CC BY
50
2015 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 1(27)
УДК 512.625.5
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ДЕКАРТОВОЙ СТЕПЕНИ КОЛЬЦА ЦЕЛЫХ 2-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
В. В. Сопин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия
Доказывается, что для любого 1-липшицева эргодического отображения F : ^ Zk, где k > 1 и k £ N, существуют 1-липшицево эргодическое отображение G : Z2 ^ Z2 и два биективных отображения Hk, Tk,p, что G = Hk0 Tk,p0 F0Я-1 и F = H-1 0 Tk p-1 0 G 0 Hk.
Ключевые слова: эргодическая теория, 1-липшицевы сохраняющие меру преобразования, декартово произведение, Т-функции.
ERGODIC DYNAMICAL SYSTEMS OVER THE CARTESIAN POWER OF THE RING OF 2-ADIC INTEGERS
V. V. Sopin
Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia E-mail: [email protected]
It is proved that, for any 1-lipschitz ergodic map F : Zk ^ Zk, where k > 1 and k £ N, there are 1-lipschitz ergodic map G : Z2 ^ Z2 and two bijections Hk, Tk,P such that G = Hk 0 Tk,P 0 F 0 H-1 and F = H-1 0 Tk P-1 0 G 0 Hk.
Keywords: ergodic, 1-lipschitz measure-preserving p-adic functions, p-adic analysis, cartesian product, T-functions.
Введение
Т-функция — это такое преобразование двоичных слов в двоичные слова, что каждый i-й бит выходного слова не зависит от бит с номерами i + 1, i + 2, ... входных слов. Все логические и большинство арифметических операций по модулю 2n, n £ N, а также их композиции являются Т-функциями.
Транзитивные Т-функции (последнее означает, что последовательность n-битных слов w, f (w), f (f (w)),... имеет максимально длинный период, т. е. период длины 2n) являются криптографическими примитивами, так как на их основе можно строить псевдослучайные генераторы с многими важными криптографическими свойствами: высокой линейной сложностью, равномерным распределением подслов и другими, а главное — с хорошим быстродействием, так как Т-функции легко программируются.
А. Климов и А. Шамир привлекли внимание мирового криптографического сообщества к Т-функциям в своей работе [1], хотя и сами Т-функции, и важность их для криптографии были известны значительно ранее (см., например, [2-5], где получены критерии транзитивности Т-функций). Отметим также, что, как указано в [2, 6], исторически первый критерий транзитивности Т-функций (булевых отображений треугольного вида) был известен ещё с 1970-х годов.
Задача описания транзитивных Т-функций одной переменной была решена во многом благодаря р-адическому анализу, так как Т-функция — это 1-липшицево отображение в 2-адической метрике, а её транзитивность эквивалентна эргодичности [6, 7].
Более формально: рассмотрим , к е N — декартову степень кольца целых 2-адических чисел с мерой Хаара нормализованной так, что ^(Ъ2,) = 1. Везде далее будем рассматривать эргодичность только в классе сохраняющих нормированную меру Хаара отображений.
Отображение f : Ъ м- Ъ называется сохраняющим меру, если -1(Б)) = ^(Б) для любого измеримого множества Б С .
Сохраняющее меру отображение д : Ъ2 м Ъ2 называется эргодическим, если для любого измеримого множества Б из д-1(Б) = Б следует, что ^(Б) = 0 или ^(Б) = 1.
В главе 4.6.2 работы [6] описывается способ построения эргодического 1-липшицева отображения на Ъ2, к е N из эргодического 1-липшицева отображения на Ъ2. Такой способ часто используется в вычислительной технике, но, очевидно, описывает не весь класс эргодических 1-липшицевых отображений на Ъ (пояснения можно найти в п. 3 данной работы) ввиду их более сложной структуры.
В работе доказано, что любое эргодическое 1-липшицево отображение Г на Ъ2,, к е М, может быть представлено определённым образом через к сохраняющих меру 1-липшицевых отображений на Ъ2 и к отображений на (векторном пространстве размерности к над полем из двух элементов), возможно, с помощью некоторого дополнительного преобразования, определяющегося через перестановку степени 22. Данный результат представлен в п. 2.
Кроме того, для отображения Г существует 1-липшицево эргодическое отображение О на Ъ2, что Г может быть получено из О двумя преобразованиями, одному из которых также можно поставить в соответствие некоторую перестановку степени 22, а второе отвечает за представление вектора длины к из целых 2-адических чисел через целое 2-адическое число. Важно, что верно обратное утверждение для Г и О при использовании обратных преобразований к описанным двум. Последний результат содержится в п. 3.
Краткое напоминание о 2-адических числах дано в п. 1.
1. 2-адические числа
Для произвольного ненулевого целого числа а определим о^2 а равным кратности вхождения 2 в разложение а на простые сомножители. Для произвольного рационального числа х = а/Ь положим огё2 х = огё2 а — огё2 Ь.
Определим на Q норму || • ||2:
| X У 2
2-ога2 х, если х = 0, 0, если х = 0.
Определим расстояние между двумя числами а и Ь
¿(а, Ь) = ||а — Ь||2
и тем самым зададим на кольце рациональных чисел метрику. Пополнение метрического пространства (О, ¿) будем называть полем 2-адических чисел и обозначать О2.
Множество Ъ2 = {х е О : ||х||2 ^ 1} называется множеством целых 2-адических чисел. Элементы кольца Ъ2 называются целыми 2-адическими числами.
Каждому целому 2-адическому числу x можно сопоставить бесконечную последовательность xi,x2,... вычетов xn по модулю 2n, 0 ^ xn < 2n, удовлетворяющих условию xn+1 = xn (mod 2n), и это сопоставление взаимно-однозначное. Сложение и умножение целых 2-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.
Кроме того, каждому целому 2-адическому числу x можно поставить во взаимнооднозначное соответствие ряд
го / n—1 \
Е aj2j xn = Е aj2j , где a* G {0,1}, i G N.
j=0 \ j=0 J
Будем рассматривать на декартовой степени Z^, k > 1, следующую метрику: ||(ab ... ,afc) - (8Ь.. . ,4)12 = тах{||а* - ¿¿||2 : i = 1,... ,k}
для любых a = (a1;... , ak), 8 = (81;... , 8k) G Z^.
Определим отображение mod 2n, n G N, для любого x = (x1,... , xk) G Z^, k G N:
(2n-1 2n—1 \ E а*2\..., E ak 24 .
i=0 i=0 I
2. Описание через k отображений от одной переменной
Определение 1 [6, 7]. 1-липшицевость F : м , k G N, означает, что
Vx,y G Zk (||F(x) - F(y)||2 ^ ||x - y|b),
то есть F (x) = F (x mod 2n) mod 2n.
Определение 2. Графом 1-липшицева сохраняющего меру отображения F :
м , k G N, по модулю 2n назовём ориентированный граф, вершинами которого являются векторы (i1;... , ik), где ij G {0,... , 2n - 1}, j = 1,... , k. Из вершины y идёт дуга в вершину z, если F(y) = z mod 2n.
Определение 3. 1-липшицево сохраняющее меру отображение F : м , где k G N, называется транзитивным по модулю 2n, если граф F по модулю 2n представляет собой цикл.
Из работ [6, 7] известно, что 1-липшицево сохраняющее меру отображение F на , k G N, является эргодическим тогда и только тогда, когда оно транзитивно по всем модулям 2n, n G N.
Для 1-липшицевых отображений из транзитивности по всем модулям 2n, n G N, следует сохранение меры. Кроме того, для сохранения меры 1-липшицевому отображению необходимо и достаточно быть биективным по всем модулям натуральной степени двойки [6, 7].
В работе [6] описывается способ построения 1-липшицева эргодического отображения на Zk, k > 1, из 1-липшицева эргодического отображения на Z2. Однако такой способ описывает не всевозможные такие отображения на Zk хотя бы из тех соображений, что транзитивность по модулю два 1-липшицева сохраняющего меру отображения f : Z2 м Z2 предполагает
f (0) mod 2=1 и f (1) mod 2 = 0,
то есть «чётные значения» переводятся отображением f в «нечётные» и наоборот. Предлагаемый в [6] способ разбиения на k координат сохранит данное свойство отображения f в какой-то координате (возможно, в другом разряде, а не нулевом), что, вообще говоря, не предполагает общий случай.
Определим класс отображений Fk, k > 1, как множество всех эргодических 1-липшицевых отображений F : Zk м Zk, которые по модулю 2 любой вектор из Fk с 1 ^ j ^ k нулевых координат НЕ переводят в вектор, у которого все эти j координат также нулевые, и выполняется сравнение F((1,... , 1)) = (0,... , 0) (mod 2).
Класс отображений Fk не является пустым для любого k > 1, так как содержит по крайней мере те 1-липшицевы эргодические отображения, граф которых по модулю 2 представляет собой следующий цикл: 0,1, 2,..., 2k — 1, где значения разрядов, начиная от нулевого и заканчивая (k - 1) -м, в двоичном представлении данных чисел рассматриваются как значения соответствующих координат двоичных векторов размерности k.
Принадлежность таких отображений классу Fk становится очевидной, если увидеть, что последовательность 0,1, 2,..., 2k — 1 генерируется отображением x + 1, и прибавление единицы как раз и означает, что какой-то нулевой разряд станет ненулевым.
Формальное доказательство существования таких отображений будет следовать из теоремы 2 или теоремы 3. В дальнейшем мы увидим, что на самом деле графы 1-липшицевых эргодических отображений по модулю 2 имеют всевозможные циклы.
Теорема 1. Для любых F Е Fk и а = (ai, ... , ak) Е Zk выполняется
F(а) = £ fi(at)pi(a mod 2), f : Zk м Z2, p : Fk м Fk2,
i= 1
где fi — 1-липшицевы сохраняющие меру отображения, у которых граф по модулю 2 есть цикл длины 2, а значения pi(a mod 2), i = 1,... , k, такие, что i-я координата равна единице, причём определитель матрицы, составленной из pi(a mod 2), не равен нулю.
Доказательство. Покажем, как можно построить pi; при этом необходимо помнить, что fi(0) mod 2=1 и fi(1) mod 2 = 0, i = 1,... , k, ввиду условия транзитивности по модулю 2.
Пусть вектор a mod 2 имеет 1 ^ j ^ k каких-то нулевых координат, а отображение F mod 2 переводит его в другой вектор 8 = (81,... , 8k), у которого не все эти j координат нулевые (такие условия гарантирует принадлежность отображения классу Fk). Тогда pi построим следующим образом:
— в случае a mod 2 = (1,... , 1) каждому pi ставим в соответствие вектор с одной
единичной координатой на i-м месте;
— иначе
1) всем pi(a mod 2), кроме одного произвольного pl(a mod 2): 81 = 1, а\ = 0 (такой существует по условию), поставим в соответствие вектор с одной единичной координатой на i-м месте;
2) pi (a mod 2) поставим в соответствие вектор, у которого единичная координата стоит на Z-м месте и на всех тех местах, где 8m и am mod 2 одновременно равны нулю или единице, m = 1,... , k, m = l.
Очевидно, что построенные pi(a mod 2) удовлетворяют заявленным условиям.
Тем самым доказано равенство
k
F(a) mod 2 = Y1 fi(ai)Pi(a mod 2) mod 2
i=1
для любых 1-липшицевых сохраняющих меру fi, у которых граф по модулю 2 представляет собой цикл длины 2 (fj(0) mod 2=1 и /¿(1) mod 2 = 0, i = 1,... , k). Например, рассмотрим цикл (0, 0); (1, 0); (0,1); (1,1), тогда
pi(0, 0) = (1,1); P2(0, 0) = (0,1); pi(1, 0) = (1,0); p2(1, 0) = (0,1); pi(0,1) = (1,1); p2(0,1) = (0,1); pi(1,1) = (1,0); p2(1,1) = (0,1).
Цикл (0, 0); (1, 0); (1,1); (0,1) представить с линейно независимыми p1 и p2 в F2 уже нельзя.
Далее будем строить f индукционно по разрядам 2-адических чисел. Опишем переход n ^ n + 1. Рассмотрим два таких произвольных вектора a = (a1,... , ak) и
8 = (8^... , 8к), что F(a) = 8 (mod 2n+1), причём по предположению
к
F(a mod 2n) = /¿(a, mod 2n)pj(a mod 2) = 8 mod 2n.
i=1
Далее
к
F(a) - (F(a mod 2n) mod 2n) = [/¿(aj) - (/¿(aj mod 2n) mod 2n)]pi(a mod 2) =
i=1
= 8 - (8 mod 2n) mod 2n+1.
Матрица из pi(a mod 2) имеет ненулевой определитель, значит, pi(a mod 2) являются базисом в F(к. Тогда по вектору Дп(8), координаты которого равны соответствующим n-м разрядам координат 8, можно найти единственный вектор (e1,... , вк), ej Е {0,1}, что
(e^1 (a mod 2) 0 ... 0 ekpk(a mod 2)) = Дп(8).
Определим
fi(ai) mod 2n+1 = fi(ai mod 2n) mod 2n + ei2n, i = 1,... , k,
и перейдём к пределу по n, который существует ввиду определения 2-адических чисел через вычеты (см. п. 1).
Для полученных fi выполняется равенство
к
F(a) = £ fi(ai)pi(a mod 2)
i=1
для любого a = (a1,... , ak) из Zk, так как оно выполняется по любому модулю, равному натуральной степени двойки.
Действительно, если предположить противное, то существует £ Е Zik, для которого
F(£) = Е fi(£i)pi(£ mod 2),
i=1
значит, существует какая-то координата и разряд в этой координате, в котором значе-k
ния F(£) и /j(£j)Pj(£ mod 2) отличаются, что приводит к противоречию с их равен-
j=1
ством по всем модулям натуральной степени двойки.
По построению полученные /¿, i = 1,... , k, 1-липшицевы. Действительно, возьмём произвольные x, y Е Z2, тогда для x = (0,..., 0, x, 0,..., 0), y = (0,..., 0, y, 0,..., 0) E E Zk выполняется
||/j (x)Pj (x) - / (y)Pj (y)+ E /i(0)(Pi(x) - Pi(y))|2 =
j=1,j=j
= ||F ((0,..., 0, x, 0,..., 0)) - F ((0,..., 0, y, 0,..., 0)) || 2 ^ ||x - y|2.
Если x = y mod 2, то p»(x) = p^y), i = 1,..., k (см. определение pj), иначе справедливо ||x-y12 = 1; 1 является максимальным возможным значением (см. п. 1), и неравенство превращается в тривиальное.
Отображение / сохраняет меру (ввиду 1-липшицевости для этого необходима и достаточна биективность по всем модулям 2n, n Е N [6]), так как, предполагая противное, мы не получим транзитивность F по какому-то модулю ввиду того, что если
/г(аг mod 2n) = /г(аг mod 2n + 2n) mod 2n+1,
то мы не получим всевозможные значения F по модулю 2n+1.
Более того, если при данных pj, i = 1,... , k, i-я координата отображения F выражается только через /¿, то отображение / является эргодическим, так как иначе оно не транзитивно по какому-то модулю 2m. Следовательно, мы также не получим все значения i-й координаты отображения F по этому модулю ввиду того, что тогда граф /j по модулю 2m имеет не один цикл и i-я координата F mod 2m принимает только значения вершин какого-то цикла графа /j по модулю 2m, в котором не представлены всевозможные значения. ■
Все 1-липшицевы эргодические отображения сопряжены друг с другом [8]. Более подробно об этом можно найти в работах В. Сущанского и его соавторов [9, 10]. Но для описания всего класса 1-липшицевых эргодических отображений из какого-то одного требуется счётное число соответствующих преобразований, вид которых может быть очень сложным [10].
Возьмём произвольное сохраняющее меру 1-липшицево отображение F : Zk м Zk,
k 2
сти 2k следующего вида:
где к > 1, и представим всё множество в виде разбиения на подмножества мощно-
Fk(x0) = {x0, F(x0),..., F2 -1(x0)}, x0 E Zk x0 = (0,..., 0) mod 2.
Подмножества Fk (x0) при различных x0 не пересекаются ввиду сохранения меры отображением F, так как сохранение меры означает биекцию отображения [6]. А за счёт 1-липшицевости F выполняется
оА;
F (x0) = x, где x = (0,..., 0) mod 2.
Преобразование Tk,p, которому можно поставить в соответствие перестановку P степени 2k, определяется для любого x Е Zk, где x принадлежит некоторому Fk (x0), причём Fj(x0) = x, j = 0,... , 2k - 1, следующим образом:
О F(x) = FP(j+1)(x0).
Теорема 2. Для любого эргодического 1-липшицева отображения F Е Fk существуют такие перестановка P степени 2k и отображение G Е Fk, что
G = Tk,P о F и F = Tkp-1 о G.
Доказательство. Выберем перестановку P вершин на графе F по модулю 2 (данный граф представляет собой цикл ввиду эргодичности F [6, 7]) так, чтобы её цикл принадлежал множеству циклов, полученных рассмотрением графов всех отображений класса Fk по модулю 2. Такая перестановка существует, но не единственна.
Рассмотрим отображение G = Tk,p о F : Z1^ м Z,; оно сохраняет меру, так как произвольная перестановка не влияет на свойство сохранения меры; 1-липшицевость отображения G следует из 1-липшицевости F. Напомним, что 1-липшицевость означает F(x) = F(x mod 2n) mod 2n для любых x Е , n Е N.
Так как эргодичность в случае 1-липшицева сохраняющего меру отображения эквивалента транзитивности по любому модулю натуральной степени двойки [6, 7], а произвольная перестановка элементов на графе 1-липшицева сохраняющего меру отображения не влияет на транзитивность этого отображения (цикл останется циклом), то G является эргодическим отображением. Значит, G Е Fk.
Равенство F = Tk,p-1 о G следует из определения отображения Tk,p. ■
3. Описание через одно отображение от одной переменной
Определим отображение Hk : Zik м Z2 для любого натурального k > 1 следующим образом:
/те те те \ те k—1
Hk Е a02г, Е «!2г,..., Е a.k—12Ч = Е Е aj2ik+j, где aj Е {0,1}.
\г=0 г=0 г=0 / г=0 j=0
Так как элементы Z/2nZ — кольца вычетов по модулю 2n, n Е N, — можно рассматривать как элементы Z2, то для любого 1-липшицева сохраняющего меру отображения F : Zk м Zk определим также следующие отображения из (Z/2nZ)k в Z/2knZ:
Hk,n = Hk(xi mod 2n,..., xk mod 2n) и Tk,n,p о F(x) = Hk,„ о Tk,p о F(x).
Отметим, что Tk)ra,p и Hk,n, Tk,p и Hk, очевидно, имеют обратные при любых натуральных k, n и любой перестановки степени 2k, так как они являются биективными отображениями.
Для любого 1-липшицева сохраняющего меру отображения G : Z2 м Z2 рассмотрим разбиение Z2 на непересекающиеся подмножества мощности 2k следующего вида:
Gk (У0) = {y0,G(y0),...,G2k—1Ы},
где y0 Е Z2, y0 = 0 mod 2, k — некоторое натуральное. Тот факт, что это именно разбиение, следует из свойств отображения G и доказывается теми же рассуждениями, что и для Fk. Таким образом, можно определить отображения Tk,p и Tk)ra>p в случае G : Z2 м Z2.
Теорема 3. Для любого 1-липшицева сохраняющего меру транзитивного по модулю 2 отображения F : Zk м Zk, k > 1, существуют такие 1-липшицево сохраняющее меру транзитивное по модулю 2k отображение G : Z2 м Z2 и перестановка P степени 2k, что справедливо
G = Hk о Tk,p о F о H—1 и F = H—1 о Tk,p-1 о G о Hk, причём F — эргодическое отображение тогда и только тогда, когда G эргодическое.
Доказательство. Возьмём произвольное 1-липшицево сохраняющее меру транзитивное по модулю 2k отображение на Z2 и вычислим его цикл C по модулю 2k.
Выберем такую перестановку P элементов цикла отображения Н'д о F о Н— чтобы получившийся цикл был равен C.
Для любого натурального n рассмотрим Gn = Tk,n,P о Fо Н—П. Очевидно, Gn можно описать через некоторый граф.
При переходе n М- n +1, n> 1, каждый цикл графа 1-липшицева сохраняющего меру отображения на Zk или увеличивает в 2k раз число своих элементов, или превращается в 2, 4, ... , либо 2k цикла с одинаковым числом элементов (см. определение 1-липшицевости в п. 2). Каждый цикл графа 1-липшицевых сохраняющих меру отображений на Z2 при переходе n М n + 1, n> 1, или увеличивает число своих элементов в 2 раза, или превращается в два цикла с одинаковым числом элементов. Таким образом, существует 1-липшицево сохраняющее меру отображение на Z2, что его граф по модулю 2k(n+1) имеет такое же количество циклов соответствующей длины, что и граф Gn+1.
Благодаря преобразованию Tk,p, которое мы применяем к F, можно утверждать, что граф отображения Gn может быть построен с помощью некоторого 1-лип-шицева сохраняющего меру отображения Gn от одной переменной ввиду F(x) = = F(x mod 2n) mod 2n, а значит, Gn+1(y) = Gn(y mod 2kn) mod 2kn (см. определение Hk), так как можно описать таким образом граф G1 (см. начало доказательства) и соответственно — для всех последующих Gn ввиду того, что при переходе kn М k(n+1), n > 1, старшие k разрядов у вершин графов по модулю 2kn+k всех 1-липшицевых сохраняющих меру отображений от одной переменной принимают всевозможные значения, поэтому можем выбрать подходящее.
Отображение G определяется как предел по n отображений Gn mod 2n. Предел существует ввиду определения 2-адических чисел через вычеты (см. п. 1).
Свойства 1-липшицевости и сохранения меры G следуют из 1-липшицевости и сохранения меры отображений Gn, так как 1-липшицевость очевидна (по построению, см. определение 1-липшицевости), для сохранения меры необходима и достаточна би-ективность по любому модулю натуральной степени двойки в случае 1-липшицевости отображения [6], и биективность по большему модулю означает биективность по меньшему ввиду 1-липшицевости.
Рассмотрим Fn = Т- р о G о Hk,n и теми же рассуждениями получим некоторое сохраняющее меру 1-липшицево отображение F : Zk М Zk. Переходя к пределу, построим последовательность векторов с координатами, представляющими собой вычеты по модулю 2n, а каждая координата ввиду определения 2-адических чисел из п. 1 через вычеты сходится к 2-адическому числу. Значит, предел существует.
Предположим, что F = F, тогда существует x Е Zk, что F(x) = F(x). Отсюда у векторов F(x), F(x) должна существовать координата, в которой они отличаются. Значит, существует разряд m Е N в этой координате, по которому F(x), F(x) отличаются, что, в свою очередь, приводит к противоречию с равенством F mod 2n и Fn для любого натурального n, так как
Fn = Т"П,р о G о Hk,ra, G mod pkn = Tm,p о F о .
Теми же рассуждениями доказывается, что F = Н-1 о Tk,p-1 о G о Hk и соответственно G = Hk о Tk,p о F о Н-1. Очевидно, что T'-р = Tk,p-1.
Рассмотрим вопрос эргодичности.
Необходимость следует из того, что если F транзитивно по каждому модулю натуральной степени двойки (граф представляет собой один единственный цикл), то транзитивным по этим модулям будет и G по построению (на самом деле по построению следует для 2kn при любом натуральном n, но транзитивность по большему модулю означает транзитивность по всем меньшим ввиду 1-липшицевости), а это и означает эргодичность для 1-липшицевых сохраняющих меру отображений [6].
Действительно, воспользуемся равенством F mod 2n = T-1 p 0 G 0 Hk,n. Так как произвольная перестановка элементов на графе по некоторому модулю не влияет на свойство транзитивности по этому модулю, то Tk,n,p 0 F 0 H—П определяет некоторый цикл. Следовательно, G mod 2kn определит тот же цикл.
Достаточность следует из того, что все рассуждения можно повторить в обратную сторону, воспользовавшись равенством G mod 2kn = Tk,n,p 0 F 0 H—П. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Klimov A. and Shamir A. Cryptographic applications of T-functions, Selected areas in cryptography // LNCS. 2004. No. 3006. P. 248-261.
2. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences of p-adic integers // Math. Notes. 1994. V. 55. No. 1-2. P. 109-133.
3. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences over p-adic integers // Proc. Intern. Conf. "Number Theoretic and Algebraic Methods in Computer Science", Moscow, Juny-July 1993. World Scientific, 1995. P. 1-18.
4. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences in computer algebra or how to construct program generators of random numbers //J. Math. Sci. 1998. V. 89. No. 4. P. 1355-1390.
5. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences of p-adic integers // Discr. Math. Appl. 2002. V. 12. No. 6. P. 527-590.
6. Anashin V.S. and Khrennikov A. U. Applied Algebraic Dynamics. Berlin: de Gruyter Expositions in Mathematics, 2009. 558 p.
7. Anashin V.S., Khrennikov A. U., and Yurova E. T-functions revisited: new criteria for bijectivity/transitivity // Designs, Codes, and Cryptography. 2014. V. 71. No. 3. P. 383-407.
8. Durand F. and Paccaut F. Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic integers // Designs, Codes, and Cryptography. 2009. V.41. No. 2. P. 302-314.
9. Slupik A. and Sushchansky V. Minimal generating sets and Cayley graphs of Sylow p-sub-groups of finite symmetric groups // Algebra Discr. Math. 2009. No. 4. P. 167-184.
10. Lavrenyuk Y. and Sushchansky V. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomorphisms of rooted trees // Algebra Discr. Math. 2003. No. 4. P. 33-49.
REFERENCES
1. Klimov A. and Shamir A. Cryptographic applications of T-functions, Selected areas in cryptography. LNCS, 2004, no. 3006, pp. 248-261.
2. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences of p-adic integers. Math. Notes, 1994, vol. 55, no. 1-2, pp. 109-133.
3. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences over p-adic integers. Proc. Intern. Conf. "Number Theoretic and Algebraic Methods in Computer Science", Moscow, Juny-July 1993. World Scientific, 1995, pp. 1-18.
4. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences in computer algebra or how to construct program generators of random numbers. J. Math. Sci., 1998, vol.89, no. 4, pp. 1355-1390.
5. Anashin V. S. Uniformly distributed sequences of p-adic integers. Discr. Math. Appl., 2002, vol. 12, no. 6, pp. 527-590.
6. Anashin V.S. and Khrennikov A. U. Applied Algebraic Dynamics. Berlin, de Gruyter Expositions in Mathematics, 2009. 558 p.
7. Anashin V.S., Khrennikov A. U., and Yurova E. T-functions revisited: new criteria for bijectivity/transitivity. Designs, Codes, and Cryptography, 2014, vol.71, no.3, pp.383-407.
8. Durand F. and Paccaut F. Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic integers. Designs, Codes, and Cryptography, 2009, vol.41, no. 2, pp. 302-314.
9. Slupik A. and Sushchansky V. Minimal generating sets and Cayley graphs of Sylow p-sub-groups of finite symmetric groups. Algebra Discr. Math., 2009, no. 4, pp. 167-184.
10. Lavrenyuk Y. and Sushchansky V. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomorphisms of rooted trees. Algebra Discr. Math., 2003, no. 4, pp. 33-49.
