CC BY
42
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 514.124,519.146
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ НА МНОГОМЕРНОМ КУБЕ А.В. ЖУБР
Отдел математики, Коми научный центр УрО РАН, г.Сыктывкар avzhubr@smail.com
Строятся контрпримеры к двум гипотезам, касающимся экстремальных свойств одномерных проекций те-мерного куба и имеющим теоретико-вероятностную мотивировку.
Ключевые слова: те-мерный куб, сферическая геометрия, вероятности больших отклонений
A.V. ZHUBR. ON ONE EXTREMAL PROBLEM FOR Ж-CUBE
Counterexamples are constructed for two conjectures concerning certain extremal properties of one-dimensional projections of the те-cube, and having probabilistic motivation.
Key words: те-cube, spherical geometry, tail probabilities
В ходе одного довольно давнего моего разговора с С.Г Бобковым речь зашла о гипотезах, касающихся вероятностей больших уклонений (tail probabilities) для линейных комбинаций независимых бернуллиевских случайных величин с p = 2. Гипотезы допускали довольно очевидную геометрическую формулировку и, как мне показалось, должны были решаться в отрицательном смысле. Через несколько дней у меня действительно получились контрпримеры, вызвавшие некоторое обсуждение, но так тогда и не опубликованные. Настоящая заметка представляет собой изложение этих контрпримеров вместе с некоторыми более поздними исправлениями и дополнениями. Применяемые здесь методы совершенно элементарны, за исключением разве что некоторых хорошо известных фактов римановой геометрии в последних разделах.
1. Формулировка задачи
Для ненулевого x е R" и для произвольного t е R обозначим через »(x,t) число тех а е {±1}", для которых выполнено неравенство
ха ^ t ■ \x\ , (1)
где ха = "=i xiai и \x\ = обозначают обыч-
ные скалярное произведение и норму в R". Функция »(x,t) описывает, таким образом, образ множества {±1}" при ортогональной проекции на прямую Rx. В геометрическом смысле при определении функции »(x,t) более естественным было бы считать, что вектор x — единичный (т. е. принадлежит сфере S'"-1), и в этом случае (1) записывалось бы просто как xa > t; нам, однако, будет технически удобнее рассматривать векторы произвольной длины.
Функцию »(x,t) можно, конечно, определить
в вероятностных терминах. Пусть е1, e2,..., £" — независимые случайные величины, принимающие равновероятно значения ±1. Определим семейство случайных величин ex = i xiei/\x\; тогда, очевидно,
2~"»(x,t) = P{ex > t} = 1 - Fx(t) , (2)
где Fx(t) — функция распределения случайной величины ex.
Из определения ясно, что функция »(x,t) — ступенчатая (принимает конечное число значений), непрерывна слева и убывает по t, полунепрерывна сверху по X, и что »(х, t) = 2" при t < -уП и »(х, t) = 0 при t > y/n. Очевидно также, что функция »(x,t) обладает следующими свойствами инвариантности:
»(gx) = ц(х) (3)
для любого g е G, где G с O(n) — группа симметрий множества {±1}", порожденная всевозможными перестановками координат и заменами их знаков, и
fi(Xx,t) = »(x,t) (4)
для любого Л = 0. Кроме того, нетрудно убедиться посредством обычного теоретико-множественного вычитания, что имеет место равенство
»(t)=2" - »(-t + 0) , (5)
где «+0» обозначает, как обычно, предел справа (очевидно, он требуется для того, чтобы «не потерять» те точки а, для которых (1) обращается в равенство).
Естественным образом возникает вопрос об экстремальном поведении функции »(x,t) (или, что равносильно, вероятностей (2)) по отношению к параметру x. Введем обозначения
M (t) = sup »(x,t) (6)
x
m(t) = inf ц(х, t) .
(7)
где Л* = (n - 3)/(n - 1), и
Из сказанного выше следует, что обе функции равны 2n при t < -,/П и нулю при t > v«, что обе они убывают на отрезке и что функция M(t) непре-
рывна слева, а m(t) — справа. Кроме того, имеется соотношение
m(t) =2п - M (-t + 0)
(8)
— прямое следствие формулы (5). Заметим еще, что, как нетрудно убедиться, m(t) = 0 при t > 1 (соответственно, M (t) = 2п при t < -1). Достаточно, таким образом, уметь вычислять или оценивать функцию M (t) на отрезке [-1,^/«].
Обозначим через D(t) множество
{x е Rn | n(x,t) = M (t)}
(ясно, что D(t) замкнуто и непусто для любого t е R). Из (3),(4) следует, что множества D(t) инвариантны относительно соответствующих преобразований координат. Поэтому здесь можно ограничиться лишь теми х е Rn, которые удовлетворяют условиям
Х1 > Х2 > ... > Хп > 0
и, кроме того, считать, что выполняется то или другое условие нормировки, например \х\ = 1 или х1 = 1.
«Максимально благоприятная» ситуация могла бы состоять, например, в следующем: для каждого значения параметра t мы явно указываем конечное множество X(t), удовлетворяющее условию X(t) n D(t) = 0. Вычисление значений функции M (t) свелось бы тогда, для каждого t, к вычислению максимума функции y(x,t) на множестве X(t), те., в итоге, к конечному перебору.
Следующая гипотеза предполагает именно такой вариант событий:
Предположение 1. Каждое множество D(t) содержит по меньшей мере одну из точек вида
x(n,k) = (1,... ,1, 0,..., 0), к = 0,1,...,n - 1. (9)
n — к к
Мы будем называть это предположение «сильной гипотезой», в отличие от «слабой гипотезы», которая формулируется в следующем параграфе. В том случае, если «сильная гипотеза» верна, исследование функции M(t) сводится к вычислению всевозможных значений /j(x(n,k),t), что не представляет проблемы: нетрудно убедиться, что имеет место равенство
n(x(n, к),t) = 2n I 1
где Е(у) — биномиальная функция распределения с параметрами к (объем выборки) и 1 (вероятность успеха). Оказывается, однако, что дело обстоит не столь хорошо.
2. Контрпример к предположению 1
Начиная с этого момента везде предполагается, что п > 5. Положим
t* — \x* \ —
n2 - 5n + 8 n1
(11)
Лемма 1. Имеют место следующие неравенства:
Ь* ■ \х(п, к)\ > п — к — 2;
Ь* ■ \х(п, к)\ > п — к при к > 4;
Ь* ■ \х(п, к)\ < п — к при к < 3.
Доказательство. (а) Неравенство (12) может быть записано в виде
(12)
(13)
(14)
t>
n - к - 2 \/n - к ’
где правая часть, как нетрудно убедиться, представляет собой убывающую функцию переменной к. Таким образом, достаточно проверить последнее неравенство для к = 0, где оно (после возведения в квадрат) принимает вид
п2 — 5п + 8 > (п — 2)2
п — 1
и устанавливается непосредственно.
(б) Аналогичным образом, неравенство (13) может быть записано в виде Ь* > ^/п—к. Здесь правая часть также убывает по к, так что все сводится к
n2 - 5n + 8 n1
> n - 4
и также проверяется непосредственно.
(в) Наконец, неравенство (14) достаточно проверить для к = 3, где оно оказывается равносильным принятому выше условию п > 5.
□
Теорема 1. Имеют место следующие равенства:
ц(х*,Ь*) = п; (15)
n(x(n, к),t*)
2к при к < 3, 0 при к > 4.
(16)
Доказательство. (а) Выражение
x*^a = ai
i=n
* / ai, a € {±1}r 2
+Л
достигает максимума п — 2 при а = (1,1,..., 1). Значение, непосредственно предшествующее этому максимуму, получается при замене знака одной из координат а2, а3, ...,ап с плюса на минус; как легко убедиться, это значение равно (п2 — 5п + 8)/(п — 1), т. е. Ь* ■ \х* \. Таким образом, получается ровно п решений неравенства (1), что и доказывает соотношение (15).
(б) Если а е {±1}п удовлетворяет неравенству (1) с х = х(п, к) и Ь = Ь*, то, в силу (12), мы имеем
ai + a2 + ... + an___________к > n — к — 2,
(17)
(1, Л*
, Л*),
(10)
что возможно лишь при (а1,. . . ,ап-к) = (1,. .., 1). Это значит, что все решения неравенства (1) содержатся, при данных значениях параметров, среди 2к точек вида
а = (1,..., 1, ±1,..., ±1). (18)
к
и
x
*
При этом в случае к < 3 из (14) следует, что все точки вида (18) и в самом деле являются решениями. С другой стороны, при к > 4 вместо неравенства (17) должно было бы выполняться, в силу (13), более сильное неравенство
а\ + а2 + ... + ап-к > п — к, что, разумеется, невозможно для а е {±1}п. □
Следствие 1. При п > 9 множество Б(Ь*) не содержит точек х(п, к).
3. Продолжение темы: «слабая гипотеза» и второй контрпример
Характер построенного выше контрпримера наводит на мысль, что, возможно, максимумы функции ц(х,Ь) следует искать среди точек, координаты которых принимают два различных значения (именно к такому типу относится точка х*, участвующая в построении этого контрпримера). Для любых значений к е {1, 2, . . . ,п — 1} и Л е [0,1] положим
х(п, к, Л) = (1,... ,1, Л,... , Л).
п-к к
Определенное таким образом семейство точек х(п, к, Л) содержит все встречавшиеся выше: очевидно, х(п, к, 0) = х(п, к) и х(п,п — 1, Л*) = х*.
Предположение 2. Каждое множество Б(Ь) содержит по меньшей мере одну из точек х(п, к, Л).
Но и это оказывается неверным. Положим
х** ^ (1,Л**,...,Л**, 0) , (19)
^1
п- 2
где Л** = (п — 4)/(п — 2), и
Ь** = \х**\ = /1 + (п — 2)Л2* = Уп2 —п—+— (20)
(таким образом, х** и Ь** — это просто х* и Ь* для размерности п — 1).
Теорема 2.
1. Имеет место равенство ц(х**,Ь**) = 2(п — 1);
2. При п > 6 для любых допустимых к и Л имеет место неравенство ц(х(п, к, Л),Ь**) < п + 12.
Следствие 2. При п > 15 множество Б(Ь**) не содержит точек вида х(п, к, Л).
Доказательство теоремы 2 существенно более утомительно, чем доказательство теоремы 1. Вместо того, чтобы пытаться изложить здесь это доказательство, мы сначала перейдем к более геометрической точке зрения, которая позволит сделать оба доказательства значительно более «мотивированными».
4. Переформулировка задачи. Поверхность п-мерного куба и геометрия (п — 1)-мерной сферы
п-мерным кубом здесь называется множество [—1,1]п с Кп, обозначаемое короче Дп. Для каждого к е {0,1,...,п — 1} куб Дп имеет набор к-мер-ных клеток — подмножеств, каждое из которых изо-метрично к-мерному кубу и получается посредством
выбора каких-то п - к координат и присвоения каждой из них значения 1 или -1 (ясно, что число таких клеток 2п-кОк). Нульмерные клетки называются, как обычно, вершинами, одномерные — ребрами, (п-1)-мерные — гранями. Как правило, произвольные вершины мы обозначаем малыми буквами а,Ь,с, а произвольные клетки других размерностей — большими буквами А, В, О. Множество всех клеток куба Ап размерности к, т. е. его к-мерный остов, обозначается АП, так что выражение А е АП равносильно фразе «А является к-мерной клеткой». Нульмерный остов АП = {±1}П — то самое множество, на котором решается наше неравенство (1). Объединение же всех граней, обозначаемое далее через дАп,— не что иное как граница (поверхность) куба, гомео-морфная сфере Яп-1, и мы будем считать, что точка х, участвующая в неравенстве (1),— иначе говоря значение первого аргумента функции ^(х,ґ) — выбирается как раз из множества дАп. Нам будет удобно сохранить аналогичные обозначения и для клеток куба Ап (также являющихся кубами), так что, например, А0 обозначает множество всех вершин клетки А и т.д.
Для любых а,Ь е Ап с а = ±Ь однозначно определена клетка, для которой отрезок [а,Ь] является главной диагональю и которая будет обозначаться [[а, Ь]]. Как нетрудно видеть, размерность клетки [[а, Ь]] совпадает с расстоянием Хэмминга Н(а, Ь) (числом тех і е {1,... ,п}, для которых аі = Ьі).
Мы введем, для удобства последующих формулировок, ряд констант, являющихся точками или клетками куба Ап (некоторые из этих констант уже встречались выше под другими наименованиями). Через р0 мы обозначаем «лексикографически максимальную» вершину куба — точку (1,..., 1), а через рк, для к е {1,...,п},— «максимальную» вершину из находящихся на расстоянии Хэмминга к от р0:
Рк = ,-1,..., -1).
п-к к
Далее, Ек обозначает «лексикографически максимальную» к-мерную клетку:
Ек = [[^ рк]] = {(1, . . . , ^ ЛЪ . . . , ЛкЖ -1 ^ Лі ^ 1.
Центр клетки Ек (или, что то же самое, центр отрезка [р0, рк]) обозначается через хк (эта же точка в разделе 1 записывалась как х(п,к)); для произвольного Л е [0,1], точка (1,..., 1, Л,..., Л) отрезка [р0, хк ] (точка х(п, к, Л) предыдущего раздела) обозначается более компактно как хк. Если по каким-то причинам нам потребуется в явном виде указать размерность «основного» куба Ап, то будем писать рк(п), Ек(п), Хк (п) и т.д.
Мы рассматриваем Кп-1 как подмножество пространства Кп, заданное уравнением хп = 0, так что Ап п Кп-1 = Ап-1 (таким образом, Ап-1 не является гранью куба Ап) и Ек(п) п Кп-1 = Ек-1(п - 1). Проекция Кп ^ Кп-1 отображает ап на Ап-1, при этом у каждой вершины а е АП-1 имеется два прообраза, которые мы обозначаем а+ и а-, в зависимости от знака последней координаты. Очевидно, что в этих обозначениях имеем р0(п) = р0(п - 1)+, и рк(п) = рк-1(п - 1)- при к > 1.
Как уже отмечалось, множество dAn — это топологическая сфера. Рассмотрим «радиальный» гомеоморфизм
p : дАп ^ Sn-\ p(x) = x/\x\.
Сфера Sn-1 (множество всех x £ Rn с \x\ = 1) рассматривается здесь как риманово многообразие с индуцированной метрикой d(x,y) = arccos x-y. Как хорошо известно, соответствующие этой метрике кратчайшие (геодезические линии) — это дуги «больших кругов», те. окружностей радиуса 1, получающихся как пересечения сферы Sn-1 с проходящими через начало координат плоскостями (двумерными подпространствами в Rn). Гомеоморфизм p индуцирует метрику на dAn, которую мы обозначаем той же буквой d:
d(x, y)
x-y \x\ ■ \y\.
(21)
В дальнейшем, говоря о расстояниях, геодезических линиях, углах и т. д. на поверхности куба, мы будем иметь в виду именно эту метрику (иногда, впрочем, может оказаться более удобным посмотреть на эту ситуацию «с другой стороны» и считать, что не метрика сферы перенесена на поверхность куба, а, наоборот, клеточное разбиение поверхности куба перенесено на сферу). Заметим, что «геодезические линии» на дАп в смысле определенной таким образом метрики — это радиальные прообразы больших кругов сферы, т. е. пересечения поверхности куба с двумерными подпространствами; в частности, геодезические внутри клеток куба — это, как и в евклидовой метрике, прямолинейные отрезки. Конечно, расстояния и углы в сферической метрике на дАп отличаются от евклидовых, однако полезно иметь в виду, что на множестве вершин куба все три расстояния — евклидово, сферическое и расстояние Хэмминга — являются монотонными функциями друг друга. Что касается измерения углов, то можно отметить, что радиальная проекция любой клетки куба на сферу сохраняет углы в центре этой клетки (точнее, дифференциал радиальной проекции в соответствующей точке является гомотетией, ср. ниже доказательство леммы 3); это означает, что «сферический» угол между линиями, принадлежащими некоторой клетке и пересекающимися в ее центре, совпадает с обычным евклидовым углом.
Неравенство (1) теперь можно, введя обозначение
' (22)
rn (t) = arccos ——=, \/n
записать как
d(x, a) < rn (t)
(23)
так что n(x,t) оказывается числом вершин, попадающих в замкнутый шар
Br(x) = {y | d(x,y) < r}
с центром в точке x радиуса r = rn(t). Отметим еще раз, что «шар» здесь понимается в смысле сферической метрики, при этом, в силу принятых нами соглашений, и в зависимости от удобства, мы можем наши вершины и шары представлять как на поверхности куба дД", так и на сфере S"_1.
5. Некоторые метрические соотношения на поверхности п-мерного куба
Введем теперь некоторый набор числовых констант, связанных с «взаимодействием» метрики й и клеточного разбиения куба. Для к е {1,...,п - 1} мы обозначаем через 5к сферический диаметр (длину диагонали) клетки Ек (или, что то же, произвольной к-мерной клетки куба Ап):
( 2к\ V--).
&к = Л(Ек) = ^р0, Рк) = агссов ( 1 — п ) . (24)
По-другому можно сказать, что 5к — это сферическое расстояние между любыми двумя вершинами а,Ь с Н(а,Ъ) = к (напомним, что Н(а,Ъ) здесь — расстояние Хэмминга). Через рк удобно обозначить соответствующий радиус:
Sк
рк = — = arccos
\1 — к = arcsin \ к. (25) \ n \ n
Далее, для любых к е {2, ... ,п - 1}, i е {1,..., [к/2]}, мы обозначаем через пк сферическое расстояние между отрезком [po, pk] и точкой p* или, что эквивалентно, между произвольным отрезком [a,b] длины Хэмминга к и произвольной вершиной С е [[a,b]]0 с h(c, {a, b}) = i:
пк = min d( Р<
> xkJ =
arccos max -
п — к + (к — 2^Л\
^ л^п(п — к + кЛ2) ) (26)
(условие I < [к/2] связано с тем очевидным фактом, что [к/2] — это наибольшее возможное расстояние Хэмминга между главной диагональю к-мерной клетки и какой-то ее вершиной). Соответствующее значение Л* нетрудно вычислить посредством элементарного дифференцирования:
А*
к — 2i к
(27)
(загадочным образом, Л* оказывается здесь не зависящим от п и, более того, совпадающим с тем, что получилось бы в случае евклидовой метрики). Пусть qik = х"к* обозначает основание перпендикуляра, опущенного из вершины рі на отрезок [р0, рк]. Рутинная подстановка дает:
Як = d(Pi, qk) = arccos
\/k(n — к) + (к — 2i)2 л/ки
(28)
Далее нам окажутся полезными и другие варианты этой же формулы:
Як
4i { i Л
1 — " Iі — kJ
(29)
Приведем теперь некоторый набор неравенств, связывающих введенные выше величины; доказательства большинства из них представляют собой простую проверку и будут поэтому опускаться. Цепочка неравенств
Р1 < Р2 < ... < pn-
(30)
arccos
arccos
arccos
— следствие формулы (25). Далее, как нетрудно проверить,
Р3 < ¿1 < Р4 При п > 5 (31)
(напомним, что, начиная с раздела 2, условие п > 5 предполагается выполненным). В действительности, нетрудно доказать более общее утверждение:
Р4к-1 < ¿к < Р4к при п> 4к2. (32)
(Доказательство: вычисляя косинусы, перепишем данные неравенства в виде
> у/П — 2к/^/п > л/п — 4к,
что после возведения в квадрат и упрощения превратится в 1 > 4к2 /п > 0.)
Замечание 1. Условие п > 4к2 нужно только для первого из неравенств, второе лишь естественно предполагает, что п > 4к.
Замечание 2. В евклидовом случае второе неравенство превратилось бы в равенство, в сферической же метрике радиусы рк растут быстрее из-за кривизны. Следующая цепочка неравенств
1^2. , [к/2] Пк <Пк <■■■<%
(33)
непосредственно следует из формулы (28) (выражение в числителе очевидным образом убывает при возрастании г).
Наконец, можно «уплотнить» цепочку неравенств (31), вставив туда величину пП-1
Р3 < Пп-1 < ¿1
(34)
(опять для п > 5; фактически, при п > 6 имеет место строгое неравенство р3 < пП-ь).
Замечание 3. Подобным же образом «уплотняется» более общая цепочка (32):
к2 Р4к-1 < Пп-1 <5к при п > 4к +1.
Мы закончим этот раздел несколькими более или менее тривиальными леммами, речь в которых будет идти о треугольниках на сфере (или, что равносильно, на поверхности куба). Выражение вида «треугольник ЛЕО»(или, в другом варианте обозначений, «треугольник хуг») будет означать, как обычно, треугольник с вершинами Л, Е и О (или, соответственно, х, у и г) и соединяющими их кратчайшими геодезическими (дугами больших окружностей длины < п). В варианте «треугольника ЛЕО» длины этих дуг (как и сами дуги) обозначаются, соответственно, а, Ь и с, выражение «угол О» обозначает угол, образованный парой дуг а,Ь в точке О и т. д. В варианте «треугольника хуг» мы обозначаем стороны треугольника (как и их длины) ху, уг и хг, а угол при вершине, скажем у,— как хуг. Кроме того, выражения вида «треугольник хуг» или «угол хуг» будут использоваться в ситуации, когда х, у и г — точки на поверхности куба (имея в виду треугольник, образованный их проекциями на сферу и добавляя иногда слово «сферический» для предотвращения возможной двусмысленности).
Лемма 2. При 2г < к имеют место неравенства Рс^гк < пк < рк; при 2г = к оба неравенства становятся равенствами.
Доказательство. Указанные соотношения нетрудно проверить аналитически, как все предыдущие. Вместо этого мы приведем «синтетическое» рассуждение. Рассмотрим для любой допустимой пары индексов к,г треугольник рср*хк, образованный двумя вершинами клетки Ек и ее центром (и дополним его затем до большего треугольника, добавив вершину рк, см. рис. 1).
Треугольник рср*хк — равнобедренный: его боковые стороны равны радиусу клетки Ек, те. рк. Далее, при 2г < к угол при вершине хк острый — это следует из того, что рср* < р*рк, что, в свою очередь, вытекает из г < к — г. Следовательно, отрезок р^к (перпендикуляр из вершины р* к стороне рсрк) проходит внутри треугольника, так что угол при вершине р* треугольника рср^*к меньше угла при рс. Осталось применить известное правило «против меньшего угла — меньшая сторона». Наконец, при 2г = к треугольник рср*хк становится прямоугольным (ввиду рср* = р*рк), так что точка qk совмещается с хк, и оба неравенства становятся равенствами. Уточним еще раз, что расстояния и углы понимаются здесь в смысле геометрии на сфере.
□
Рк
Рис. 1. К доказательству леммы 2.
Пусть A,B — клетки куба Ап (предполагается, что их размерности положительны, т е. это не вершины). Будем называть эти клетки дополнительными в вершине с, если выполнены условия:
1. dim A + dim B = n;
2. A П B = {c}.
Очевидно, аффинные оболочки клеток A и B будут в этом случае ортогональными дополнениями друг друга в смысле евклидовой геометрии. Клетка B (однозначно определенная клеткой A и вершиной с) будет в этой ситуации обозначаться через A^c. Легко убедиться, что [[а,6]]±ь = [[6, -а]].
Лемма 3. Пусть A,B — дополнительные клетки куба с общей вершиной с. Пусть x е A, y е B — точки, отличные от с. Тогда (сферический) угол хсу не меньше п/2.
Доказательство. Проекция p : дАп х Sn-1 переводит отрезки [c,x] и [с, у] в дуги сх и су и, соответственно, дифференциал dcp переводит векторы v = ХХ
и т = сУ в касательные векторы к этим дугам в точке с. Пусть 1с — прямая в пространстве К", проходящая через вершину с и ¡с — ее ортогональное дополнение. Отображение йср может быть, с точностью до умножения на константу, отождествлено с обычной ортогональной проекцией К" х ¡с. Мы можем считать (применив при необходимости соответствующее преобразование координат), что А = Ек и а = р0, т. е.
А = [[ро, рк]] = {(1,..., 1,а1,...,ак)},
В = [[ро,-Рк ]] = {(в1,- ■ ■ ,в"-к, 1,■■■, 1)}
с -1 < а^,в] < 1. Векторы V = х - с и и = у - с запишутся тогда в координатах как
V = (0,... , 0^1,... ^к),
= (w1,...,wn_k, 0,..., 0)
т
с VI,< 0. Проделав теперь рутинное упражнение по линейной алгебре и вычислив проекции Ъ,й векторов v,w на гиперплоскость Iс, получаем
Е* щ • Ез т . „
V • т =------------- < 0.
п
□
Лемма 4. Пусть х — центр клетки [[а, 6]] и у — произвольная точка дополнительной клетки [[а, 6]]±ь = [[6, -а]]. Тогда угол аху не меньше П.
Доказательство здесь полностью аналогично предыдущему
Лемма 5. Пусть заданы а0,Ь0 е (0, п/2]. Пусть сферический треугольник АВС удовлетворяет условиям:
1. С > п/2;
2. а ^ ао, 6 ^ 6о;
3. хотя бы одна из длин а, 6 не превосходит п/2. Тогда выполнено неравенство:
c ^ arccos(cos ao • cos bo).
(35)
Доказательство. Это немедленно следует из «формулы косинусов» для сферического треугольника:
cos с = cos a ■ cos b + sin a ■ sin b ■ cos C
(см. [1]). Заметим, что arccos(cosa0 ■ cos b0) — это, согласно «сферической теореме Пифагора», длина гипотенузы сферического прямоугольного треугольника с катетами a0,b0. □
Следствие 3. В предположениях леммы имеет место неравенство с > max{a0, b0}.
В дальнейшем будет удобно следующее обозначение: для любых ф,ф £ [0, п] мы пишем:
ф\ф = arccos(cos ф ■ cos ф).
Очевидно, что получающаяся таким образом бинарная операция на отрезке [0,п] сопряжена с обыкновенным умножением относительно гомеоморфизма cos : [0,п] х [-1,1]. При фиксированном ф функция f (ф) = ф\ф — это сжимающее отображение отрезка [0,п] в себя с неподвижной точкой I, c f'(п) = cosф и f '(0) = f'(п) = 0. Неравенство (35) может быть теперь записано в виде с > a0#b0.
6. Возвращение к теоремам 1 и 2
Новая версия доказательства теоремы 1. Мы используем обозначения, введенные в предыдущем разделе. Непосредственная проверка показывает, что точка x* раздела 2 совпадает с q^_!, а величина t* — с y/ncosпП_1. Расстояние пП_1 будет обозначаться короче как r*; таким образом, r* = rn(t*) (см. равенство (22)). Используя лемму 2 (с k = n - l и i = l) и неравенства (30), (31), (33), (34), получаем следующий набор соотношений:
d(po,x*) < r*,
r* < пП-1 при i > 2,
Р3 < Г* < ¿1 < Р4 < Рп-1
(36)
(37)
(38)
(напомним, что, как всегда, п > 5).
Два утверждения, составляющие формулировку теоремы 1, можно теперь изложить в таком виде:
1. шар Вт, (х*) содержит ровно п вершин;
2. шар Вт, (хк) содержит 2к вершин при к < 3, и не содержит ни одной вершины при к > 4.
Те п вершин, о которых говорится в первом утверждении — это все вершины клетки Е"-1 на расстоянии Хэмминга 1 от вершины р0, принадлежащие шару Вт, (х*) «по построению», и сама вершина р0, принадлежащая ему в силу (36). Все остальные вершины данной клетки либо находятся на расстоянии Хэмминга > 2 от диагонали р0р"-1 (следовательно, не попадают в шар ввиду (37)), либо на том же расстоянии единица, но ближе к другому концу диагонали (и, следовательно, имеют отличную от х* ближайшую точку на р0р"-1), либо, наконец, это противоположный конец диагонали — точка р"-1 (в этом случае расстояние, очевидно, больше р"-1, а следовательно, и подавно больше г*, см., неравенства (38)). Что же касается вершин а, не принадлежащих клетке Е"-1, то применение к ним леммы 3, следствия 3 и второго неравенства (38) дает й(а,х*) > ¿1 > г*, т. е. все они опять-таки не попадают в шар.
Второе утверждение проверяется еще проще. Точка хк — центр клетки Е"-1 — находится на одном и том же расстоянии рк от ее вершин, так что либо все эти 2к вершин лежат в рассматриваемом шаре, либо все находятся вне него, в зависимости от соотношения между величинами г* и рк, ответ же здесь дается неравенствами (38). Что касается остальных вершин (вне клетки Е"-1), то к ним применимы те же соображения, что и в конце предыдущего абзаца.
□
Для доказательства теоремы 2 нужна некоторая дополнительная подготовка. Как было отмечено в разделе 3, определенные там точка х** и число ь**
— это не что иное как х* и ь* раздела 2, только взятые для размерности п - 1 вместо п. Таким образом, используя новые обозначения, мы можем написать:
х** = х*(п - 1) = ч"—2(п - 1),
t** = t*(n — 1) = т/n—l cos(r* (n — 1)).
Теперь определим новую величину r** формулой
r** = rn(t**) = arccos (yjnn1 cos(r*(n — 1))). (39)
Вспомнив, что у n_i — это cos p1(n) (равенство (25)) и использовав введенное в конце раздела 5 обозна-
чение, запишем это как
r** = р1(и)$т*(n - 1).
(40)
Наконец, подставив в правую часть соотношения (39) значение г* (п - 1) = п"——2 (п - 1) по формуле (29), получим:
r
( /ПЛ^.
V VnV n - 2 )
(41)
Следующая лемма позволяет понять геометрический смысл величины г**.
Лемма 6. Пусть а — вершина куба А"-1. Для любой имеет место соотношение
й(а+ ,х) = й(а ,х) = р1(п)$й(а,х). (42)
точки х є An 1
Доказательство. Отрезок, соединяющий точку а с а+ или а-, является перпендикуляром к «экваториальной» (п - 2)-мерной сфере (или, что в нашей тер-
и
минологии то же самое, поверхности куба Д"-1) остается лишь сослаться на «сферическую теорему Пифагора». □
Замечание 4. Приведенное рассуждение — «синтетическое»; не составило бы никакого труда проверить это и аналитически.
Равенства (40), (42) и определение величины г* показывают, что г** — не что иное как расстояние между точкой X** и вершиной р2 = р1 (п - 1)-куба Д" (или, более «инвариантным» образом, это расстояние между произвольной диагональю [а,Ь] куба Д"-1 с Н(а,Ь) = п - 2 и любой вершиной куба Д", проекция которой на Д"-1 принадлежит клетке [[а,Ь]] и находится на расстоянии Хэмминга 1 от {а,Ь}).
Сопоставление равенств (40) и (42) показывает, что для любой точки х е Д"-1 и любой вершины а е Д"-
имеет место эквивалентность
¿(а, х) < г*(п — 1) ¿(а±, х) < г**(п),
откуда сразу же вытекает Следствие 4. Число вершин куба Д" в шаре Б, совпадает с удвоенным числом вершин куба Д шаре Б,, (х).
Теперь мы приведем несколько неравенств связывающих величину г** с введенными выше:
(х) 1 в
¿1 <Т** < 02,
р4 <Т** < Р5 (n > 6),
т** < Пк (к > 6).
(43)
(44)
(45)
Проверка здесь сводится к сравнению формулы (41) для г** с формулами, определяющими величины 5к, рк и пк — соответственно, (24), (25) и (29).
Приведем, наконец, последние три леммы, требующиеся для доказательства теоремы 2.
Лемма 7. Для любого к > 5 и любого X е [0,1] сферическое расстояние между точкой хк и любой вершиной а е (Ек)0 с Н(а, р0) > Н(а, рк) — т. е. расположенной ближе к «правому» концу диагонали р0рк,— удовлетворяет неравенству й(хк,а) > г**.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай а = р* с г> к/2 (остальные сводятся к этому в силу симметрии). На рис. 2 изображена (условно) диагональ р0рк клетки Ек, а также цепочка (одна из многих) вершин этой клетки, расположенных в порядке возрастания их расстояния Хэмминга от точки р0 (или, что то же самое, убывания расстояния от точки рк).
р2 р*
Рис. 2. К доказательству леммы 7.
Интересующее нас расстояние — одна из сторон треугольника хкхкр*. Очевидно, угол при вершине хк этого треугольника — тупой; здесь следовало бы уточнить, какой угол — сферический или евклидов — имеется в виду, однако, к счастью, в данном случае это одно и то же (как уже отмечалось выше, радиальная проекция клетки куба на сферу сохраняет углы в центре клетки). Применяя к треугольнику хкхкр* следствие 3 (или, если угодно, «сферическую теорему косинусов»), мы получаем
й(хк, р*) > й(хк, р*) = рк,
и теперь остается сослаться на второе из неравенств (44). □
Лемма 8. Для всех к венство n|#^1 > r**.
2,
,n - 1 выполнено нера-
Доказательство. В силу определения операции # и равенств (24), (29),
cos(n1 #¿1) = cos ni ■ cos ¿1 = ~1n \jn - 4+ 4 ■ (l - П) > ера
так что все сводится к неравенству
І
n - 5 +
n2
ln - 4 + Ці - -
k V n
Подставляя в правой части самое «невыгодное» значение к = 2, возводя в квадрат и упрощая, получаем
1 +
4
n2
12 8 >----------------Ö.
(46)
Заменяя знаменатель в левой части на п и отбрасывая отрицательный член в правой части (т. е. усиливая неравенство), мы получаем утверждение, эквивалентное п > 8. Оставшиеся случаи п = 5,6,7,8 проверяются прямой подстановкой в (46). □
Лемма 9. Для всех п > 6 и всех к = 1,...,п - 1 (сферическое) расстояние между точкой х к и любой из вершин а е (Е^ )0, находящихся на расстоянии Хэмминга единица от точки р к, удовлетворяет неравенству й(хк ,а) > г**.
arccos
n
n
Доказательство. Можно предполагать (опять в силу симметрии), что а = рк+1. Вычисление расстояния по формуле (21) дает
¿(Х-к , Рк+1) = аГССОБ
/ п - к - 2 \ \у/п(п - к) /’
так что требуемое неравенство, с учетом формулы (41), может быть записано в виде
п - 5 +
4
п2
> -Уп - к -
2
у/п - к
-п-к - 4 +
4
пк
что равносильно
к-1>
4(к - 2)
(п - 2)(п - к)'
Остается заметить, что, согласно нашим предполо-
□
Доказательство теоремы 2. Два утверждения, составляющие данную теорему, могут быть представлены в следующем виде:
1. шар Вт,, (х**) содержит ровно 2(п - 1) вершин;
2. при п > 6, для любых к = 1,2,... ,п-1 и X е [0,1] шар Вт,, (хк) содержит не более п + 12 вершин.
Первое из этих утверждений, по существу, уже доказано: в самом деле, согласно следствию 4, число вершин в шаре Вт,,")(х**(п)) совпадает с удвоенным числом для шара Вт,("—1)(х*(п - 1)), равным п - 1 по теореме 1. Перейдем теперь к доказательству второго утверждения (что, благодаря проведенной подготовке, сведется к довольно легкому подсчету). Мы разобьем этот подсчет на две части.
1-я часть. Вершины, принадлежащие Ек.
Случай к < 4. В этом случае г** > рк (по крайней мере при п > 6, см. первое неравенство (44)), и все вершины клетки Ек могут оказаться внутри шара вт,, (хк) (например, при X = 0); таким образом, оценкой здесь будет 2к.
Случай к = 5. Теперь в дело вступает лемма 7, «отсекающая» ровно половину вершин; следовательно, оценка здесь 25/2 = 16.
Случай к > 6. Здесь мы имеем неравенство (45), дополнительно исключающее все вершины а с Н(а, р0) > 1. Таким образом, остается только вершина р0 и к соседних с ней (имеющих с р0 общее ребро); значит, в этом случае ответ к + 1.
2-я часть. Вершины, не принадлежащие Ек.
Заметим, что можно сразу же исключить вершины а, расстояние Хэмминга которых от Ек больше единицы: применяя к ним лемму 3, следствие 3 и второе неравенство (43), получаем й(а, хк) > 52 > г** (ср. доказательство теоремы 1). Каждая из оставшихся вершин а является соседней с одной и только одной вершиной а0 е Ек, и мы рассмотрим опять три случая, в зависимости от расположения вершины а0.
Случай а0 = рк. Применяя к треугольнику хкхка лемму 4 и следствие 3, получаем неравенство й(хк,а) > й(хк,а), а в силу леммы 9 имеет место неравенство й(хк,а) > г**. Таким образом, ни одна из рассматриваемых точек не попадает в наш шар.
Случай а0 = р0. В силу первого из неравенств (43) все вершины, соседние с вершиной р0, могут оказаться внутри шара Вт,, (хк), например при X = 1 (т. е. при хк = р0). Следовательно, оценка здесь п - к (размерность клетки, дополнительной к Ек).
Случай а0 = р0, рк. Здесь работает та же схема, что и в случае а0 = рк: мы рассматриваем треугольник хка0а с тупым углом в вершине а0; однако вместо следствия 3 здесь требуется более сильное утверждение — лемма 5, из которой вытекает неравенство й(хк,а) > пк#^ь что ввиду леммы 8 дает й(хк,а) > г**. Таким образом, как и в случае а0 = р к, ни одна из вершин не попадает в шар.
Обозначая через N полное число вершин в шаре Вт,, (хк), окончательно получаем:
п + 2к - к при к = 1, 2, 3,4;
N < < п + 11
п+1
при к = 5; при к > 6.
(47)
Очевидно, максимум здесь достигается при к = 4, и он равен п + 12. □
Литература
1. Берже М. Геометрия. Т.2. М.: Мир, 1984. 368 с.
Статья поступила в редакцию 10.02.2012.
2
