Мультипликативный метод синтеза оптимальных двоичных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности" Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.15

В. Е. Гантмахер, С. М. Платонов

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Мультипликативный метод синтеза оптимальных двоичных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности"

Предложен простой для реализации на вычислительной технике метод синтеза оптимальных по длине двоичных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности". Приведен анализ результатов синтеза.

Синтез, двоичные последовательности, свойство "не более одного совпадения", свойство "минимальная апериодичность", оптимальность

В [1] предложен метод синтеза двоичных последовательностей (ДП) над расширенными полями Галуа второй и третьей степеней, боковой лепесток ненормированной импульсной автокорреляционной функции (ИАКФ) которых не превышает единицы. Они названы автором нерегулярными импульсными последовательностями (НИП) со свойством "не более одного совпадения". В [2] предложено несколько способов синтеза как периодических, так и непериодических ДП с указанным свойством. В [1] синтезированы оптимальные по длине НИП со свойством "не более одного совпадения" и весами Я < 48. В [3] вес синтезированных оптимальных НИП доведен до Я < 97. В [4] разработан эффективный алгоритм синтеза оптимальных НИП, а в [5] приведена программа, реализующая этот алгоритм, с помощью которой рассчитана база данных оптимальных НИП с весами 3 < Я < 997 [6].

Результаты работ [1], [2], [4]-[6] ориентированы на использование НИП со свойством "не более одного совпадения" в радиолокационных системах для формирования сложных зондирующих сигналов. В работе [3] оптимальные НИП предлагается использовать в системах связи и передачи информации для построения кодирующих устройств, способных обнаруживать и исправлять ошибки. Ни одна из предложенных в этих работах последовательностей не обладает свойством "минимальной апериодичности". В [1] предложено формировать сложные зондирующие сигналы, позволяющие одновременно измерять как дальность, так и скорость. Основой для формирования таких сигналов являются двоичные последовательности, обладающие как свойством "не более одного совпадения", так и свойством "минимальной апериодичности". Такие сигналы названы автором кодами с минимальной апериодичностью (КМА). В работе [1] приведена таблица синтезированных КМА с весами, равными простым числам при Я < 47. К сожалению, предложенная в ней методика синтеза КМА применима только для весов Я < 13. Результаты синтеза, приведенные для Я > 13, получены каким-то другим способом, который в этой работе не раскрыт. Не доказаны оптимальность длины и квазипериода синтезированных КМА. По результатам НИР* перечисленные недостатки устранены. Разработана быстродействующая

* Целевая программа Министерства образования и науки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)" (проект № 2.1.2/2714).

26 © Гантмахер В. Е., Платонов С. М., 2011

программа [7], с помощью которой на персональном компьютере средней производительности рассчитана база данных оптимальных КМА с весом, равным простому числу в интервале 3 < R < 997 [8]. Рассчитанные КМА существенно превосходят КМА, приведенные в [1], как по длине, так и по квазипериоду.

Настоящая статья посвящена дальнейшему усовершенствованию методики синтеза оптимальных КМА произвольной длины с весом, равным простому числу.

Терминология и обозначения. НИП со свойством "не более одного совпадения" будем называть последовательностью со свойством "не более одного совпадения" (ПОС).

Если ненулевые символы последовательности расположены равномерно (с расстоянием между ними, равным Тк тактов), то в отличие от НИП будем называть ее регулярной импульсной последовательностью (РИП).

Обозначим через {Л} = {ц}, i = 0, R -1, множество номеров позиций ДП, на которых стоят единичные символы. Если это множество удовлетворяет условию

Vi е [0; R-1], |Д,-| = Ц -iTK\< Тк/2-1, (1)

то будем говорить, что ДП обладает свойством "минимальной апериодичности" [1]. Если ПОС обладает свойством "минимальной апериодичности", то по аналогии с [1] будем называть ее кодом с минимальной апериодичностью.

Квазипериодом ДП будем называть отношение Тк = (N -1)/ (R -1) (N - длина последовательности). При достаточно больших длинах значение квазипериода практически совпадает со значением пик-фактора pf = (N -1)/R.

КМА с минимальным квазипериодом во множестве кодов с минимальной апериодичностью, объединенных каким-либо признаком, например общим правилом кодирования или общим методом синтеза, будем называть оптимальными в заданном множестве по критерию минимальной длины.

Методика синтеза. В прототипе [1] на первом этапе синтеза формируется оптимальное множество отклонений от квазипериода в виде полной системы абсолютно наименьших вычетов по модулю R: {аг- }f = iSf modR, i = 0, R -1, где Sf - коэффициент

(натуральное число), определяющий порядок следования элементов множества {аг-}f, причем Sf взаимно прост с (R -1); f = 1, ф (R -1), где ф(•) - фи-функции Эйлера*.

Изменим способ формирования множеств {аг-}f : {аг- }'f=®iSf modR, i = 0, R-1, где 9 - первообразный корень простого поля Галуа GF (R). Число различных множеств {аг}f в обоих случаях одинаково. Отличаются они только порядком следования вычетов. Изменение метода упорядочивания вычетов влечет за собой модификацию алгоритма

Здесь и далее индекс "ст" означает, что множество упорядочено старым методом [8], а индекс "н" - что упорядочивание проведено новым методом.

*

синтеза КМА. В отличие от старого метода (аддитивный метод) предлагаемый новый метод будем называть мультипликативным.

Второй этап синтеза заключается в последовательном увеличении квазипериода до

тех пор, пока ДП, соответствующая множеству позиций {, не будет удовлетворять свойству "не более одного соответствия".

Алгоритм синтеза. Исходными данными алгоритма являются: вес Я = Р - простое число и 9 - первообразный корень поля Галуа ОР (Р). Алгоритм заключается в следующей последовательности действий.

1. Инициализация. Для заданного Я вычислить:

и = (Я -1)/2; ^ = Я -1; Тк = Я -1/2; /ор1 = 0; Аор1 = и; к = 0; / = 1.

2. Если 8у > 0, то перейти к шагу 3, иначе - к шагу 12.

3. Если 8у взаимно прост с (Я -1), перейти к шагу 4, иначе - к шагу 11.

4. Рассчитать множество: i а

f

а

{ =QlSf modR, i = 1, R-ll.

5. Рассчитать разности между номерами позиций соседних единичных символов:

{D}{ = {df

df = аf + u, i = 1, R -1}.

6. Рассчитать множество номеров позиций:

{A}f = Jaf a0f = 0, af = ¿ df, i = 1, R-ll.

]=1

7. Рассчитать разность между номерами соответствующих позиций РИП и НИП при

одном и том же значении

i: {A}{ = {a{

а{ = iTK - a

{ i = о, r -1

8. Если max {a{ } < Aopt, перейти к шагу 9, иначе - к шагу 10.

9. Изменить {opt = {, Aopt = max {а{ }.

i

10. Увеличить переменную цикла { : { = { +1.

11. Уменьшить переменную цикла S{ : S{ = S{ -1 и перейти к шагу 2.

12. Сформировать исходное множество номеров позиций:

{op

{A}= i a0 a0= 0, a0 = X djopt, i = 1, R-U.

í=1

ak = a0 + ik, i = 0, R-1.

13. Сформировать к-е множество номеров позиций: {А} = |аг

14. Вычислить ИАКФ Хх(х) последовательности X, соответствующей множеству

номеров позиций {А}к .

15. Если Xх (т) < 1, то ПОС X является оптимальным КМА - синтез окончен, иначе перейти к шагу 16.

16. Инкремент переменной цикла Тк = Тк +1, к = к +1. Перейти к шагу 10.

Проиллюстрируем работу алгоритма на примере.

Пример. Синтезировать оптимальный КМА с весом R = 17.

Вычисления проведены как аддитивным, так и мультипликативным методом, для того чтобы иметь возможность сравнить результаты.

Инициализация. Для заданного R = 17, 9 = 3 вычисляем:

u = 8, Sf = 16, Тк = 16.5, /opt = 0, Aopt = 8, k = 0, f = 1.

В рамках первого цикла (шаги 2-11) выполним поиск оптимального множества отклонений от квазипериода {A}opt. В табл. 1, 2 проиллюстрировано выполнение первой итерации аддитивным (табл. 1) и мультипликативным (табл. 2) методами.

Таблица 1

Шаг Множество Элементы

3 {«11 15; 13; 11; 9; 7; 5; 3; 1; 16; 14; 12; 10; 8; 6; 4; 2

4 {D}CT 23; 21; 19; 17; 15; 13; 11; 9; 24; 22; 20; 18; 16; 14; 12; 10

5 {А }ст 0; 23; 44; 63; 80; 95; 108; 119; 128; 152; 174; 194; 212; 228; 242; 254; 264

6 Шст 0; -6.5; -11; -13.5; -14; -12.5; -9; -3.5; 4; -3.5; -9; -12.5; -14; -13.5; -11; -6.5; 0

Таблица 2

Шаг Множество Элементы

3 W }н 6; 2; 12; 4; 7; 8; 14; 16; 11; 15; 5; 13; 10; 9; 3; 1

4 14; 10; 20; 12; 15; 16; 22; 24; 19; 23; 13; 21; 18; 17; 11; 9

5 {А}Н 0; 14; 24; 44; 56; 71; 87; 109; 133; 152; 175; 188; 209; 227; 244; 255; 264

6 {Ali 0; 2.5; 9; 5.5; 10; 11.5; 12; 6.5; -1; -3.5; -10; -6.5; -11; -12.5; -13; -7.5; 0

Для аддитивного метода найдем max

Л;

Л1

14, для мультипликативного -

max

max

max

А}

А?

А8

А

13

= 12.5. Проведем расчеты для / = 2...8. Для старого метода получим:

= 8, max

А,3

} = 10.5, max {

а,4

= 15, max

А,5

= 6, max

а6

{II=1}

= 7, max А/ =

: нового мето-

да синтеза: max

= 32. Таким образом, поскольку min {max { Ak }} = 6, то /0pt = 5. Для :

Д, } = 16.5, max {| Аг6 } = 10,

max

Д7

= 13.5, max

= 10, max

A8

= 14, max

18.5, max

k

A

-10,

/opt = ?.

= 19.5. Так как шт |шах]

Для выполнения второго цикла (шаги 12-16) сформируем исходные множества номеров позиций (шаг 12):

{Л]°ст = {0; 15; 37; 49; 68; 77; 93; 116; 129; 149; 159; 176; 200; 214; 235; 246; 264};

{= {0; 20; 36; 55; 76; 87; 97; 112; 136; 149; 166; 180; 192; 214; 237; 255; 264}.

Проведем поиск множества позиций, обладающего свойством "не более одного совпадения" (шаги 12-15). В табл. 3, 4 проиллюстрировано выполнение первой итерации аддитивным (табл. 3) и мультипликативным (табл. 4) методами.

Таблица 3

Шаг Множество Элементы Максимум ИАКФ

13 { А}ст 0; 15; 37; 49; 68; 77; 93; 116; 129; 149; 159; 176; 200; 214; 235; 246; 264 2

Таблица 4

Шаг Множество Элементы Максимум ИАКФ

13 {А}Н 0; 20; 36; 55; 76; 87; 97; 112; 136; 149; 166; 180; 192; 214; 237; 255; 264 2

При Т° = 16.5 максимумы ИАКФ последовательностей, соответствующих как {А} Ст, так и {А}н, превышают единицу: тах {X х ( т )} = 2. Последовательно увеличивая квазипериод, получим, что для аддитивного метода при Т2 = 18.5 1 х (т) -1. Для мультипликативного метода это условие выполняется при Т^ = 24.5. В результате получены два множества:

• для аддитивного метода

{А}^ = {0; 17; 41; 55; 76; 87; 105; 130; 145; 167; 179; 198; 224; 240; 263; 276; 296}, которому соответствует КМА длиной N = 297 тактов и квазипериодом Тк = 196/16 = 18.5;

• для мультипликативного метода

{А}Н = {0; 28; 52; 79; 108; 127; 145; 168; 200; 121; 246; 268; 288; 318; 349; 375; 392}, которому соответствует КМА длиной N = 393 такта и квазипериодом Тк = 392/16 = 24.5.

В результате проведенной стадии синтеза получены минимальные значения квазипериода, при которых множества позиций обладают свойством "не более одного совпадения". Однако, если продолжить процесс увеличения Тк, получаемые множества позиций могут и

не обладать этим свойством. Минимальное значение Тк, начиная с которого дальнейшее увеличение квазипериода всегда приводит к множествам со свойством "не более одного совпадения", назовем пороговым значением квазипериода Тс пор (Я). В рассмотренном

примере Т^дцр^ (17) = 33.5 при синтезе аддитивным методом и Тспорн (17) = 48.5 при синтезе мультипликативным методом. Таким образом, Тк пОр (17) < Тк пОрн (17).

Таким образом, КМА, полученный мультипликативным методом синтеза, хуже, так как он обладает большими длиной и квазипериодом.

Как видно из примера, синтезированные аддитивным и мультипликативным методами КМА отличаются структурой, длиной, оптимальным квазипериодом, пороговым значением квазипериода и пик-фактором.

Для сравнения результатов синтеза аддитивным [7] и мультипликативным методами разработаны программы синтеза КМА. С их помощью проведен синтез КМА с весами Я < 997. В процессе синтеза для каждого из методов вычислялись следующие параметры:

• оптимальный квазипериод;

• пороговое значение квазипериода;

• возможность плавно изменять квазипериод КМА;

• зависимость количества КМА с различной структурой С я (Тк) от квазипериода

для фиксированного веса.

На рис. 1, 2 маркерами обозначены расчетные значения параметров КМА, а сплошными линиями изображены функции, аппроксимирующие рассматриваемую зависимость.

Из графиков, приведенных на рис. 1, следует, что оптимальный квазипериод КМА при аддитивном методе синтеза всегда меньше, чем у КМА, синтезированных мультипликативным методом, причем разница между ними с увеличением веса растет пропорцио-3/2

нально Я ' . Таким образом, если требование оптимальности длины КМА является определяющим, аддитивный метод синтеза предпочтительнее.

Сопоставление графиков, представленных на рис. 2, показывает, что пороговое значение квазипериода Тк пОр (Я) для КМА с весами Я < 89 соизмеримы. Для весов Я > 89

КМА, синтезированные мультипликативным методом, имеют существенно меньшее пороговое значение квазипериода. Разность между значениями ТкпОр (Я)

и Тк пОр (Я) воз-

2

растает пропорционально Я . Поэтому, если необходимо синтезировать КМА с минимальным пороговым значением квазипериода при заданном весе, то мультипликативный метод синтеза является предпочтительным.

При необходимости плавного изменения квазипериода КМА (например, для регулирования огибающей энергетического спектра) важным требованием является возможность изменения квазипериода с наименьшим шагом. Пороговое значение квазипериодов КМА, полученных мультипликативным методом, меньше, чем для КМА, полученных аддитивным методом. Следовательно КМА, синтезированные мультипликативным методом, позволяют изменять квазипериод с единичным шагом в более широком диапазоне.

Рассмотрим зависимость количества КМА с одним весом, но различной структурой от квазипериода для аддитивного и для мультипликативного методов синтеза. Общее количество последовательностей одинаково и равно ф(Я -1) для обоих методов. Отличием мультипликативного метода от аддитивного является более равномерный рост этой зависи-

Cr 24 16 8

0

300

600 Рис. 3

900

T

1 V

мости. Проиллюстрируем это на примере для веса R = 97, для которого общее количество КМА Ф ( R-1) = ф ( 96 ) (рис. 3). График 1 для аддитивного метода начинает рост раньше, но на промежутке 450 < TK < 1200 появляется всего пять новых последовательностей. График 2 для мультипликативного метода начинает рост позже, но этот рост более равномерен. Таким образом, если требуется синтезировать множество КМА с различной структурой и фиксированными квазипериодом и весом, рассмотренные методы синтеза дополняют друг друга.

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

• предложенный мультипликативный метод синтеза КМА существенно расширяет их число для фиксированного значения R;

• по пороговому значению квазипериода КМА, полученные предложенным методом, превосходят КМА, полученные аддитивным методом при весе R > 89;

• при синтезе КМА с весом R > 89 мультипликативным методом диапазон изменения квазипериода больше, чем в случае синтеза КМА аддитивным методом;

• оба метода дополняют друг друга, если требуется синтезировать множество КМА с разной структурой и фиксированным квазипериодом.

Список литературы

1. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.

2. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

3. Optimal frequency arrangements completely preventing the influence of the third order intermodulation product on useful components in multiple access and optimal unipolar sequences I K. A. Meshkovsky, F. Miller, V. S. Kuznetsov et al. II IEEE ISSSTA' 96, Fourth int. symp. on spread spectrum techniques & applications. Mainz, Germany, 22-25 Sept. 1996. IEEE: New York, USA, 1996. Vol. 2I3. P. 523-529.

4. Гантмахер В. Е., Платонов С. М. Синтез оптимальных импульсных последовательностей со свойством " не более одного совпадения" над расширенными полями Галуа второй и третьей степени II Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2009. № 6. С. 31-36.

5. Платонов С. М., Гантмахер В. Е. Программа синтеза оптимальных импульсных последовательностей со свойством " не более одного совпадения" I Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2009616270. Зарег. 13.11.2009.

6. Платонов С. М., Гантмахер В. Е. База данных оптимальных импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" I Свидетельство о гос. регистрации базы данных № 2009620525. Зарег. 11.01.2010.

7. Платонов С. М., Гантмахер В. Е. Программа синтеза оптимальных импульсных последовательностей со свойствами " не более одного совпадения " и " минимальной апериодичности" I Свидетельство о гос. регистрации базы данных № 2010610081. Зарег. 05.03.2010.

8. Платонов С. М., Гантмахер В. Е. База данных оптимальных импульсных последовательностей со свойствами " не более одного совпадения" и " минимальной апериодичности" I Свидетельство о гос. регистрации базы данных № 2010620024. Зарег. 03.05.2010.

V. E. Gantmakher, S. M. Platonov

Novgorod state university n. a. Yaroslav-the-wise

Multiplicative method of synthesis of pulse sequences with the properties "not more than one coincidence" and "minimal aperiodicity"

A simple to implement in computer method of synthesis of optimal length binary sequences with the properties of "no more than a coincidence" and "minimal aperiodicity" is offered. Analysis of the synthesis results is showed.

Synthesis, binary sequences, "not more than one coincidence", "minimal aperiodicity", optimality

Статья поступила в редакцию 8 декабря 2010 г.

УДК 621.396.94

Ю. Г. Булычев, А. А. Мозоль, А. С. Помысов

Ростовский военный институт ракетных войск им. Главного маршала артиллерии М. И. Неделина

В. Ю. Булычев

Ростовский технологический институт сервиса и туризма Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса

И. Г. Семенов ОАО НПИЦ "Арминт" (Москва)

| Метод коррекции траекторных измерений автономной угломерной системы

С использованием полного набора инвариантов плоскостного движения объекта разработан алгоритмический метод оценивания угломестных систематических ошибок измерений применительно к пассивным угломерным системам. Приведен иллюстративный пример.

Угломестная систематическая ошибка, стационарный пеленгатор, нормаль к плоскости, инварианты Известно [1]-[6], что проблема оценивания угломестных систематических ошибок (СО) измерений чрезвычайно актуальна, остается открытой по настоящее время и не нашла удовлетворительного решения в рамках классической теории оптимального статистического оценивания. Гораздо большую ценность представляют собой различные алгоритмические методы компенсации СО, не претендующие на оптимальность, не требующие знания большого объема информации о законах распределения погрешностей измерений и легко реализуемые в вычислительном плане с точностью, приемлемой для практики.

Так, в работах [5], [6] развит один из таких алгоритмических методов, который с использованием скалярного инварианта (угла наклона плоскости движения объекта к одной из координатных плоскостей) позволяет решать задачу компенсации постоянной СО по углу места в предположении, что измерения азимута также содержат постоянную СО. Показано, что задача оценивания постоянной СО по азимуту на базе пассивной угломерной системы (ПУС) не имеет решения.

Результаты моделирования, приведенные в работах [5], [6], показывают, что приемлемое качество оценивания угломестной СО на базе одного инварианта обеспечивается © Булычев Ю. Г., Мозоль А. А., Помысов А. С., Булычев В. Ю., Семенов И. Г., 2011 33