В(р, q) = In (2-JpTq ).
Из этой формулы при р = q получим, что А = В(р, р). Очевидно, что при других парах чисел р и q А #В(р, q): в остатках г„ ряда (В(р, q)) «накапливаются» при р> q отрицательные слагаемые или положительные при р < q. Описанная выше процедура, то есть отображение (р: {А) —> (В), при
р £ q не будет перестановкой (см. ниже Определение 1 и Теорему 4).
Покажем, что, например, если р> q и p + q-2k, то при предельном переходе мы получим, что
^ —» (А- В(р, q)) < 0. Используя равенства
к 1 mi
У-=\пк + С + ук и У—= 0,5(lnw + C + ym) (9)
, п \2п
(см. [1, стр. 319-320]), где С - постоянная Эйлера, а у„-> 0, мы получим последовательно следующие оценки частичных сумм S2k , S2k и остатков г2к, г2к рядов (А) и (В(р, q)) соответственно:
$2к ~ 1п2 + уг* - У*, Г2к=~У2к+Ук, Sik = In2 Qp : q )+- у2р - 0,5ур - 0,5yq ,
r2k=-\ny[pTq-у2р+0,5ур+0,5уч. (10)
Оценка остатка г2к в (10) получена с помощью второго из равенств (9) по формуле
r2k (Х-~—)• Из (9) и (10) следует, что Уп е N справедливы равенства: S2k„ =1п(2 л] p:q )-Р„,
q 2/ + 2
Пкп = -In ( yfpTq ) + р„, где Р„ = - у2р + 0,5ур + 0,5уч и, следовательно, Р„ ->• 0. Итак,
В(р, q) = In 2 ф In (2 -]р : q ), так как здесь р > q.
При р = q отображение ср: (Л)—»(В) будет биекцией. Критерий биективности этого отображения ф и ему подобных мы вводим в п. 3.
В качестве второго примера рассмотрим [2, стр. 23] абсолютно сходящийся знакопеременный ряд (С):
С=1-1п2=У (-1)П+1 + ^ =
(2и-1)и(2л + 1) ^ \2п-\ п 2п + \)
Этот пример показывает, что Теорема 2 для знакопеременного не абсолютно сходящегося ряда
следует непосредственно из подобной теоремы [3, стр. 315] для знакопеременного абсолютно сходящегося ряда.
Так как ^-= In 2, то из этого примера, в частности, следует, что
Для знакопеременного не абсолютно сходящегося ряда (А) при соответствующем изменении нумерации Z-P' = 00 и - ^q, = оо, то есть формально А = оо - оо. Для раскрытия этой неопределённости мы представляем ряд (А) в виде Sn+r„ и делаем предельный переход. Покажем, как, используя подмену понятия потенциальной бесконечности (бесконечности натурального ряда) понятием исчерпаемости-неисчерпаемости, можно получить таким же путём всё что угодно, например минус бесконечность:
к | со
Za<= Zpi = (-°°+Za )+Z^=
<*> k„ чо
= (-CO)+2>=...= (-00+ =...= (_ CO),
¿1+1 ¿„-1+1 k„+1 так как на каждом п-м шаге в круглых скобках получается (- ад), как сумма (- ад) и числа
д к"
> А >03
где кп — кп_| >1. Более того, в начале суммирования можно выбрать, например,
К-1+1
только часть отрицательных слагаемых из суммы ^<7,, которые дадут в сумме (- ад), а оставшиеся положительные и отрицательные слагаемые ряда складывать поочерёдно с (- ад).
3. Неполнота алгоритма доказательства [1, стр. 317-318] теоремы Римана, то есть предположение, что положительные и отрицательные слагаемые ряда (А) могут быть «единовременно» исчерпаны при переходе к ряду (5) и что при этом г„ —>0 - частный случай некорректного понимания бесконечности натурального ряда чисел. Некоторые более точные формулировки и утверждения мы приводим ниже. Но вначале напомним три очевидных для отображений конечных множеств утверждения.
Утверждение 1. Конечные множества А и В биективны, то есть перестановочны, тогда и только тогда, когда равны количества их элементов.
Утверждение 2. Не существует биекции между конечным множеством А и его собственным подмножеством В а А.
Утверждение 3. Если существует две инъекции ср: А В и у : В -> А между конечными множествами А и В, то множества А и В биективны.
По традиции, идущей от Р. Дедекинда, при переходе к бесконечным множествам второе утверждение отвергается (см., например, [3, стр. 57-58]), а третье по умолчанию принимается в качестве аксиомы. Ниже мы излагаем противоположную этому точку зрения.
Сюръективность отображения ср : N -> jV , где N = {п) - множество натуральных чисел, неявно предполагает переход от бесконечности натурального ряда (от потенциальной бесконечности) к бесконечности актуальной, присутствующей во фразе «для всех я», понимаемой буквально. Для уточнения понятия биективности функций вообще мы вводим следующие ниже определение и необходимый критерий биективности отображения ср: N -» N .
Определение 1. Мы называем инъекцию ср : N —> N биекцией, то есть перестановкой множества N, тогда и только тогда, когда существует такая последовательность (п, ), п, е N, что V/ выполняются равенства
п,-к,= 0, (11)
где к, = тах{ср(л): <п<п, }.
Условие (11) биективности отображения ср: N N очевидным образом обобщает Утверждение 1 для конечных множеств.
Другой, необходимый критерий биективности функции (р: N -» N имеет асимптотический характер: lim (ср(л): п) = 1.
Точную формулировку даёт следующее из (11) такое утверждение:
Теорема 4. Если инъекция ф: N —» N является биекцией, то при п -» со выполняется предельное равенство
lim (<р(и): и) = 1. (12)
Определение 2. Мы называем инъекцию ф: N -> N биективной в бесконечности, если выполняется предельное равенство (12).
Легко показать, что отображение ф: N N в Теореме 4 удовлетворяет следующему условию:
k{n)n + b(n)<q{n)<k(n)n + b{n) + \, где Ъ{п) —» Ъ, к{п) -» 1 при п -> со и b - некоторое целое число.
Таким образом, справедливо следующее
Утверждение 4. Биективностъ в бесконечности инъекции ф: N —> N является необходимым, но не достаточным в смысле Определения 1 условием биективности этого отображения.
Для уточнения в дальнейшем понятия «счётность множества» мы формулируем вначале более общее понятие.
Определение 3. Множество В мы называем бесконечным, если существует инъекция ф: В^СаВ.
Мы не предполагаем экстраполяции понятия биективности из Определения 1 на отображения произвольных бесконечных множеств. Вопреки общепринятому, мы формулируем и доказываем для бесконечных множеств аналогичную Утверждению 2 для конечных множеств следующую ниже теорему.
Теорема 5. Если отображение ф: А —»В биективно, тогда не существует биекции ф: А —> (5wC), где ВпС = 0.
При доказательстве Теоремы 5 мы образуем из двух по предположению биекций ф: А -» В и
Ф : А—> (В и С) биекцию ф-1 оф: А А , с помощью которой строим строго убывающую последовательность
^зДэДгЗ 4 23 3 ... Z> Л 123...« —'
(13)
подмножеств множества ,4, где А, = ф~'(5), Ап = ф~'(ф(Д)) и так далее. Подчеркнём, что в построении цепи (13) участвует только одна композиция ф~' ° \\i отображений ф и ф. Так как в последовательности (13) каждые два соседних подмножества А\г...и и А\2...„ „+1 по предположению биективны, то они все биективны между собой и биективны множеству А: Ап...п ~ А для \/neN. Следовательно, каждое подмножество А\2...т цепи (13) содержит биективное себе собственное подмножество А\2..м m+i» и потому последовательность (13) не может закончиться некоторым подмножеством А" а А. С другой стороны, во множестве А не предполагается никакой структуры, допускающей существование подмножества А* с А, к которому могла бы сходиться последовательность (13). Следовательно, эта последовательность сходится к некоторой соответствующей данной последовательности точкеА0еА, определяемой биекциями ф: А-^В и ф: А—>(ВиС).
Геометрическую иллюстрацию Теоремы 5 и её доказательства даёт множество пар (ф,ф) центральных проекций на плоскости, определяемых отрезком А\А2 прямой а и отрезками В }В2 (проекция ф) и С\С2 з В\В2 (проекция .ф) прямой е. Так как положение центров проектирования отрезков А\А2 и В\В2 (С1С2) зависит от положения прямых а и в на плоскости, то множество пар
(ф,ф) таких проекций не ограничено. Каждая пара проекций (ф,ф) определяет последовательность (13), которая представляет собою систему вложенных отрезков, каждый из которых содержит некоторую точку А0. Длина отрезков при возрастании цепи (13) стремится к нулю. Следовательно, последовательность (13) сходится к точке А0 отрезка А\А2. Более того, для любой точки А0 отрезка
AtA2 можно подобрать такую пару (ф,ф) центральных проекций и так дополнить отрезок В ¡В2 до
отрезка CiC2, что соответствующая цепь (13) будет сходиться к выбранной точке А0
Приводимое ниже очевидное следствие Теоремы 5 является точным аналогом Утверждения 2 для конечных множеств.
Утверждение 5. Не существует биекции между бесконечным множеством В и его собственным подмножеством С а В.
Пример. Тождественное отображение id : С —> С является биекцией и простейший случай: В = Си {а}, где а £ С.
Из Теоремы 5 очевидно, что объём понятия «счётность множества» будет уменьшен, если его определять как его биективность множеству N натуральных чисел. Очевидно, что бесконечное подмножество множества натуральных чисел должно быть счётным при любом определении понятия «счётность». С другой стороны, из Теорем 4 и 5 мы получаем для бесконечных множеств противоположную Утверждению 3 для конечных множеств следующую теорему.
Теорема 6. Взаимная инъективность бесконечных множеств A czN и В с: N не является достаточным условием их биективности в смысле Определений 1 и 2.
Например, множество Ч чётных натуральных чисел не биективно множеству N натуральных чисел: ни одно из условий (11) и (12) не выполняется для инъекций (p: N-+4 и ф: 4-+N, где к = 2п = <р(л) и п = 0,5k± V)i(k).
Теорема 5, её следствия и аксиоматически формируемое понятие бесконечности множества N натуральных чисел позволяют и делают необходимым введение следующих обобщений понятия «счётность» (ср. [2, гл. 3, стр. 42, 57-58]). Мы связываем прежде всего классификацию бесконечных подмножеств В множества N натуральных чисел со степенью роста функции ф: N —> В.
Определение 4. Множество В çiN мы называем к-счётным, если существует инъекция ф: N->B и
lim ((ф(и)) : л) = А-1, 0 < & < 1 ; (14)
1 -счётное множество В мы называем счётным, и если при этом выполняется условие биективности (11), то множество В мы называем натурально счётным.
Инъекцию ф: N —> Z , где Z- {0, ± 1, ± 2,...} мы определим формулой
0, если и = 1, ф(«) = т, если п = 2т,
-т, если п = 2т + \.
Тогда для классификации подмножеств В çZ или, что то же самое, отображений ф: Af->5çZ мы вводим аналогичное (14) условие
lim ((|ф(л)|) :п) = к~], 0 < к<2. (15)
Если множество В является подмножеством упорядоченного объединения m экземпляров множества N, то при линейности функции у. N —>■ В параметр к в критерии (15) удовлетворяет условию 0 < к < т.
Дальнейшее обобщение условий (14) и (15) можно сделать, например, в форме следующего ниже определения.
Определение 5. Множество N(B) индексов элементов подмножества В czRu само множество В мы называем (k, p, q, 5)-счётным, если существует инъекция ф: N —> |7V(5)| и
lim (Д,(ф(и)):1„ («")) = *, (16)
где |N(ß)| - множество концов начальных отрезков множества N(B), функция Lm задаётся равенством Lm(t) = ln(ln(---(ln(i))••■)), а число р и количество v (q) логарифмирований соответствующей переменной t определяются требованием выполнения неравенства 0 < к < оо. При этом инъекция ф: N —>\N(B)\ удовлетворяет следующему условию «максимальности»: для любой другой инъекции ф : N —» |Л^(5)| каждый из параметров k, p, q, s четвёрки (k, p, q, s) имеет не большее значение.
Например, для счётных в смысле Определения 4 подмножеств множества N четвёрка (к, p, q, s) имеет вид (1, 0, 0, 0). Вследствие асимптотического равенства (12) биективным в смысле Определения 2 множествам соответствуют равные четвёрки {к, p, q, s).
Рассмотрим матрицу Q, (Q) = (n, п) и q'„-—, 1 < i <п, 1 < т < п. В этой матрице количество
т
Q(ji) различных рациональных чисел зависит существенно от значений функции л(п), определяющей количество простых чисел р, не больших п, и, например, Q(p)~ Q(p -1) + 2(р -1) для
Ур е п(п). Непосредственно можно получить следующие оценки числа Q(n) = \х.(п)п2\
п\ 1 - р(и)) + ©(и) < Q{n) < п\ 1 - р(и)) + 2пЦп) - тс(и) + ©(и). (17)
Здесь р(п) = ^Р'2 , А,(и) = \ а суммирование идёт по всем простым р < п. Ряд расходится, как показал ещё Л.Эйлер (см. [4, стр. 222]). Ряд ^р2 сходится, причём ^Г/Г2 <0,5. Функция &(п) в (17) определяется равенством
•У п + п ■У п + ••• + п Т п
|_2_ PI L з j pi 11рз\ iPklPk+A
где р-рр<п, к - max{z: р,рм < п). Из свойств функции \х{п) мы отметим здесь лишь следующие. На множестве N функция ц(л) немонотонно убывает: для всех простых чисел р > 3 ц(р) = цтах ; строго убывает функция ц(п) почти на всём множестве п(п) (без вторых чисел из каждой пары простых чисел-близнецов и ещё без некоторых) и почти для всех составных п (кроме степеней некоторых простых чисел), лежащих между последовательными простыми р\ и р2,
КР\)> К") < Ц(Pi)■ Например,
0,629696 < ц(47) < 0,629697, 0,62765 < ц (49) < 0,62766, 0,627625 < ц(53) < 0,627626, то есть ц(47) > ц(49) > ц(53); 0,610 < ц(58) < 0,611, 0,623 < р(59) < 0,624, 0,611 < ц(60) <0,612, 0,624 < р(61) < 0,625, 0,619 < ц( (62) < 0,620, 0,618 < ц (63) < 0,619 и 0,619 < ц(79) < 0,620,
но 0,621 < ц(83) < 0,622 и 0,620 < ц(103) < 0,621 и т. д. Для функции ф: N -> |jV(5)|, где N(B) - множество индексов т элементов подмножества jßcg и ф(и) = 0,75гс2, четвёрка из (16) (к,р, q, s) = (0,75, 2, 0, 0). Такой же будет четвёрка для ф: N -> |С|, С з N(Q), где ф(л) = 0,75и2 + 2пХ{п). Если, например, lim \(ri) сравним с С0па, 0 < а « 1,
то для функции фКи) = пк{п) четвёрка (к,р, q, 5) имеет вид (Со, 1 + а, 0, 0).
Для множества R(n, р) «-разрядных /?-ичных чисел отрезка [0, 1] количество значащих цифр
после запятой этих чисел заполняет таблицу размера (рп, п) (см. [3, стр. 82-84]). Множество строк и множество столбцов этой таблицы счётны, но не биективны в смысле Определения 1. Функции ф: N -» |N(R(n, р))|, ф(и) =р", соответствует четвёрка (к,р, q, s) = (In р, 0, 1, 0).
В заключение отметим, что Теорема 4 позволяет сформулировать при известных функциях фх: N -> |N(Вх )| эффективный способ проверки биективности в бесконечности (в смысле Определения 2) бесконечных подмножеств B^ciR. Нам кажется сомнительной в силу Теоремы 6 корректность теории мощностей бесконечных множеств, построенной на общепринятом понятии биективности. Для использования понятия (к,р, q, 5)-счётности множеств в качестве соответствующего введённым выше понятиям аналога мощности бесконечных множеств необходимо определить во множестве четвёрок (к, р, q, s) отношение порядка и алгебру, заменив при необходимости некоторые из параметров четвёрки подходящими их функциями. Имея в виду Определение 5 и его условие (16), мы предлагаем считать аксиомой утверждение: Всякое бесконечное множество является не более чем (k,p, q, з)-счётным (ср. [5, стр. 12 и 129]).
Автор посвящает данную работу памяти своего товарища Владимира Андреевича Труппова
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в 3-х т. - 3-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - Т. 2. - 664 с.
2. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - 5-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит:, 1971. - 1108 с.
3. Сухотин А. М. Начало высшей математики: Учеб. пособие. - Томск: ТПУ, 1997. - 104 с.
4. Эйлер JI. Введение в анализ бесконечных: Пер. с лат,-2-е изд.-М.: Наука, 1961.-Т. 1. - 315 с.
5. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 150 с.
