ÜMUMTƏHSIL MƏKTƏBLƏRININ X SINFINDƏ “ÜSTLÜ VƏ LOQARIFMIK FUNKSIYALAR” TƏDRIS VAHIDI ÜZRƏ MATERIALLARIN MƏNIMSƏDILMƏSI TEXNOLOGIYASI Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

UMUMT9HSIL M9KT9BL9RININ X SINFIND9 "USTLU УЭ LOQARIFMIK FUNKSIYALAR" T9DRIS VAHIDI UZR9 MATERIALLARIN M9NIMS9DILMaSI

TEXNOLOGIYASI

FIR9DUN NADIR OGLU iBRAHIMOV

ADPU-nun §aki filiali, pedaqoji elmlar doktoru, professor, §aki, Azarbaycan https: //orcid org/0000-0002-0775-1048

MEHRIBAN NURM9MM9D QIZI K9RIMOVA

ADPU-nun §aki filiali, ba§ muallim, §aki, Azarbaycan

Xulasa. Mdqalddd umumtahsil maktablarinin X sinifldrindd Riyaziyyat fanninin mazmununda ozuna yer alan "Ustlu va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi uzra materiallarin tadrisi prosesinda §agirdlarin subyektina gevrilmasi nazarda tutulan bacariqlarin mundaracasi taqdim edilmi§dir. Sozugedan bacariqlarinformala§masinda "imkanda§iyiciliqfunksiyasi"niyerina yetiran mazmun elementlarinin "Ustlu va loqarifmikfunksiyalar" tadris vahidindayerina va bunlarin §agirdlarin idrakinda harakat halina gatirilmasi texnologiyasina diqqat yonadilir. "Ustlu va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidinda transformasiya olunan elementlarin "Haqiqi ustlu quvvat. Ustlu funksiya, onun xassalari va qrafiki", "Ustlu funksiyanin qrafikinin gevrilmalari", "e-adadi", "ddadin loqarifmi", "Loqarifmikfunksiyanin xassalari va qrafiki", "Loqarifmin xassalari", "Ustlu tanliklar. Loqarifmik tanliklar", "Ustlu barabarsizliklar. Loqarifmik barabarsizliklar" movzulari uzra sistem halina gatirilmasi maqsadauygun sayilir. Diqqata gatdirilir ki, §agirdlar tarafindan taqdim olunan mazmun elementlarinin manimsanilmasi ugun tadris prosesinin ta§kili va idara edilmasi vasitasi rolunu oynayan tap§iriqlar sistemi movzularda icrasi talab olunan feillari ehtiva etmalidir. I§in mazmununda hamin qabildan olan tap§iriq numunalari ozuna yer alir.

Agar sozlzr: Tadris prosesi, tadris vahidi, mazmun xatlari, metodik sistem, funksiya, ustlu quvvat, haqiqi ustlu quvvat, ustlu funksiya, adadin loqarifmi, loqarifmik funksiya, tanliklar, barabarsizliklar

Mdvzunun aktualligi. Riyaziyyat fanni uzra tadris vahidlari, asas standartlar, alt standartlar, muayyan olunmu§ movzular barada hazirda istifada olunan darslik kompleksinda va muxtalif tadris adabiyyatinda muallimin faaliyyatinda rahbarlik u9un qabul edilmasi faydali olan tovsiyalar yox deyildir. Bu, riyaziyyatin tadrisi prosesinin kurikulum modelina uygun tadrisi baximindan 9ox faydalidir. O da inkar olunmur ki, fann uzra tadris prosesi davamli takmilla§dirilmasi mantiqidir, didaktik problemlarin aksariyyati hami§aya§ardir. Tabii ki, kurikulumdan istifada tacrubasi formala§diqca ona adekvat tadris prosesinin metodik sistemi da takmilla§dirilmalidir. Bu mantiqa dayanaraq "Ustlu va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi (X sinif) uzra alt standartlarin realla§dirilmasi u9un muayyan olunmu§ movzularin tadrisinin metodik sistemi" movzusunun tadqiqatinin aktualligini iddia edirik.

Tadqiqat asasinda alda olunmu§ informasiyaya asaslanan umumila§malar uzra interpretasiya. Elmi manbalarda gostarilir ki, "talim" va "tadris faaliyyati" pedaqogikanin ba§lica anlayi§larindan biridir.Talim tadris faaliyyatinin muhum xarakteristikasi olsa da, onun butun taraflarini ahata etmir. Talim, sozun geni§ manasinda, yeni bilik, bacariq va vardi§larin manimsanilmasini nazarda tutur. Halbuki manimsama va tadris faaliyyati mahiyyatca muxtalif hadisalardir. Manimsama takca talim prosesinin deyil, har bir faaliyyat sahasinin ayrilmaz tarafidir[2;150].

Qanaatimiza gora, talim tahsilin hayata ke9irilma yoludur va ger9ayi manavi axzetma, axz olunmu§lari hifzetma va bunun asasinda yaradici faaliyyat tacrubasina yiyalanma tahsilin hayata

ke9irilmasi yolundan (idraki harakatin mazmun va formasinin dialektikasindan) asilidir. Didaktikada tahsilin hayata ke9irilmasi modelinin formala§dirilmasi hami§aya§ar problemdir.

Tahsilin hayata ke^rilma texnologiyasi (ananavi yana§mada metodikasi) maxsusi sistema malikdir[1]. Sozügedan texnoloji sistemda gozlanilan natica se9ilmi§ mazmunun harakat hali ila §artlanir. Har bir tadris vahidina uygun olaraq texnoloji sistem movcud olur. Tasadüfi deyildir ki, sozügedan sistemin layihalandirilmasinda tadris vahidinin se9imi diqqat markazina gatirilir[3; 282283].

Ümumtahsil maktablarinda Riyaziyyat fannininda "Üstlü va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi ozünamaxsus yera malikdir. "Üstlü va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidinda ahata olunan alti movzunun tadrisi prosesinda §agirdlarin a§agida ozüna yer alan bacariqlarin subyektina 9evrilmasi nazarda tutulur:

• haqiqi üstlü qüvvat daxil olan ifadalari sadala§dirir;

• üstlü funksiyanin qrafikini qurur;

• üstlü funksiyanin xassalarini tatbiq edir;

• eksponensial artan va eksponensial azalan funksiyani düsturuna, qrafikina gora farqlandirir;

• eksponensial funksiyanin komayila real hayati situasiyaya aid masalalari modella§dirir;

• f(x) = l • ax,f(x) = l • ax-n,f(x) = l • ax-m + n §aklinda üstlü funksiyalarin

y = ax asas funksiyasina gora 9evrilmasini müayyan edir;

• f(.x) = l • ax-m + n §aklinda verilmi§ funksiyanin har bir haddini (parametrini) verilan situasiyaya uygun izah edir;

• real hayati situasiyani f(x) = l • ax-m + n §aklinda düsturla modella§dirir;

• üstlü funksiyanin qrafikina gora onun düsturunu yazir;

e adadini mürakkab faiz artimi düsturu ila izah edir;

• y = ex funksiyasinin qrafikini qrafkalkulyatorla qurur;

• y = ex funksiyasinin tatbiqi ila masalalar hall edir;

• loqarifmin manasini nümunalar üzarinda izah edir, ümumi loqarifma, onluq loqarifma, natural loqarifma yazili§larini farqlandirir;

• loqarifmik §kalani real hayati situasiyalar üzarinda izah edir va masalalari hall edir;

• loqarifmik funksiyanin qrafikini qurur va xassalarini tatbiq edir;

• loqarifmin xassalarini hesablamalara tatbiq edir;

• real hayati situasiyada masalalari loqarifmik funksiya ila modella§dirir;

• hasilin, qismatin, qüvvatin loqarifminin xassalarini bilir va tatbiq edir;

• loqarifmin bir asasdan ba§qa asasa ke9ma düsturunu va loqarifmin xassalarini ifadalarin sadala§dirilmasina tatbiq edir;

• üstlü tanliklari müxtalif üsullarla hall edir;

• loqarifmik tanliklari müxtalif üsullarla hall edir;

• üstlü va loqarifmik barabarsizliklari hall edir;

• üstlü va loqarifmik tanliklarin va barabarsizliklarin tatbiqi ila masalalar hall edir.

Bu tadris vahidi üzra materiallarin manimsanilmasi §agirdlarin aktiv riyazi lügat ehtiyatinin a§agidaki anlayi§larla - üstlü funksiya, üstlü funksiyanin asasi, eksponensial artan, eksponensial azalan, e adadi, loqarifma, loqarifmin asasi, loqarifmik funksiya va onlarla bagli mülahizalarla zanginla§masina imkan yaradir.

"Üstlü va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisinda alava resurs olaraq virtual vasital ardan (kursun tadrisi ü9ün ahamiyyatli linkl ardan) va müxtalif i§9i varaqlarindan faydalanmaq maslahat bilinir.

"Haqiqi üstlü qüvvat. Üstlü funksiya, onun xassalari va qrafiki" movzusunun tadrisina 3 saat vaxt ayirmaq maslahat bilinir. Birinci dars saatinda haqiqi üstlü qüvvat anlayi§i ila §agirdlar tani§ olurlar. Onca, §agirdlar a§agidaki kimi praktik faaliyyata calb olunurlar.

Praktik i§.

1) -nin kalkulyatorla tapilmi§ qiymatini yazin.

Л « 1,414213562 ...

2) Hadlari 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414113;...

3) Qüvvat üstü bu ardicilligin hadlari olmaqla 3-ün uygun qüvvatlari ardicilligini yazin: 31. 31,4 31,41. 31,414. 31,4142. 31,41421.

Bu ardicilligin rasional üstlü qüvvat §aklinda olan hadlarinin qiymatlarini kalkulyatorla hesablayin.

4)Qüvvatin üstü V2-ya daha yaxin olduqca, uygun qüvvatlarin har sonraki addimda avvalkindan daha az farqlandiyina va müayyan bir adada yaxinla§digina diqqat edin.

Bu adada 3-ün V2(irrasional) üstlü qüvvati deyilir.

5) Tap§irigi 2^3ü9ün yerina yetirin [8 ;234].

§agirdlarin ox§ar qayda ila aa irrasional üstlü qüvvata diqqat etmalari tamin olunur. a irrasional adadinin onluq yaxinla§malari ardicilligina uygun olaraq

aai; aa2; ааз; ...ardicilligi qurulur va bu ardicilligin hadlarinin yaxinla§digi adad aa ila i§ara olunur. "irrasional üstlü qüvvat da rasional üstlü qüvvat kimi müsbat asaslar ü9ün tayin olunub" [10; 267].

Belalikla, istanilan x haqiqi adadi ü9ün ax(burada a > 0) haqiqi üstlü qüvvat anlayi§i daxil edilir. Hesab edilir ki, istanilan x ü9ün Iх = 1 va x > 0 olduqda 0X = 0. Rasional üstlü qüvvatin malum xassalari haqiqi üstlü qüvvat ü9ün da dogrudur. istanilan x, у haqiqi adadlari va а > 0, а ^ 1, b > 0, b Ф 0 adadlari ü9ün a§agidakilar dogrudur.

Qüvvatin xassalari: 1) ax • ay = ax+y; 2) ax: ay = ax-y; 3) (ax)y = axy; 4) (ab)x =

fa\x ax

axbx; 5) = —; 6) а > 1, x > у olduqda ax > ay; 0 < а < 1, x > у olduqda

ax < ay; 7) a > b, x > 0 olduqda ax > bx; a > b, x < 0 olduqda ax < bx; 8) ax = ayolarsa, onda x = у [7 ;417].

ikinci ma§galada §agirdlar bela bir praktik i§in icrasina calb olunmasi maslahat bilinir: Praktik i§.

1) у = 2х va у = (1) funksiyalari ü9ün qiymatlar cadvali tartib edin.

2) Absisi arqumentinin, ordinati funksiyanin cadvaldaki uygun qiymatina barabar olan nöqtalari koordinat müstavisinda qurun va bu nöqtalardan ke9makla salis ayri 9akin.

3) istanilan x üfün 2X va (1) ifadalarinin qiymatlarini "0"-la müqayisa edin.

4) x-in qiymatlari böyüdükca, у = 2х funksiyasinin qiymatlari böyüyür, yoxsa ki9ilir? x-in qiymatlari böyüdükca, у = (1) funksiyasinin qiymatlari böyüyür, yoxsa ki9ilir?

5) Qrafiklar у oxunu hansi nöqtada kasir?

6) Qrafiklari müqayisa edin, onlarin ox§ar va farqli cahatlarini qeyd edin.

7) Tap§irigi у = 3х va у = Q) funksiyalari ü9ün da yerina yetirin.

Praktik i§a yekun vurulur va a§agidaki informasiyaya §agirdlarin diqqati camla§dirilir: a vahidddn farqli bar hansi müsbat adad olmaqla у = ax düsturu ila verilan adadi funksiyaya asasi a olan üstlüfunksiya deyilir. ax ifadasinda л>0 olmalidir. л-nin bütün müsbat qiymatlarindan a=1 qiymati ayrilir; a=1 olduqda istanilan x ü9ün у = 1x = 1 olur; у = 1 funksiyasi isa sabit funksiyadir. Ona göra da tarifda a>0 va а.ф 1 qabul olunmalidir [4; 509-510].

Üstlü funksiyanin a§agidaki xassalara malik olmasini §agirdlar dark etmalidirlar:

1.Üstlü funksiyanin tayin oblasti bütün haqiqi adadlar 9oxlugudur: D(ax)=R (o>0, ЛФ1)

2. Üstlü funksiyanin qiymatlar 9oxlugu müsbat haqiqi adadlar 9oxlugudur: E(ax)=R+

3. Üstlü funksiya na cüt, na da takdir. Yani, a>0 va а Ф 1 olduqda аГх Ф ax

va аГх Ф —ax. Ona görada, onun qrafiki na ordinat oxuna, na da koordinat ba§langicina nazaran simmetrik deyil.

4. Üstlü funksiya dövri deyil. £ünki a>0 va а Ф 1 olduqda, istanilan T Ф0 ü9ün ах+т Ф ax Ф ax-T.

5. Üstlü funksiya hami§a müsbat qiymatlar aldigi ü9ün onun qrafiki absis oxunu kasmir.

6. x = 0 olduqda &-dan asili olmayaraq ax=1 olur. Ona göra da üstlü funksiyanin qrafiki ordinat oxunu (0;1) nöqtasinda kasir.

7. a>1 isa *>0 olduqda ax >1, *<0 olduqda 0<ax <1 olur. 0< a<1 isa *>0 olduqda 0<ax <1, ^<0 olduqda isa ax >1 olur.

8. a>1 ü9ün у = ax üstlü funksiyasi monoton artan, 0< a<1 olduqda isa monoton azalan funksiyadir. Ona göra da onun ekstremum nöqtalari yoxdur.

a>1 ü9ün у = ax funksiyasinin artan oldugunu göstarmak olar.

9. a>1 olduqda ax =0, ax = +ж, 0< a<1 olduqda isa

x —» —ж x ^ + ГО

lim = + lim =0 olur. Bela söylamak olar: 0< a<1 olduqda x-in

x —» —ж x —» + ГО

sonsuz böyümasila у —in uygun qiymatlari ki9ilir va у = ax funksiyasinin qrafiki

uzarindaki noqtalar absis oxuna qeyri-mahdud yaxinla§ir [11; 142 ]

Bu xassalara asasan a>1 va 0< a<1 hallarinda funksiyanin qrafiki §akil 1-da gostarilan kimidir.

Qeyd. у = ax(a > 1) funksiyasi eksponensial artan, у = ax(0 < a < 1) funksiyasi eksponensial azalan funksiyadir. у = с • ax funksiyasina da eksponenta deyilir [5; 322].

"Ustlu funksiyanin qrafikinin 9evrilmalari"movzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayirmaq olar.Bu movzunun tadrisi naticasinda §agirdlar bilmalidirlar ki, f(x) = ax funksiyasi ustlu funksiyalar ailasinin asas funksiyasidir. Bu funksiyyanin muxtalif 9evrilmalarina gora f(x) = lax, f(x) = lax-n,f(x) = lax-m + n §akilli ustlu funksiyalarin qrafiklarini qurmaq olar [ 7; 420]. §agirdlar bela bir qanaat hasil etmalidirlar ki:

• Qrafik Щ dafa x oxundan §aquli olaraq dartilir: (x,y) ^ (x, ly);

• I < 0 olduqda x oxuna nazaran aksetma ba§ verir. Masalan, у = 3х va у = —2^ 3х.

f(x) = lax-m + n funksiyasinin qrafikini f(x) = lax funksiyasinin qrafikinin paralel ko9urulmasi ila qurmaq olar (m-saga va ya sola suru§ma, n-yuxari va ya a§agi §aquli suru§maya asas yaradir).

" e — adadi" movzusunun tadrisina 1 saat vaxt ayrilir. §agirdlarin bela bir ara§dirmaya calb olunmasi maslahat bilinir:

Ara§dirma. Tasavvur edin ki, 1 manat pul illik 100% murakkab faiz artimi ila bir illiyina banka qoyulmu§dur va il arzinda n —dafa hesablama aparilir. Murakkab faiz artimi dusturunda S0 = 1,r = 100% = 1,t = 1 qiymatlarini yerina yazsaq, alariq:

r nt / \\nl /

5 = 50(l+-) =(l+l)

Göründüyü kimi, bank verilan faizla pulu daha tez hesablayarsa, galir artar. Lakin bankin faizi gündalik hesablamasindan ayliq hesablamasina nisbatan alda edilan galir cami 10 qapikdir.Tasavvür edin ki, bank hesabdaki pula verilan faiza göra ara vermadan har saniya galir hesablayir.Yena da farq saatliq va ya gündalik hesablamadakindan 9ox farqlanmayacak [8; 246 ].

Müallim §agirdlara bildirir ki, n — nin qiymati artdiqca (l + 1) ifadasinin qiymati 2,71 ila

2,72 arasinda dayi§ir. Bu adad e-harfi ila i§ara edilir va qiymati e =2,718281828459...kimidir. e — adadi da я-adadi kimi irrasional adaddir. Bu adadlar transendent adadlardir. Transendent adadlar amsallari tam adadlar olan he9 bir n —daracali tanliyin köklari olmayan adadlara deyilir [7; 421].

Eksponensial artma va ya azalmani e asasina göra N = N0ekt düsturu ila ifada etmak olar. N0 — ilkin miqdari, t-zamani göstarir, k-sabit adaddir [5; 523 ].

" ödadin loqarifmi" mövzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayirmaq kifayatdir. Bu anlayi§la §agirdlari tani§ etmak maqsadi ila onlari a§agidaki kimi ara§dirma faaliyyatina qo§maq faydali natica verir.

Ara§dirma. 1) x —in yerina ela adadlar yazin ki, barabarlik dogru olsun. a) 2X=16 b) 3X=9 c) 4X=64

2) Arqumentin hansi qiymatinda у = 2х funksiyasi 6-ya barabar qiymat alir? x — in bu qiymati yeganadirmi?

3) x —in verilmi§ barabarliyi ödayan qiymati hansi iki ardicil tam adadin arasindadir? Ara§dirmaya yekun vuraraq müallim §agirdlara a§agidaki mazmunlu informasiyani taqdim

edir.

b ddddini almaq ügün a ddddinin yüksaldildiyi qüvvdt üstüna b ddddinin a asasdan loqarifmi deyilir va у = logab kimi yazilir. Burada а Ф l olmaqla a va b müsbat haqiqi adadlardir.y = logax yazili§i ay = x barabarliyinin loqarifmik yazili§idir va ya aksina, ay = x yazili§i у = logax barabarliyinin eksponensial yazili§idir.Yani ay = x va у = logax yazili§lari ekvivalent yazili§lardir [8; 248].

ulogal = 0, 9ünki a0 = l. и logaa = l, 9ünki a1 = a.

rnlogaay = y, 9ünki ay = ay ual°9aX = x,9ünki logax = logax .

aiogax = x, barabarliyina asas loqarifmik eynilik deyilir.

9sasi 10 va e adadi olan loqarifmalar uygun olaraq lg va In kimi i§aralanir. 9sasi 10 olan loqarifma onluq loqarifma, asasi e olan loqarifma natural loqarifma adlanir.

"Loqarifmik funksiyanin xassalari va qrafiki" mövzusunun tadrisina 2 saat vaxt ayirmaq yetarlidir. §agirdlar bilirlar ki, a>1 olduqda у = ax üstlü funksiya artir, 0< a<1 olduqda isa azalir. Ona göra da malum teorema asasan ham a>1 olduqda, ham da 0< a<1 olduqda у = ax üstlü funksiyasinin tars funksiyasi var. Bu funksiyani düsturla vermak ü9ün у = ax düsturunda x -in avazina у, у —in avazina x yazib, loqarifmin tarifina göra у = loga x almaq olar.

a>0 , а.ф l olduqda y=loga x düsturu ila verilan adadi funksiyaya loqarifmik funksiya deyilir [11 ;160].

Masalan, y=log2 x, у = lgx, у = lnx, у = logix loqarifmik funksiyalardir.

3

§agirdlar anlamalidirlar ki, loqarifmik funksiyanin a§agidaki xassalari var va bunlardan bazilari у = logax va у = ax funksiyalarinin qar§iliqli tars funksiyalar olmasindan alinir [7; 423].

1. Loqarifmik funksiyanin tayin oblasti müsbat haqiqi adadlar 9oxlugudur:D(log^ x) =R+

2. Loqarifmik funksiyanin qiymatlar 9oxlugu bütün haqiqi adadlar 9oxlugudur:^ (logax) = R

3. D(logax) =(0; oldugundan, loqarifmik funksiya na cüt, na da takdir.

4. Loqarifmik funksiya dövri deyil.

5. ^=1 olduqda loga l=0 oldugundan, loqarifmik funksiyanin qrafiki Ox oxunu (1;0) nöqtasinda kasir.

6. Loqarifmik funksiyanin tayin oblasti R+ oldugu ü9ün onun qrafiki Oy oxunu kasmir.

7. a>1 isa x>1 olduqda loga x , 0< x<1 olduqda loga x<0 olur. 0< a<1 isa x>1 olduqda loga x<0, 0< ^<1 olduqda loga x>0 olur.

8. a>1 olduqda y=logax loqarifmik funksiya monoton artir, 0< a<1 olduqda isa monoton azalir. Ona göra da onun ekstremum nöqtalari va ekstremumlari yoxdur.

9. a>1 olduqda limlogax = — m, lim logax = +m, 0< a<1 olduqda

limlogax = + m, limlogax =—m [4; 510-511]

Bu xassalari nazara alaraq §agirdlar loqarifmik funksiyanin qrafikini qurmagi bacarmalidirlar. " Loqarifmin xassalari" mövzusunun tadrisina 2 saat ayirmaq olar. Xassalarin §agirdlarin faalligi ila a§karlanmasi maqsadila a§agidaki kimi ara§dirma faaliyyatina onlarin calb olunmasi lazim galir.

Aragdtrma.

1) lg(1000 • 100) * (lg1000) • (lg100) oldugunu göstarin.

2) Hesablayin. Naticalari müqayisa edin.

i

a)log24 + log2Q va log232 ;b) log33 + log327 va log3Q1; c)logi- +logiß va logi2

2 4 2 2

Fikirlarinizi logab + logac ü9ün qayda ifada etmakla ümumila§dirin. b va c müsbat haqiqi adadlardir.

3) Hesablayin. Naticalari müqayisa edin.

i

a)log264 — log22 va log232; b) log327 — log39 va log33; c)logi4 +logi- va logi16

2 2 4 2

Fikirlarinizi logab — logac ü9ün qayda ifada etmakla ümumila§dirin. b va c müsbat haqiqi adadlardir.

4) Hesablayin. Naticalari müqayisa edin.

ii

a) 3 • log24 va log264; b) 2 • log3- va log3 —; c) 2 • lg100 va lg10000

9 81

Fikirlarinizi b • logac ü9ün qayda ifada etmakla ümumila§dirin. b va c müsbat haqiqi adadlardir.

5) Qüvvatin xassalarini daftarinizda sözla ifada edin. Har birini iki nümuna yazmaqla izah edin.

■ Qüvvatlari hasili:cx • cy = cx+y

cx

■ Qüvvatlari nisbati:— = cx y,c * 0

cy

■ Qüvvatlari qüvvati: (cx)y=cxy

Ara§dirma ümumila§dirilir va loqarifmin xassalari §agirdlarin faal i§tiraki ila formula olunur.

1.Hasilin loqarifmi: logcxy = logcx + logcy

iki müsbat adadin hasilinin loqarifmi vuruqlarin loqarifmlari camina barabardir. Burada c * 0 vd c > 0 olmaqla x va y müsbat haqiqi adadlardir.

X

2.Nisbatin loqarifmi: logc - = logcx — logcy

iki müsbat adadin nisbatinin loqarifmi onlarin loqarifmlari farqina barabardir. Burada c * 0 vd c > 0 olmaqla x vay müsbat haqiqi adadlardir.

3.Qüvvati n loqar'ifm\:logcxy=y logcx

ödadin qüvvatinin loqarifmi qüvvat üstü ila hamin adadin loqarifmi hasilina barabardir. Burada c * 0 vd c > 0 olmaqla x va y müsbat haqiqi adadlardir.

§agirdlar xassalarin isbatini da 9atinlik 9akmadan manimsayirlar.Tacrübamiz bizi bu qanaata gatirir.

1-ci xassanin (logcxy = logcx + logcy)isbati:

logcx = m va logcy = n kimi i§ara edak. x = cm va y = cn; xy =(cm )• (cn); xy = cn+m; logcxy = m + n; logcxy = logcx + logcy.

X

2-ci xassanin (logc - = logcx — logcy)isbati.

logcx = m va logcy = n kimi i§ara edak. x = cm va y = cn; - = ^;

х У

_ _ ^т—п

; logc- = m — n;

logcy.

l°9c~ = logcx

3-cü xassanin (logcxy=ylogcx) isbati. logcx = m ila içara edak. x = cm; xy = (cm)y;

y —

(logcx) • y;

Xy = Cmy ; logcx logcxy=ylogcx [11; 155-156].

Movzunun tadrisi prosesinda çagirdlarin diqqati "bir asasdan baçqa asasa keçma qaydasi"na da yonaldilir. Bu qayda ila bagli informasiya çagirdlara açagidaki üslubda taqdim edilir. 9sas loqarifmik eyniliya va qüvvatin loqarifminin xassasina gora

loqcb = logc(al°3ab) = logab • logca

logcb

Buradan: logab = -—— , xüsusi halda, с = b olarsa, logab =

logca

logba

_ iogab=fa ; юдаь = l^a [3;326 ].

"Üstlü tanliklar. Loqarifmik tanliklar" movzusunun tadrisina 3 saat vaxt ayrilmasi tovsiya

edilir.

Elmi manbalarda "Üstlü tanliklar" anlayiçina bela tarif verilir, hansi ki, biz bunu maqbul hesab edirik: Qüvvat üstünda machulu olan tanliklara üstlü tanliklar deyilir. Bu nov tanliklari hall etmak ûçûn ümumi bir üsul yoxdur[12; 82].

Darsliklarda "Üstlü tanliklar" anlayiçi ila bagli informasiyanin açagida ozüna yer alan mazmun va sistemda çagirdlara taqdim olunmasi maqsadauygunlugu vurgulanir [8; 258-260].

Çagirdlarin diqqatina üstlü funksiyanin xassasi çatdirilir: ax = b ,a > 0 §arti ila ax = ay barabarliyi yalniz va yalniz o zaman dogrudur ki, x = y olsun. Bu xassaya gora aliriq:1) = ав(х) üstlü tanliyi ila eynigüclüdür. 2)ax = с tanliyini с > 0 olduqda ax al°9aCi, §aklinda yazsaq, x = logac alariq. Verilmi§ üstlü tanliklar müayyan üsullarla sada üstlü tanliklara gatirilib hall edilir.

Üstlü tanliklar içarisinda an sadasi ах = Ь,а>0,аФ1 çaklinda olan tanliklardir.

1)

У i у-ъ J \ 1 и о*(а>;

г ! i i ^

О ЛЬ X

a)

§akil 2.

ax funksiyasinin qiymatlar çoxlugu müsbat adadlar çoxlugu oldugundan (ax > 0),b < 0 olduqda

bu tanliyin halli yoxdur, b > 0 olduqda isa tars funksiya haqqinda teorema gora ax = b tanliyinin

yegana x0 kokü var (bax:§akil 2.)[4;466].

Üstlü tanliklarin hallinin müxtalif üsullarinin olmasi barada §agirdlara malumat verilir va

bildirilir ki, açagidaki üç üsuldan daha çox istifada edacayik: 1) Qüvvatin xassasinin tatbiqi; 2) 9saslar

müxtalif olduqda tanliyin har iki tarafi qüvvatlardan birina bolmakla va ya tanliyin har iki tarafini

eyni asasa gora loqarifmlamakla halli; 3) Yeni dayman daxil etmakla.

I. Qüvvatin xassalarinin tatbiqina aid nümunalar taqdim olunur. i

Misal 1. 3х = — tanliyini hall edin.

27 J

Tanliyi 3х = 3-3 §aklinda gostarak. Buradan, haqiqi üstlü quvvatin xassasina asasan, asaslar barabar olduguna gora üstlar da barabar olar, yani x = —3 Misal 2. 7х = л!243 tanliyini hall edin.

3

Aydindir ki, bu tanliyi 7X = 7~2 §aklinda yazmaq olar. Buradan, x = 1,5 alariq. Qeyd olunur ki, af(x) = fo ^gklinda olan tanliklar da ox§ar üsulla hall olunur.

Misal 3. (-) = 9 tanliyini hall edin.

Verilmi§ tanliyi (3-1)x2-4x-7 = 32 §aklinda yazmaq olar va buradan x2 — 4x — 7 = —2 va ya x2 — 4x — 5 = 0 tanliyini alariq. Bu tanliyin koklari olan x1 = —1 va x2 = 5 adadlari verilmi§ tanliyin koklaridir.

II. 9saslar müxtalif olduqda tanliyin har iki tarafi qüvvatlardan birina bolmakla va ya tanliyin har iki tarafini eyni asasa gora loqarifmlamakla hall nümunalar taqdim olunur.

Misal 4. 82x-1 = 33-6x tanliyini hall edin.

82x-1 = (23)2x-1 = 26x-3 va 33-6x = з-(6х-з) = (X) 9evirmalarini aparmaqla verilan

tanliyi a§agidaki §akla gatirak: 26x-3 = 3ÉX_3 . Buradan

26x-3 • 36x-3 = 1 va ya (2 • 3)6x-3 = 1 alariq. Sonuncu tanliyi 66x-3 = 6° §aklinda gostarsak , alariq ki, 6x — 3 = 0 va buradan x = 0,5.

III. Yeni dayi§an daxil etmakla.

Misal 5. 9X + 2^3X — 15 = 0 tanliyini hall edin.

3X = t avazlamasi aparsaq, 9X = (32)x = 32x = (3X)2 = t2 olar. Verilimi§ tanlik avazlamalardan sonra bela §akla dü§ar: t2 + 2t — 15 = 0. Onu hall edib, tX = 3, t2 = —5 alariq. Buradan 3X = 3 va 3X = —5. Birinci tanliyin kokü x = 1,3х > 0 oldugundan ikinci tanliyin kokü yoxdur. Belalikla, verilmi§ tanliyin kokü x = 1 — dir.

Elmi manbalarda loqarifmik tanliklara bela tarif verilir: Machulu loqarifm i§arasi altinda olan tanliya loqarifmik tanlik deyilir. Vurgulanir ki, sada loqarifmik tanliyin ümumi §akli beladir: loga x = b (burada a > 0, a ^ 1).Loqarifmik tanliklarin halli zamani machulun qiymatlar 9oxlugunun (MMQ) tapilmasina xüsusi diqqat yetirmak lazimdir.(MMQ) tapilmayibsa va eynigüclülüyü pozan 9evirmalar aparilmi§sa, onda tapilmi§ adadlarin tanliyin kokü olub-olmadigi mütlaq yoxlanilmalidir.Loqarifmik tanliklarin halli ü9ün ümumi bir üsul yoxdur [12; 91].

"Laqorifmik tanliklar"in halli ila bagli §agirdlarin diqqatina loqarifmik funksiyanin bela bir xassasi xüsusi olaraq 9atdirilir: a > 0,a Ф 1,x > 0,y > 0 olduqda, logax = logay barabarliyi yalniz va yalniz o zaman dogrudur ki, x = y olsun.

\)logaf(x) = logag(x) tanliyi f(x) >0 va g(x) > 0 olmaq §arti ila f(x) = g(x) tanliyina eynigüclüdür. f(x)=g(x) tanliyini hall edib, tapilmi§ koklarin f(x)>0,g(x)>0 §artlarini odayib-odamadiyi yoxlanilir.

2)logaf(x) = с tanliyini ekvivalent eksponensial yazili§la avaz etsak, f(x) = ac alariq.

§agirdlara loga(x)f(x) = b, logaf(x) = logag(x), f (1ода(х)д(х)Л) = b §aklinda

tanliklarin hallarinin tapilmasina aid nümunalar taqdim olunur va bildirilir ki, bela tanliklari hall edarkan, müayyan 9evirmalardan sonra alinan tanliyin koklarinin verilan tanliyi odadiyini yoxlamaq lazimdir. Loqarifmik tanliklarin asasan a§agida gostarilan hall üsullarina üstün diqqat yonaldilir:1) Loqarifmin xassalarindan istifada etmakla yerina yetirilan hall üsulu; 2) Yeni dayi§an daxil etmakla icra olunan hall üsulu; 3) Eyni asasa gatirmakla hayata ke9irilan hall üsulu.

§agirdlarda sozügedan üsullardan istifada tacrübasi xüsusi qaydada se9ilmi§ va sistema salinmi§ tap§iriqlarin icrasi sayasinda formala§ir. A§agidaki nümunalari hamin sistema aid etmak olar[6; 468]. Misal 1. log3(2x — 1) = 3 tanliyini hall edin.

Loqarifmanin tarifina gora , 2x — 1 = 33 va ya 2x — 1 = 27. Buradan x = 14 alariq. Asanliqla yoxlamaq olar ki, x = 14 verilmi§ tanliyin koküdür. Misal 2. log5(x2 — 2x + 1) = 2 tanliyini hall edin.

Loqarifmanin tarifina gora , x2 — 2 x + 1 = 52. Buradan x2 — 2 x — 24 = 0 alariq ki, bu tanliyin koklari —4 va 6 —dir. Bu koklarin har ikisi verilmi§ tanliyi odayir. Misal 3. log9(x2 — 3x + 1) = log9(1 — 2x) tanliyini hall edin.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

Bu tanlik x2 — 3x + 1 > 0 va 1 — 2x > 0 barabarsizliklarinin har ikisini ödayan x — lar 9oxlugunda tayin olunmu§dur. Bu §artlar daxilinda verilmi§ tanliyi onunla eynigüclü olan x2 — 3x + 1 = 1 — 2x tanliyina gatirmak olar. Buradan x2 — x = 0 alariq. Onun köklari x = 0 va x = 1 —dir. Asanliqla yoxlamaq olar ki, x = 0 adadi x 2 — 3x + 1 > 0 va 1 — 2x > 0 barabarsizliklarini ödayir, x = 1 adadi isa bu barabarsizliklari ödamir. Demali, verilmi§ tanliyin halli ancaq x = 0 adadi olur.

Misal 4. 3lg2x — Igx2 — 1 = 0 tanliyini hall edin.

Loqarifmik funksiyanin x —in yalniz müsbat qiymatlarinda tayin olundugunu nazara alsaq,

Igx2 = 2lgx olar va buna göra Igx = t avazlamasi aparmaqla yuxarida verilmi§ tanliyi 3t2 —

i

2t — 1 = 0 kvadrat tanliyina gatirmak olar. Bu tanliyin köklari t1 = 1 va t2 = - . Verilmi§ tanliyin

i i köklarini tapmaq ü9ün lgx = 1 ,lgx = — tanliklari hall olunur. Buradan x = 10 ,x = tapilir.

3 vio

Misal 5. 1одх-1(х2 — x — 6) = 2 tanliyini hall edin. Loqarifmik funksiyanin tarifina göra verilmi§ tanlik x2 — x — 6 > 0,

x — 1 > 0,x — 1 Ф 1, sistemi ila eynigüclüdür. Bu sistem a§agidaki ardicilliqla hall edilir: \x2 — x — 6 = (x — 1)2

(x — 3)(x + 2)>0 ( x < —2 ,x>3

x — 1> 0 ,x^2 & jx>1,x^2 & x = 7 W —x —6 = x2 — 2x + 1 У x = 7

Asanliqla yoxlamaq olar ki, x = 7 verilmi§ tanliyin köküdür.

"Üstlü barabarsizliklar. Loqarifmik barabarsizliklar" mövzusunun tadrisina 4 saat vaxt ayirmaq yetarlidir. "Üstlü barabarsizliklar"anlayi§i ila bagli §agirdlarin diqqatina 9atdirilir ki, üstlü barabarsizliklarin halli adatan ax > ab va ya ax < ab barabarsizliklarinin hallina gatirilir. Burada a > 0,a Ф 0.Bu barabarsizliklarin halli isa у = ax üstlü funksiyasinin artan va ya azalan olmasi xassasinin kömayi ila hall edilir. a > 1 olduqda

a.f(x) > a5(x)barabarsizliyi f(x) > g(x)ila, а?(х^> < аа(х) barabarsizliyi f(x) < g(x)ila eynigüclüdür.

0<a<1 olduqda af(x^ > a5(x)barabarsizliyi f(x) < g(x)ila, а?(х) < аз(х^

barabarsizliyi f(x) > g(x)ila eynigüclüdür.

с = а1°ваС eyniliyina göra ах > c(va ya ах < с) barabarsizliyi ах > al°3aC(va ya ах < a'o5ac)barabarsizliyinin hallina gatirilir [6; 495].

Mövzunun tadrisi prosesinda §agidlar dark edirlar ki, üstlü barabarsizliklari müayyan üsullarla sada üstlü barabarsizliya gatirib hall edirlar.

Üstlü barabarsizliklarin halli üsullarindan a§agidakilara §agirdlarin diqqati calb olunur:

1)Qüvvatin xassalarinin tatbiqi (Qüvvat üstlari eyni olduqda qüvvatlardan birina bölmak alveri§li olur);

2)Yeni dayi§an daxiletma.

"Loqarifmik barabarsizliklar"in halli ila §agirdlarin tani§ edilmasi prosesina onlarin praktik faaliyyata calb olunmalari ila ba§lamaq faydali olar. Praktik i§.

1) Nöqtalarin yerina uygun müqayisa i§arasini qoyun:

a)log23 ... log27; b)logojS5 ... logo,s7.

2) Ulduz i§arasinin yerina ela adadlar yazin ki, barabarsizlik dogru olsun: a)log2 *< log2$ b) logoiS *< 1одо,$4. c)log2 *> log2S d) logojS *> 1одо,$4.

3) log2x<log2S barabarsizliyini x — in 5-dan böyük har hansi qiymati ödayirmi? x — in bu barabarsizliyi ödayan qiymatlari haqqinda fikir yürüdün.

4)х -in log0 5x < log0 54 barabarsizliyini ödayan qiymatlari haqqinda na söylamak olar? [В; 265-269]

Praktik i§ müallim tarafindan yekunlaçdirilir va çagirdlarin diqqati bela bir qanaata yönaldilir. Loqarifmik barabarsizliklar dayi§anin mümkün qiymatlari, loqarifmik funksiyanin artan(va ya azalan) olmasi xassasi nazara alinmaqla hall edilir. Nümuna. log2(x + 1) > log2l

Dayiçanin mümkün qiymatlari çartina göra x + 1 > О, log2x funksiyasi artan oldugundan x + 1 > l olmalidir. Demali, x + 1> О va x + 1 > l barabarsizliyini ödayan x — lari tapmaliyiq. Buradan x > 6. Cavab: (6;+œ). Nümuna. log02(x — 1) > log02l

Dayiçanin mümkün qiymatlari çartina göra x — 1 > О, log0 2x funksiyasi azalan oldugundan x — 1 < 3 olmalidir. Demali, О < x — 1 < 3 ikiqat barabarsizliyini hall etmaliyik. Buradan 1 < x < 4. Cavab: (1;4).

Mövzunun tadrisi prosesinin naticasi olaraq çagirdlar bilmalidirlar:

a) a > 1 olduqda

logaf(x) > loga c, eynigüclüdür f(x) > с ; logaf(x) > с , eynigüclüdür f(x) > ac ;

logaf(x) < loga c, eynigüclüdür О < f(x) < с ; logaf(x) < с , eynigüclüdür О < f(x) < ас ;

b) О < а < 1 olduqda

logaf(x) > loga c, eynigüclüdür О < f(x) < с ; logaf(x) > с , eynigüclüdür О < f(x) < ac ;

logaf(x) < loga c, eynigüclüdür f(x) > с ; logaf(x) < с , eynigüclüdür f(x) > ac ;

Loqarifmik barabarsizliklarin halli üzra §agirdlarin bacariqlari asasan maqsadamüvafiq seçilmiç tapçiriqlar üzarinda faaliyyatlari ila §artlanir.

"Üstlü va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi üzra summativ qiymatlandirma maqsadila açagidaki kimi meyarlardan istifada olunmasi maslahat bilinir:

1.Üstlü funksiyanin qrafikini qurur, xassalarini taqdim edir.

2.Qüvvatin xassalarindan istifada etmakla üstlü funksiyanin daxil oldugu ifadalari sadalaçdirir.

3.Üstlü funksiya üzarinda uygun çevirmalari yerina yetirir.

4.Üstlü funksiyanin kömayi ila müxtalif situasiyalari modellaçdirir.

5.Loqarifmin mahiyyatini riyazi amal olaraq ba§a dü§ür.

6.Loqarifmik funksiyanin qrafikini qurur.

7.Loqarifmin xassalarini tatbiq edir.

8.Üstlü tanliklari hall edir.

9.Loqarifmik tanliklari hall edir.

10.Üstlü barabarsizliklari hall edir.

lLLoqarifmik, üstlü tanlik va barabarsizliklara aid masalalari hall edir [9].

Natica

1) "Üstlü vd loqarifmik funksiyalar" tadris vahidinda ahata olunan mövzularin tadrisi prosesinda §agirdlarin gözlanilan naticalarin asasinda duran fellarin subyektina çevrilmalari ^ün tapçiriq növlarinin seçilmasi va tatbiqi diqqat markazinda saxlanilmalidir;

2) "Üstlü vd loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisi prosesinda zaruri terminlarin §agirdlarin aktiv riyazi lügat ehtiyatinin mazmununa daxil edilmasi mühüm didaktik talab kimi qabul olunmalidir;

3) "Üstlü va loqarifmikfunksiyalar" tadris vahidi üzra materiallarin tadrisinda alava resurs olaraq virtual vasitalardan (kursun tadrisi ü9ün ahamiyyatli linklardan) va müxtalif i§9i varaqlarindan faydalanmaq maslahatdir;

4) "Üstlü va loqarifmik funksiyalar" tadris vahidi üzra materiallar "Cabr va funksiyalar" mazmun xattina aid oldugundan real pedaqoji prosesda bunlarin ham tamla (Riyaziyyat fanninin bütövlükda ahata etdiyi mazmunla), ham da har bir mazmun xattina aid edilan hissalarin (digar dörd mazmun xattinin alt sistemlarinin) elementlari arasinda dialektik vahdat ("sistem-struktur" yana§ma-tam-hissa münasibatlari) gözlanilmalidir;

5)Tap§iriqlarin se9ilmasinda, sistem halina gatirilmasinda "imkan-harakat-keyfiyyat" paradiqmasinin gözlanilmasi tadris prosesinin samaraliliyina müsbat tasir edir.

iSTiFADa OLUNMU§ 9D9BiYYAT

I. öliyeva T.M, Mütallimov T.E., Adigözalov A.S. Orta maktabda riyaziyyatin tadrisi metodikasi (ümumi metodika, II hissa),-Baki: APi, 1993.

2.9lizada Э.Э. Müasir Azarbaycan maktabinin psixoloji problemlari, -Baki: Pedaqogika, 2004.

3.Ümumtahsil maktablarinin I-IV siniflari ü9ün fann kurikulumlari,-Baki: "Tahsil", 2008.

4. ibrahimov F.N.Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin kurikulum modelina asaslanan tadrisi metodikasi(dars vasaiti),- Baki: "Mütarcim", 2016.

5.ibrahimov F.N.Ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin tadrisi metodikasindan mühaziralar(dars vasaiti),- Baki: "Mütarcim", 2019.

6.ibrahimov F.N.Orta ümumtahsil maktablarinda riyaziyyatin falsafasi, didaktikasi, hayatake9irilma texnologiyasi(dars vasaiti),-Baki: "Mütarcim", 2018.

7. ibrahimov F.N., Abdurahmanov V.9., imanova A.B."Funksiyalar" alt mazmun xatti üzra standartlarin realla§dirilma texnologiyasi, -Baki: ADPU, 2022.

8.Qahramanova N.M., Karimov M.A., Hüseynov i.H. "Riyaziyyat-10" (Darslik),- Baki: Radius, 2017, 320 s.

9. Qahramanova N.M., Karimov M.A., Hüseynov i.H."Riyaziyyat-10" (Müallim ü9ün metodik vasait),- Baki: Radius, 2017, 239 s.

10.Mammadov R.H.Ali riyaziyyat (Ali maktablar ü9ün darslik) I hissa,- Baki:"Turan evi", 2013.

II.Mardanov M.C. va ba§qalari. Cabr va analizin ba§langici (10-cu sinif ü9ün darslik),- Baki: "£a§ioglu", 2005.

12.Mammadov R.H., Xalilov H.M., Hüseynov §.T. Tanliklar va barabarsizliklar (Ali maktablarin hazirliq §öbalari ü9ün dars vasaiti),-Baki: "Maarif', 1991.