CC BY
0ÜMUMT9HSÍL M9KT9BL9RÍND9 RÍYAZÍYYAT PROBLEML9RÍNÍN H9LLÍ Ü£ÜN SÍMMETRÍK COXH9DLÍLaRÍN ÓYR9DÍLM9SÍNÍN ROLU
SÜLEYMANOVA KÓNÜL QURBAN9LÍ QIZI
Azarbaycan Dóvlat Pedaqoji Universitetinin §aki filiahnm Tabiat fanlari va onlarin tadrisi texnologiyasi kafedrasinin ba§ müallimi, §aki, Azarbaycan
Xülasa: Inki§af etmi§ dünya ólkalarinin tahsil sistemlarinda ümumi riyazi tahsilin óyrdnilmdsi mdsdldsind ónam verilir. Qünki insanin zehni inki§afinda vd yaradici qabiliyyatlarinin formala§masinda riyaziyyatin, xüsusila dd ümumi riyazi tahsilin rolu müstasnadir. Tdsadüfi deyildir ki, riyaziyyat ümumtdhsil maktablarinda tddris olunan fanlardan biridir. Riyaziyyatin mühüm sahalarindan biri goxhadlilar nazariyyasidir. Bu bólmada xüsusi rolu simmetrik goxhadlilar oynayir. Maqalada simmetrik goxhadlilarin §agirdlarin zehni inki§afinda va riyazi yaradici qabiliyyatlarinin formala§masinda rolu dayarlandirilir va onlarin artan mürakkablik saviyyasina malik riyazi masalalarin hallinda tatbiqinin bazi imkanlari ara§dirilir.
Ümumtahsil maktab kursunda tahsilalanlara óyradilan bólmalardan biri tanliklar sisteminin müxtalif üsullarla hall edilmasidir. Ancaq bu üsullarin tatbiqi zamani masalan avazetma üsulunun kómayi ila sistemi hall edarkan yüksak daracali tanliklar alina bilir. Bela tanliklarin halli isa §agirdlar ügün balli deyil. Bu gati§mazliqlara góra maktabda aradan qaldirma üsulu (daha yüksak daracali tanliklar sistemlarini hall edarkan) olduqca nadir hallarda istifada olunur. Adatan §agirdlar hansisa süni hiylanin kómayi ila sistemi hall etmaya gali§ir. Ancaq bu cür üsullari tapmaq ügün ümumi qaydalar yoxdur. Har bir sistem óz metodu ila hall edilir va bir sistemin hallinda qazanilan tacrüba digarinin hallinda az kómaklik edir. Bu maqalada simmetrik goxhadlilar nazariyyasindan istifada etmakla aksar yüksak daracali tanliklar sistemlarinin halli ügün kifayat qadar ümimi bir üsulun §arhi verilir. Simmetrik goxhadlilar nazariyyasi gox sada olmaqla yana§i takca cabri tanliklarin bir gox sistemlarini deyil, ham da müxtalif digar cabri masalalari( irrasional tanliklarin halli, eyniliklarin va barabarsizliklarin isbati, faktorlara ayirma va s.) hall etmaya imkan verir. Simmetrik goxhadlilar nazariyyasi maktab riyaziyyat kursunun ahata dairasindan kanardadir, lakin bu nazariyya bir sira cabriproblemlarin hallinda faydali ola bilar. Bununla bagli simmetrik goxhadlilar Viyet düsturlarinin óyranilmasi ila da six baglidir.
Agar sozlzr: goxhadli, n-dayi§anli goxhadli, simmetrik goxhadli, elementar simmetrik goxhadli, dayi$an, tanliklar sistemi, irrasional tanliklar sistemi.
THE ROLE OF TEACHÍNG SYMMETRÍC POLYNOMÍALS FOR SOLVÍNG MATHEMATÍCAL PROBLEMS ÍN SECONDARY SCHOOLS
Summary: In the educational systems of the developed world countries, importance is given to the issue of studying general mathematical education. Because the role of mathematics, especially general mathematical education, is exceptional in the mental development of a person and the formation of creative abilities. It is no coincidence that mathematics is one of the subjects taught in secondary schools. One of the important areas of mathematics is the theory of polynomials. Symmetric polynomials play a special role in this section. The article evaluates the role of symmetric polynomials in the mental development of students and the formation of mathematical creative abilities, and examines some possibilities of their application in solving mathematical problems with an increasing level of complexity.
One of the sections taught to students in the general school course is solving a system of equations by different methods. However, during the application of these methods, for example, with the help of the substitution method, high-order equations can be obtained when solving the system. The solution of such equations is not clear for students. Due to these disadvantages, the method of elimination (when solving higher-order systems of equations) is rarely used in school. Usually students try to solve the system with the help of some artificial trick. However, there are no general
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
rules for finding such methods. Each system is solved in its own way, and the experience gained in solving one system is of little help in solving another. This article describes a fairly general method for solving most high-order systems of equations using the theory of symmetric polynomials. The theory of symmetric polynomials, being very simple, allows solving not only many systems of algebraic equations, but also various other algebraic problems (solution of irrational equations, proof of identities and inequalities, factorization, etc.). The theory of symmetric polynomials is beyond the scope of a school mathematics course, but the theory can be useful in solving a number of algebraic problems. In this regard, symmetric polynomials are also closely related to the study of Viet formulas.
Keywords: polynomial, n-variable polynomial, symmetric polynomial, elementary symmetric polynomial, variable, system of equations, system of irrational equations
Tadqiqat materiallari üzra ümumüd§maldrin interpretasiyasi. Tarif. Dayi§anlarinin yerini ixtiyari qaydada dayi§dikda n dayi§anli 9oxhadli dayi§mirsa, bela 9oxhadliya simmetrik 9oxhadli, yaxud simmetrik funksiya deyilir.
Bu tarifin manasini düzgün dark etmak ü9ün burada << yerdayi^ma >> dedikda sadaca hadlarin yerini dayi§mak deyil, 9oxhadlinin bütün hadlarinda dayi§anin birini digari ila avaz etmak dü§ünülür. Bela ki , masalan, x va y dayi§anlarindan ibarat olan /(x,y) 9oxhadlisinda onun bütün hadlarinda x- i y- la, y - i isa x-la avaz etdikda alinan /(y, x) 9oxhadlisi avvalkina barabar olursa, bu 9oxhadli x va y dayi§anlarina nazaran simmetrik olur. Misal ü9ün /(x,y) = x2y + xy2 9oxhadlisi ona göra simmetrikdir ki, orada x- i y- la, y- i isa x- la avaz etdikda /(y, x) = y2x + yx2 = xy2 + yx2 = /(x, y) olur. Lakin /(x,y) =x3 — 3y2 9oxhadlisi simmetrik deyil, 9ünki burada x- i y- la, y-i isa x- la avaz etdikda naticada y3 — 3x2 aliriq ki, bu da verilan 9oxhadliya barabar deyil.
Simmetrik 9oxhadlilara misal olaraq
/(X1,X2) = X2 + X2 — X1X2,
X2, X3) = X2X2 + XXX3 + X2X3 + X3Xi + X3X2 + 3(^ +X2 +X3)
9oxhadlilarini da göstarmak olar. Masalan, asanliqla yoxlamaq olar ki, /(*1,*2) = /(*2,*i) — xf + x^ — X2^.
Simmetrik 9oxhadlilarin 9ox asanliqla isbat edilan a§agidaki xassalarini qeyd edak: • Simmetrik qoxhddlildrin cami dd, fdrqi dd va hasili dd simmetrik goxhadlidir.
Buradan isa bela bir natica 9ixir ki:
Simmetrik 9oxhadilar 9oxlugu n dayi§anli 9oxhadlilarin P[^,x2, _,xn] kommutativ halqasinin alt halqasidir. Bu althalqa da vahidi olan tamliq oblastidir.
istanilan simmetrik 9oxhadli bircins simmetrik 9oxhadlilarin cami kimi göstarila bilar.
Simmetrik 9oxhadlilar nazariyyasinda elementar va ya asas simmetrik 9oxhadlilar mühüm ahamiyyata malikdir [1;475-476].
Tarif. A§agidaki §akilda olan simmetrik 9oxhadlilara elementar va ya asas simmetrik 9oxhadlilar deyilir:
= x^ + X2 + "" + xn
^2 = X1X2+X1X3 + ••• + xn-^xn
— X1X2X3 + X1X2X4 + "" + Xn-2Xn-^Xn,
°n-1 — ^X2 ... Xn-i + ... + X2X3 ... Xn,
— X^X2 "■ Xn .
A§kar görünür ki, bu n dayi§anli (a) 9oxhadlilarinin har biri simmetrik 9oxhadlilarin tarifini
ödayir.
Dogrudan da, ümumi §akilda kimi yazila bilan (a) 9oxhadlilarin har bir — 1, n) 9oxhadlisinda
X1X2 - ■■ dayi§anlarin
üzarinda ixtiyari yerdayi§ma apardiqda o dayi§mir.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
dsas teorem. ixtiyari simmetrik goxh9dli verildiyi P meydaninda elementar simmetrik goxh9dlifor vasitasifo ifad9 edifo bifor.
Ba§qa sózla, simmetrik f(XiX2 ...xn) 9oxhadlisi:
f(XxX2 ...Xn) — (р{ог,02, ...,On). Teoremin isbatina ke9mamizdan avval qeyd edak ki,simmetrik 9oxhadlilarin riyazi tap§iriqlarin bir 9oxunun hallina tatbiq olunmasina, onlarin hallni asanla§dirilmasina imkan veran mahz bu teoremdir.
isbati. Teoremi bircins simmetrik 9oxhadlilar ü9ün aparmaq kifayatdir, 9ünki yuxarida qeyd etdiyimiz kimi har bir simmetrik 9oxhadlini bircins 9oxhadlilarin cami §aklinda góstara bilarik. Verilan f(x1x2 ... xn) simmetrik 9oxhadlisinin yüksak haddi
л /1 \
л i X^ . ■■ Xn (1)
olsun. Bilirik ki, burada ai> a2 > ■■■ > an münasibati dogrudur.
Pi—A^a^^a^a^ (2)
hasilina baxaq.
Góründüyü kimi bu hasil X1X2 . ■■ Xn dayi§anlarinin simmetrik 9oxhadlisidir. Buradaki k¿ daracalarini ( i — 1,n) ela se9mak olar ki, bu hasilin yüksak haddi mahz verilan 9oxhadlinin (1) yüksak haddina barabar olar. Bela ki, (2) - ni a§agidaki kimi yazsaq:
Pi — A1(x1 + X2 + ■■■ + Xn) 1(XiX2 + X1X3 + ■■■ + Xn—iXn) 2 .■■ (XiX2 ..Xn— i + ■ +
X2X3 .■■ Xn)lin~l(XiX2 Xn)lin
Aydin górünür ki, ai- in, a2- nin,..., an - in yüksak hadlari uygun olaraq Xi, X1X2, .■■, X1X2 ... Xn—i va X1X2 ... Xn oldugundan pi hasilinin yüksak haddi bunlarin hasilindan ibarat, yani
AiXk11(XiX2)k2 ...(X1X2 ...Xn—i)kn~1(XiX2 ...Xn)kn=AiXk11+k2+-+knXk22+-+kn ...Xkn—-i1+knXknn
olacaq.
pi - inbu yüksak haddinin (1)- a barabar olmasi ü9ün góründüyü kimi,
ki + к2 + ■** + kn—i + kn — ai,
k2 + ■** + kn—1 + kn — a2,
kn—i + kn — an—1,
kn = an
olmalidir. ki,k2,..., kn daracalarini (3) sistemindan tayin etsak, bunlarin kn — an, kn—i — an—i — an,..., k2 — a2 — a3, ki — ai — a2 qiymatlarini tapiriq. Bunu nazara alsaq, onda
pi — Aia1a1—a2a22—as .a^n-1—ana^n hasilinin yüksak haddi verilan simmetrik 9oxhadlinin yüksak haddina, yani AiX^1X22 ...X^n haddina barabar olacaq. Qgar verilan f 9oxhadisindan pi - 9ixsaq, onda yüksak hadlar barabar oldugu ü9ün farqda bunlar islah olacaq, lakin yüksak haddi (1) - dan al9aq olan yeni bir f2 simmetrik 9oxhadlisi alinacaq:
f-Pi—fi (*)i
fi(XiX2 ... Xn) simmetrik 9oxhadlisinin yüksak haddi
olsun.
A2XZ1 X2 . Xn (4)
P2 — A2a?1—p2ai?2—p3 ... (5)
Hasilina baxariq. Yuxaridaki mühakimani burada da takrar etmakla deya bilarik ki, (5) hasili ela düzaldilib ki, bunun yüksak haddi fi- in yüksak haddi olan (4) - a barabardir.
fi — p2 farqina baxaq. Bu farqda (4) yüksak haddi har ikisinda eyni oldugundan islah olar va naticada yüksak haddi (4)- a nisbatan va ona góra da ham da (1)- dan al9aq olan yeni f2 simmetrik 9oxhadlisini alariq:
fi P2 — f2 (*)2
Bu prosesi davam etdirak. Aydindir ki, bu proses sonsuz davam eda bilmaz. Bela ki, masalan /5 - in yüksak haddi
x^ (6)
olarsa, aydindir ki,burada
/!>/2>-¿n (7)
münasibati var, ham da nazara almaq lazimdir ki, bu hadd (1)- a nazaran xeyli al9aq haddir va bu sababdan da hökman
fci > h (8) olmalidir. A§kardir ki, (7) va (8) münasibatlarini ödayan manfi olmayan adadlari ancaq sonlu sayda üsullarla se9mak mümkündür. Ona göra da göstarilan proses sonsuz davam etmayacak va müayyan bir s- ci addimda
/i - Vs = /s = 0 (*)s
alariq. Naticada aldigimiz (*)1, (*)2,..., (*)s / - Vi = /l, /1 - Ф2 = /2, /2 - Фз = /аь
/5-1 - Ф5 = 0
barabarliklarini toplamaqla
/(XiX2 ...xj = Vi +Ф2 + ■■■ + Vs = ^Vi = -
¿=1
aliriq.
Alinan ф simmetrik 9oxhadlisi / - in o¿ elementar simmetrik 9oxhadlilar vasitasila ifadasidir. Ф - nin amsallari / - in amsallarinin daxil oldugu P meydaninin elementlari olacaq. £ünki burada / - in 4¿ amsallari üzarinda hesab amallari aparilib, bela amallar isa adadlar meydaninda tayin olunmu§ amallardir [2;604-607].
Teorem isbat olundu.
ösas teoremin isbati ham da, simmetrik 9oxhadlinin elementar simmetrik 9oxhadlilar vasitasila ifada olunmasina praktiki imkan yaradir. 9gar
fci fc^ fcn
f~f ^y 1 'y ^ 'y ' <-
WA^ 2 1,1 n
Simmetrik 9oxhadlinin haddidirsa, onda X^, •.., xn dayi§anlarinin bütün mümkün yerdayi§malari naticasinda alinan hadlar da bu 9oxhadliyadaxil olacaqdir. Bu cür hadlarin camini
S (flx^ •" x^ )
kimi i§ara edak. Bu 9oxhadli bircins 9oxhadli olub, monogen 9oxhadli adlanir. Aydindir ki, istanilan simmetrik 9oxhadlini müxtalif daracali monogen 9oxhadlilarin cami kimi göstarmak olar.
indi biz bu deyilanlari bir nümuna üzarinda tatbiq edak: Nümuna: F(x1 ,x2 , x3)=x14x2 + x24x1 + x14x3 + x34x1 + x24x3 + x34x2 simmetrik 9oxhadlisini elementar simmetrik 9oxhadlilar vasitasila ifada edin. [5;3-5]
Halli: f(x1,x2,x3) 9oxhadlisi daracasi 5 olan bircins simmetrik 9oxhadlidir.Maqsadimiz f(x1,x2,x3)-i 3 dayi§anda elementar simmetrik 9oxhadlilar vasitasila ifada etmakdir.
<71 = x1 + x2 + x3
= x1x2 + x1x3 + x2x3 ,
<T3 = x1x2x3 .
Onun an yüksak (leksikoqrafik siralamasinda) daracasi x14x2- nin daracasi ila üst-üsta dü§ür.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
Çoxhadlinin daracasi (4,1,0)-dir. Bütün mümkün çoxluqlari (Kl , K2 ,Кз) ila içara edak. Burada Kl Д2Д3 natural adaddir va açagidaki çartlar ödanir.
1)Kl + K2 + K3 =5
2)Kl>K2>K3
3) (Kl , K2 , K3) çoxlugunun daracasi leksikoqrafik sirada (4 ,1 ,0)-dan kiçikdir va ya ona barabardir.
Har bir (Kl , K2 , K3) çoxlugu ûçûn formada simmetrik çoxhadlisi vardir ,hansi ki,
daracasi (Kl , K2 , K3)-a barabar olan. «1 ,«2 , аз amsallarini taxmin edin va ya «1 =Kl - K2 , «2 = K2 - K3 , аз =Кз düsturlarindan istifada edin.
Alariq ki,
(4 , 1, 0) , 0-1V2
(3 , 2 , 1) , <7l<722 (1.1)
(3 ,1 ,1) , ^13аз (2 ,2 ,1) , ö"2ö"3.
Ela a , b , c adadlari varki, f(xl,x2,x3) = <ti3<T2 +a <ti<722 + b <713<гз + c <Г2<гз. (1.2) a , b , c amsallarini tayin etmak ûçûn xl,x2,x3 -a ixtiyari qiymatlar verak va cadvali dolduraq:
Xl X2 X3 Ö"1 Ö" 2 <гз F
1 1 0 2 1 0 2=8 + 2a
1 1 1 3 3 1 6=81 + 27a +9b + 3c
1 -1 1 1 -1 -1 2=-1 +a -b + c
Tanliklar sistremini hall edarak a=-2 , b=-1 ,c=5 aliriq. Cavab: f(xl,x2,x3) = <n3<T2-2 <ti<722 -1 <П3^з + 5 <Г2<гз
Qeyd. 3gar verilan çoxhadli bircins deyilsa, onda verilan çoxhadlini bircins simmetrik çoxhadlilarin cami çaklinda göstarmak, daha sonra hamin bircins simmetrik çoxhadlilari ayri-ayriliqda elementar simmetrik çoxhadlilarla ifada etmak lazimdir.
9sas teoremin çarhini va onun bir nümuna üzarinda tatbiqini göstardik. ikinci olaraq an önamli anlayiç isa viyet düstürlari ila asas simmetrik çoxhadlilar arasinda alaqa düstürlaridir. Galin dediyimiz bu alaqani nümuna üzarinda §arh edak:
Nümuna 2: xl, x2, x3, x4 adadlari aox4+alx3+a2x2+alx+a4=0 tanliyinin köklari olduqda, simmetrik
x^ + xix3 + XiX£ + Х2Хз + ^A + (*) simmetrik çoxhadlisini hesablayin.
x3x4 x2x4 xx4 x^x^
Halli: 1-ci addim.Verilmi§ simmetrik 9oxhadlinin asas simmetrik 9oxhadlilar vasitasila gostarmak u9un (*) camini ortaq maxraca gatirak:
_ , . Xi Xi Хл Xi X^X^ Xi
F(X1,X2,X3,X4) = + + + + + =
X^X ^ X^ X^ X^ X2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 X x2 ^^ X X3 ^^ X X4 ^^ X2 x3 X2 X4 X3 X4
2«ii о f 22 22 22 22 22 22.... ^11 11*
-ci addim: Sonra f = x X + x x3 + x x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 u9un a§agidaki cadvali quraq.
X^X2 X3 X4
2200 2 2 X1 X2 <22
2110 j X 2 X^ AO1O3
1111 BX1X2 x3 X4 B< 4
3-cu addim: Buradan Fi=<722+ A0103 + B<4 olur. A va B amsallarini tapmaq u9un machullara ixtiyari qiymatlar verak:
X1 X2 X3 X4 <1 <2 <3 <4 F1
0 1 1 1 3 3 1 0 3
1 -1 1 -1 0 -2 0 1 0
4-cu addim:Belalikla, 3 = 9 +3A
6 = 4 + B
tanliklarindan A=-2, B = 2 aliriq .Onda Fi= <22 - 2<i<2 +2< olur.
5-ci addim:Aydindir ki , kasrin maxraci F2= X1X2X3X4 = <4 oldugundan
aa^ Ol
2 2 2 2 2 О ,
a2 a2 a a2 - 2aa + a0a4 F =-=-
olur.
Umumtahsil maktablarinda (maktab cabr kursunda) riyaziyyat problemlarindan biri 90xhadlinin koklarinin quvvatlari camini tapmaqdir. Bildiyimiz kimi verilmi§ 9oxhadlinin daracasi boyudukca onun koklarini tapmaq 9atinla§ir. indi simmetrik 9oxhadlilarin komayi ila bu tip tap§irigin hallinin interpretasiyasini verak: Numuna:
f(x) = 2x4+ 2x3 + x2+ 5x+ 3 eC[x] 9oxhadlisinin koklarinin kublari camini tapin.
a4
a0 a4
ao
Halli. C meydaninda f(x) çoxhadlisinin 4 kökü var: xi, x2, x3, x4 (burada tam köklardan söhbat gedir). Unutmayaq, burada bizdan xi, x2, x3, x4 köklarini yox, x3 + xf + xf + x4 camini tapmaq istanilir.
Elementar simmetrik çoxhadlilarlar Viyet düsturlari arasindaki alaqadan istifada etsak, al = -2, <r2 = 1, <r3 = -S, <r4 = 3 tapariq. Demali, / = x3 + x| + x| + x4 çoxhadlisini oí, a2,03,04 elementar simmetrik çoxhadlilari ila ifada etsak va hamin qiymatlari uygun olaraq yerina qoysaq, x3 + xf + xf + x4 = o3 - 3ala2 + 3o3 (-2)3 - 3 • (-2) • 1 + 3 • (-S) = -17.
Orta maktabda çoxhadlilar bölmasinda an çox çagirdlarin üzla§diyi problemlardan biri da çoxhadlilarin vuruqlara ayrilmasidir. Simmetrik çoxhadlilarin kömayi ila bela bir çoxhadlini vuruqlara ayiraq.
/(x, y, z) = X3 + y3 + z3 - 3xyz Halli. övvalca verilan çoxhadlini asas simmetrik çoxhadlilar vasitasila ifada edak: /(x,y,z) = of - 3oi^2 .
ol-i mötariza xaricina çixarsaq va ст1, o2-nin uygun ifadalarini (x,y,z-dan asili) yerina qoysaq, /(x,y,z) = (x + y + z)(x3 + y3 + z3 - xy - xz - yz).
indi simmetrik çoxhadlilar nazariyyasinin digar tatbiq olundugu masalalara baxaq. Orta maktabda ikimachullu tanliklar sistemlarinin hall edarkan machulun aradan qaldirilmasi, avazetma üsullarindan istifada etmakla hall edilir. Ancaq machullardan biri n, digari isa m daracali olduqda bu üsullari tatbiq etmakla mn daracali tanlik alinir ki, bu tip tanliklarin halli orta maktab §agirdlarina malum deyil. indi simmetrik çoxhadlilarin tatbiqi ila bu cür tanliklar sisteminin daha sada hall üsulunun §arhini verak. Biz 2 dayiçandan asili (x va y-dan) çoxhadlilara baxmaqla kifayatlanak. Bu masalalarda an çox qüvvatlar cami adlanan
=xfc + yfc,k = 1,2,...,
rast galinir. Bu camlarin har birinin (k-nin qiymatindan asili olaraq) elementar simmetrik çoxhadlilar vasitasila ifada etmak olar. Bu i§da isa biza
Sfc = ffA-l - (**)
rekurent düsturu yardimçidir (al = x + y, o2 = xy)
(**) formulunun dogrulugunu göstarak. Sfc-l = xfc-1 + yfc-1 ila ol = x + y-in hasilini tapaq: °í • ^fc-l = (x + y)(xfc-1 + yfc-1) = xfc + xfc-ly + xyfc-1 + yfc = (xfc + yfc) + xy(xfc-2 + yfc-2) = + , к = 3,4,...,
Si va S2 ifadalari ^ün bilavasita tapiriq: S1 = x + y = ol, S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = of -2o2 . Si va S2-dan istifada edarak S3 tapilir, oradan S4 va s. Dediklarimiz açagidaki cadvalda öz aksini tapir [6;87-89]:
Sfc = xfc + yfc ; 01 = x + y, <72 = *y
Si = x + y = ai
S2 = x2 + y2 = ai2 — 2 a2
S3 = x3 + y3 = ai3 — 3 ai a2
S4 = x4 + y4 = ai4 — 4a2a2 + 2a%
S5 = x5 + y5 = ai5 — 5 ai3a2 + 5a1a2
S6 = x6 + y6 = ai6 — 6 ai4 a2 + 9 ai2 a22 — 2 a23
S7 = x7 + y7 = ai7 — 7a5a2 + 14a?a2 — 7a1a3
Bela bir tanliklar sistemina baxaq va hall edak:
fx3 + y3 = 35 ( x + y = 5
Halli. Quvvatlar cami cadvalindan istifada etsak, yeni bir sistem alariq:
(a? — 3a1a2 = 35 ( a! = 5
Buradan a1 = 5, a2 = 6 aliriq. a1 = x + y ,a2 = xy oldugunu nazara alsaq:
x + y = 5 I xy = 6
x=2, y=3 va x=3, y=2. Cavab: {(2,3); (3,2)}
Qeyd: Viyet dusturlarindan istifada edarak, axirinci alinan sistemi kvadrat tanlik kimi yaza bilarik:
z2 — 5z +6 = 0
Bu tanliyin koklari zi=2, Z2=3-dur. Onda: X=Z1=2 , yi=Z2=3 ; X2=Z2=3 , y2=zi=2
9vvada da qeyd etmi§dim simmetrik 9oxhadlilar nazariyyasi irrasional tanliklarin hallinda tatbiq olunmaqla bu tanliklarin hallini xeyli asanla§dirir.Bu dediklarimizi gostarmak maqsadila bela bir irrasional tanliyi hall edak:
VW—x + Vx = 5
Halli: Komak9i dayi§anlar daxil edak: Bu avazlamani tanlikda nazara alsaq,
. y = V97 — x
= Vx
y + = 5 y4 +z4 = 97
Quvvatlar cami cadvalindan istifada edarak,
ai = y + z рэ S4 = a4 — 4aj;a2 + 2a£ ifadalarini sistemda yerina yazaq.
ai = 5
a44 — 4a2a2 + 2a2 = 97 ' (625 — 100a2 + 2a'i = 97 ' (a'i — 50a2 + 264 = 0
ai = 5
2
ai = 5
( oi = 5 (01 = 5 í = 5 T (y + z = 5
^k = 25±19 ~ Ц = 6 va W=44 ~ 1 |yyz = 6 va
ii (y+z = 5
11 { yz = 44
4
I sistemin halli: y=2, z=3 va y=3, z=2, belalikla da, x=z , onda x=81 va x=16.
II sistemin yalniz xayali halli var. Bizi isa haqiqi hallar maraqlandmr [6;90-91]
Riyaziyyatda an 9atin masalalardan biri maxraci irrasionalliqdan azad etmakdir. Maxraclarin va a ± njb va Va ± Vb ifadalari oldugu hallarda, yalniz riyazi amaliyyatlarin asas bazasindan bildiklarimizi tatbiq etmakla masalani hala da az- 9ox asanliqla hall etmak olar. Lakin maxracda Ü9 va ya daha 90X irrasional ifada olduqda daha mürakkab problemlar da var. Bu halda simmetrik 9oxhadlilar tatbiq edilir.
—¡=-p--¡= kasrini irrasionalliqdan azad edak. Va = x, Vb = y, ■Те = z avazlamasini
л/a + V b + V е
aparaq.Aydindir ki, bu zaman maxrac < = x + y + z simmetrik 9oxhadlisindan ba§qa bir §ey deyildir. Kasri irrasionalliqdan azad etmak ü9ün uygun vurugu müayyanla§dirak.Bunun ü9ün isa ■s2, camlarinda a§agidaki avazlamani aparaq.
s2 = x2 + y2 + z2 = a + b + е
4 4 4 2 í 2 2
s4 = x + y + z = a2 + b + е Uygun camlari elementar simmetrik 9oxhadlilarla ifada edak( cadvaldan istifada edak).
s2 = < - 2a 2, s4 = < - 4a2 a2 + 4a<< + 2a2
Göründüyü kimi har iki camda sonuncu hadlar < -a bölünmür. Bu problemi aradan qaldirmaq ü9ün s2 -ni kvadrata yüksaldak va 2s4 -ü 9ixaq.
s2 - 2s4 = + 4ct2CT2 - 8« = < (4a<a - <1 - 8<)
Buradan
4« - a - 8<
<1 S22 - 2S4
Yuxarida aparilan avazlamalari nazara alsaq:
1 4(Va + 4b +4c )(4ab +4ac + ^¡bc) - (Va + Vb +4c )3 - 8Vabe
va + 4b (a + b + c)2 -2(a2 + b2 + c2)
Alinan barabarliyi q-ya vurmaqla verilan tap§irigi hall etmi§ oluruq.
Natica: n dayi§anli 9oxhadlinin xüsusi bir növü olan simmetrik 9oxhadlilarin riyaziyyatda 9ox mühüm ahamiyyati vardir. Bela ki, simmetrik 9oxhadlinin tatbiqi ila bir 9ox misallarin halli asanla§ir. Xüsusila da, 9oxhadlilar üzarinda amallar (9oxhadlinin vuruqlara ayrilmasi, 9oxhadlinin köklarinin tapilmasi va s),sisitem tanliklar, irrasional tanliklarin halli zamani tatbiqlari va hall yolunun asanla§masi danilmazdir. Ona göra da simmetrik 9oxhadlinin riyaziyyatda ahamiyyatinin öyranilmasi, onun tatbiqlarinin öyranilmasi masalasi aktualdir.
1
ЭDЭBiYYAT
1. Bax§эliyev ^ Эbdulkэrimli Ь.СэЬг уэ эёэё1эг nэzэriyyэsi kursu.Bakl , "Шг1ап ИРМ", 2008.
2. ЭкЬэгоу М.СэЬг уэ эёэё1эг nэzэriyyэsi. Вак1, "Nurlan ИРМ", 2005.
3. Cabbarov i.S.,Hummэtoy M.M.A1i сэЬг кигеи(Бэг8 vэsaiti).Bakl, "МШэгат", 2017.
4. Qaslmov V.Э. СэЬг уэ эёэё1эг nэzэriyyэsi . Вак1, "Вак1 Ш^егекей", 2012.
5. И.В.Кулагина, А.Н.Панов,Методы решения задач по курсу «Линейрая алгебра и геометрия», «Самарский унивеситет,2006.
6. А.С.Солодовников, М.А.Родина, «Задачник-практикум по алгебре»,1985
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, «Наука», 1971.
8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. Москва, «Физматлит», 2004.
9. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Москва, «Наука»,1984.
10. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. Москва,1980.
