Мощность отделяемого множества вершин многомерного куба Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 08-01-00302а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

2. Herriot I.G. Norlung summability of double Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1942. 52, N 1. 72-94.

3. Ильин В.А. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С.М. Никольского // Матем. заметки. 1970. 8, № 5. 595-606.

4. Крутицкая Н.Ч. Локализация при ограниченном суммировании методами Чезаро, Рисса и Абеля кратных рядов Фурье // Матем. заметки. 1972. 12, № 4. 355-364.

5. Крутицкая Н.Ч. Окончательные условия локализации прямоугольных чезаровских средних и средних Абеля при ограниченном суммировании кратного тригонометрического ряда Фурье в классах Лиувилля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. 37, № 3. 593-602.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

7. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1983.

8. Дьяченко А.М. Об одном свойстве средних Чезаро двойных рядов Фурье // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Саратов. зимней школы, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова. 28 января - 4 февраля 2008 г. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2008.

Поступила в редакцию 08.10.2008

УДК 514.177.2 + 514.114

МОЩНОСТЬ ОТДЕЛЯЕМОГО МНОЖЕСТВА ВЕРШИН МНОГОМЕРНОГО КУБА

И. Н. Шнурников 1

Рассмотрим n-мерный куб и вписанную в него сферу. Гипотеза А. Бен-Тала, А. С. Не-мировского, К. Роса утверждает, что любая касательная гиперплоскость к сфере строго отделяет от центра сферы не более чем 2n-2 вершин куба. В работе доказана эта гипотеза для n ^ 6. Построена серия примеров гиперплоскостей, строго отделяющих ровно 2n-2 вершин n-мерного куба для любого n. Доказано, что гиперплоскости, ортогональные радиус-векторам вершин куба, строго отделяют менее чем 2n-2 вершин куба при n ^ 3.

Ключевые слова: пороговые функции, отделяемые множества вершин куба.

An n-dimensinal cube and a sphere inscribed into it are considered. The conjecture of A. Ben-Tal, A. Nemirovskii, C. Roos states that each tangent hyperplane to the sphere strictly separates not more than 2n-2 cube vertices. In this paper this conjecture is proved for n ^ 6. New examples of hyperplanes separating exactly 2n-2 cube vertices are constructed for any n. It is proved that hyperplanes orthogonal to radius vectors of cube vertices separate less than 2n-2 cube vertices for n ^ 3.

Key words: threshold functions, separated vertices of cube.

Введение. Рассмотрим n-мерный куб и вписанную в него n — 1-мерную сферу и. Будем говорить, что касательная гиперплоскость а к сфере и отделяет вершину куба A, если вершина A и центр сферы и находятся строго по разные стороны от гиперплоскости а.

Гипотеза (А. Бен-Тал, А.С. Немировский, К. Рос [1, гипотеза А.2]). Любая касательная гиперплоскость к вписанной сфере отделяет не более чем 2n-2 вершин n-мерного куба.

1 Шнурников Игорь Николаевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shnurnikov@yandex .ru.

Пример 1. Пусть (±1, ±1,... , ±1) Е Rn — координаты вершин n-мерного куба, тогда вписанная сфера задается уравнением х\ + + ... + х^ = 1. Гиперплоскость у\ + у2 = л/2 касается вписанной

сферы в точке 0,..., 0). Касательная гиперплоскость отделяет 2п~2 вершин куба, в точности те,

у которых первые две координаты равны +1.

В работе [1] доказано (лемма А.1), что любая касательная гиперплоскость к вписанной сфере отделяет не более чем |2га вершин n-мерного куба. Оценка |2га является достаточной для получения содержательных результатов в следующей задаче.

Методология робастной (robust) оптимизации, развитая в [2], сводит NP-трудные задачи нахождения минимума семейства линейных функций на выпуклых множествах при неявных ограничениях к разрешимым задачам, увеличивая количество неявных ограничений. Например, рассматривается задача поиска

min {cTx : Ax - b Е LN, V(A, b, c) Е Up}, (1)

zeR" p

где Ln — это iV-мерный конус: LN = {z E RW : Zn ^ \jz\ + • • • + ^jv-i}' a матРиЧа A E RNxn и векторы b Е RN, c Е Rn берутся из множества параметров

UP = {(A, b, c) = (A0, b0, c0)+ p ]T yi(Al, bl,cl) : yTQky < 1,k = 1,...,k)

i=i

для фиксированного набора неотрицательно-определенных матриц Qk Е вектора у = (у1,... ,у^) Е

И^, лежащего в пересечении К эллипсоидов, и вещественного числа р Е И..

Задача (1) для р = 1 ЖР-трудна (см. [2]), но она аппроксимируется (см. [1]) задачей (1) для р > 1, которая уже вычислима. Согласно [1], уровень аппроксимации р ограничивается сверху величиной

\

2

21n(r^(^Rank(gfc)) )•

k=1

Константа г — это максимальное отношение количества вершин п-мерного куба, отделяемых касательными гиперплоскостями к вписанной сфере, к количеству всех вершин куба, т.е. любая касательная гиперплоскость отделяет не более чем г2п вершин куба.

Основная часть. Обозначим координаты вершин п-мерного куба через (а\,..., ап), где а\ =1,1 = 1,...,п, а координаты точки касания гиперплоскости и вписанной сферы — через (х1,...,хп). Радиус вписанной сферы равен 1, поэтому х^ + ... + хП = 1. Уравнение касательной гиперплоскости имеет вид

Х1У1 + Х2У2 + ... + ХпУп = 1,

где переменными являются У1,... ,уп. Касательная гиперплоскость отделяет вершину куба с координатами (а1,..., ап) тогда и только тогда, когда

У^ aixi + ... + anxn > 1.

i=1

Пример 2. Для натурального числа к ^ Ц рассмотрим гиперплоскость

3/г - 2 \/3 , л/3

Зк^1Ш Зк~^1Ш + • • •+ Точка касания гиперплоскости и сферы имеет координаты

(зк - 2 у/г у/г

3k- V 3k- 1'"'' 3k-1

, 0,..., о

Вершина куба с координатами (а1,..., ап) отделена гиперплоскостью тогда и только тогда, когда а1 = 1 и среди чисел а2,аз,..., а2к есть не менее к единиц. Достаточное условие следует из неравенств

\/3 у/г ^^3 Зк — 2 у/3

-а2 + ... + --а2к ^ тп-Г и 777-7 + 777-7 > 1-

3k - 1 2 3k - 1 3k - 1 3k - 1 3k - 1

Необходимое условие следует из неравенств

л/3 л/3 л/3(2к -1) Зк-2

-а2 + ... + -т^—а2к < -Чп-< 1 +

3к - ' зк - зк - 1 - - ' зЛ - 1'

т.е. у отделенной вершины первая координата а\ = 1 и среди чисел ,а2к более половины положи-

тельных. Всего эта гиперплоскость отделяет 2п-2 вершин куба.

Теорема 1. Для п-мерного куба при п ^ 6 любая касательная гиперплоскость к вписанной сфере отделяет не более чем 2п-2 вершин куба.

То есть для всяких п ^ 6 чисел х\,х2 ,...,хп со свойством х2 + х2 + ... + хП = 1 количество N (х) наборов из п чисел а1, а2,..., ап, таких, что каждое из них равно +1 или -1 и верно неравенство а1х1 + а2х2 + ... + апхп > 1, не превосходит 2п-2.

Доказательство. При п ^ 5 добавим фиктивные числа хп+1 = хп+2 = ••• = хб = 0 и сведем теорему 1 к случаю п = 6. При замене знаков у чисел х1 количество N(х) наборов из шести чисел а1,...,аб, таких, что каждое из них равно +1 или -1 и верно неравенство а1 х1 + а2х2 + азхз + а4х4 + а5х5 + абхб > 1, не изменится. Поэтому считаем х1,...,хб ^ 0.

Фиксируем и упорядочим числа х1 ^ х2 ^ хз ^ х4 ^ х5 ^ хб ^ 0. Назовем набор из шести чисел а1,...,аб искомым, если каждое из них равно +1 или -1 и справедливо а1х1 + а2х2 + азхз + а4х4 + а5х5 + абхб > 1. Рассмотрим три случая.

Случай (а). Пусть верно неравенство

-х1 + х2 + хз + х4 + х5 + хб ^ 1.

Для всякого искомого набора а1,...,аб имеем а1 = 1. Справедливо неравенство х1 + ^б=2(-< 1, так как иначе получим противоречие:

а1хЛ + ( х1 + > ](-аг)хЛ > 1 + 1 = 2.

2 ^ 2х1 = (а1 + 1)х1 = ^^ aix^ + ^ + ^(-ai)х^

Поэтому число искомых наборов N (х) не превосходит половины от количества всевозможных наборов из пяти чисел а2,..., аб, каждое из которых равно +1 или -1, т.е. N(х) ^ 16. Случай а разобран.

Теперь, исходя из неравенства -х1 + х2 + хз + х4 + х5 + хб > 1, получим следующие неравенства (используемые в оставшихся случаях). Применив неравенство Коши-Буняковского к числам х1,х2, хз, х4, будем иметь

Х\ + х2 + хз + х4 х\ + х\ + х\ + х\ 1

4 V 4 2'

поэтому верны неравенства

х1 + х2 + хз + х4 ^ 2 и х2 + х4 ^ 1.

Предположив, что выполняется неравенство х1 + х2 - хз + х4 - х5 - хб ^ 1, и сложив его с исходным (для случаев б и в) неравенством -х1 + х2 + хз + х4 + х5 + хб > 1, придем к противоречию с неравенством х2 + х4 ^ 1, откуда получаем, что х1 + х2 - хз + х4 - х5 - хб < 1 и что существует не более одного искомого набора, содержащего не менее трех -1. Это (гипотетически возможный) набор а1 = а2 = аз = 1,а4 = а5 = аб = -1. Отметим, что искомых наборов не более чем с одной -1 ровно семь (так как всего наборов из шести чисел не более чем с одной -1 ровно семь), и для оценки числа искомых наборов N(х) осталось рассмотреть искомые наборы с двумя -1. Случай (б). Верны неравенства

-х1 + х2 + хз + х4 + х5 + хб > 1 и - х1 + х2 + хз + х4 + х5 - хб ^ 1.

Предположив дополнительно, что выполняется неравенство х1 - х2 + хз - х4 + х5 + хб > 1, и огрубив предположение до х1 +хб > 1, перемножим два следующих неравенства: хб > 1-х1 и х2+хз +х4 +х5+хб > 1+х1. В результате получим строгое неравенство

1 - х\ = х2 + ... + х2 ^ хб(х2 + ... + хб) > 1 - х2.

Противоречие привело к системе неравенств

-х1 + х2 + хз + х4 + х5 - хб ^ 1 и х1 - х2 + хз - х4 + х5 + хб ^ 1,

откуда получим, что искомых наборов с двумя —1 не более восьми. Перечислим все (гипотетически возможные) искомые наборы с двумя —1 (неуказанные координаты вершин куба равны +1):

а2 = а5 = —1, а2 = аб = —1, аз = а4 = —1, аз = а5 = —1, аз = аб = —1, а4 = а5 = —1, а4 = аб = —1, а5 = аб = —1.

Сложив оценки количеств искомых наборов, содержащих не более одной, ровно две и хотя бы три —1, получим N(х) ^ 7 + 8 + 1 = 16.

Случай (в). Верны неравенства

—х1 + х2 + хз + х4 + х5 + хб > 1

— х1 + х2 + х3 + х4 + х5 — хб > 1.

Предположив дополнительно, что выполнено неравенство х1 + х2 — хз + х4 — х5 + хб ^ 1, и сложив его с исходным в случае в неравенством —х1 + х2 + хз + х4 + х5 — хб > 1, получим противоречие с неравенством х2 + х4 ^ 1. Поэтому искомых наборов с двумя —1 не более 6. Перечислим все (гипотетически возможные) искомые наборы с двумя —1 (неуказанные координаты вершин куба равны +1):

а1 = аб = —1, а2 = аб = —1, аз = аб = —1,

а4 = а5 = —1, а4 = аб = —1, а5 = аб = —1.

Сложив оценки количеств искомых наборов, содержащих не более одной, ровно две и хотя бы три —1, получим N(х) ^ 7 + 6 + 1 = 14. □

Замечание. Гиперплоскость + + - • - + = 1> касающаяся сферы в точке с координатами

..., отделяет ровно Сп вершин куба. Пусть к координат отделяемой вершины куба

положительны и п — к отрицательны, тогда к — (п — к) > л/п, т.е. п — к < . Осталось заметить, что

существует СЩ-к вершин куба ровно с п — к отрицательными координатами.

Теорема 2. Для п ^ 3 гиперплоскость + + • • • + = 1 отделяет менее чем 2Г~

вершин п-мерного куба.

То есть (используя замечание) для всех натуральных чисел п ^ 3 верно неравенство

п2

£

Сп < 2

п2

п — -у/п 2

План доказательства. Для 3 ^ п ^ 15 вычислим обе части неравенства явно. Для п ^ 16 перепишем неравенство через сумму "центральных" С^, оценим последние по формуле Стирлинга, а их сумму — через

/ е 2 (Ц.

Доказательство. Шаг 1. Составим таблицу для обеих частей неравенства и числа — коли-

чества участвующих в суммировании С\ для 3 ^ п ^ 15.

п 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15

1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 6

1 1 6 7 29 37 46 176 232 794 1093 3473 4944

2п-2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192

Через \х~\ и \_х\ обозначим верхнюю и нижнюю целые части числа х соответственно. Для п ^ 16, пользуясь соотношениями Сгп = С™-г и п — \п~У™~\ = |_га+У"], перепишем требуемое неравенство:

Е Сп > 2п-1.

г=Г-

Шаг 2. Оценим Сгп снизу с помощью формулы Стирлинга п\ = • (\/2ттп е12п), где 0 ^ 9п ^ 1, и функции энтропии Н(х) = —х 1с^2 х — (1 — х) 1с^2 (1 — х):

н п\ п ■ п

п = И(п — г)! = "г

2пп

(п — г)п

2пг 2п(п — г)

. е12п 12г 12(п-г) >

и

п^л/п

в

в

в

П

п

> 2пН0 [J-.t I_■ e'^'M^J ) .

п у 4i(n — i)

Введем величину t = ^ — Тогда

1

п п . . .„ у ж _ Щ

Определим функцию

,2 _1_

/ 1 Jnt ~ 3ri(l—4i2) /(i) := 2гаЯ(4+2)-га ■ -- (2)

на отрезке |t| ^ KOTOPb™ получился из неравенства \г — ^ Преобразуем первый сомножитель в (2): "

2nH(t+\)-n = 2n(-(i+t) log2(l+2t)-(±-t)log2(l-2t)) = e-f ln(l-4i2)-niln(^|f)

Определим функцию

:= ln(/(i)) = 2nt2--. 1 л 9. - nt In (- !1±I ln(l - 4t2) при |i| < 1

Зп(1-4£2) У1-^/ 2 ^ Зд/й'

Функция четная, и Л,(0) = — Покажем, что 0 при 0 ^ £ ^ г^га' Продифференцируем

выражение, определяющее функцию Ь(Ь), сгруппируем слагаемые и разложим вторую группу слагаемых в ряд по степеням 2Ь:

,„ , ( 2* 8г Ч ( 2Ь /1+2^ \Ч

т = [т^ - Зта(1 — 4£2)2 ) + + ^ - »(тгй)) =

21 ( 4 Ч /^ ч2.+1 ^ ф)2^1 \

'1 " ^ТТЗТЖ + Е(^) - 2п Е I ^

1 — 4i2 V 3n(1 — 4t2) J Гл 21+ 1

2i 41 4 , \2fc+i Л 2n(2t)2

1 — 4t2 45 У \ ^ ' V 2k + 3 7 Vfc=o 4

+ J»- h-^L »

Неравенства верны, так как п ^ 16, 0 ^ £ ^ А и п(2Ь)2 < 1.

Из четности функции и неотрицательности функции для 0 ^ £ ^ ^Т^ получим неравенства

/¿(¿) ^ /¿(0) = и /(*) ^ /(0) = е"зк для < 1

3п ^ ~~~~ 2у/п'

Отсюда следует оценка Сгп снизу:

С*п>№при пЩ = \г - <

V ^п V ^п 2 2

/ о — — — —

Шаг 3. Из формулы (е 2 1 = (ж — 1)е 2 получим выпуклость вверх функции е 2 при |ж| < 1. Для любого отрезка [а, Ь], где -1 ^ а < Ь ^ 1, верно неравенство

b

x

2 (■a+b)2

е 2 dx ^ (b - а)е s

поскольку криволинейная трапеция < (ж, у)\а ^ ж ^ Ь, 0 ^ у ^ е 2 К в силу выпуклости содержится в тра-

( (а+Ь)2 \

пецпп, отсекаемой касательной к графику у = е 2 в точке I >е 8 ) от п°луполосы {{х,у)\а ^

х ^ Ь, 0 ^ у}. Аналогично (при Ь < 2 трапеция, отсекаемая касательной, не вырождается в ломаную) получим неравенство

Г1 (а+Ь)2

/ е 2 йх^(Ь-а)е 8

■) а

для любых чисел — 1 ^ а < < 1 < Ь < 2.

Обозначим множество целых чисел отрезка ], через 1п, а число 2у/п(^ — — через

хг для каждого индекса г Е 1п. Тогда из оценки Сгп снизу в шаге 2 получим неравенство

--9

су 1

1)1, 1 — "—

Оценим е 2 снизу:

Заметим, что

2п\ —е~зга У е~~2~

^ п V пп ^

геТп г&!п

тифч + ^Д}

^ у/п Г ,

е 2 ^ У— / е

1 л/га' 1

22

тах{жг} >1--■=, тт{жг} < —1 +

г£1п у/п' г€/„

и оценим снизу сумму интегралом:

Г

--V"

1

Шаг Используя неравенства е~х ^ 1 — ж при 0 ^ ж ^ 1, 7Г < ^ и п ^ 16, получим

1--

з

__л/й" 4

7 [ ( ж2\ , 87 — и / е 2 с!х ^ / 1--Ыж = —-.

Н У У V 2 У 64

V" 4

Поэтому

^ га V 81 80

ге1п

Комментарий 1. В пределе п сумма биномиальных коэффициентов, деленная на 2п, стремится

к нормальному (гауссовскому) распределению, следовательно,

-1

хг^ 1 г

— Т) V л -1- I — —

-П _^

0

^ I е" 2 (М и 0,158 < 0,25, п -»■ оо.

2

Комментарий 2. В книге А. Н. Ширяева [3, гл. 3, § 11, задача 2] сформулирована следующая задача. Пусть аи — независимые, одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим

2

X

ожиданием, фиксированной дисперсией и конечным третьим моментом, т.е. Еак = 0,0ак = о2, Е\ак|3 < то. Тогда верна оценка отклонения вероятности Р от интеграла гауссовского распределения:

Доказав эту задачу с достаточно малой константой с и применив ее с х = —1, можно получить еще одно доказательство теоремы 2.

Работа выполнена при частичной поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", грант НШ-660.2008.1; программы развития научного потенциала высшей школы, проект РНП 2.1.1.3704; РФФИ, грант № 07-01-00648а.

1. Ben-Tal A., Nemirovski A., Roos C. Robust solutions to uncertain quadratic and conic-quadratic problems // SIAM J. Optim. 2002. 13. 535-560.

2. Ben-Tal A., Nemirovski A. Robust convex optimization // Math. Oper. Res. 1998. 23, N 4. 769-805.

3. Ширяев А.Н. Вероятность-1. М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

x

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Поступила в редакцию 24.04.2009