Чисто трансцендентные расширения поля рациональных чисел как базовые поля csp-колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 5(25)

УДК 512.62+510.22

Е.А. Тимошенко

ЧИСТО ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ КАК БАЗОВЫЕ ПОЛЯ С8Р-КОЛЕЦ1’2

Получены условия, при которых чисто трансцендентное расширение поля рациональных чисел служит базовым полем некоторого csp-кольца. В работе используются свойства кардинальных характеристик континуума.

Ключевые слова: езр-кольцо, базовое поле, кардинальные характеристики континуума.

Пусть Ь - некоторое бесконечное множество простых чисел. Для числа р є Ь зафиксируем кольцо Кр , совпадающее либо с кольцом целых р-адических чисел, либо с некоторым кольцом вычетов по модулю р‘ (для разных простых р число Ґ может быть разным). Введём обозначения

К=ПКр , Т=@ Кр с К .

рєЬ рєЬ

Будем называть СБр-кольцом каждое подкольцо Я кольца К, такое, что Т с Я и Я /Т является полем. Поле Я /Т, а также всякое изоморфное ему поле назовём базовым полем СБр-кольца Я. Очевидно, что всякое базовое поле (иначе говоря, поле, вкладывающееся в К /Т в качестве подкольца) имеет характеристику нуль и мощность не выше мощности континуума с.

Всякое СБр-кольцо, имеющее поле рациональных чисел своим базовым полем, называют кольцом псевдорациональных чисел. Кольца псевдорациональных чисел были введены А. А. Фоминым [1] и П. А. Крыловым [2] в конце 1990-х годов для изучения некоторых классов смешанных абелевых групп (в частности, Бр-групп). Позже П. А. Крылов предложил рассматривать СБр-кольца (как обобщение колец псевдорациональных чисел).

Изучая базовые поля СБр-колец, можем воспользоваться доказанным в [3] фактом, согласно которому базовое поле СБр-кольца будет также базовым полем некоторого регулярного (в смысле фон Неймана) СБр-кольца. Нетрудно заметить, что СБр-кольцо регулярно тогда и только тогда, когда для каждого р є Ь кольцо Кр есть поле вычетов Zp = Z /р^. Поэтому далее мы ограничимся ситуацией

Кь =Пр , Ть =@ ZpсКь . (1)

рєЬ рєЬ

В [3] автором было доказано, что чисто трансцендентное расширение поля рациональных чисел О степени трансцендентности < К1 является базовым полем некоторого регулярного СБр-кольца. Данная работа посвящена улучшению оценки К1. Для этого введём кардинальную характеристику іеЬ и исследуем её свойства.

1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями».

2 Работа выполнена частично в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.

1. Кардинальные характеристики континуума

Пусть N = {1, 2, ... , т, ...} есть множество всех натуральных чисел. Зададим отношение частичного порядка ^ на множестве ^ всех отображений N ^ № считаем, что 2 < 2 тогда и только тогда, когда почти для всех і є N выполнено і'(і) < і(і). Множество Е с ^ назовём ограниченным, если существует функция 2 є ^, для которой 2<2 при всех і' є Е; в противном случае скажем, что Е -неограниченное множество. Назовём подмножество Е с ^ конфинальным, если для всякого і' є ^ найдётся функция г є Е, такая, что выполнено неравенство 2 < 2. Через Ь (через () обозначается наименьшая мощность неограниченного (соответственно конфинального) подмножества множества ^. Эти кардиналы связаны соотношениями К і < сДЬ) = Ь < сДф < d < с [4, 5]; через сДХ) здесь, как обтічно, обозначена конфинальность кардинала X.

Подмножество Н вещественной прямой Я называют нигде не плотным, если его замыкание не содержит внутренних точек; множество вещественных чисел Н называется множеством первой категории, если Н можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств (все остальные подмножества вещественной прямой называются множествами второй категории).

Все множества первой категории и все множества нулевой меры образуют два ст-идеала множества всех подмножеств вещественной прямой; будем обозначать эти идеалы через Ми N соответственно. Через пои(М ) обозначим наименьшую мощность множества вещественных чисел, не принадлежащего идеалу М; через соу(М ) - наименьшую возможную мощность семейства входящих в М множеств вещественных чисел, объединение которого совпадает с Я. Аналогично вводятся кардинальные числа поп^ ) и соу^ ). Следующая схема, представляющая собой часть диаграммы Цихоня [4, 6], содержит полную информацию о неравенствах, связывающих указанные кардинальные характеристики континуума: соу(Ы) ^ поп(М) ^ с

ї ї ї

К1 ^ Ь ^ (I ^ с (2)

ї ї ї

К1 ^ соу(М) ^ поп(N)

На схеме (2) стрелка, ведущая от кардинала X к кардиналу X', отражает тот факт, что справедливо неравенство X < X'. Известно, что если приписать каждой из рассматриваемых шести кардинальных характеристик и кардиналу с одно из значений К 1 и К 2 так, чтобы не возникало противоречия со схемой (2), то можно построить модель 2БС, в которой реализуются требуемые семь равенств [4, 6].

В этом параграфе под Ь будет пониматься бесконечное подмножество из N. Множество КЬ вновь зададим условием (1); в этом случае для произвольного р є Ь сомножитель Zp = Z /р^ является, вообще говоря, уже не полем, а кольцом. Можно снабдить множество К Ь топологией, рассматривая его как тихоновское произведение дискретных топологических пространств Zp . Базу этой топологии составляют множества вида

А=ПАр , (3)

рєЬ

где Ар с Zp и почти для всех р є Ь выполнено равенство Ар = Zp . На КЬ можно

определить полную меру v, относительно которой будет измеримо, в частности, каждое борелевское подмножество множества KL. Для множеств вида (3) при

этом выполнено v( A) = П( p-1 Ap|); равенство остаётся справедливым и в том слу-

peL

чае, когда Ap Ф Zp для бесконечного множества значений p e L. Заметим, что мера v является вероятностной, т. е. v(KL)=1.

Аналогичным образом топология и полная вероятностная мера определяются на множестве 2N = {0, 1}N. Как и на вещественной прямой R, в пространствах 2N и KL можно рассматривать ст-идеалы Ми N. Известно [4, 6], что характеристики

non и cov этих ст-идеалов не зависят от того, в каком из трёх пространств (R, Kl

N

или 2 ) они рассматриваются.

Через np будем обозначать проекцию из Kl в Zp . Введём на множестве KL отношение и, полагая k и d в том и только в том случае, когда np(k) = np(d ) для бесконечного множества значений p e L. Через ieL (от слов «infinitely equal») обозначим наименьшую возможную мощность множества B с KL, обладающего следующим свойством:

для всякого k eKL существует d e B, такое, что k и d. (4)

Ясно, что множество B = KL обладает указанным свойством; имеем ieL <с. Установим некоторые свойства кардинальной характеристики ieL .

Предложение 1.1. К1 <ieL для всякого L с N.

Доказательство. Пусть B = {di | i e N} - некоторое счётное подмножество множества KL. Выберем keKL так, чтобы для всякого p e L элемент np(k) не

совпадал с np(d) ни для какого натурального i < p. В этом случае для каждого i e N имеем np(k) Ф np(d) при всех p > i, а значит, условие k и di не выполнено. Итак, множество B не обладает свойством (4), что и требовалось. ■

Через zL обозначим возрастающую биекцию из N в L.

Лемма 1.2. Если бесконечные подмножества L и X множества N таковы, что zL (i) > zX (i) при всех i e N, то ieL > ieX .

Доказательство. Из условия следует, что существует сюръекция Kl ^ Kx , сохраняющая отношение и. Отсюда получаем требуемое утверждение. ■

Замечание. Условие леммы 1.2 можно ослабить. Например, вместо условия zL (i) > zX (i) достаточно потребовать, чтобы для некоторого натурального s при

всех i e N выполнялось zL (si) > zX (i).

Для k eKL через D(k) будем обозначать множество всех d eKL, таких, что

np(k) Ф np(d) почти для всех p e L; очевидно, что множество BсKL обладает

свойством (4) тогда и только тогда, когда при всех keKL выполнено B D(k).

Заметим, что множество Di всех deKL , таких, что np(k) Ф np(d) при всех p > i,

является замкнутым и не содержит внутренних точек, т. е. нигде не плотно в KL .

При этом D(k) совпадает с объединением множеств Di по всем i e N и поэтому является множеством первой категории.

Предложение 1.3. non(M) >ieL для всякого L с N.

Доказательство. Пусть В с КЬ есть множество второй категории, имеющее мощность поп(М ). Так как Б(к) является множеством первой категории, имеем В -О(к) для любого к еКЬ . Следовательно, В обладает свойством (4) и, значит,

1еЬ < |В|=поп(М) . ■

Следующий известный факт приведём без доказательства.

Лемма Бореля - Кантелли. Пусть V - вероятностная мера на пространстве £ и Ог с £, где I е К, - последовательность измеримых множеств. Для множества

ад ад

О=П ио справедливы следующие утверждения:

П=1 ¡=П

ад

а) Если ряд ^v(Оi) сходится, то v(G) = 0.

г=1

ад

б) Если ряд ^v(Gi) расходится и О, - взаимно независимые множества, т. е.

г=1

^Пч)-П v(Оi) для всякого непустого конечного I с К, то v(G) = 1. ■

ге/ ге/

Зафиксируем произвольное к еКь и применим лемму к пространству 5=Кь и последовательности множеств Ор ={ёеКь |пр(к)=пр(ё)}, где р е Ь. Тогда получаем, что v(Gp) = р— и О=КЬ\Б(к). Итак, если ряд

I р- (5)

реЬ

сходится, то Б(к) имеет меру 1 для любого кеКЬ ; если же этот ряд расходится, то Б(к) имеет меру 0 для любого кеКЬ .

Предложение 1.4. Если ряд (5) сходится, то 1еЬ >соу(Ы) .

Доказательство. Пусть множество В с КЬ имеет мощность 1еЬ и обладает свойством (4). В этом случае для всякого кеКЬ найдётся элемент ё е В, такой, что к и ё, т. е. к еКЬ\Б(ё). Поэтому КЬ совпадает с объединением множеств КЬ\Б(ё) по всем ё е В. Поскольку каждое из множеств КЬ\Б(ё) имеет меру 0, получаем, что соу( Ы) <|В|=1еЬ. ■

Следующее свойство было подсказано автору А. Блассом.

Предложение 1.5. Если ряд (5) расходится, то 1еЬ<поп(Ы).

Доказательство. Пусть В содержится в КЬ, не является множеством меры нуль и имеет мощность поп(Ы ). Так как Б(к) есть множество меры нуль, имеем В -О(к) при любом кеКЬ . Следовательно, В обладает свойством (4), поэтому

1еЬ < |В|=поп(Ы) . ■

Замечание. Из доказанного предложения, в частности, следует, что условие 1еЬ <поп(Ы) выполнено, если Ь совпадает с множеством всех простых чисел.

Будем говорить, что П = {/■ | ] е N} есть разбиение множества N на конечные интервалы, если / = {}■, ■ + 1, ... , - 1}, где 1=г1 <г2<...<гт<... (здесь ^ е №); пусть

1Р обозначает множество всех таких разбиений. Говорят, что разбиение

|' е N} мажорируется разбиением {/■ |' е N}, если почти для каждого ' е N существует т е N такое, что 1т с I' .

Теорема 1.6. а) Если d < поп(М ), то 8ир1еЬ=поп(М).

Ь

б) Если d < cf(non(M )), то для некоторого Ь с N выполнено 1еЬ=поп(М). Доказательство. Существует множество {П. | Е е Г} с 1Р, такое, что всякое разбиение из 1Р мажорируется некоторым разбиением П. и выполнено |Г| = d [4, теорема 2.10]. Не умаляя общности, можно считать, что каждое из разбиений П = {■ |■ е N} обладает свойством ' < |/7+1,^| при всех' е N.

Через Ь. обозначим множество всех натуральных чисел вида 2' , где ' е N. Тогда существует естественная биекция 5. из пространства КЬ^ в пространство

П2/',Е = 2м. Через В ^ мы обозначим подмножество пространства КЬ , имеющее

■еч ?

мощность 1е^ и такое, что для всякого к еКЬ. существует ё е В. со свойством

к и ё. Множество Н с 2” зададим как объединение множеств 5.(В.), где Е е Г.

Зафиксируем функцию к е 2N. Для всякого Е е Г и к=5-1(й)еКЬможно найти элемент ё е В. , такой, что к и ё. Отсюда получаем, что для бесконечного множества значений ' е N сужения функций к и к’ = 5.(ё ) е Н на интервал ' совпадают. Таким образом, для произвольной функции к е 2N и произвольного разбиения П = {/],% |■ е N} нашлась функция к’ е Н, для которой сужения к и к’ на

1,Е совпадают для бесконечного множества значений ' е N. Поскольку всякое разбиение из 1Р мажорируется подходящим разбиением П. , получаем, что для каждой функции к е 2N и каждого разбиения П = |' е N е 1Р можно найти

функцию, принадлежащую Н и такую, что её действие на интервале 3' совпадает с действием к на том же интервале для бесконечного множества значений ' е N. Это означает, что Н есть множество второй категории [4, теорема 5.2], поэтому

поп(М)<|Н|<1|В|= 1^. <^ир^ .

ЕеГ ЕеГ Ь

Отсюда сразу получаем утверждение теоремы. ■

Следствие 1.7. Если d = Ь, то 8иршах^еЬ,Ь)=поп(М).

Ь

Доказательство. Пусть d = Ь. Из диаграммы (2) и предложения 1.3 следует, что левая часть доказываемого равенства не превосходит поп(М ).

Если выполнено Ь = поп(М ), то из условия шах@еЬ ,Ь) = поп(М) немедленно получаем нужное равенство. Если же Ь < поп(М ), то по теореме 1.6 имеем

8иршах^еЬ ,Ь) > supieЬ=поп(М) ,

Ь Ь

что и требовалось. ■

Следствие 1.8. Неравенство ieЬ > соу(Ы) совместимо с 2БС.

Доказательство. Нужное утверждение следует из того факта, что равенства поп(М) = К2 и d = Ь = соу(Ы ) = К1 совместимы с 2БС; если они справедливы, то по следствию 1.7 имеем ieЬ=К2 для некоторого множества Ь. ■

Замечание. Из леммы 1.2 можно заключить, что утверждения теоремы 1.6 и следствий 1.7 и 1.8 останутся справедливыми, если рассматривать в качестве Ь лишь бесконечные подмножества множества всех простых чисел.

Важное место в теории множеств занимает аксиома Мартина. Она является следствием континуум-гипотезы (К1 = с), но совместима и с гипотезой К1 < с. Имеет место такой факт: из справедливости аксиомы Мартина следует, что все кардинальные характеристики, входящие в схему (2), равны с (это верно и для всех остальных характеристик из диаграммы Цихоня, см. [4]). Ниже мы увидим, что аналогичным свойством обладает и ieЬ .

Определение 1.9. Пусть (Ж, <) - частично упорядоченное множество.

Будем говорить, что Ж удовлетворяет условию счётности цепей (у. с. ц.), если для каждого несчётного подмножества {с. | Е е Д} с Ж можно найти различные индексы . , п е Д и элемент с е Ж, такие, что с < с. и с < сп.

Множество Ж с Ж называется плотным в Ж, если для всякого с е Ж можно найти элемент с' е Ж со свойством с' < с.

Определение 1.10. Пусть и = {Ж. | Е е Г} есть некоторое семейство плотных подмножеств частично упорядоченного множества Ж. Назовём и-генерическим всякое множество Ж с Ж, обладающее следующими свойствами:

1) если с' е Ж' и с' < с, то с е Ж';

2) если с, с' е Ж, то для некоторого Ь е Ж выполнено Ь < с и Ь < с’;

3) для всякого е Г множество Ж' имеет непустое пересечение с Ж . Аксиома Мартина. Если Ж - непустое частично упорядоченное множество,

удовлетворяющее у. с. ц., то для всякого семейства и, состоящего из плотных подмножеств множества Ж и такого, что |и | < с, можно найти и-генерическое множество Ж' с Ж.

Теорема 1.11. Из аксиомы Мартина следует, что ieЬ=с для всякого Ь с N. Доказательство. Пусть для всякого р е Ь задано множество Ар с Zp . Будем говорить, что последовательность (Ар) является 5-ограниченной, если для всякого р е Ь выполнено неравенство |Ар| < шш(5, р-1). Обозначим через Ж множество, состоящее из всех произведений вида р\Ар), где (Ар) - это 5-ограниченная

реЬ

последовательность (для некоторого 5 е ^; заметим, что 0 г Ж. Покажем, что непустое частично упорядоченное множество (Ж, с) удовлетворяет у. с. ц.

Пусть {С. | . е Д} - несчётное подмножество множества Ж. Можем записать С. =П^р\Ар.), где (Ар,е) - 5.-ограниченная последовательность. Из |Д| > К0

реЬ

вытекает, что найдётся бесконечно много различных С. , имеющих общее 5. = 5. Поэтому существуют различные Е , П е Д, такие, что 5. = = 5 и при всех р < 25

выполнено Ар,Е = Арп. Обозначим Ар = Ар.иАр п .

Если р < 25, то Ар| = |Ар, е| < ш1п(5, р-1) < ш1п(2^, р-1). В случае р > 25 можем записать \Ap| < Ар,.| + Ар,П < 2ш1п(5, р-1) = 25 = ш1п(25, р-1). Таким образом, (Ар) есть (25)-ограниченная последовательность. Это означает, что

С. nCn=П(Z р\( Ар,. и Ар,п))=П(Z р \ Ар )еЖ

реЬ реЬ

и, следовательно, (Ж, с) удовлетворяет у. с. ц.

Пусть В={ё.|ЕеГ}сКЬ, причём |Г| < с. Обозначим через Ж. множество всех

С' е Ж, для которых С' с Б(ё.); положим и = {Ж. | Е е Г}. Убедимся, что каждое из множеств Ж плотно в Ж.

Пусть С е Ж, тогда для некоторой 5-ограниченной последовательности (Ар) имеем С=П^ р \ Ар). Обозначим

реЬ

\Ар, если р < 5+1;

V =\ р

р [Ари{пр(ё.)}, если р>5+1.

Если р < 5 + 1, то | V| = ¡Ар| < ш1п(5, р-1) < ш1п(5 + 1, р-1). Если же р > 5 + 1, то можем записать | V| < Ар| + 1 < шш(5, р-1) + 1 = 5 + 1 = шш(5 + 1, р-1). Итак, V) есть (5 + 1)-ограниченная последовательность. Таким образом, для произведения С'=П^р V) с С П Б(ё.) выполнено С' е Ж. , т. е. Ж. плотно в Ж.

реЬ

В силу аксиомы Мартина можно найти и-генерическое множество Ж' с Ж. Обозначим через Б пересечение всех множеств, которые принадлежат Ж'. Для всякого индекса Е е Г найдётся множество С. е Ж П Ж. ; имеем Б с С. с Б(ё.). Учитывая условие 0 г Ж' и условие 2) из определения 1.10, можем заключить, что пересечение любого конечного числа принадлежащих Ж' множеств непусто. Поэтому ввиду компактности КЬ и замкнутости всех множеств, входящих в Ж', имеем Б Ф 0.

Зафиксируем некоторый элемент к е Б. Для каждого Е е Г имеем к е Б(ё.), т. е. условие к и ё. не выполнено. Итак, множество В не обладает свойством (4), поэтому iei=с. ■

2. Основные результаты

Перейдём теперь к основной цели данной статьи: убедимся, что чисто трансцендентное расширение поля О степени трансцендентности шах^еЬ ,Ь) служит базовым полем подходящего регулярного СБр-кольца. Снова считаем, что Ь - это бесконечное множество простых чисел. Заметим, что справедливо

Предложение 2.1. Каждое из следующих неравенств совместимо с 2БС:

а) ^ ;

б) iei < Ь ;

в) iei > Ь .

Доказательство. а) Пусть х состоит из всех простых чисел, а бесконечное множество простых чисел Ь выбрано так, чтобы ряд (5) сходился. Известно, что равенства поп(Ж ) = К и соу(Ж ) = К2 совместимы с 2БС; если они справедливы, то по предложениям 1.1, 1.4 и 1.5 получаем iei>соу(#)>К1=ieх .

б) Пусть множество Ь состоит из всех простых чисел. Условия пОп(Ж ) = К! и Ь = К2 совместимы с 2БС; по предложениям 1.1 и 1.5 имеем iei=К1<Ь .

в) Пусть Ь выбрано так, что ряд (5) сходится. Условия Ь = КК и соу(Ж ) = К2 совместимы с 2БС; если они справедливы, то в силу предложения 1.4 получаем

iei > соу(N) > Ь . ■

Через п обозначаем естественный эпиморфизм КЬ ^ КЬ/ТЬ ; через пр , как и раньше, обозначается проекция из КЬ в Zp . Под пр будем понимать кольцевой гомоморфизм из КЬ[х] в Zp[х], сопоставляющий каждому Щх)еКЬ[х] многочлен,

коэффициенты которого - это образы соответствующих коэффициентов многочлена Щ( х) при отображении пр . Гомоморфизм колец п х, индуцированный отображением п и определённый на кольце КЬ[х], задаётся аналогично. Можно убедиться, что для многочленов Щ(х)еКЬ[х], щ =пхр(Щ), щ=пх(Щ) и элемента кеКЬ

всегда справедливы следующие равенства:

а) пр (щ(к))=щр (пр(к)) для любого р е Ь;

Теорема 2.2. Пусть КЬ/ТЬ содержит в качестве подкольца поле ¥, мощность которого меньше шах@еЬ ,Ь). Тогда естественное вложение ¥ ^ КЬ/ТЬ можно продолжить до вложения ¥ (х) ^ КЬ/ТЬ , где ¥(х) есть простое трансцендентное

расширение поля ¥.

Доказательство. Пусть {у.(х) | Е е Г} - множество, которое состоит из всех унитарных многочленов кольца ¥ [х]; ясно, что |Г| = |¥ |. Зафиксируем унитарные многочлены у.(х)еКЬ[х], такие, что пх(у.)=у.. Рассмотрим два случая.

I. Допустим сначала, что |¥ | < Ь. Ясно, что почти для всех г е N выполнено у.(г) Ф 0, т. е. элемент у. (г) = у. (г)+ТЬ поля ¥ отличен от нуля. Из обратимости этого элемента следует, что при почти всех р е Ь выполнено пр у (г)) ф 0.

Построим теперь функцию г. е NN. Если у.(г) = 0, полагаем г.(г) = 1. Если же выполнено у.О) Ф 0, то выберем значение г.(г) е N так, чтобы для каждого р е Ь из условия р > г.(г) следовало неравенство пр (у. (г)) ф0. Рассмотрим множество

функций {г. | Е е Г} с ^ Из |Г| < Ь следует, что для некоторой функции г е ^ при всех Е е Г выполнено г. -< г. Будем считать, что функция г является строго

возрастающей (очевидно, что её можно выбрать обладающей данным свойством). Функцию к: Ь ^ N зададим равенством

Зафиксируем некоторое е Г. Убедимся, что справедливы два свойства:

(1) Почти для всех р е Ь выполнено у.(к(р)) Ф 0.

Утверждение следует из того факта, что каждое своё значение к принимает лишь конечное число раз, а многочлен у (х) имеет конечное число корней в ¥.

(и) пр(у (к(р))) Ф0 почти для всех р е Ь.

Действительно, существует г. е N, для которого при всех г > г. справедливо неравенство г.(г) < г(г). Пусть выполнено р > г(г.) и у.(к(р)) Ф 0 (этим условиям удовлетворяют почти все р е Ь). Тогда для некоторого г > г имеем неравенства г(г) <р < г(г + 1); следовательно, г.(к(р)) = г.(г) < г(г) <р. Отсюда в силу свойств функции г. получаем п р (у. (к( р))) ф 0, что и требовалось.

Выберем к еКЬ так, чтобы при любом р е Ь выполнялось пр(к) = к(р) + pZ; положим а=к+ТЬ еКЬ/ТЬ . Вновь зафиксируем некоторое Е е Г. Из условия пр(к) = пр(к(р)) получаем пр (у. (к))=пр (у. (к(р))); в силу свойства (И) отсюда вытекает, что почти для всех р е Ь выполнено пр у (к)) ф 0 . Поэтому элемент

б) ц(к+71)=ц(к) +ГЬ .

(г, если z(г)<р<2(г +1);

v,(a) = v, (k)+TL обратим в KL/TL (и, в частности, не равен 0). Подмножество F(a) кольца KL/TL зададим равенством

F(a) = (w(a)-(v(a))-1 | u(x), v(x) e F[x]; v(x) - унитарный}. (6)

Из наших рассуждений следует, что F(a) есть поле, F-изоморфное полю F(x), причём элемент a является трансцендентным над F.

II. Пусть теперь выполнено неравенство |F | < ieL. Заметим, что для каждого

р e L многочлен пр(Ц)eZp[x] является унитарным, а его степень равна числу = deg v, . В частности, многочлен пр (Ц) имеет не более корней в поле Zp . Поэтому можно найти состоящее из элементов множество В, сKL , такое, что Zp \ {np(d) | d e В,} не содержит корней многочлена пр(Ц) ни при каком р e L.

Зададим множество B сKL как объединение множеств В, по всем , e Г; из |Г|<ieL следует, что В не обладает свойством (4). Тогда найдётся keKL с тем свойством, что для всякого d e В при почти всех р e L выполнено np(k) Ф np(d ).

Фиксируя Е e Г, получаем, что почти для всех простых р e L элемент np(k) входит в Zp \ {^(d ) | d e В,} и поэтому не является корнем многочлена пр (v,).

Поскольку пр (v, (k)) совпадает со значением многочлена пр (v,) в точке яр(^), можно сделать вывод, что почти для всех р e L выполнено пр (у, (k)) ф 0 .

Обозначим a=k+TL eKL/TL . Для всякого , e Г элемент v,(a)=v,(k)+TL обратим в KL/TL . Отсюда получаем, что множество F(a) с KL/TL , задаваемое равенством (6), является простым трансцендентным расширением поля F. ■

В следующей теореме мы отождествляем Q с простым полем, содержащимся в кольце KL/TL .

Теорема 2.3. Кольцо KL/TL содержит подкольцо, являющееся чисто трансцендентным расширением поля Q степени трансцендентности max(ieL ,b).

Доказательство. Рассмотрим множество, элементами которого служат все подкольца кольца KL/TL, являющиеся полями; это множество непусто, так как оно содержит Q. Пусть F - максимальный (относительно включения) элемент рассматриваемого множества; существование такого элемента следует из леммы Цорна. Из теоремы 2.2 имеем |F|>max(ieL,b). Нетрудно видеть, что в этом случае поле F содержит некоторое чисто трансцендентное расширение поля Q степени трансцендентности max(ieL ,b). ■

Таким образом, каждое чисто трансцендентное расширение поля Q, степень трансцендентности которого не больше кардинального числа max(ieL ,b), служит

базовым полем некоторого регулярного csp-кольца R сKL.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fomin A.A. Some mixed Abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian Groups and Modules. Basel et al.: Birkhäuser, 1999. P. 87-l00.

2. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 47-51.

3. ТимошенкоЕ.А. О базовых полях csp-колец // Алгебра и логика. 2010. Т. 49. С. 555-565.

4. Blass A. Combinatorial cardinal characteristics of the continuum // Handbook of Set Theory. V. 1. Dordrecht et al.: Springer, 2010. P. 395-489.

5. Van Douwen E.K. The integers and topology // Handbook of Set-Theoretic Topology. Amsterdam et al.: North-Holland, 1984. P. 111-1б7.

6. Bartoszynski T., Judah H. Set Theory: on the Structure of the Real Line. Wellesley: A.K. Peters, 1995.

Статья поступила 08.06.2013 г.

Timoshenko E.A. PURELY TRANSCENDENTAL EXTENSIONS OF THE FIELD OF RATIONAL NUMBERS AS BASE FIELDS OF CSP-RINGS. We obtain conditions under which a purely transcendental extension of the field of rational numbers is a base field of some csp-ring. In the paper, we use properties of cardinal characteristics of the continuum.

Keywords: csp-ring, base field, cardinal characteristics of the continuum.

TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]