CC BY
730. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1982. 18, № 1. 109-116.
31. Садовничий В.А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Матем. сб. 1967. 72, № 2. 293-310.
Поступила в редакцию 16.12.2015
УДК 517.982.256, 514.764.216
МЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ НА ПОДМНОЖЕСТВА КОМПАКТНЫХ СВЯЗНЫХ ДВУМЕРНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
К. С. Шкляев 1
Исследуются комбинаторные свойства метрической проекции Ре произвольного компактного связного риманова двумерного многообразия М2 на его подмножество Е, состоящее из к связных замкнутых множеств Ej. Точка х G М2 называется особой, если Ре (х) содержит точки не менее трех различных множеств Ej.• Получена точная оценка сверху на количество особых точек в зависимости от типа многообразия М2 и числа к. Такая же оценка получена для подмножеств Е, состоящих из конечного числа компонент связности, на произвольной нормированной плоскости.
Ключевые слова: двумерное многообразие, метрическая проекция, неравенство Эйлера, особые точки.
The paper is focused on combinatorial properties of the metric projection Pe of a compact connected Riemannian two-dimensional manifold M2 onto its subset E consisting of к closed connected sets Ej. The point x e M2 is called exceptional if Pe (x) contains points from no less than three different Ej. The sharp estimate for the number of exceptional points is obtained in terms of к and the type of the manifold M2. Similar estimate is proved for finitely connected subsets E of a normed plane.
Key words: two-dimensional manifold, metric projection, Euler inequality, exceptional points.
На Московской математической олимпиаде 2015 г. была предложена следующая
Задача (11 класс, П. А. Бородин). На, поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделенные друг от, друга, океаном. Назовем, точку океана, особой, если для нее найдутся не менее трех ближайших (находящихся, от, нее на, равных расстояниях) точек суши, причем все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?
Ответ в этой задаче 4.
Цель настоящей работы — исследовать эту задачу в случае произвольного числа материков (связных попарно непересекающихся замкнутых множеств) на произвольном компактном связном римановом двумерном многообразии и двумерной нормированной плоскости.
Пусть р — метрика на многообразии. Метрической проекцией Pn(x) точки х на множество N называется множество {у € N : р{х,у) = infz€Np(x,z) =: p(x,N)}. Вообще метрическая проекция определяется для любого подмножества любого метрического пространства и является предметом многочисленных исследований. В то же время метрическая проекция на подмножества римановых многообразий изучалась сравнительно мало, например в работах М.И. Карлова [1].
Определение 1. Пусть Е — объединение всех материков. Назовем точку х особой, если метрическая проекция Ре{%) содержит точки не менее трех различных материков.
Теорема 1. Пусть на зам,кнут,ом, римановом двумерном многообразии М2 расположено k ^ 3 материков (связных попарно непересекающихся замкнутых множеств). Тогда, максимально возможное число особых точек равно 2к — 2%(М2); где %(М2) — эйлерова характеристика многообразия М2.
1 Шкляев Константин Сергеевич — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: konstantin .shklyaevQinbox .ru.
Доказательство. Поскольку многообразие М2 метрически полно, то по теореме Хопфа-Ринова [2, §5.3] оно геодезически полно, поэтому для любых двух точек х,у многообразия М2 существует по крайней мере одна кратчайшая геодезическая, их соединяющая. Будем обозначать ее 7(х,у). Открытый шар радиуса г с центром в точке х будем обозначать В(х; г).
Лемма 1. Пусть х^у различные особые точки, q € Ре(у),Р, s € Ре{х),р ф s. Тогда верны следующие утверждения:
1) если кратчайшие геодезические 7(р, х) и 7(q, у) пересекаются, то р = q и 7(р, х) П 7(q, у) =
М;
2) j(p,x) Dj(s,x) = {х}.
Доказательство. 1) Пусть существует z € 7(р, х) П 7(q, y),z ф р. Покажем, что р = q. Обозначим через а(р, у) кривую, составленную из двух дуг — дуги кривой 7(р, х) от р до z и дуги кривой 7(q, у) от z до у. Обозначим через a(q, х) кривую, составленную из двух дуг — дуги кривой 7(q, у) от q до z и дуги кривой 7(р,х) от z до х. Ясно, что \а(р,у)\ ^ р(у,Е) = \j(q,y)\ '■= r,\a(q,x)\ ^ р(х, Е) = I7(р, х)\ := R. С другой стороны, \а(р, у)\ + |a(q, х)\ = (7(р, х)\ + (7(q, у)\ = R + r. Следовательно, \a(q,x)\ = R и \а(р,у)\ = г. Ясно, что z ф х или z фу. Пусть для определенности z ф х. Из равенств \a(q,x)\ = R и \а(р,у)\ = г следует, что q € Ре{х) и что a(q,x) — кратчайшая кривая из х в q, а значит, геодезическая. Геодезические a(q, х) и 7(р, х) пересекаются по невырожденной дуге с концами х и z, т.е. касаются и, значит, вложены одна в другую как касающиеся геодезические [3, гл. 5, §4]. А поскольку \a(q,x)\ = х)\ = R, имеем р = q. Так как кривые j(p,x),j(q,y) = 7(р,у) совпадают по дуге кривой 7(р, х) от z до р, то одна из геодезических 7(р, ж), 7(р, у) содержит другую. Для определенности будем считать, что 7(р,х) содержит 7(р,у).
Поскольку р(х,у) = р(х,р) — р(у,р) = R — г, по неравенству треугольника имеем В(у,г) С В(х; R). Покажем, что дВ(у] г)Р\дВ(х; R) = р. Пусть существует такая точка t ф р, что t € дВ(у] г)П dB(x]R). Пусть 7(у,х) — дуга кривой 7(р,х). Обозначим через a(t,x) кривую, составленную из геодезических 7(у,х) и 7(t,y). Так как p(t,x) = R = \^f(t,y)\ + \^f(y,x)\ = \a(t,x)\, то a(t,x) — кратчайшая геодезическая, однако 7(у,х) С 7(р,х) П a(t,x) и \j(p, х)\ = \a(t,x)\, следовательно, t = р. Противоречие. Таким образом, дВ(у,г) \ B(x]R) = р, поэтому не существует точек из трех различных материков на дВ(у,г), т.е. у — не особая точка, что противоречит условию.
2) Пусть существует такая точка z ф х, что z € 7(5, x)Dj(p, х). Обозначим через fj(p, х) кривую, составленную из двух дуг — дуги кривой 7(р, х) от р до z и дуги кривой 7(5, х) от z до х. Обозначим через f3(s, х) кривую, составленную из двух дуг — дуги кривой 7(5, х) от s до z и дуги кривой 7(р, х) от z до х. Ясно, что |/3(р, х)\ ^ I7(р, ж)|, |(3(s, х)\ ^ |7(s, х)\, \(3(р, х)\ + |(3(s, х)\ = (7(р, х)\ + |7(s, х)\, следовательно, \fj(p,x)\ = \j(p,x)\,\fi(s,x)\ = |7(«,ж)|. Отсюда так же, как и выше, вытекает, что s = р, что невозможно по условию леммы. Лемма доказана.
Определение 2. Назовем шапочкой особой точки х замкнутый шар В(х; р(х, Е)) радиуса р(х, Е) с центром в точке х.
Определение 3. Назовем особую точку х правильной, если в ее шапочке В(х~, р(х, Е)) лежат ровно три точки материков.
Лемма 2. Пусть для к материков существует d особых точек с шапочками B(xi; Vi),i = 1, d. Тогда можно так дост,роить эти материки, что для дост,роенных материков будет существовать по крайней мере d правильных особых точек с попарно непересекающимися шапочками одинакового радиуса.
Доказательство. Для каждого г выберем три точки различных материков pl,pf,p^ € Ре{%г)-Рассмотрим кратчайшие геодезические 7{p^Xi) из точки рj в точку Xi (j = 1,2,3). Пусть Gi — граф с вершинами Xi,p\ и ребрами 7(pj,Xi),j = 1,2,3. По лемме 1 его ребра пересекаются только в точке Xi. Также, согласно лемме 1, Xi ф Gj при г ф j. Поэтому существует е > 0, удовлетворяющее условиям:
1) различные B(xf,e) не пересекаются;
2) е < ппгщ;
3) B(xi; е) П Gj = 0 при i ф j ■
Пусть 7(pjjXi) П дВ(хг,е) = {qj} (i = 1 ,d,j = 1,2,3). К каждому материку присоединим дуги 7(Рг' Зг) кривых j(pl, Xi), из него выходящие. Достроенные материки не пересекаются, так как Gj П Gk может состоять только из точек р™ = psk по лемме 1. Для них имеется d правильных особых
точек с непересекающимися шапочками B(xi;e),i = 1 ,d. Лемма доказана.
Определение 4. Назовем ломаной на многообразии М2 кривую без самопересечений, состоящую из конечного числа кратчайших геодезических.
Лемма 3. Пусть U — открытое связное множество многообразия М2, Vi GU(i = 1 ,k). Тогда существует замкнутая ломаная L С U, проходящая через все точки Vi.
Доказательство. Докажем по индукции, что существует незамкнутая ломаная С U, проходящая через все гц. В качестве ломаной, проходящей только через точку v\, возьмем саму точку v\. Пусть для некоторого г < к существует незамкнутая ломаная li с концами v\,iц, последовательно проходящая через V\,... ,Vi и не проходящая через оставшиеся Vj. Покажем, что существует незамкнутая ломаная Li+\ с концами V\,Vi-^i, последовательно проходящая через V\,..., v^i и не проходящая через оставшиеся Vj. Найдем 5 > 0, такое, что B(vf,5) не пересекается с участком ломаной Li от v\ до Vi-\, Vj ф B(iJi]5) при j > г. Выберем в B(vi]5) точку v, не принадлежащую Li. Поскольку множество U \ (Li U (U^=i+2{'i;i})) открыто и связно, существует лежащая в нем незамкнутая ломаная L'i+1, соединяющая точки v и Vi+Параметризуем ломаные Li,L'i+l так, чтобы Li(0) = V\,Li(l) = Vi,L'i+1(0) = Vi+\, L'i+l(l) = v. Существуют t\,t2 € [0,1], такие, что Li([0,ii])ndB(vl-5) = Ll(tl) =:иг,иг+1([0,г2])ПдВ(уг;5) = L'l+l(t2) =: иг+1. Тогда Li+1 = L,([0,ii])U
Vi) U 7(fi, U Д+1([0; ¿2]) — искомая ломаная. Поэтому существует незамкнутая ломаная с концами Vi,Vk- Пусть 2е < mini^j p(vi,Vj). Выберем в B£(v 1), B£{vk) точки и, и' соответственно. Соединим их кривой а(и,и') С U \ L^. Параметризуем Lk,a(u,u') отображениями f,g : /(0) = t>i,/(l) = Vk',g(0) = u,g( 1) = и'. Существуют ii,¿2,^1,^2 е [ОД]) такие, что /([¿i,l]) П dBe(v\) = {/(ii)},/([0,i'i])n9Se(^) = {Ж)},5№2,1])пав£ы = {g(t2)},g([0,t'2])ndB£(vk) = {g(t>2)}. Тогда положим L = /([¿i,ii]) U j(f(t'i),Vk) и 7(vk,g(t'2)) U g([t'2, t2]) Uj(g(t2),Vi) U 7(^1, f(h)). Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы 1. Пусть для материков N\,..., Nk на многообразии М2 существует d особых точек. Согласно лемме 2, можно считать, что для материков N\,..., Nк существует не менее d правильных особых точек с попарно непересекающимися шапочками B(xf,e),i = 1 ,d. Пусть qj,q2,qf — точки материков на границе шапочки B(xi\e). Оценим сверху d. Для этого будем строить на М2 граф G описанным ниже способом. Пусть V(NU) = {qj : qj € Nu} (v = l, к). Найдем 5 € (0,е/2), такое, что ¿-окрестности Us(Nu) = {х € М2 : p(x,Nv) < различных материков не пересекаются.
В каждой окрестности lJs(Nv) построим замкнутую ломаную G(NV), проходящую через все точки множества V(Nv). Это возможно по лемме 3.
Пусть G(xi) — простой цикл, лежащий в В{х^е/2) и содержащий Xi в своей внутренней грани (т.е. в той, где нет точек материков). Тогда на каждой кривой 7((¿,Xi) существуют точки sj,tj, такие, что для дуги 7(sj,tj) кривой j(qJi,Xi) выполняются равенства 7(sj,tj) П G(xi) = 7(sj,tj) П
G(NV) = {s^}, если ql € V(Nv). Для каждого и = 1, к будет считать ломаную G(NV) графом с множеством вершин {sj : ql € V(Nv)}. Вершинами графов G(xi) будем считать точки t?, вершинами ребер 7(sj,tj) — точки sj,tj. Тогда положим Gi = G(N{) U {7(sj,tj) : qj € V(Ni)} и G = (Uf=1Gi) U (Uf=1G(xi)). Вершины графа G — это точки s^t] (г = 1 ,d,j = 1,2,3).
Раскрасим ребра графа G следующим образом: ребра каждого подграфа Gi красим в цвет I. Непокрашенными останутся только ребра подграфов G(xi), г = 1, d. Пусть V,E,F — множества вершин, ребер и граней графа G соответственно. Пусть F' = {/ € F: среди ребер / есть непокрашенное и покрашенное ребра}. Отметим, что если при однократном последовательном обходе ребер грани / € F некоторое ребро встретилось дважды, то это ребро лежит на границе только одной грани G — самой грани /. Поэтому при однократном последовательном обходе ребер грани / € F' невозможно пройти по непокрашенному ребру дважды.
Докажем, что каждая грань множества F' содержит хотя бы два непокрашенных ребра. Рассмотрим соседние ребра е\,е2,ез грани / € F', такие, что е2 — непокрашенное ребро. Если одно из в1,ез непокрашенное, утверждение доказано. Если оба ребра покрашены, то они не могут быть одного цвета, поскольку непокрашенные ребра соединяют только графы Gi, покрашенные в разные цвета. Рассмотрим однократный последовательный обход ребер грани / в следующим порядке: е2, ез, ..., е\. Видно, что есть цепочка ребер, ведущая из ез в е\, а значит, проходящая через непокрашенное ребро (ребра разных цветов не могут быть смежными). При этом данное непокрашенное ребро не совпадает с е2, так как при однократном последовательном обходе грани из множества F' невозможно пройти по непокрашенному ребру дважды.
Таким образом, у каждой грани / € F' на границе имеется по крайней мере два непокрашенных
ребра, причем различные /ь/г € Р' не мохут иметь общее непокрашенное ребро на хранххцах, так как каждое ребро .лежит на хранххце не более двух хранен, а каждое непокрашенное ребро хранхх-чит е треугольной гранью, имеющей непокрашенную хранххцу. Ребер, принадлежащих треух'ольным храним е непокрашенной хранххцей, ровно 3(1. Поэтому верна оценка 3(1, ^ 2\Р'\ ^ 2(\Р\ — (1, — к) (последнее неравенство имеет место в силу тохх), что число храней, состоящих только из ребер однохх) цвета, не больше к, число храней, состоящих только из непокрашенных ребер, равно (1). Заметим, что \У\ = 6(1,, \Е\ = 9(1,. По неравенству Эйлера [4, §2.2] имеем
Тогда
и ^\Е\-\У\+х(М2) = 3(1 + Х(М2
3(1, ^ 2((3 (I + х(М2)) -(1,-к)^(1,^2к- 2\{.\12).
что и требовалось доказать.
Теперь для каждого многообразия указанного типа построим такой пример расположения материков на нем, что число особых точек равно верхней оценке в условии теоремы.
Сначала построим на некоторой сфере с т пленками Мебиуса к материков, для которых имеется 2к + 2т, — 4 особых точек, т ^ 0.
Рассмотрим сферу Б'2 радиуса 1/(2-/г) в трехмерном пространстве. Пересечем ее плоскостью По, проходящей через центр сферы. Разобьем Сс>о = в2 П По на 2к + т — 4 равных дуг точками х% так, чтобы выполнялось соотношение Жг+1)| = 2А-+т-4'= 1, (2А; + т — 3). Положим В^ :=
В(Хг+1] Пусть йг,Ьг ТОЧКИ МНОЖССТВа дВ^ПШо, причем ТОЧКИ а,1,Ь\, . . . , 0>2А-+т—4) Ь-2к+т-4
расположены на и)о в указанном порядке. Окрестности II, не пересекаются между собой.
Рассмотрим плоскости П1, П2, параллельные По и касающиеся каждого замкнутого шара В г, г = 1, (2 к + т - 4). Пусть = Б2 П Пь = Б2 П П2 и ГТД_ = с*, П Б* = с^.
Для г = 1, т вырежем из сферы открытые диски В^ С1 и приклеим по их границам ленты Мебиуса М\,..., Мт.
Таким образом получим из Б2 сферу с т пленками Мебиуса. Построим материки ... на этой поверхности. В качестве возьмем со\,и)2 (вырезав диски, мы не
вырезали точки этих окружностей). В качестве Л^ возьмем кратчайшие дуги 7(6т+2г-х, От+2г),= 1,к — 2. На каждой ленте М^г = 1 ,т, построим связные множества ы1,ы2,ы1, такие, что Ьг <Е € Ы2,^ € N¡,1 € 1 ,т,
а также ец € N¿,1 = 2, т. Способ построения таких множеств на развертках лент Мебиуса Мг, г = 1, т, изображен на рис. 1 для г = 2, т и на рис. 2 для г = 1.
Достроим материк N^-2, присоединив к нему Д у' и ду-х'и 7{Ъг, (ц+1), г = 2, т + 1. Достроим материк N^1, присоединив к нему множества Ы2 (?' = 1, т). Достроим материк Жд., присоединив к нему множество И? (г € 1 , тп). Посчитаем количество особых точек получившихся материков. Точки агт+2, • • •, Х2к+т-4 всегда являются особыми. Еслхх т = 0, то точка хт+1 также является особой. Еслхх т > 0, то в каждой ленте Мёбиуса Мг при г = 2, т существуют 2 особые точки. В М\ всех'да 3 особые точки. Таким образом, общее число особых точек равно 2к — 4 при
т. = 0 и 2к — 5 + 2(т, — 1) + 3 = 2к + 2т, — 4 ххрхх т > 0 , что хх требовалось.
Теперь построим материки на сфере с д ручками. Для этохх) рассмотрим попарно непересекающиеся хх не содержащиеся друг в друх'е мноххюбразххя в трехмерном пространстве: торы Т2,..., Т2 хх сферу Б2. На каждом торе построим 3 материка N1, М2, Л^, для которых существует 6 особых точек. Способ этоххх построения на развертке тора изображен на рис. 3.
На Б2 построим к материков N1,..., ./Уд., для которых существует 2к — 4 правильных особых точек с непересекающимися шапочками (выше показано, что на сфере с т =
_ 0 ххленкамхх Мёбиуса можно построить к материков, для
1нс. 2
-»-1 1-1-
-1 ¿Г* 1-
Рис. 1
которых существует 2к — 4 правильных особых точек). Можно считать, что на границе шапочки правильной особой точки х\ есть точки материков N1, N2, N3. Теперь на сфере и каждом торе выберем по две шапочки особых точек: В(хо; ?'о), В(х\] Г\) С 5*2; В(х2г]Г2г), В(х2г+1]
) С Т2,г = 1 ,д. Для каждого г € 1, 2д — 1 вырежем диски В{х%] г%). Для г = 1 ,д соединим дВ(х,2г-\] ?"2г— 1) и дВ(х2г, Г2г) трубками так, чтобы трубки не пересекались между собой и не пересекали ¿>2, Т2,..., Т2. Таким образом получим сферу с д ручками. На дВ(х2г-\] ?"2г—1), дВ(х2%1 т'2г) концах каждой трубки есть по 3 точки материков и N1, Ы2,
соответственно. Тогда можно соединить по трубке точки материков на разных ее концах между собой тремя непересекающимися кривыми (у\, а2, а| так, чтобы каждая точка материка на одном
конце трубки была соединена кривой а? с точкой материка на другом конце трубки (а пе-
рестановка множества {1,2,3}). Можно, переименовав три материка N. {] = 1,2,3), считать, что соединяет материки 1, N. .
Тогда переобозначим положим Nj = (и®=0Л^) и (и|=1о^) = 1,2,3). Ясно, что множество связно. Тогда N1,Л^- это к материков на сфере с д ручками. Посчитаем количество особых точек для них. Заметим, что при построении трубки с концами дВ(х,21~1',1*21-1),дВ(х,2г,1*21) точки Х2г-1,х-2г перестают быть особыми. Поскольку мы построили д трубок, а всего существовало 6д особых точек на торах и 21; - 4 особые точки на сфере, то число особых точек нашей сферы с д ручками равно 2к — 4 + 6д — 2д = 2к + Ад — 4, что и требовалось. Таким образом, мы построили примеры материков, для которых существует максимально возможное количество особых точек, на представителях всех классов гомеоморфных двумерных многообразий.
Лемма 4. Пусть М, М гомеоморф)те многообразия с заданными на них функциями расстояния, / : М —> М осуществляет гомеоморфизм и для, к .материков-графов N1, на М существует 4 особых точек с шапочкам,и 2?(а^;г»),г = 1,4, и, точкам,и, ^ = 1,2,3) из некоторых
•трех различных .материков на границе каждой шапочки. Пусть существуют кривые а(д1,Хг) со следующими свойствами:
1) а(д'1, Хг) П а(д"г, Хг) = Хг при, п ф т.:
2) для г ф ;) выполнено а(д?,х^ П а(д"г,х^) = $ при д™ = д"г и, П а(д"г,х,]) = 0 при
Тогда на М .можно построить к лштериков-графов N1,для, которых существует не. менее 4, особых точек.
Доказательство. Пусть О множество, являющееся объединением к материков на М и всевозможных кривых сх(д^,хг). Обозначим через образ кривой сх(д^,хг) при отображе-
нии /. Существует е > 0, такое, что для каждой точки уг = /(Жг) выполнено f{G) П В(уг~,е) = (иП В(уг]е). Параметризуем каждую кривую ¡3(с^,Хг) отображением Д,- : [0,1] —>•
) Хг), /у(0) = f{Ql),fij{l) = Уг- В силу замкнутости д(В(уг]е)) и непрерывности Д,- существует точка 8ц € [0,1], такая, что /у([0; з^}) П дВ(уг,е) = /у («у). Тогда для каждого г = 1,4, построим материк Л^, присоединив к /(Л^) кривые /у([0, 8^}), исходящие из f{Nг)■ Для материков Л^ на М имеется 4, особых точек {] = 1,4). Лемма доказана.
Лемма 4 завершает доказательство теоремы 1. Действительно, так как приведенные примеры на сфере с ручками и сфере с пленками удовлетворяют условиям леммы 4, то и на произвольном двумерном замкнутом римановом многообразии существуют примеры расположения к материков с количеством особых точек, равным верхней оценке из условия теоремы.
Теорема 2. Пусть на, двумерной нормированной плоскости, X расположено к > 1 материков (связных попарно непересекающихся замкнутых лтожеств). Тогда, максимальное возлюжное число особых точек равно 2к — 4.
Доказательство вытекает из теоремы 1 для двумерной сферы в2 и леммы4.
Утверждение. Для, любого натурального к > 0 на римановом многообразии и в нормированном, простора,нет,ее размерности п ^ 3 можно построить три материка, для которых существует по крайней мере 2к особых точек.
1. Докажем утверждение для риманова многообразия Мп. Найдем такую малую окрестность Ве(х) точки х € Мп, что для каждой пары точек х\,х2 € Ве(х) существует кратчайшая геодезическая 7(Ж1,Ж2) С Ве(х), их соединяющая. Шар Ве(х) гомеоморфен открытому множеству II С Кга. Можно считать, что 0 € II. Найдем 5, такое, что п-мерный куб [—5] 5}п С II. В качестве материков возьмем три прямые ^ (г = 1, 2, 3), заданные уравнениями х\ = х2 = сц, = Ы, х^ = 0 при ] € 3, т, где а\ = Ъ\ = 0, а2 = 0, Ъ2 = аз = 63 = 0. Тогда ясно, что шары
не пересекаются и касаются поэтому для материков I^ существует по крайней мере 2к особых точек с непересекающимися шапочками. Значит, по лемме 4 на Ве(х) С Мп можно построить три материка, для которых существует 2к особых точек. В силу условий на Ве(х) особые точки для этих трех материков на Ве(х) будут особыми и на всем Мп.
2. Докажем утверждение для нормированного пространства Хп. Для Хп с евклидовой нормой соответствующий пример построен в п. 1. Поскольку в Хп любая норма эквивалентна евклидовой, остается применить лемму 4.
Автор приносит благоданость П. А. Бородину за постановку задачи и ценные замечания. Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 15-01-08335).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карлов М.И. Чебышевские множества на многообразиях // Тр. ИММ УрО РАН. 1996. 4. 157-161.
2. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.
3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Факториал Пресс, 2000.
4. Скопенков А.Б. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения. М.: .\IIUI.\K). 2015.
Поступила в редакцию 20.04.2016
УДК 512.772
МНОГОЧЛЕН ПУАНКАРЕ ПРОСТРАНСТВА С) И КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК ПРОСТРАНСТВА
Н. Я. Амбург1, Е.М. Крейнес2, Г. Б. Шабат3
Получено комбинаторное доказательство того, что число точек пространства удовлетворяет рекуррентной формуле для многочленов Пуанкаре пространства Л^о,п(С).
Ключевые слова: пространство модулей, многочлен Пуанкаре, конечное поле.
We obtain a combinatorial proof that the number of points of the space Л1о,п(1Р9) satisfies the requrrent formula for Poincare polynomials of the space Л^о,п(С).
Key words: moduli space, Poincare polynomial, finite field.
1. Введение. Пусть алгебраическое квазипроективное многообразие V определено над кольцом Z, т.е. оно может быть задано системой (возможно, пустой) однородных полиномиальных уравнений и не равенств4 с целыми коэффициентами. Множество V(к) решений такой системы можно рассматривать в проективном пространстве Рга(к) над любым полем к.
1 Амбург Наталья Яковлевна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. НИЦ "Курчатовский институт" — ИТЭФ, e-mail: AmburgQitep.ru.
2Крейнес Елена Михайловна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. теоретической информатики мех.-мат. ф-та МГУ, мл. науч. сотр. НИЦ "Курчатовский институт" — ИТЭФ, e-mail: Elena_msuQgmail.com.
3Шабат Георгий Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. РГГУ, вед. науч. сотр. НИЦ "Курчатовский институт" — ИТЭФ, e-mail: George.ShabatQgmail.com.
4т.е. выражениями вида / ф 0 (а, скажем, не / > 0).
